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测试卷一.选择题: (每小题5分,共60分)1. 某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是（）A.1000名学生是总体B.每个学生是个体C.100名学生的成绩是一个个体D.样本的容量是1002. 将两个数a=8,b=17下面语句正确一组是(A. B.3. 给出以下四个问题,①输入一个数x,输出它的相反数.②求面积为6的正方形的周长.③求三个数a,b,c中的最大数.④求函数.1.2{)(≥-<+= xx xxxf的函数值. 其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )(A)81.2, 4.4 (B)78.8, 4.4 (C)81.2, 84.4 (D)78.8, 75.65.关于频率分布直方图的下列有关说法正确的是( )(A)直方图的高表示取某数的频率(B)直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率(C)直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值(D)直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值6. 将389 化成四进位制数的末位是( )A. 1B. 2C. 3D. 07. 下列各数中最小的数是( )A.)9(85 B.)6(210 C.)4(1000 D.)2(1111118. 用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=xxxxxxxf当4.0=x时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( )A. 6 ， 6B. 5 , 6C. 5 , 5D. 6 , 59. 某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一，高二，高三各年级抽取的人数分别为（）A.45,75,15B.45,45,45C.30,90,15D.45,60,3010. 甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为和，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是（）A.甲B.乙C.甲、乙相同D.不能确定11. 从2 006名学生中选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2 006名学生中剔除6名，再从2 000名学生中随机抽取50名.则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别是( )(A) 311 00340， (B) 311 00040，(C) 3251 0031003， (D) 3251 0001 003，12. 上右程序运行后输出的结果为 ( ) A. 3 4 5 6 B. 4 5 6 7 C. 5 6 7 8 D. 6 7 8 9 二. 填空题.(每小题4分,共16分) 13.. (1)将二进制数(2)101101化为十进制数为______________(2)将十进制1375转化为六进制数为_____________（6） (3)212(8)= (2)14. 在一次实验中，测得(x, y)的四组值分别是 A(1，2)，B(2，3)，C(3，4)，D(4，5).则y 与x 之间的回归直线方程为______________________________15. 下左程序运行后输出的结果为_________________________.16问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有 500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个 容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会.方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法 能配对的是① ② 。
章末综合检测（三） 成对数据的统计分析A 卷——基本知能盘查卷一、单项选择题1．可用来分析身高与体重有关系的是( ) A ．残差分析 B ．线性回归模型 C ．等高堆积条形图D ．独立检验解析：选B 因为身高与体重是两个具有相关关系的变量，所以要用线性回归模型来解决．2．两个变量y 与x 的经验回归模型中，分别选择了四个不同模型来拟合y 与x 之间的关系，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1 C ．模型3D ．模型4解析：选A 两个变量y 与x 的经验回归模型中，它们的相关指数R 2越接近于1，这个模型的拟合效果越好，所给出的四个选项中0.98是相关指数最大的值，所以拟合效果最好的模型是模型1.3．已知一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )满足y i ＝a ＋bx i ＋e i (i ＝1,2，…，n )，若e i 恒为0，则R 2＝( )A ．0B ．0.5C ．0.9D ．1选D4．如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据为( ) A ．χ2＞3.841 B ．χ2＜3.841 C ．χ2＞6.635D ．χ2＜6.635解析：选A 由独立性判断的方法可知，如果有95%的把握，即小概率值α＝0.05，则χ2＞3.841.5．观察两个变量(存在线性相关关系)得如下数据：A.y ^＝12x ＋1B.y ^＝xC.y ^＝2x ＋13D.y ^＝x ＋1解析：选 B 根据表中数据得x －＝18×(－10－6.99－5.01－2.98＋3.98＋5＋7.99＋8.01)＝0，y －＝18×(－9－7－5－3＋4.01＋4.99＋7＋8)＝0，所以两变量x ，y 的经验回归方程过样本点的中心(0,0)，可以排除A 、C 、D 选项，故选B.6．2020年初，新型冠状病毒(COVID 19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：周数(x ) 1 2 3 4 5 治愈人数(y )2173693142由表格可得y 关于x 的二次回归方程为y ^＝6x 2＋a ，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为( )A ．5B ．4C ．1D ．0解析：选A 设t ＝x 2，则t －＝15(1＋4＋9＋16＋25)＝11，y －＝15(2＋17＋36＋93＋142)＝58，a ＝58－6×11＝－8，所以y ^＝6x 2－8.令x ＝4，得e 4＝y 4－y ^4＝93－6×42＋8＝5.7．通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：喜爱程度 性别合计 男(Y ＝0) 女(Y ＝1) 爱好(X ＝0) 10 40 50 不爱好(X ＝1)20 30 50 合计3070100参考数据及公式：P (χ2≥x α)0.10 0.05 0.01 x α2.7063.8416.635其中χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋d .则下列结论正确的是( )A ．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为爱吃零食与性别有关B ．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为爱吃零食与性别无关C ．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为爱吃零食与性别有关D ．根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为爱吃零食与性别无关 解析：选A 零假设为H 0：是否爱吃零食与性别相互独立，即是否爱吃零食与性别无关．根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝100×10×30－40×20250×50×30×70≈4.762>3.841＝x 0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H 0不成立，即认为是否爱吃零食与性别有关．同理可得，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为爱吃零食与性别无关；根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为爱吃零食与性别有关．8．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%解析：选A 将y ^＝7.675代入回归方程，可计算得x ≈9.262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.262≈0.83，即约为83%.二、多项选择题9．下列说法正确的是( )A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在线性经验回归模型中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强C ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在经验回归模型中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好解析：选ACD 由于线性相关系数|r |≤1，且当|r |越大，线性相关性越强，故r <0时，选项B 不正确，A 、C 、D 均正确．10．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，则下列结论正确的是( )A ．y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423 B ．y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648 C ．y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493 D ．y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578解析：选BC 正相关指的是y 随x 的增大而增大，负相关指的是y 随x 的增大而减小，故正确的为B 、C.11．以下关于线性经验回归的判断中，正确的选项为( )A ．若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为经验回归直线B ．