人教版高中数学必修3讲义 几何概型

人教版高二数学必修三《几何概型》说课稿一、引入大家好，今天我将给大家讲解人教版高二数学必修三中的《几何概型》这一单元。

本单元主要介绍了几何概型的概念、性质和运用，帮助学生更好地理解几何概型在数学中的重要性和应用价值。

二、教学目标本节课的教学目标主要包括以下几个方面：1.了解几何概型的基本概念和性质；2.掌握几何概型的构造方法和判断几何图形是否相似的准则；3.能够灵活应用所学知识解决实际问题；4.培养学生的观察力、逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

三、教学重难点本节课的教学重点主要集中在以下几个方面：1.掌握几何概型的构造方法；2.理解几何概型的相似性质；3.解决实际问题时能够合理运用几何概型的知识。

教学难点主要在于学生对几何概型的抽象理解、运用知识解决实际问题的能力以及对相似性质的深入理解。

四、教学过程本节课的教学过程主要分为以下几个环节：导入、理论探究、拓展应用和归纳总结。

1. 导入在导入环节中，我将通过提问或举例的方式引导学生回顾前几节课所学的内容，激发他们的兴趣并铺垫本节课的教学。

2. 理论探究在理论探究环节中，我将向学生详细介绍几何概型的概念和性质，重点讲解几何概型的构造方法和判断几何图形是否相似的准则。

我会使用具体的例子来说明这些概念和性质，并通过示意图让学生更直观地理解。

在讲解的过程中，我会引导学生积极参与，通过问题解答、讨论等方式加深对知识点的理解。

3. 拓展应用在拓展应用环节中，我将设计一些实际问题，让学生灵活运用所学的几何概型知识解决问题。

通过实际问题的讨论和解答，帮助学生将抽象的几何概型知识应用到实际生活中，并培养他们的问题解决能力和分析能力。

4. 归纳总结在归纳总结环节中，我将提醒学生对本节课的重点和难点进行总结，并梳理几何概型的核心知识点。

通过让学生自己总结和分享，巩固他们的学习效果。

同时，我也会进行重点知识点的强调和回顾，以加深学生对这些知识点的记忆和理解。

五、教学手段本节课的教学将采用多种教学手段，包括：•多媒体辅助教学：通过投影仪或电子白板展示示意图、实例演示等，帮助学生更直观地理解知识点。

人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习几何概型【学习目标】1.了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算；4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想. 【要点梳理】要点一、几何概型 1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2.几何概型的基本特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度.说明：(1)D 的测度不为0；(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.(3)区域为＂开区域＂；(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.要点诠释：几种常见的几何概型(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度(2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积(3)设空间区域上v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积要点二、均匀随机数的产生 1.随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.2.随机数的产生方法(1)实例法.包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.(2)计算器模拟法.现在大部分计算器的RAND 函数都能产生0～1之间的均匀随机数. (3)计算机软件法.几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数. 要点诠释：1.在区间[a ，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a ，可以产生任意区间[a ，b]上的均匀随机数. 【典型例题】类型一：与长度有关的几何概型问题例1．假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过3分钟的概率 ？【思路点拨】以两班车出发间隔( 0，10 )区间作为样本空间 S ，乘客随机地到达，即在这个长度是10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题.【答案】0.3【解析】 记“等车时间不超过3分钟”为事件a ，要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中a 包含的样本点，P=的长度的长度S a =103= 0.3 .【总结升华】在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0，60]上的均匀分布，X 为[0，60]上的均匀随机数. 举一反三：【变式1】 某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10 min 的概率． 【答案】13【解析】 设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T=5，T 2T=10，如图所示．记“等车时间大于10 min ”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上时，事件A 发生，区域T 1T 2的长度为15，区域T 1T 的长度为5． ∴11251()153T T P A T T ===的长度的长度．即乘客等车时间大于10 min 的概率是13． 0← S →10【变式2】在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率为（ ）． A ．14 B ．12 C ．34 D ．23【答案】C【变式3】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率． 【答案】16【解析】 因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，这符合几何概型的条件，因此，可以通过几何概型的概率公式得到事件发生的概率．于是，设A={等待报时的时间不多于10分钟}．事件A 是打开收音机的时刻位于50～60的时间段内，因此由几何概型求概率的公式得60501()606P A -==． 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为16．类型二：与面积有关的几何概型问题 【几何概型 例4】例2．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率． 【思路点拨】两人不论谁先到最多只等40分钟，设两人到的时间分别为x 、y ，则当且仅当2||3x y -≤时，两人才能见面，所以此问题转化为面积性几何概型问题。

