山东省临沂市罗庄区2016-2017学年高一下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

高一文科数学试题 2017.07第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. = 240sin A ．21 B ．21- C ．23 D ．23- 2. 为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象A. 向左平移3π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度 3．平面四边形ABCD 中，0AB CD +=，()0AB AD AC -⋅=，则四边形ABCD 是 A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．梯形4．从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．其中是对立事件的是A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 5．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为 A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 26．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%7．如图所示，程序框图的输出结果是A. 16B. 2524 C. 34 D. 11128. 已知圆错误！未找到引用源。

,在圆错误！未找到引用源。

中任取一点错误！未找到引用源。

，则点错误！未找到引用源。

的横坐标小于错误！未找到引用源。

的概率为A ．错误！未找到引用源。

高一理科数学试题 2017.07本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡上；2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. = 240sin A ．21 B ．21- C ．23 D ．23- 2. 为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象A. 向左平移3π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度 3．平面四边形ABCD 中，0AB CD +=，()0AB AD AC -⋅=，则四边形ABCD 是 A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．梯形4．从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．其中是对立事件的是A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 5．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为 A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 26．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 7．如图所示，程序框图的输出结果是 A. 16 B. 2524 C. 34 D. 11128. 已知圆22:20C x y x +-=,在圆C 中任取一点P ， 则点P 的横坐标小于1的概率为 A ．14 B ．12C ．2πD ．以上都不对 9．函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-上的简图是10. 已知直线ax y =与圆0222:22=+--+y ax y x C 交于两点B A ,，且CAB 为等边三角形，则圆C 的面积为 A ．49πB ．36πC ．π7D ．π611．已知函数()2sin()1f x x π=-，若1234,,,x x x x 是函数()f x 的四个均为正数的零点，则1234x x x x +++的最小值为A ．7B ．6C ．5D ．4 12．实数,a b 满足22220a b a b +++=，实数,c d 满足2c d +=，则22()()a c b d -+-的小值是A ．2 B C ．8 D.第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13．从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为____________.14．如图所示，在平面直角坐标系Oy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.15．如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，4AB AC =，则()OC OB OA ⋅-=________.16.已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17．（本题满分12分）某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：（1）求销售额y 的方差； （2）求回归直线方程.(参考数据： ()555221221111145,1350ˆ0,1380,ni i i i i i i n i i i i i x y nxyx y x y bx n x =====-====-∑∑∑∑∑.)18．（本题满分12分）已知()()2cos 23sin ,1,cos ,m x x n x y =+=-，且m n ⊥.将y 表示为x 的函数，若记此函数为()f x ，（1）求()f x 的单调递增区间； （2）将()f x 的图象向右平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在[0,]x π∈上的最大值与最小值.19.（本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率. 20．（本题满分12分）已知O 为坐标原点，向量(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)OA OB OC ααα===-，点P 满足AB BP =.（1）记函数()f PB CA α=⋅，求函数()f α的最小正周期； （2）若O ，P ，C 三点共线，求OA OB +的值. 21. （本题满分12分）已知圆C ：2＋y 2＝9，点A (－5,0)，直线l ：－2y ＝0. (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标． 