散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点C ．已知线性经验回归方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69 D ．线性经验回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势解析：选BCD 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^，b ^得到的直线y ^＝b ^x ＋a ^才是回归直线，所以A 错误；B 正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，得y ^＝11.69，所以C 正确；D 正确．12．有两个分类变量X 与Y ，其2×2列联表如下表所示：X Y 合计 Y ＝0 Y ＝1X ＝0 a20－a 20 X ＝115－a 30＋a 45 合计155065其中a,15－a 均为大于5的整数，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为X 与Y 之间有关，则a 等于( )A ．7B ．8C ．9D ．6解析：选BC 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为X 与Y 之间有关，需要χ2的值大于或等于3.841，由χ2＝65×[a 30＋a －20－a15－a ]220×45×15×50＝1313a －6025 400≥3.841，解得a ≥7.69或a ≤1.54.而a >5且15－a >5，a ∈Z ， 所以a ＝8或a ＝9. 三、填空题13．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：吸烟量年龄合计不超过40岁 (Y ＝0)超过40岁 (Y ＝1) 不多于20支/天(X ＝0) 50 1565多于20支/天 (X ＝1) 10 25 35 合计6040100则χ2＝________(保留到小数点后两位有效数字)． 解析：由列联表知χ2＝100×10×15－50×25260×40×65×35≈22.16.答案：22.1614．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生情况，具体数据如下表：性别专业非统计专业 (Y ＝0)统计专业 (Y ＝1) 男(X ＝0) 13 10 女(X ＝1)720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844>3.841，所以能根据小概率值α＝________，我们断定主修统计专业与性别有关系．解析：因为P (χ2≥3.841)＝0.05，所以小概率值α＝0.05. 答案：0.0515．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性经验回归方程y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为________．x3 4 5 6y2.5 m 4 4.5解析：根据所给的表格可以求出x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋m ＋4＋4.54＝11＋m 4，因为这组数据的样本点的中心在线性经验回归直线上， 所以11＋m4＝0.7×4.5＋0.35，所以m ＝3.答案：3 四、解答题16．(12分)为做好2022年北京冬季奥运会的宣传工作，组委会计划从某大学选取若干名大学生志愿者，某记者在该大学随机调查了1 000名大学生，以了解他们是否愿意做志愿者工作，得到的数据如表所示：性别 是否愿意做志愿者 合计 愿意(Y ＝0)不愿意(Y ＝1)男(X ＝0)610 女(X ＝1)90 合计800(1)根据题意完成表格．(2)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析愿意做志愿者工作与性别是否有关？ 参考公式及数据：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (χ2≥x α)0.10 0.05 0.01 x α2.7063.8416.635解：(1)性别 是否愿意做志愿者 合计 愿意(Y ＝0)不愿意(Y ＝1)男(X ＝0) 500 110 610 女(X ＝1) 300 90 390 合计8002001 000(2)零假设为H 0：愿意做志愿者工作与性别是相互独立，即愿意做志愿者工作与性别是无关的．根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝1 000×500×90－110×3002610×390×800×200＝3 000793≈3.783<3.841＝x 0.05， 所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H 0不成立，即愿意做志愿者工作与性别是无关的．17．(12分)自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视．某机构为了调查A 城市和B 城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：城市高中家长是否关注合计关注(Y ＝0)不关注(Y ＝1)A 城高中家长(X ＝0)2050B 城高中家长(X ＝1) 20 合计100(1)完成上面的列联表；(2)根据上面列联表的数据，能否根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断家长对自主招生关注与否与所处城市有关系；(3)为了进一步研究家长对自主招生的看法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层随机抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好A ，B 两城市各一人的概率．参考公式：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )．附表：P (χ2≥x α)0.10 0.05 0.010 x α2.7063.8416.635解：(1)列联表如下： 城市高中家长是否关注合计关注(Y ＝0) 不关注(Y ＝1)A 城高中家长(X ＝0)203050B 城高中家长(X ＝1) 30 20 50 合计 5050100(2)零假设为H 0：家长对自主招生关注与否与所处城市相互独立，即家长对自主招生关注与否与所处城市无关．根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝100×20×20－30×30250×50×50×50＝4>3.841.所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为家长对自主招生的关注与否与所处城市是有关的．(3)关注的人共有50人，按照分层随机抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人，从5人中抽取2人有C 25＝10种不同的方法，A ，B 两城市各取一人有C 12C 13＝2×3＝6种不同的方法，故所抽取的2人恰好A ，B 两城市各一人的概率为C 13C 12C 25＝610＝0.6.B 卷——高考能力达标卷一、单项选择题1．下列属于相关关系的是( ) A ．利息与利率 B ．居民收入与储蓄存款 C ．电视机产量与苹果产量 D ．某种商品的销售额与销售价格解析：选B A 与D 是函数关系，C 中两变量没有关系，B 中居民收入与储蓄存款是相关的，但不具有函数关系．2．已知一个经验回归方程为y ^＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y －＝( )A ．58.5B ．46.5C ．60D ．75解析：选A x －＝1＋7＋5＋13＋195＝9，因为经验回归直线必过样本点的中心(x －，y －)， 所以y －＝1.5×9＋45＝13.5＋45＝58.5.3．已知每一吨铸铁成本y (元)与铸件废品率x %建立的经验回归方程y ^＝56＋8x ，则下列说法正确的是( )A ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元B ．废品率每增加1%，成本每吨增加8%C ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元D ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元解析：选C 根据经验回归方程知y 是关于x 的单调增函数，并且由系数知x 每增加一个单位，y 平均增加8个单位．4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其经验回归方程可能是( ) A ．y ＝－10x ＋200 B ．y ＝10x ＋200 C ．y ＝－10x －200D ．y ＝10x －200解析：选A 由于销售量y 与销售价格x 成负相关，故排除B 、D.又当x ＝10时，A 中y ＝100，而C 中y ＝－300，C 不符合题意．5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的经验回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列说法错误的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．经验回归直线过样本点的中心C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 选项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重约为0.85×170－85.71＝58.79(kg)．故D 选项错误．6.如图所示的是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出( )A ．性别与喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的比例约为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大些D ．男生中不喜欢理科的比例约为60%解析：选C 由题图可知女生中喜欢理科的比例约为20%，男生中喜欢理科的比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．7．如图，5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是( )A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C ．