§3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生学习目标 1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.2.会求一些简单的几何概型的概率.3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率.知识点一几何概型的概念思考往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？答案出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的.梳理(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.(2)几何概型的特点①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.②每个基本事件出现的可能性相等.知识点二几何概型的概率公式思考既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？答案可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示.梳理事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成比例，故可用区域的测度代替基本事件数.P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 知识点三均匀随机数1.均匀随机数的定义如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数.2.均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的.(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等.3.均匀随机数的产生(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是RAND.(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand ( )”.(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由计算器或计算机产生.1.在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(√)2.与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.（×）3.随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.（√）类型一几何概型的识别例1下列关于几何概型的说法错误的是()A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B.几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性考点几何概型定义题点几何概型的判断答案 A解析几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个.反思与感悟几何概型特点的理解(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.跟踪训练1判断下列概率模型是古典概型还是几何概型.(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.考点古典、几何概型定义题点古典、几何概型的判断解(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型.(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型.类型二几何概型的计算命题角度1与长度有关的几何概型例2取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率为多少？考点几何概型计算公式题点与长度有关的几何概型解如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A)＝13.反思与感悟在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率. 跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为r (r ＜a )的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率. 考点 几何概型计算公式 题点 与长度有关的几何概型解 记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A ，如图，由图可知：硬币圆心在线段AB 上的任意一点的出现是等可能的.圆心在线段CD (不含点C ，D )上出现时硬币不与平行线相碰，所以P (A )＝线段CD 的长度线段AB 的长度＝2a －2r 2a ＝a －r a .命题角度2 与面积有关的几何概型例3 设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求： (1)x ＋y ≥0的概率； (2)x ＋y ＜1的概率； (3)x 2＋y 2≥1的概率. 考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型解 如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)， S 正方形ABCD ＝4.(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝12.(2)设E (0,1)，F (1,0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝72，所以P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFE S 正方形ABCD ＝724＝78.(3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π，所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙OS 正方形ABCD＝4－π4. 反思与感悟 如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解.跟踪训练3 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率. 考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型解 如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形.图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2). 所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 命题角度3 与体积有关的几何概型例4 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率.考点 几何概型计算公式 题点 与体积有关的几何概型解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率为P ＝78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积.其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32π C.3πD.233π考点 几何概型计算公式 题点 与体积有关的几何概型 答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.类型三 均匀随机数及随机模拟方法例5 在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.考点 均匀随机数的运用 题点 均匀随机数的运用解 随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比， 即圆的面积正方形的面积≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数.设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则圆的面积正方形的面积＝π2×2＝π4，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4.所以就得到了π的近似值.反思与感悟 用随机模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大.用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识. 跟踪训练5 利用随机模拟方法计算由y ＝1和y ＝x 2所围成的图形的面积. 考点 均匀随机数的运用 题点 均匀随机数的运用解 以直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0，y ＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a 1＝RAND ，b ＝RAND ； (2)进行平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如做1 000次试验，即N ＝1 000，模拟得到N 1＝698， 所以P ＝N 1N ＝阴影面积矩形面积＝6981 000，即阴影部分的面积S ＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396.1.在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12 考点 几何概型计算公式 题点 与体积有关的几何概型 答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.2.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43 D.无法计算 考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案 C解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型.