100测评网新课标高二数学文同步测试(9)(1-2第四章)

期中学习质量评价（第1-2单元）满分:100分+10分 建议时间:60分钟班级： 姓名：A 素养测评(100分)一、认r èn 真zh ēn 填ti án 空k ōn ɡ。

(共27分) 1.数一数，填一填。

(5分)2.按规律填数。

(3分)3.数一数，比一比。

(3分)4.(5分)5.在◯里填上“>”“<”或“=”。

(6分) 3◯6-3 9-5◯7 10-6+3◯6 9-2◯8 10◯5+2 4◯7+3-86.(5分)(1)一共有( )只小动物；从右边数，小马排第( )。

(2)在从左边数的第9只小动物的下面画“◯”；把从左边数的7只小动物圈起来。

(3)从右边数的3 只小动物回家了，还剩( )只小动物。

二、慎sh èn 重zh òn ɡ 选xu ǎn 择z é。

(将正确答案的序号填在括号里)(每题2分，共12分)1.每只小猴吃一根香蕉，( )正好。

2.从左边起涂 2个★，涂得正确的是( )。

3.苹苹应该报( )。

①6 ②7 ③8 4.看图列式，下列算式中( )是错误的。

①6+4=10 ②6-4=2 ③10-6=4 5.下面( )可以表示“7+2”。

6.图中要解决的问题是( )。

①筐里有多少个足球 ②右边有多少个足球 ③一共有多少个足球三、细x ì 心x īn 计j ì 算su àn。

(共41 分) 1.直接写出得数。

(10分)3+3= 10-4= 5-3= 9-4-1= 2+7= 9-6= 7+3= 6+3-7= 2.在花盆里写出得数。

(10分)3.在□里填上合适的数。

(10分)4.看图列式计算。

(11分)(1)(4分)□+□=□ □-□=□(2)(2分)□○□=□(个) □○□=□(只)(4)(3分)[□+□=□ □-□=□□○□○□=□(只)四、活hu ó 学xu é 活hu ó 用y òn ɡ。

2021-2022学年苏教版四班级上册数学单元测评必刷卷第2章《两、三位数除以两位数》测试时间：90分钟满分：100分+30分A 卷基础训练（100 分）一、选择题（每题2分，共20分）1．（2020·盐城市第一学校四班级期末）学校新买来640本书，每班分30本，可以分给几个班？小萌用竖式计算出了结果，竖式中←所指的“6”表示的是（）。

A．已经分了60本B．还剩60本C．已经分了600本【答案】C【分析】由题意可知，图中6在百位上，表示6个百即600，600÷30＝20，也就是20个班已经已经分了600本，由此求解。

【详解】竖式中←所指的“6”表示的是已经分了600本；故答案为：C【点睛】解决本题关键是要理解除法计算的方法，分清楚数字所表示的含义。

2．（2020·连云港市苏州外国语学校四班级期中）把34看作30来试商，初商简洁（）。

A．正好B．偏小C．偏大【答案】C【分析】在除数是两位数除法的计算中，把除数看作和它接近的整十的数进行试商，把34看做30来试商时，被除数不变，除数变小，则依据商的变化规律可得，商可能会偏大。

【详解】把34看作30来试商时，被除数不变，除数变小，所以初商偏大。

故答案为：C【点睛】除数是两位数的除法计算中，试商时，要留意初商偏大或偏小的状况。

3．（2020·江苏四班级期中）540÷45的结果与（）算式的得数相等。

A．540÷9×5 B．540÷9÷5 C．540÷5×9【答案】B【分析】先算出540÷45的商，A、C选项按运算挨次计算即可，B选项一个数连除两个数等于这个数除以这两个数的积。

再算出3个选项中式子的结果，比较即可解答。

【详解】540÷45＝12 540÷9×5＝60×5＝300 540÷9÷5＝540÷（9×5）＝540÷45＝12540÷5×9＝108×9＝972 故答案为：B4．（2020·江苏四班级单元测试）□□○★▲□□○★▲□□○★▲……按这样的规律排列，前31个图形里共有（）个□。