相关指数R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强解析：选B 由散点图知，去掉D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以r 变大，R 2变大，残差平方和变小．8．为考察数学成绩与物理成绩的关系，某老师在高二随机抽取了300名学生，得到下面的列联表：物理成绩数学成绩合计85～100分 (Y ＝0)85分以下 (Y ＝1) 85～100分(X ＝0) 37 85 122 85分以下(X ＝1)35 143 178 合计72228300 根据表中数据，分析数学成绩与物理成绩有关联的出错率不超过( ) A ．0.5% B ．1% C ．0.1%D ．5%解析：选D 由表中数据代入公式得 χ2＝300×37×143－85×352122×178×72×228≈4.514>3.841＝x 0.05，所以判断的出错率不超过5%. 二、多项选择题9．给出下列实际问题，其中用独立性检验可以解决的问题有( ) A ．一种药物对某种病的治愈率 B ．两种药物治疗同一种病是否有区别 C ．吸烟得肺病的概率 D ．吸烟与性别是否有关系答案：BD10．对于经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，下列说法正确的是( ) A ．直线必经过点(x －，y －)B ．x 增加1个单位时，y 平均增加b ^个单位 C ．样本数据中x ＝0时，可能有y ＝a ^D ．样本数据中x ＝0时，一定有y ＝a ^解析：选ABC 经验回归方程是根据样本数据得到的一个近似曲线，故由它得到的值也是一个近似值．11．下列说法中正确的有( ) A ．若r >0，则x 增大时，y 也相应增大 B ．若r <0，则x 增大时，y 也相应增大C ．若r ＝1或r ＝－1，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上D ．|r |越接近1，相关关系越强解析：选ACD 若r >0，表示两个相关变量正相关，x 增大时，y 也相应增大，故A 正确．r <0，表示两个变量负相关，x 增大时，y 相应减小，故B 错误．|r |越接近1，表示两个变量相关性越高，|r |＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故C 正确，D 正确．12．根据如下样本数据：得到的经验回归方程为y ＝b x ＋a ，则( ) A.a ^>0 B.a ^<0 C.b ^>0D.b ^<0解析：选AD 根据题意，画出散点图(图略)．根据散点图，知两个变量为负相关，且经验回归直线与y 轴的交点在y 轴正半轴，所以a ^>0，b ^<0.三、填空题13．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两名同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．解析：令两人的总成绩分别为x 1，x 2.则对应的数学成绩估计为y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20. 答案：2014．为了判断高三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取70名学生，得到如图所示2×2列联表：已知P (≈4.667，则在犯错误的概率不大于________的前提下认为选修文科与性别有关．解析：由题意知， χ2≈4.667，因为6.635>4.667>3.841，所以在犯错误的概率不大于0.05的前提下认为选修文科与性别有关．答案：0.0515．已知x ，y 之间的一组数据如下表，对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为l 1：y ＝13x ＋1与l 2：y ＝12x ＋12，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是______________.解析：用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 的实际值与y 的估计值的差的平方和为：S 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－432＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫4－1032＋⎝⎛⎭⎪⎫5－1132＝73.用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 的实际值与y 的估计值的差的平方和为：S 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫3－722＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫5－922＝12. 因为S 2<S 1，故用直线l 2：y ＝12x ＋12拟合程度更好．答案：y ＝12x ＋12四、解答题16．(12分)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上．若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，则使用微信的人中75%是青年人．如果规定每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中，中年人有40人．(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，请完成下面的2×2列联表；使用微信 年龄合计青年人(Y ＝0)中年人(Y ＝1)经常使用微信 (X ＝0)不经常使用微信(X ＝1) 合 计(2)根据列联表中的数据，依据小概率值α＝0.001的独立性检验分析该公司经常使用微信的员工与年龄的关系．解：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人)． 经常使用微信的有180－60＝120(人)， 使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)， 故2×2列联表如下：使用微信 年龄合计青年人(Y ＝0)中年人(Y ＝1)经常使用微信 (X ＝0) 8040120不经常使用微信(X ＝1) 55 5 60 合 计 13545180(2)零假设为H 0：该公司经常使用微信的员工与年龄相互独立，即该公司经常使用微信的员工与年龄无关．将列联表中的数据代入公式可得， χ2＝180×80×5－40×552135×45×120×60≈13.333>10.828＝x 0.001，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为该公司经常使用微信的员工与年龄有关．17．(12分)淘宝网卖家在某商品的所有买家中，随机选择男女买家各50位进行调查，他们的评分等级如下：评分等级 [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] 女/人 2 7 9 20 12 男/人 3918128(1)从评分等级为(4,5]的人中随机选取2人，求恰有1人是男性的概率；(2)规定：评分等级在[0,3]为不满意该商品，在(3,5]为满意该商品．完成下面列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析性别与对商品满意度是否有关.性别评分等级合计满意该商品 (Y ＝0)不满意该商品(Y ＝1)女(X ＝0) 男(X ＝1) 合计解：(1)因为从评分等级(4,5]的20人中随机选取2人，共有C 220＝190种选法，其中恰有1人为男性的共有C 112C 18＝96种选法，所以所求概率P ＝96190＝4895.(2)列联表如下：性别评分等级合计满意该商品 (Y ＝0)不满意该商品(Y ＝1) 女(X ＝0) 32 18 50 男(X ＝1) 20 30 50 合计5248100 零假设为H 0：性别与对商品满意度相互独立，即性别与对商品满意度无关．由公式得χ2＝100×32×30－20×18250×50×52×48≈5.769>3.841＝x 0.05，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 0不成立，即可以认为性别与对商品满意度有关．。
章末综合测评(三) 圆锥曲线的方程(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A ．12B ．32C ．1D ．3B [抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，到双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－0|32＋－12＝32，故选B ．]2．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，点P 为椭圆C 上一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，那么椭圆C 的短轴长是( )A ．6B ．7C ．8D ．9C [设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意得，2a ＝10，∴a ＝5，又c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16，即b ＝4，因此椭圆的短轴长是2b ＝8，故选C ．]3．在平面直角坐标系Oxy 中，动点P 关于x 轴对称的点为Q ，且OP →·OQ →＝2，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2－y 2＝2C ．x ＋y 2＝2D ．x －y 2＝2B [设P (x ，y )，Q (x ，－y )，则OP →·OQ →＝(x ，y )·(x ，－y )＝x 2－y 2＝2，故选B ．]4．椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的长轴长为4，则C 的离心率为( )A ．12B ．22C ．32D ．2B [由椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的长轴长为4，可知焦点在x 轴上即2a ＝4，a ＝2.∴椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1，a ＝2，b ＝2，c ＝4－2＝2，椭圆的离心率为e ＝c a＝22，故答案为B ．]5．“m >3”是“曲线mx 2－(m －2)y 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A [当m >3时，m －2>0，mx 2－(m －2)y 2＝1⇒x 21m －y 21m －2＝1，则原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m (m －2)>0⇒m >2或m “m >3”是“曲线mx 2－(m －2)y 2＝1为双曲线”的充分不必要条件．