22. （本题满分10分）已知曲线221:4C x y +=，点N 是曲线1C 上的动点.（1）已知定点(3,4)M -，动点P 满足OP OM ON =+，求动点P 的轨迹方程； （2）设点A 为曲线1C 与x 轴的正半轴交点，将A 沿逆时针旋转23π得到点B ，点N 在曲线1C 上运动，若ON mOA nOB =+，求m n +的最大值．高一理科数学试题参考答案 2017.07一、选择题：DDCCB BDBA D BA二、填空题：13．30 14．－35 15．－12 16. 34-三、解答题： 17.解：（1）计算得245682530406050702505,505555x y ++++++++======……………2分2222221[(3050)(4050)(6050)(5050)(7050)]2005S =-+-+-+-+-=……6分(2),又已知 55211145,1380ii i i i xx y ====∑∑，于是可得：()1221138055506.5145555ˆni i i n i i x y nxybx n x ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，…………………………………9分ˆa =y - ˆb50 6.5517.5x =-⨯=，…………………………………………11分 因此，所求回归直线方程为： ˆy6.517.5x =+.……………………………12分 18.解：（1）由m n ⊥得22cos cos 0m n x x x y ⋅=+-=， .………………1分所以22cos cos 1cos22sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭.……2分由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， (3)分即函数2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦….……4分（2）由题意知()2sin()16g x x π=-+ (7)分因为5[0,],[,]666x x ππππ∈∴-∈-， (8)分 故当62x ππ-=时，()g x 有最大值为3；………………………………………………10分 当66x ππ-=-时，()g x 有最小值为0. ………………………………………………11分故函数()g x 在[0,]x π∈上的最大值为3，最小值为0. ….……………………………12分 19.解：（1）∵200.25M ÷=，∴80M =，∴500.62580N ==，…………………2分310.250.6250.050.07540p =---==，……………………………………………3分10.12558n a ===.………………………………………………………………………4分 中位数位于区间[15,20)，设中位数为（15+x ）， 则0.1250.25x =，∴2x =，故学生参加社区服务次数的中位数为17次.……………………………………………6分 （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人， 如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=.…………… 8分记服务次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b . 从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，……………………………………10分设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种， 所有102()153P A ==. ………………………………………………………………… 12分20.解：（1）(cos sin ,1),(,),AB OP x y αα=--=设则(cos ,)BP x y α=-，…………………………………………………………………1分 2cos sin ,1AB BP x a y α==-=-由得，(2cos sin ,1)OP αα=--故.…………………………………………………………2分 (sin cos ,1),(2sin ,1)PB CA ααα=-=-，………………………………………3分∴()(sin cos ,1)(2sin ,1)f αααα=-⋅-22sin 2sin cos 1ααα=--…………………………………………………………4分 (sin 2cos2)αα=-+π)4α=+……………………………………………………………………5分∴()πf T α=的最小正周期.…………………………………………………………6分 （2）由O ，P ，C 三点共线可得(1)(sin )2(2cos sin )ααα-⨯-=⨯-，………………………………………………7分得4tan 3α=，…………………………………………………………………………………8分2222sin cos 2tan 24sin 2sin cos 1tan 25ααααααα===++，…………………………………………10分(sin OA OB +===.…………………………………………………………………12分21.解：(1)设所求直线方程为y＝－2＋b，即2＋y－b＝0，……………………………………1分∵直线与圆C3,=得b=±2分∴所求直线方程为2y x=-±……………………………………………………………………………………4分（2）解法一：假设存在这样的点(,0)B t，当P为圆C与x轴左交点(3,0)-时，|3|2PB tPA+=；当P为圆C与x轴右交点(3,0)时，|3|8PB tPA-=，……………………………………………………………6分由题意|3||3|28t t+-=，解得5t=-（舍去），或95t=-.下面证明点9(,0)5B-对于圆C上任意一点P，都有PBPA为一常数.………………………………8分设(,)P x y，则229y x=-，∴222222222291881()95525(5)10259x y x x xPBPA x y x x x+++++-==+++++-18(517)9252(517)25xx+==+，故35PBPA=为常数.……………………………………………………………………………………………………………………12分解法二：假设存在这样的点(,0)B t，使得PBPA为常数λ，则222PB PAλ=,∴22222()(5)]x t y x y λ-+=++[，将229y x =-代入得22222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-，即2222(5)3490t x t λλ++--=对[3,3]x ∈-恒成立，…………………………………………………8分∴22250,3490,t t λλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩解得3,595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1,5t λ=⎧⎨=-⎩（舍去）， ∴存在点9(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有PBPA为常数35 (12)分22.