设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分.设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56 考点 几何概型计算公式 题点 与长度有关的几何概型 答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件.事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，由几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.4.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 .考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案 π8解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.5.在区间[0,3]内任意取一个数，则此数大于2的概率为 . 答案 13解析 由于区间[0,3]的长度为3，区间(2,3]的长度为1，故所求概率为P ＝13.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型.2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题.3.注意理解几何概型与古典概型的区别.4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).一、选择题1.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( ) A.925 B.1625 C.310 D.15 考点 几何概型计算公式 题点 与长度有关的几何概型 答案 D解析 以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图). ∴所求概率P ＝210＝15.2.如图所示，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A.15B.14C.13D.12考点 几何概型计算公式 题点 与角度有关的几何概型答案 D解析 当MN ＝2R 时，∠NOM ＝90°，若MN 的长度超过2R ，则∠NOM 在90°与180°之间，所以概率为180°360°＝12.3.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.45 考点 几何概型计算公式 题点 与长度有关的几何概型 答案 C解析 设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm(0＜x ＜12)， ∴矩形面积为x (12－x )cm 2，由x (12－x )＜32，解得x ＞8或x ＜4，∴0＜x ＜4或8＜x ＜12.∴所求概率为4＋412＝23，故选C.4.如图，在一个边长分别为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边长分别为a 3，a2，且高为b .现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是( )A.710B.57C.512D.58 考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案 C解析 S 梯形＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋a 2b ＝512ab ，S 矩形＝ab . 所以P ＝S 梯形S 矩形＝512.5.在[0,5]之间随机取一个数作为x 的值，则使1<log 2(x －1)≤2成立的概率是( ) A.15 B.25 C.35 D.45 考点 几何概型计算公式 题点 与长度有关的几何概型 答案 B解析 由1<log 2(x －1)≤2，得2<x －1≤4，即3<x ≤5， 则对应的概率P ＝5－35－0＝25.故选B.6.如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A.1－π4B.π2－1C.2－π2D.π4考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案 A解析 由题意得，无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π2，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P ＝2－π22＝1－π4.7.如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <33AC 的概率为( )A.33B.34C.32 D.14考点 几何概型计算公式 题点 与角度有关的几何概型 答案 D解析 由题意，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，则AC ＝3AD ，即AD ＝33AC ，AB ＝3AC ＝3AD ，所以要使过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <33AC ，只要AM <AD 即可，由DA ＝DC ，得∠ACD ＝∠CAD ＝180°－120°2＝30°，所以AM <33AC 的概率为30°120°＝14.故选D. 8.函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0使f (x 0)＞0的概率为( ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 考点 几何概型计算公式 题点 与长度有关的几何概型 答案 C解析 如图，在[－5,5]上函数的图象和x 轴分别交于两点(－1,0)，(2,0)，只有x 0∈[－5，－1)∪(2,5]时，f (x 0)＞0，由题意，知本题是几何概型问题.记事件A 为“任取一点x 0，使f (x 0)＞0”，事件A 的区域长度是区间[－5，－1)与(2,5]的长度和，全体基本事件的长度是[－5,5]的区间长度.由几何概型的概率计算公式，得P (A )＝4＋310＝0.7.故选C.9.在闭区间[－4,6]上随机取出一个数x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于39的概率为( )A.15B.25C.35D.45考点 概率问题的综合题型 题点 概率与程序框图的综合 答案 A解析 由程序框图知，第一次循环，n ＝1，满足条件n ≤3，x ＝2x ＋1，n ＝2， 第二次循环，n ＝2，满足条件n ≤3，x ＝2(2x ＋1)＋1＝4x ＋3，n ＝3， 第三次循环，n ＝3，满足条件n ≤3，x ＝2(4x ＋3)＋1＝8x ＋7，n ＝4， 此时不满足条件n ≤3，输出8x ＋7， 由8x ＋7≥39得x ≥4，又因为x ∈[－4,6]，所以4≤x ≤6，则输出的x 不小于39的概率P ＝6－46－(－4)＝210＝15.故选A. 二、填空题10.有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为 . 考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案334π解析 设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC ·OD ＝3·CD ·OD＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24，∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π.11.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm ，黄心直径是12.2 cm ，运动员在距离靶面70 m 外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么射中黄心的概率是 .考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案 0.01解析 由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，黄心的面积为14π×(12.2)2 cm 2，所以射中黄心的概率为＝14×π×(12.2)214×π×1222＝0.01.12.在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝ .考点 几何概型的综合应用 题点 几何概型与不等式的综合应用 答案 3解析 当m ≤2时，2m 6＝56无解.当2＜m ≤4时，由m ＋26＝56得m ＝3，综上m ＝3.三、解答题13.两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率. 考点 几何概型的综合应用题点 几何概型与线性规划的综合应用解 设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约定地点(0≤x ，y ≤1)，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤23.(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－⎝⎛⎭⎫13212＝89.四、探究与拓展14.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为( ) A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.8 考点 概率问题的综合题型 题点 几何概型与不等式的综合应用 答案 C解析 画出图形(如图所示)，m ，n 所满足的区域为矩形ABCD ，而m >n 所满足的区域为梯形ABCE ，所以m >n 的概率P ＝S 梯形ABCE S 矩形ABCD＝15－9215＝0.7.故选C.15.某校早8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(用数字作答)考点几何概型的综合应用题点几何概型与线性规划的综合应用答案932解析设小张和小王到校的时间分别为y和x，则⎩⎪⎨⎪⎧30≤x≤50，30≤y≤50，y－x≥5，则满足条件的区域如图中阴影部分所示.故所求概率P＝12×15×1520×20＝932.。