故选A ．]6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过点F 且斜率为3的直线l 1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．43D ．8C [∵y 2＝4x ，∴焦点F (1,0)，准线l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x－1)，将其与y 2＝4x联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3,23)，∴|AK |＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝43.故选C ．]7．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点相同，C 1与C 2交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为( )A ．2B ．3 C ．2D ．2＋1D [由图形的对称性及题设条件得AF ⊥x 轴，且c ＝p2，则p ＝2c .不妨设交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，y 1，代入y 2＝2px 可得y 1＝p ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，代入双曲线方程可得p 24a 2－p 2b 2＝1，即e 2－1＝4c 2b 2，即e 2－1＝4c 2c 2－a 2，由此可得(e 2－1)2＝4e 2，即e 2－1＝2e ，所以e ＝2＋1(负值舍去)．故选D ．]8．直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．3－12C ．3－1D ．4－23C [直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)联立方程得(3a 2＋b 2)x 2＝a 2b 2，设A (x 0，y 0)，∴B (－x 0，－y 0)，右焦点F (c ,0)，由FA →·FB →＝0代入坐标得c 2＝4a 2b 23a 2＋b2，整理得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e ＝3－1故选C ．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9．若方程x 25－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是( )A ．若1<t <5，则C 为椭圆B ．若t <1，则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <5BD [若方程x 25－t ＋y2t －1＝1表示椭圆，则满足⎩⎪⎨⎪⎧5－t >0，t －1>0，5－t ≠t －1，解得1<t <3或3<t <5.对于A ，当t ＝3时，此时方程为x 2＋y 2＝2表示圆，所以A 不正确；对于B ，当t <1时，5－t >0，t －1<0，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以B 正确； 对于C ，当t ＝0时，方程x 25－y 21＝1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为26，所以C 不正确；若方程x 25－t ＋y2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则满足⎩⎪⎨⎪⎧5－t >0，t －1>0，5－t <t －1，解得3<t <5，所以D 正确．故选BD ．]10．已知椭圆C 1：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1→·MF 2→＝0，双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点．若∠F 1PF 2＝π3，则下列各项正确的是( )A ．e 2e 1＝2B ．e 1e 2＝32C ．e 21＋e 22＝52D ．e 22－e 21＝1 BD [因为MF 1→·MF 2→＝0且|MF 1→|＝|MF 2→|，所以△MF 1F 2为等腰直角三角形． 设椭圆的半焦距为c ，则c ＝b ＝22a ，所以e 1＝22.在焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝π3，设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，双曲线C 2的实半轴长为a ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－xy ＝4c 2，x ＋y ＝22c ，|x －y |＝2a ′，故xy ＝43c 2，故(x －y )2＝x 2＋y 2－xy －xy ＝8c 23，所以(a ′)2＝2c 23，即e 2＝62，故e 2e 1＝3，e 1e 2＝32，e 21＋e 22＝2，e 22－e 21＝1，故选BD ．] 11．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则( )A ．双曲线的离心率为3B ．双曲线的渐近线方程为y ＝±2xC ．∠PAF 2＝45°D ．直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点ABD [依题意得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 又∵|F 1F 2|＝2c ，且a <c ， ∴在△PF 1F 2中，PF 2是最小的边， ∴∠PF 1F 2＝30°，∴4a 2＝4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×32，整理得c 2－23ac ＋3a 2＝0，即(c －3a )2＝0，∴c ＝3a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝23a ，b ＝c 2－a 2＝2a .∴双曲线的离心率e ＝ca ＝3a a＝3，A 正确．双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2aax ＝±2x ，B 正确．根据前面的分析可知，△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1＝90°， 若∠PAF 2＝45°，则|PF 2|＝|AF 2|. 又知|PF 2|＝2a ， |AF 2|＝a ＋c ＝a ＋3a ＝(1＋3)a ≠|PF 2|，∴∠PAF 2≠45°，C 不正确．直线x ＋2y －2＝0，即y ＝－12x ＋1，其斜率为－12，－12∈[－2，2]，∴直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点，D 正确．故选ABD ．] 12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ．若|AF |＝8，则以下结论正确的是( )A ．p ＝4B ．DF →＝FA →C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝4ABC [如图，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的斜率为3，则直线方程为y＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得12x 2－20px ＋3p 2＝0.解得x A ＝32p ，x B ＝16p ，由|AF |＝32p ＋p2＝2p ＝8，得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x . x B ＝16p ＝23，则|BF |＝23＋2＝83；|BD |＝|BF |cos 60°， 所以|BD |＝2|BF |， |BD |＋|BF |＝83＋163＝8，则F 为AD 的中点，DF →＝FA →. 所以运算正确的是ABC ．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 22－y 22＝1的渐近线的距离为________．2[由抛物线y 2＝8x 可得其焦点为(2,0)，又双曲线x 22－y 22＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴所求距离为d ＝22＝ 2.]14．过直线y ＝2与抛物线x 2＝8y 的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．x 2＋(y －2)2＝16[由题意知，抛物线x 2＝8y 的焦点(0,2)即为圆心，圆的半径为4，则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.]15．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是________．855[如图，设右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，因为△FMN 的周长|MF |＋|NF |＋|MN |＝2a －|MF ′|＋2a －|NF ′|＋|MN |＝4a ＋|MN |－|MF ′|－|NF ′|，且|MN |≤|MF ′|＋|NF ′|，当M ，N ，F ′三点共线，即m ＝1时，等号成立，所以当△FMN 的周长最大时，|MN |＝2b 2a＝855，所以△FMN 的面积S ＝12×855×2＝855.]16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2N 的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．(第一空2分，第二空3分)3－1 2[如图，六边形ABF 1CDF 2为正六边形，直线OA 、OB 是双曲线的渐近线，则△AOF 2是正三角形，∴直线OA 的倾斜角为π3，∴其斜率k ＝|n ||m |＝3，∴双曲线的离心率e 1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝1＋3＝2；连接F 1A ，∵正六边形的边长为c ，∴|F 1A |＝3c .由椭圆的定义得|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，即c ＋3c ＝2a ，∴椭圆的离心率e 2＝c a ＝21＋3＝3－1.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程．