解：（1）由 OP OM ON =+得，1MP OP ==，所以点P 在以M 为圆心1为半径的圆上，故点P 的轨迹方程为22(3)(4)1x y ++-=.…………………………5分 （2）设1(1,0),((cos ,sin )2A B Q θθ-. 由OQ mOA nOB =+得1(cos ,sin )((1,0)(2m n θθ=+-得1cos 2sin 2m n θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得cos m n θ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以cos 2sin(),(0,2)6m n πθθθθπ+==+∈故当3πθ=时m n +有最大值2. ………………………………………………10分其它方法酌情给分.。

1．A 【解析】依题意有: π5π2π33-+=【点睛】利用终边相同的角的集合，可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．对于选择题，还可以直接加上周期的整数倍来得到结果． 2．B 【解析】比例为71355=，故样本容量为()1352515155++⋅=． 3．C 【解析】依题意有2222cos 0a b b a b b θ⋅-=-=，由于两个向量的模相等，故上式化简得1cos ,602θθ==．4．D 【解析】甲班众数为85，故5x =，乙班中位数为83，故3y =，所以8x y +=． 5．B 【解析】依题意有sin 3cos 0αα--=，即sin 3cos αα=-，故22222222cos sin cos 9cos 4cos2cos sin cos 9cos 5ααααααααα--===-++． 9．B 【解析】圆的圆心为()1,3-，半径2r =，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心到直线的距离为11，解得a =． 10．A 【解析】1sin 2x ≤则π5π0,,π66x ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故概率为π216π3⋅=．11．D 【解析】横坐标缩短为原来一半后函数为π2cos 213y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再向右平移π6后得到()ππ2π2cos 212cos 21633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．将选项逐一代入验证可知D 选项符合题意．【点睛】本题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的对称中心等问题． 横坐标缩短为原来一半这个属于伸缩变化，这里要注意就是缩小为原来的一半， x 的系数变为原来的两倍．左右平移时，要注意x 的系数不为1的情况．余弦函数的对称中心即其零点．12．C 【解析】如图所示，由于20OC CB CA ++=，故O 为AB 中点，也即AB 为圆的直径， 2AB =．由于12CB OC AB ==，所以π,6A AC ∠==πcos 36AC AB AC AB ⋅=⋅⋅=．【点睛】本题主要考查向量运算的平行四边形法则，考查三角形一边中线的向量表示，由于2CB CA OC +=-，所以O 为AB 中点，也即AB 为圆的直径．这个性质要准确的记忆下来并能数量运用．直径所对的圆周角为直角．在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．16．59【解析】AB 的基本事件有()()()()()()()()()0,2,0,0,0,1,1,2,1,0,1,1,2,2,2,0,2,1---，其中使得0AB a ⋅>的有()()()()()()0,2,1,2,1,0,2,2,2,0,2,1---，但()2,2-与a 同向，故排除，所以一共有()()()()()0,2,1,2,1,0,2,0,2,1--等5种，故概率为59． 【点睛】本题主要考查了利用列举法求解古典概型，考查向量的坐标运算，还考查了向量共线，包括同向与反向．在例举基本事件时，要做到不重不漏，本题由于,x y 是点的坐标，有顺序，故基本事件有9种，然后计算0AB a ⋅>，由此可得到符合题意的事件的总数，并求得概率．18．【解析】试题分析：（1）先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程．（2）设出圆D 圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a 的值，从而求得圆D 的方程．试题解析： (1)圆22:68210C x y x y +--+=化为标准方程为()()22344x y -+-=，所以圆C 的圆心为()3,4，半径为2，①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意．②若直线1l 的斜率存在,设直线1l 的方程为()11y k x -=-，即10kx y k --+=．由题意知，圆心()3,4到已知直线1l 的距离等于半径222，解得512k =，所以，直线方程为51270x y -+=，综上，所求1l 的直线方程是1x =和51270x y -+=．(2) 依题意设(),2D a a +，又已知圆C 的圆心为()3,4，半径为2，由两圆外切，可知5CD =，5=，解得1a =-或6a =， ()1,1D ∴-或()6,8D ， ∴所求圆D 的方程为()()22689x y -+-=或()()22119x y ++-=．19．【解析】试题分析：（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（2）由题意可知，分数在[)80,90内的学生有3人，分数在[]90,100内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[]90,100内的情况有7种，即可求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[]90,100内的概率．试题解析：（1）由题意可知，样本容量4225,0.008,0.16102510n y ====⨯⨯0.1000.0080.0120.0160.0400.024x =----=．(2)由题意可知,分数在[)80,90内的学生有3 人,分数在[]90,100 内的学生有2 人,抽取的2 名学生的所有情况有10 种, 其中2 名同学的分数至少有一名得分在[]90,100 内的情况有7 种,∴所抽取的2 名学生中至少有一人得分在[]90,100内的概率为710．