2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C. D. 290x y ++=290x y +-=2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）133. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（）1,,AB a AD b AA c ===BM A. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P率k 的取值范围是（ ）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C .或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CN ND=MN =A .D. 27. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（）MN二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 13.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO14.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===AC M l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u r u u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O P D O Q =l 理由．2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C .D. 290x y ++=290x y +-=【正确答案】B【分析】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.12l k =-【详解】直线的斜截式方程为，则其斜率为，2l24y x =-+2-因为直线过点，且与直线平行，所以，1l()2,5A 2l12l k =-则直线的点斜式方程为，即为．1l()522y x -=--290x y +-=故选：B.2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）13【正确答案】C【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，b a 22224035(2,2,1)22(1)9||||b aaa a a →→→→→→⋅⨯+-⋅=⋅=-++-故选：C3. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（ ）1,,AB a AD b AA c ===BMA. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 【正确答案】D【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为为与的交点，M 11A C 11B D 所以111111()22BM BB B M AA BD AA AD AB =+=+=+-.111112222AB AD A ca b A =-++=-++故选：D.4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出的面积进而求得四边形OAB △的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，所以，OA ==OB ==2),1,2),OA OB ==-，1cos ,2OA OB ==所以sin ,OA OB =以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P 率k 的取值范围是（）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C.或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥【正确答案】B【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案.BP BA k k k ≥≥,BP BA k k 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满足，BP BA k k k ≥≥即且，所以．231325k -+≥=---123134k +≤=+1354k -≤≤故选：B ．6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CNND =MN =A. D. 2【正确答案】B【分析】将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得.MN AB AC AD MN【详解】因为，所以，，2AM MB = 23AM AB=又因为，则，所以，，2CN ND = ()2AN AC AD AN -=- 1233AN AC AD =+ 所以，，122333MN AN AM AC AD AB=-=+-由空间向量的数量积可得，293cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==因此，1223MN AC AD AB =+-=.==故选：B.7. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关【正确答案】B【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解''0D E B F ⋅=【详解】建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，'(0,0,1)D (1,1,0)E a -'(1,1,1)B (0,1,0)F a -，'(1,1,1)D E a ∴=-- '(1,,1)B F a =---，''(1)(1)1()(1)(1)110D E B F a a a a ∴⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=--+=''D E B F∴⊥ 故选：B本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N 分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（ ）MN【正确答案】D【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据C AB D --120CAF ∠=︒几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离MNBC AD BC AD 转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点BC ADE C ADE 到平面的距离即可.C ADE 【详解】如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交C AB D --4CE BD ==E ⊥EF ABD 面于点，ABD F 由题意可知，，所以为二面角的平面角，即AB AF ⊥CA AB ⊥CAF ∠C AB D --，120CAF ∠=︒因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，M N BC AD MNBC 的距离，AD 由题意知，，所以四边形为平行四边形，，CE BD ∥CE BD =CBDE CB DE ∥因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的DE ⊂ADE CB ⊄ADE CB ADE BC AD 距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，BC ADE C ADE 设点到平面的距离为，则，，C ADE d C ADED CAE V V --=1133ADE CAE S d S AB⋅⋅=⋅⋅ 在直角三角形中，，，所以，CAH 18012060CAH ∠=︒-︒=︒2CA =1HA=，CH EF ==3AF =AE ==直角梯形中，，ABDF FD ==AD ==，DE ==因为，，所以，，222AC AECE +=222AE DE AD +=CA AE ⊥AE DE ⊥，，122CAE S =⨯⨯=12ADE S =⨯= CAE ADE S AB d S ⋅===故选：D.