3.3.1 几何概型备课资料几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.1.与长度有关的几何概型例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于3米为事件A,则P(A)=52103310=--. 2.与面积有关的几何概型这里有一道十分有趣的题目：例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的43,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？分析：这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.解：不妨设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个41×41的小正方形内（如上图）,这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的83.整个方几的面积为1×1=1,而中央小正方形的面积为41×41=161,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为1611161=. 例3 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？解：设甲到的时间为（9+x ）小时,乙到的时间为（9+y ）小时,则0≤x≤1,0≤y≤1.点（x,y ）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形,以（0,0）,（1,0）,（0,1）,（1,1）为顶点（如右图）.由于两人都只能停留5分钟即121小时,所以在|x-y|≤121时,两人才能会面.由于|x-y|≤121是两条平行直线x-y=121与y-x=121之间的带状区域,正方形在这两个带状区域是两个三角形,其面积之和为(1-121)×(1-121)=(1211)2. 从而带形区域在这个正方形内的面积为1-(1211)2=14423,因此所求的概率为14423114423=. 3.与体积有关的几何概型例4 在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的,取得的1升水可以看作构成事件的区域,5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可能用体积比公式计算其概率.解：“取出1升水,其中含有病毒”这一事件记作事件A,则P(A)=51=所有水的体积取出的水的体积=0.2. 从而所求的概率为0.2.现在我们将这个问题拓展一下：例5 在5升水中有两个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？分析：此题目与上一题有一点区别,即现在在5升水中含有两个病毒,我们不妨将这两个病毒分别记作病毒甲和病毒乙.随机地取1升水,由上题我们可知含有病毒甲的概率为51,含有病毒乙的概率也是51,而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况,所以应当将这种情况去掉. 解：记“取1升水,含有病毒甲”为事件A ；“取1升水,含有病毒乙”为事件B,则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件AB.从而所求的概率为P=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=25951515151=⨯-+=0.36. 4.与角度有关的几何概型例6 在圆心角为90°的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.解：设事件A 是“作射线OC,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”.则μa =90°-30°-30°=30°,而μΩ=90°,由几何概型的计算公式得P （A ）=319030=︒︒=ΩμμA .注意：在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.。