试题解析： (1)由12P ⎫⎪⎪⎭可得cos ,sin 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1cos cos cos sin sin 6464642ππππππ⎛⎫+=-=-=⎪⎝⎭1sin sin cos cos sin 6464642ππππππ⎛⎫+=+==⎪⎝⎭∴点Q 的坐标为． (2)由31cos ,sin ,,662OQ x x OP ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭，得 ()31·sin cos cos 62666f x OP OQ x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()21·cos cos cos cos 332f f ππααααααα⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos211sin 24426απαα+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，由11sin 2426πα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，得sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以22,63k k Z ππαπ+=+∈或222,63k k Z ππαπ+=+∈，因为()0,απ∈，所以4πα=或12π．(2)从甲乙二人的成绩中各随机抽一个，设甲抽到的成绩为x ，乙抽到的成绩为y ，则所有的(),x y 有()()()()()81,94,81,76,81,80,81,90,81,85, ()()()()()82,94,82,76,82,80,82,90,82,85, ()()()()()79,94,79,76,79,80,79,90,79,85, ()()()()()96,94,96,76,96,80,96,90,96,85, ()()()()()87,94,87,76,87,80,87,90,87,85,共25 个，其中满足条件2x y -≤ 的有，()()()()()81,80,82,80,79,80,96,94,87,85,共有5 个，所求事件的概率为51255= ． 【点睛】本题主要考查样本的均值和方差．考查了利用列举法求解古典概型的方法和策略．平均数相同的情况下，方差越小表示的就是越稳定．在利用列举法求解古典概型的问题时，列举要做到不重不漏，可以考虑利用属性图等知识辅助列举，然后根据题目所求得到符合题意的方法数，由此求得概率． 22．【解析】试题分析：（1）首先化简()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用函数()f x 图象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π得到周期为π，由此求得ω的值，即求得函数的表达式，由此求和函数的单调区间．（2）利用（1）的结论有()62sin 265f x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即3sin 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由此求得4cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用cos2cos 266x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭展开后可求得cos2x 的值．（3）先根据1cos 2x ≥求得0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．在同一直角坐标系中作出()2sin 4,6y x g x m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭两个函数图象，可知2m =或1m =-．(2)由（1）得()632sin 2,sin 26565f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 753,,2,12662x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 4cos 265x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭431552⎛⎫⎛⎫--⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）()22sin 46y f x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，1cos 2x ≥，且余弦函数在()0,π上是减函数， 0,3x π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，在同一直角坐标系中作出()2sin 4,6y x g x m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭两个函数图象，可知2m =或1m =-．【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和降次公式以及辅助角公式化简三角恒等式，考查了三角函数图像与性质，其中包括三角函数的对称轴及单调区间．第二问求解某个角的三角函数值，利用角的变换可以使得运算减少．第三问利用数形结合的思想方法，利用两个函数图像的交点可求得所要的m 的值．。

高一理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡上；2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. = 240sin A ．21 B ．21- C ．23 D ．23- 2. 为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象A. 向左平移3π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度 3．平面四边形ABCD 中，0AB CD +=，()0AB AD AC -⋅=，则四边形ABCD 是 A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．梯形4．从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．其中是对立事件的是A ．①B ．②④C ．③D ．①③5．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为 A ．