方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线的斜率，可得出直线的倾斜l l 角，可判断B 选项；作出直线的图象可判断C 选项；求出直线的方向向量，可判断D 选l l 项.【详解】对于A 选项，，所以，点不在上，A 错；2210-++≠ (-l 对于B 选项，直线的斜率为，故的倾斜角为，B 对；lk =l 5π6对于C 选项，直线交轴于点，交轴于点，如下图所示：l x ()1,0-y 0,⎛ ⎝由图可知，直线不过第一象限，C 对；l对于D 选项，直线的一个方向向量为，而向量与这里不共线，Dl )1-)1-(错.故选：BC.10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c【正确答案】ACD【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A ，根据直线与平面的关系判断B ，根据空间中共面基本定理判断C ，由空间向量基本定理判断D.【详解】因为，所以，故A 正确；()()2,2,13,4,26820u v ⋅=-⋅-=-+-=αβ⊥因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,3,0a =α()1,0,2u =不能确定直线是否在平面内，故B 不正确；因为，()0,4,82(2,1,4)(4,2,0)2AP AB AC→→=--=---=-所以，，共面，即点在平面内，故C 正确；AP AB ACP ABC 若是空间的一组基底，,,a b b c c a +++则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组，d →(,,)x y z 使得，()()()d x a b y b c z c a =+++++于是，()()()d x z a x y b y z c =+++++ 所以也是空间一组基底，故D 正确.,,a b c故选：ACD.11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --【正确答案】ACD【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A 选项；向量法求异面直线所成的角判断选项B ；由，求体积最大值判断C 选项；向量法求Q AMN N AMQV V --=二面角余弦值的变化情况判断选项D.【详解】平面，四边形是正方形，SA ⊥ABCD ABCD 以A 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，,,AB AD AS,,x y z由，22SA AB DE ===；()()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,1,0A B C D E S N M ∴对于A ，假设存在点，使得，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SB ⊥则，又，()1,2,1NQ m =--()2,0,2SB =-，解得：，()2120NQ SB m ∴⋅=-+=0m =即点与重合时，，A 选项正确；Q D NQ SB ⊥对于B ，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SA 60o，()()1,2,1,0,0,2NQ m SA =--=-，方程无解；1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA ⋅∴===⋅ 不存在点，使得异面直线与所成的角为，B 选项错误；∴Q NQ SA 60o对于C ，连接；,,AQ AMAN 设，()02DQ m m =≤≤，22AMQ ABCD ABM QCM ADQ mS S S S S =---=-当，即点与点重合时，取得最大值2；∴0m =Q D AMQ S △又点到平面的距离，N AMQ 112d SA ==，C 选项正确；()()maxmax 122133Q AMN N AMQ V V --∴==⨯⨯=对于D ，由上分析知：，()()1,2,1,1,1,1NQ m NM =--=-若是面的法向量，则，(),,m x y z =NMQ ()1200m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令，则，1x =()1,2,3m m m =-- 而面的法向量，AMQ ()0,0,1n =所以，令，cos ,m nm n m n ⋅==[]31,3t m =-∈则，而，cos ,m n ==11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，Q D C m t 1t 所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，cos ,m n故二面角先变小后变大，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 【正确答案】π6【分析】根据已知两点的坐标求得直线的斜率，即可求得答案.AB 【详解】由于，)(),AB故直线的斜率为，AB k ==因为直线的倾斜角范围为，[0,π)故直线的倾斜角是，AB π6故π613.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO【正确答案】3【分析】说明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空,,OO OC OP '间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以AB O ',,PO OO AE ',PC PD O =CD ，PO CD ⊥又平面平面，平面平面，平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =PO ⊂PCD 所以平面，平面，所以，⊥PO ABCD OO '⊂ABCD PO OO '⊥又底面是矩形，点是的中点，的中点为，所以，ABCD O CD AB O 'OO CD '⊥以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，O ,,OO OC OP ',,x y z由，得，,,6PC PD PC PD CD ⊥==132PO CD ==所以，()()()3,3,0,3,3,0,0,0,3A B P -点为线段上靠近的三等分点，则，E PB B 22(3,3,3)33PE PB ==- 则，所以，，()2,2,1E ()1,5,1AE =-()3,3,0AO =-则，，||AE ==AO AE AO⋅== 因此点到直线的距离，E AO 3d =故314.