3.3几何概型
3.3.1几何概型
1．理解几何概型的定义及特点．(重点)
2．掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(难点)
3．与长度、角度有关的几何概型问题．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1几何概型
阅读教材P135～P136例1以上的部分，完成下列问题．
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝
构成事件A的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()
(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．()
(3)几何概型的基本事件有无数多个．()
【答案】(1)√(2)×(3)√
2．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
()
【解析】A中奖概率为3
8
，B中奖概率为1
4
，C中奖概率为1
3
，D中奖概率
为1
3
，故选A.
【答案】 A
3．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
【解析】∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]
的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝2
3.
【答案】2 3
教材整理2均匀分布
阅读教材P136例1及以下的部分，完成下列问题．
当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是等可能的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀随机数．
X服从[3,40]上的均匀分布，则X的值不能等于()
A．15B．25
C．35 D．45
【解析】由于X∈[3,40]，则3≤X≤40，则X≠45.故选D.
【答案】 D
[小组合作型]
与长度有关的几何概型
某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率.
【精彩点拨】乘客在上一辆车发车后的5 min之内到达车站，等车时间会超过10 min.
【尝试解答】设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．
记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．
∴P(A)＝T1T的长度
T1T2的长度
＝5
15
＝1
3
，
即该乘客等车时间超过10 min的概率是1
3.
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的
区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.
[再练一题]
1．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；
(2)黄灯亮；
(3)不是红灯亮．
【解】在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝红灯亮的时间
全部时间
＝30
30＋40＋5
＝2
5.
(2)P＝黄灯亮的时间
全部时间
＝5
75
＝1
15.
(3)P＝不是红灯亮的时间
全部时间
＝黄灯亮或绿灯亮的时间
全部时间
＝45
75
＝3
5
，
或P＝1－P(红灯亮)＝1－2
5＝3
5.
与面积有关的几何概型
设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
【精彩点拨】
当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后
与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小
等边三角形，
当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．【尝试解答】设A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为43－23＝23，由几何概率公式得：
P(A)＝
3
4(23)
2
3
4(43)
2
＝1
4.
几何概型的特点是基本事件有无限多个，但应用数形结合的方法即可巧妙解决，即要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何量度来求随机事件的概率.
[再练一题]
2．如图3-3-1，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为________．