40π cm 2B ．80π cm2C ．40 cm 2D ．80 cm 26．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 7．如图所示，程序框图的输出结果是 A. 16 B. 2524 C. 34 D. 11128. 已知圆«Skip Record If...»,在圆«Skip Record If...»中任取一点«Skip Record If...»，则点«Skip Record If...»的横坐标小于«Skip Record If...»的概率为A ．«Skip Record If...»B ．«Skip Record If...»C ．«Skip Record If...»D ．以上都不对 9．函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-上的简图是10. 已知直线ax y =与圆0222:22=+--+y ax y x C 交于两点B A ,，且CAB 为等边三角形，则圆C 的面积为 A ．49πB ．36πC ．π7D ．π611．已知函数()2sin()1f x x π=-，若1234,,,x x x x 是函数()f x 的四个均为正数的零点，则1234x x x x +++的最小值为A ．7B ．6C ．5D ．412．实数,a b 满足22220a b a b +++=，实数,c d 满足2c d +=，则22()()a c b d -+-的小值是A ．2B 2C ．8 D. 2第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13．从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为____________.14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.15．如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，4AB AC =，则()OC OB OA ⋅-=________.16.已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17．（本题满分12分）某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：x2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70（1）求销售额y 的方差； （2）求回归直线方程.(参考数据： ()555221221111145,1350ˆ0,1380,ni i i iii i n i i i i i x y nxyx y x y bx n x =====-====-∑∑∑∑∑.)18．（本题满分12分）已知()()2cos 23sin ,1,cos ,m x x n x y =+=-，且m n ⊥.将y 表示为x 的函数，若记此函数为()f x ，（1）求()f x 的单调递增区间； （2）将()f x 的图象向右平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在[0,]x π∈上的最大值与最小值.19.（本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了«Skip Record If ...»名学生作为样本，得到这«Skip Record If...»名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下： 分组频数 频率[10,15) 20[15,20) 50 n[20,25) mp[25,30) 4合计M N并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在«Skip Record If...»的概率.20．（本题满分12分）已知O 为坐标原点，向量(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)OA OB OC ααα===-，点P 满足AB BP =.（1）记函数()f PB CA α=⋅，求函数()f α的最小正周期； （2）若O ，P ，C 三点共线，求OA OB +的值. 21. （本题满分12分）已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5,0)，直线l ：x －2y ＝0. (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标． 22. （本题满分10分）已知曲线221:4C x y +=，点N 是曲线1C 上的动点.（1）已知定点(3,4)M -，动点P 满足OP OM ON =+，求动点P 的轨迹方程；（2）设点A 为曲线1C 与x 轴的正半轴交点，将A 沿逆时针旋转23π得到点B ，点N 在曲线1C 上运动，若ON mOA nOB =+，求m n +的最大值．高一理科数学试题参考答案一、选择题：DDCCB BDBA D BA二、填空题：13．30 14．－35 15．－12 16. 34-三、解答题： 17.解：（1）计算得245682530406050702505,505555x y ++++++++======……………2分2222221[(3050)(4050)(6050)(5050)(7050)]2005S =-+-+-+-+-=……6分(2),又已知 55211145,1380ii i i i xx y ====∑∑，于是可得：()1221138055506.5145555ˆni i i n i i x y nxybx n x ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，…………………………………9分ˆa=y - ˆb 50 6.5517.5x =-⨯=，…………………………………………11分 因此，所求回归直线方程为： ˆy6.517.5x =+.……………………………12分 18.解：（1）由m n ⊥得22cos 3sin cos 0m n x x x y ⋅=+-=， .………………1分所以22cos 23sin cos 1cos23sin22sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭.……2分由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ……3分即函数2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦….……4分 （2）由题意知()2sin()16g x x π=-+…………………….