[解] 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b .所以y ＝±25b ，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程． [解] 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32.∴p ＝2，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．[解] (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6，∴b ＝8.20.(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．[证明] (1)依题意可设AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ， BD 的方程为x ＝x 2，则交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 1x 2x 1. 又x 1x 2＝－8，x 21＝4y 1，则有y 1x 2x 1＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2，即D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)依题意，切线l 的斜率存在且不等于0.设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(－4a )2＋16b ＝0，化简整理，得b ＝－a 2，故切线的方程为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2，得N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.21．(本小题满分12分)设M (x ，y )与定点F (1,0)的距离和它到直线l 1：x ＝3的距离的比是常数33.记点M 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过定点F 的直线l 2交曲线C 于A ，B 两点，以O 、A 、B 三点(O 为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB ，若点P 刚好在曲线C 上，求直线l 2的方程．[解] (1)由题意得，x －12＋y 2|x －3|＝33，则3[(x －1)2＋y 2]＝(x －3)2，即2x 2＋3y 2＝6，∴x 23＋y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 23＋y 22＝1. (2)设直线l 2的方程为x ＝my ＋1，P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，2x 2＋3y 2＝6，消去x ， 得(2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0.则y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝－4m 22m 2＋3＋2＝62m 2＋3， ∴x 0＝x 1＋x 2＝62m 2＋3，y 0＝y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3. ∵P (x 0，y 0)在椭圆x 23＋y 22＝1上， ∴122m 2＋32＋8m 22m 2＋32＝1，即2m 2＋3＝4，解得m ＝±22.∴直线l 2的方程为x ＝22y ＋1或x ＝－22y ＋1，即2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0. 22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆C 上， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋22＝22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)假设这样的直线存在，设直线l 的方程为y ＝2x ＋t ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t x 2＋2y 2＝2，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， ∴y 1＋y 2＝2t 9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，故y 0＝y 1＋y 22＝t 9且－3＜t ＜3， 由PM →＝NQ →，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点，∴y 0＝53＋y 42＝t 9，得y 4＝2t －159，又－3＜t ＜3，可得－73＜y 4＜－1， ∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l .。
高二数学 第三章第3节几何概型 理 知识精讲人教新课标A 版必修3一、学习目标：（1）了解几何概型的概念及基本特点 （2）熟练掌握几何概型中概率的计算公式 （3）会进行简单的几何概率计算（4）能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想二、重点、难点：重点：掌握几何概型中概率的计算公式；并能进行简单的几何概率计算。
难点：将实际问题转化为几何概型，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题。
三、考点分析：本部分内容是新增的内容，对几何概型的要求仅限于体会几何概型的意义，所以在练习时，侧重于一些简单的试题即可。
（1）区别古典概型与几何概型（2）理解随机模拟求几何概型的概率1、几何概型的概念： 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的可以几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则可以理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。
这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型。
2、几何概型的基本特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。
3、几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度。
说明：（1）D 的测度不为0；（2）其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“测度”分别是长度，面积和体积。
（3）区域为“开区域”；（4）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。
4、模拟计算几何概型的步骤： （1）构造图形（作图）；（2）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率m n； （3）利用()m d P A n D ≈=的测度的测度算出相应的量。
模块综合测评（一）(时间：100分钟，满分：100分)一、选择题（每小题4分，共48分）1.某学校有小学生126人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用_________方法较为恰当（ ） A.简单随机抽样 B.系统抽样C.分层抽样D.先从小学生中剔除1人，然后分层抽样 答案：D2.下列说法中，不正确的是（ ）A.简单随机抽样是从个数较少的总体中抽取个体B.系统抽样是从个体较多的总体中将总体均分，再按事先确定的规则在各部分抽取个体C.系统抽样是将差异明显的总体分成几部分再从各部分抽取个体D.分层抽样是将由差异明显的几部分组成的总体分成几层，分层进行抽取个体 答案：C3.输出两个变量a 、b 的值的语句中不正确的是（ ）A.print(%io(2),a,b)B.print(%io(2),“a,b”)C.print(%io(2),“a,b”,a,b)D.print(%io(2),“a,b=”,a,b) 答案：B4.如果两组数x 1,x 2,…,x n 和y 1,y 2,…,y n 的平均数分别为x 和y ，标准差分别为s 1和s 2，那么合为一组数x 1,x 2,…,x n ,y 1,y 2,…,y n 后的平均数和标准差分别是（ ）A.2,2221s s y x ++B.2,2221s s y x ++C.2,22221s s y x ++D.2,22221s s y x ++ 答案：D5.把红、黑、白、蓝四张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁四个人,每人得一张,事件“甲分得白牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）A.对立事件B.不可能事件C.互斥但非对立事件D.以上都不对 答案：D6.某学校共有初中生900人，其中初一学生300人，初二学生200人，初三学生400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为45的样本，那么初一、初二、初三各年级抽取的人数分别为（ ）A.15，5，25B.15，15，15C.10，5，30D.15，10，20 答案：D7.关于频率分布直方图中的有关数据，下列说法正确的是（ ） A.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 B.直方图的高表示取某数的频率C.直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值D.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值 答案：D8.在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80—89分的概率是0.51，在70—79分的概率是0.15，在60—69分的概率是0.09，则小明不及格（60分以下）的概率是（ ）A.0.93B.0.69C.0.31D.0.07 答案：D9.从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出一个红球的概率是21，从两个袋中各摸出一球，则32等于（ ） A.两球都不是红球的概率 B.两球都是红球的概率C.至少有一个红球的概率D.两球中恰好有一个红球的概率 答案：C10.（2007山东济宁模拟）阅读如图所示的程序框图：输出的结果为（ ）A.20B.3C.5D.15 ∵a 的初值为5.每循环一次a 的值减1.故循环2次. ∴s=20. 答案：A11.在数轴上的区间［0，3］上任取一点，则此点落在区间［2，3］上的概率是（ ）A.31 B.21 C.32 D.43 解析：由两区间长度之比得31，∴选A.答案：A12.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，则甲被选上的概率为（ ） A.31 B.32 C.43 D.61 答案：B二、填空题（每小题4分，共16分）13.某校高中部有学生1 600人，其中高一520人，高二500人，高三580人，如果想抽出80人调查学生情况，考虑到不同年级学生的情况有明显差异，而同一年级学生间差异较小则应采用___________方法抽样，高一学生应抽查___________人. 答案：分层 2614.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台报时（电台整点报时），则他等待的时间不多于6分钟的概率是___________. 答案：101 15.把50个数据分成6个组，有一个组有15个数据，那么该组的频数是___________，频率是___________. 答案：15 0.316.（2007山东潍坊期中）下图所示的程序框图的输出结果是____________.当i=1,n=2时,S=2,n=4, 当i=2时,S=6,n=6. 当i=3时,S=12,n=8 当i=4＞3时,输出12. 答案：12三、解答题（共36分）17.（8分）某工厂在职人员100人，其中干部10人，科室人员20人，工人70人，为了解工厂改革的意见，从中抽取一个容量为20的样本，试确定如何抽样，并写出具体实施过程. 解析：因为工厂改革关系到不同层次的人的不同利益，故采用分层抽样，各层可采取简单随机抽样. ∵20100=5，∴510=2，570=14，520=4. ∴从干部中抽取2人，科室人员抽取4人，从工人中抽取14人.因干部与科室人员的人数较少，把他们分别按1—10与1—20编号，然后采用抽签法分别抽2人和4人；对工人70人进行00，01，02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人.（2）至少3人排队等候的概率是多少？记事件在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及5人以上分别为A 、B 、C 、D 、E 、F. (1)至多2人排队等候的概率是P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)方法一：至少3人排队等候的概率是P(D ∪E ∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. 方法二：因为至少3人排队等候与至多2人排队等候是对立事件，故由对立事件的概率公式，至少3人排队等候的概率是P （D ∪E ∪F)=1-P(A ∪B ∪C)=1-0.56=0.44. ∴至多2人排队等候的概率是0.56，至少3个排队等候的概率是0.44. 19.（10分）对任意正整数,设计一个求S=1+n13121+++ 的值的程序框图. 解析：20.(10分)（2007山东临沂模拟）某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、数学四类.在“深圳读书月”活动期间,为了解图书的借阅情况,图书管理员对本月各类图书的借阅量进行了统计,表甲和图乙是图书管理员通过采集数据后,绘制的两幅不完整的频率分布表与频率分布条形图.请你根据图中和表中提供的信息,解答以下问题：（1）填充表甲频率分布表中的空格;（2）在图乙中,将表示“自然科学”的部分补充完整. 解析：（1）自然科学对应的频率=1-0.50-0.25-0.05=0.20，自然科学对应的频数=50.01000×0.20=400. (2）如图所示导学乐园靠自己小蜗牛问妈妈：为什么我们从生下来，就要背负这个又硬又重的壳呢？妈妈：因为我们的身体没有骨骼的支撑，只能爬，又爬不快.所以要这个壳的保护！小蜗牛：毛虫姊姊没有骨头，也爬不快，为什么她却不用背这个又硬又重的壳呢？妈妈：因为毛虫姊姊能变成蝴蝶，天空会保护她啊.小蜗牛：可是蚯蚓弟弟也没骨头,也爬不快，更不会变成蝴蝶,他为什么不用背这个又硬又重的壳呢？妈妈：因为蚯蚓弟弟会钻土, 大地会保护他啊.小蜗牛哭了起来：我们好可怜，天空不保护，大地也不保护.蜗牛妈妈安慰他：所以我们有壳啊！我们不靠天，也不靠地，我们靠自己.。
2020-2021学年人教A版数学选修1-1章末综合测评3章末综合测评(三)（时间:120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列导数运算正确的是(）A．错误!错误!＝1＋错误!B．（2x）′＝x2x－1C．（cos x）′＝sin x D．(x ln x)′＝ln x＋1D［错误!错误!＝1－错误!；(2x)′＝2x ln 2；（cos x）′＝－sin x；(x ln x）′＝ln x＋1，故选D．］2．曲线y＝f（x）＝x3－3x2＋1在点（2，－3）处的切线方程为（）A．y＝－3x＋3 B．y＝－3x＋1C．y＝－3 D．x＝2C[因为y′＝f′（x)＝3x2－6x,则曲线y＝x3－3x2＋1在点（2，－3）处的切线的斜率k＝f′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y ＝－3.］3．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝错误!gt2(g为常数)，该小球在t＝1到t＝3的平均速度为错误!，在t＝2的瞬时速度为v2，则错误!和v2关系为（)A．错误!〉v2B．错误!<v2C．v＝v2D．不能确定C[错误!＝错误!＝错误!＝2g，又s′（t)＝gt，∴v2＝2g.故错误!＝v2。
］4．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是（)A．错误!B．错误!C．错误!，错误!D．错误!，错误!A[f（x）的定义域为(0，＋∞），f′（x)＝2x－错误!＝错误!，当0〈x≤错误!时，f′（x)≤0，故f（x)的单调递减区间为错误!.］5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈［0,1]）的最大值是（）A．1 B．错误!C．0 D．－1A[f′（x）＝3－12x2,令f′（x)＝0，则x＝－错误!（舍去）或x ＝错误!,f（0）＝0，f(1)＝－1，f错误!＝错误!－错误!＝1,∴f（x)在［0，1］上的最大值为1.]6．函数f(x）＝x3＋ax2＋3x－9,已知f(x）在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2 B．3C．4 D．5D［f′（x）＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0，∴3×(－3)2＋2a×（－3)＋3＝0，∴a＝5.］7．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′（x)的图象画在同一个直角坐标系中，则不可能的是（)D[D中若上面图象为函数，其左侧导数应大于0，不合题意；若下面图象为函数，其x〈0时有单调递减区间,其相应导数应小于0，也不合题意，故D不可能，故选D．]8．某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数:y1＝17x2，生产成本y2（万元）是产量x（千台)的函数：y2＝2x3－x2（x〉0)，为使利润最大，应生产(）A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台A[设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－（2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6），令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．］9．设函数f（x）＝x3＋ax2，若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0）)处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为(）A．(0，0) B．(1，－1）C．(－1,1) D．（1，－1)或(－1,1）D［由题易知,f′（x）＝3x2＋2ax,所以曲线y＝f（x)在点P(x0,f(x0)）处的切线的斜率为f′(x0)＝3x20＋2ax0，又切线方程为x＋y ＝0，所以x 0≠0，且错误!解得a ＝±2，x 0＝－错误!。
章末分层突破[自我校对]①P(A)＋P(B)②P(A)＋P(B)＝1③A包含的基本事件的个数基本事件的总数随机事件的概率1.(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件．(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．2．对于概率的定义应注意以下几点(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率．(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a 50100200300400500次品件数b 345589次品频率b a(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？【精彩点拨】结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率．【规范解答】(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017, 0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．[再练一题]1．某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n 102050100200500击中靶心8194492178455 次数m(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？【解】(1)由题意，击中靶心的频率分别为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越大时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．(4)不一定．互斥事件与对立事件1.(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是互斥的，此时A ∪B的概率就可用加法公式来求，即为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A∪B＝U，则两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)．