……………………………7分因为5[0,],[,]666x x ππππ∈∴-∈-，……………………………………………………8分故当62x ππ-=时，()g x 有最大值为3；………………………………………………10分 当66x ππ-=-时，()g x 有最小值为0. ………………………………………………11分故函数()g x 在[0,]x π∈上的最大值为3，最小值为0. ….……………………………12分 19.解：（1）∵200.25M ÷=，∴80M =，∴500.62580N ==，…………………2分 310.250.6250.050.07540p =---==，……………………………………………3分 10.12558n a ===.………………………………………………………………………4分 中位数位于区间[15,20)，设中位数为（15+x ）， 则0.1250.25x =，∴2x =，故学生参加社区服务次数的中位数为17次.……………………………………………6分 （2）由题意知样本服务次数在«Skip Record If...»有20人，样本服务次数在«Skip Record If...»有4人，如果用分层抽样的方法从样本服务次数在«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的人数分别为：«Skip Record If...»和«Skip Record If...».…………… 8分记服务次数在«Skip Record If...»为«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»的为«Skip Record If...».从已抽取的6人任选两人的所有可能为： «Skip Record If...»«Skip Record If...»共15种，……………………………………10分设“2人服务次数都在«Skip Record If...»”为事件«Skip Record If...»，则事件«Skip Record If...»包括«Skip Record If...»«Skip Record If...» 共10种，所有«Skip Record If...». ………………………………………………………………… 12分20.解：（1）(cos sin ,1),(,),AB OP x y αα=--=设则(cos ,)BP x y α=-，…………………………………………………………………1分 2cos sin ,1AB BP x a y α==-=-由得，(2cos sin ,1)OP αα=--故.…………………………………………………………2分(sin cos ,1),(2sin ,1)PB CA ααα=-=-，………………………………………3分∴()(sin cos ,1)(2sin ,1)f αααα=-⋅-22sin 2sin cos 1ααα=--…………………………………………………………4分 (sin 2cos2)αα=-+π2)4α=-+……………………………………………………………………5分∴()πf T α=的最小正周期.…………………………………………………………6分 （2）由O ，P ，C 三点共线可得(1)(sin )2(2cos sin )ααα-⨯-=⨯-，………………………………………………7分得4tan 3α=，…………………………………………………………………………………8分 2222sin cos 2tan 24sin 2sin cos 1tan 25ααααααα===++，…………………………………………10分 2(sin cos )1OA OB αα+=++742sin 25α=+=.…………………………………………………………………12分 21.解：(1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，……………………………………1分 ∵直线与圆C 223,21=+得35b =±2分∴所求直线方程为235y x =-±……………………………………………………………………………………4分（2）解法一：假设存在这样的点(,0)B t ， 当P 为圆C 与x 轴左交点(3,0)-时，|3|2PB t PA +=； 当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，|3|8PB t PA -=，……………………………………………………………6分 由题意|3||3|28t t +-=，解得5t =-（舍去），或95t =-.下面证明点9(,0)5B -对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA为一常数.………………………………8分 设(,)P x y ，则229y x =-，∴222222222291881()95525(5)10259x y x x x PB PA x y x x x +++++-==+++++-18(517)9252(517)25x x +==+， 故35PB PA =为常数.……………………………………………………………………………………………………………………12分 解法二：假设存在这样的点(,0)B t ，使得PBPA为常数λ，则222PB PA λ=, ∴22222()(5)]x t y x y λ-+=++[，将229y x =-代入得22222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-，即2222(5)3490t x t λλ++--=对[3,3]x ∈-恒成立，…………………………………………………8分∴22250,3490,t t λλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩解得3,595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1,5t λ=⎧⎨=-⎩（舍去）， ∴存在点9(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有PBPA为常数35.……………………..12分22.解：（1）由 OP OM ON =+得，1MP OP ==，所以点P 在以M 为圆心1为半径的圆上，故点P 的轨迹方程为22(3)(4)1x y ++-=.…………………………5分 （2）设13(1,0),(),(cos ,sin )2A B Q θθ-. 由OQ mOA nOB =+得13(cos ,sin )((1,0)(,22m n θθ=+-xOy ABN得1cos 23sin m n θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得cos 33m n θ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以cos 3sin 2sin(),(0,2)6m n πθθθθπ+=+=+∈故当3πθ=时m n +有最大值2. ………………………………………………10分其它方法酌情给分.。