2．互斥事件概率的求法(1)若A1，A2，…，A n互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②这些事件中有一个发生；③先求出这些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：①、②两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．3．对立事件概率的求法P(Ω)＝P(A∪A)＝P(A)＋P(A)＝1，由公式可得P(A)＝1－P(A)(这里A是A的对立事件，Ω为必然事件)．4．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【精彩点拨】用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．【规范解答】把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.总的事件数为20.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.[再练一题]2．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？【解】 (1)设事件“电话响第k 声时被接”为Ak (k ∈N )，那么事件A k 彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A ，根据互斥事件概率加法公式，得P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A “打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A －.根据对立事件的概率公式，得P (A －)＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05.古典概型与几何概型在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝mn时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，求出n，m.但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝mn求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想．甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．【精彩点拨】甲、乙两艘货轮停靠泊位的时间是6小时，当两船到达泊位的时间差不超过6小时时，两船中一艘停靠，另一艘必须等待．【规范解答】设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x、y.则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤24，0≤y≤24，|x－y|≤6.作出如图所示的区域．本题中，区域D的面积S1＝242，区域d的面积S2＝242－182.∴P＝d的面积D的面积＝242－182242＝716.即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为716.[再练一题]3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是()A.45 B.35C.25 D.15【解析】∵当b＝1时，没有满足条件的a值；当b＝2时，a＝1；当b＝3时，a可以是1，可以是2，∴共3种情况．而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a，再从{1,2,3}中随机取一个数b，共有3×5＝15种不同取法，∴概率为315＝1 5.【答案】 D概率与统计的综合问题此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图3-1所示．图3-1(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．【精彩点拨】(1)根据“叶”上的数据的集中情况作出判断；(2)代入方差的计算公式求解；(3)列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解．【规范解答】(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm～179 cm之间，而乙班身高集中于170 cm～179 cm之间．因此乙班平均身高高于甲班；(2)x＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170(cm)．甲班的样本方差s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)．(3)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，∴P(A)＝410＝2 5.[再练一题]4．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45) a 0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55]150.3图3-2(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．【解】(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所＝0.06.频率分布直方图如下：以高为0.35＝200，频率为0.04×5＝0.2，第一组的人数为1200.6＝1 000.所以n＝2000.2由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所＝0.65.以p＝195300第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．设[40,45)岁中的4人为a，b，c，d，[45,50)岁中的2人为m，n，则选取2人作为领队的选法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815.数形结合思想在古典概型中，基本事件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比较直观计数．在几何概型中，把基本事件转化到与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比．设点(p，q)在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现，试求方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数的概率．【精彩点拨】试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部．【规范解答】基本事件总体的区域D的度量为正方形面积，即D的度量为S正方形＝62＝36，由方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数，得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，∴p2＋q2≥1.∴当点(p，q)落在如图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域d的度量为S正方形－S圆＝36－π，∴原方程的两根都是实数的概率为P＝36－π36.[再练一题]5．三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？【解】记三人为A、B、C，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，如下图：每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P＝616＝3 8.1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815 B.18C.115 D.130【解析】∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝115.【答案】 C2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58C.38 D.310【解析】如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.【答案】 B3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13 B.12C.23 D.56【解析】从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝46＝23，故选C.【答案】 C4．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13 B.12C.23 D.34【解析】如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝2040＝12.故选B.【答案】 B5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310 B.15 C.110 D.120【解析】从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.【答案】 C章末综合测评(三)概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，随机事件的个数为()①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4℃时结冰．A．1B．2C．3D．4【解析】①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军．②李凯不一定被抽到．③任取一张不一定为1号签．④在标准大气压下水在4℃时不可能结冰，故①②③是随机事件，④是不可能事件．【答案】 C2．下列说法正确的是()A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%【解析】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性．故选D.【答案】 D3．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是()A.16 B.13C.12 D.23【解析】给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝26＝13.故选B.【答案】 B4．在区间[－2,1]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为()A.13 B.14C.12 D.23【解析】由几何概型的概率计算公式可知x∈[0,1]的概率P＝1－01－(－2)＝1 3.故选A.【答案】 A5．1升水中有1只微生物，任取0.1升化验，则有微生物的概率为() A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4【解析】本题考查的是体积型几何概型．【答案】 A6．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③【解析】①中两事件是同一事件；②中两事件可能同时发生；③中两事件互斥，并且一定有一个事件发生，因此是对立事件；④中两事件可能同时发生．故选C.【答案】 C7．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为45，则河宽为()A．100 m B．80 m C．50 m D．40 m【解析】设河宽为x m，则1－x500＝45，所以x＝100.【答案】 A8．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是() A．0.62 B．0.38C．0.70D．0.68【解析】记“取到质量小于4.8 g”为事件A，“取到质量不小于4.85 g”为事件B，“取到质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C为必然事件．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.32＋P(C)＝1，即P(C)＝1－0.3－0.32＝0.38.【答案】 B9．如图1，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()图1A.14 B.13C.12 D.23【解析】点E为边CD的中点，故所求的概率P＝△ABE的面积矩形ABCD的面积＝12.【答案】 C10．将区间[0,1]内的均匀随机数x1转化为区间[－2,2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为()A．x＝x1*2 B.x＝x1*4C.x＝x1*2-2D.x＝x1*4-2【解析】由题意可知x＝x1*(2+2)-2=4x1－2【答案】 D11．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，则()A．P1＝P2＜P3B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3D．P3＝P2＜P1【解析】先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P1＜P2＜P3.【答案】 B12．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列选项中以710为概率的事件是()A．恰有1件一等品B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品D．都不是一等品【解析】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝610，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝310，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－310＝7 10.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)．13．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________.【解析】由古典概型的算法可得P(A)＝820＝25，P(B)＝320，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝420＋520＝920.【答案】2532092014．在区间(0,1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋12＝0有两个相异实根的概率为________．【解析】方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a)2－4×1×12＝4a2－2>0，解得|a|>22，又a∈(0,1)，所以22<a<1，区间⎝⎛⎭⎪⎫22，1的长度为1－22，而区间(0,1)的长度为1，所以方程有两个相异实根的概率为1－221＝2－22.【答案】2－2215．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图2所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________.图2【解析】由题意可知从甲、乙两组中各随机选取一名同学，共有9种选法，其中这两名同学的成绩相同的选法只有1种，故所求概率P＝19.【答案】1 916．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________．【解析】此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a－b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，所以P＝24＋410×10＝725.【答案】7 25三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期12345678910天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴日期11121314151617181920．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率．【解】(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为7 8.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.18．(本小题满分12分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：(2)求该班成绩在[60,100]内的概率．【解】记该班的测试成绩在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]内依次为事件A，B，C，D，由题意知事件A，B，C，D是彼此互斥的．(1)该班成绩在[80,100]内的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.25＋0.15＝0.4.(2)该班成绩在[60,100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.19．(本小题满分12分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由.【解】(1)由于x，y取值为1,2,3,4,5,6，则以(x，y)为坐标的点有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个，即以(x，y)为坐标的点共有36个．(2)满足x＋y≥10的点有：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6个，所以小王赢的概率是636＝1 6，满足x＋y≤4的点有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个，所以小李赢的概率是636＝1 6，则小王赢的概率等于小李赢的概率，所以这个游戏规则公平．20．(本小题满分12分)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．【解】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.21．(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．【解】 (1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.22．(本小题满分12分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位：米)进行整理，分成以下6个小组：[5.25，6.15)，[6.15,7.05)，[7.05,7.95)，[7.95,8.85)，[8.85,9.75)，[9.75,10.65]，并绘制出频率分布直方图，如图3所示是这个频率分布直方图的一部分．已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28，0.30，第6小组的频数是7.规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格．图3(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数；(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；(3)若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a、b两位同学的成绩均为优秀，求a、b两位同学中至少有1人被选到的概率．【解】(1)∵第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14.∴参加这次铅球投掷的总人数为7＝50.0.14根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36.(2)∵成绩在第1、2、3组的人数为(0.04＋0.10＋0.14)×50＝14，成绩在第5、6组的人数为(0.30＋0.14)×50＝22，参加这次铅球投掷的总人数为50，∴这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在[7.95，8.85)内，即第4组．(3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a、b、c、d、e，则选出2人的所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，其中a、b至少有1人的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共有7种，∴a、b两位同学中至少有1人被选到的概率为P＝710.。