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===ACM l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如ABC V AB B B 图1），设点，由，得，求出坐标，由(),,A x y z '(),0,0H x (,0,)A x z ',,A C M 得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程MC AM A M '==,x z z A H '中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于MN AA '⊥1,,02N a a ⎛⎫⎪⎝⎭[)0,4a ∈x 的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论．a x 【详解】中，根据余弦定理，π,4C ABC =△，得AB ==sin sin ACABB C =，由知，则，sin B =AC AB <B C <cos B =如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点B ()()4,2,0,6,0,0A C ，点的投影在轴上，即，由(),,A x y z 'A '(),0,0H x x ()(),0,,5,1,0A x z M '，根据两点间距离公式，MC AM A M '==．=22(5)1x z -+= 图1 图2如图2，在翻折过程中，作于点，则，AMN A MN '△≌△AE MN ⊥E A E MN '⊥并且平面，,,AE A E E AE A E ='⊂' A AE '所以平面平面，MN ⊥,A AE AA ''⊂A AE '所以，即，其中．MN AA '⊥0MN AA '⋅=()4,2,AA x z '=--又动点在线段上，设，所以，且．N AB 1,,02N a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭15,1,02MN a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ [)0,4a ∈由，得，0MN AA '⋅= ()()132245210,52,255x a a x a ⎛⎫⎛⎤----==+∈ ⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦又因为，对应的的取值为，即，22(5)1x z -+=z 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦40,5A H ⎛⎤'∈ ⎥⎝⎦由已知斜线与平面所成角是，1A MBCMN A MH '∠所以．sin A H A MH A M ⎛∠=∈ ⎝'''故斜线与平面1A MBCMN 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 【正确答案】（1）； 380x y +-=（2）或y x =40x y +-=【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；l （2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为，代入点P ，即可求得0x y m ++=参数m【小问1详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为360x y -+=3l 13-l ，即；()1223y x -=--380x y +-=【小问2详解】当截距为0时，直线的方程为；l y x =当截距不为0时，直线设为，代入解得，故直线的方程为l 0x y m ++=(2,2)P 4m =-l .40x y +-=综上，直线的方程为或l y x =40x y +-=16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +【正确答案】（1）；1-（2）且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩【分析】（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，AB CBR λ∈AB CB λ= 进而求出m 、n ，即可得结果.（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得cos ,AB BC <>，讨论的情况，即可求范围.2(3)2(1)180m n -+--<,AB BC π<>=m n +【小问1详解】由题设，，又，，三点共线，(3,2,6)AB m =-- (2,1,3)CB n =--A B C 所以存在使，即，可得，R λ∈AB CB λ=322(1)63m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩210m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以.1m n +=-【小问2详解】由，(2,1,3)BC n =--由（1）知：当时，有；,AB BC π<>=1m n +=-而，的夹角是钝cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅<>==AB BC角，所以，可得；2(3)2(1)182()260m n m n -+--=+-<m n +13<综上，且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u ru u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===【正确答案】（1）见解析 （2【分析】（1）设为的中点,连接,，利用中位线的性质证明四边形是平F PA BF EF EFBC 行四边形，则可得平面.//CE ABP （2）点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，A BCE (0,1,2)n =利用点到平面的距离公式即可.【小问1详解】设为的中点，连接,，F PA BF EF是的中点，，E PD 1//,2EF AD EF AD ∴=,且，2,//AD BC AD BC =∴ 12BC AD=，//,EF BC EF BC ∴=四边形是平行四边形，，∴EFBC //CE BF ∴又平面平面,BF ⊂ ,ABP CE ⊂/ABP 平面.//CE ∴ABP 【小问2详解】由于侧棱平面，面，AP ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ，，则以点为坐标原点,以,,所在的直线,AP AB AP AD ∴⊥⊥AB AD ⊥ A AD AB AP 为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,x y z，，2AD = 112BC AD ∴==，，，，(0,0,2)P ∴(0,2,0)B (1,2,0)C (1,0,1)E ，，，(1,0,0)BC ∴= (0,2,1)CE =- (0,2,2)PB =-设平面的法向量,BCE (,,)n x y z =则有，即，00n BC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y z =⎧⎨-+=⎩令,则，1y =(0,1,2)n =点到平面的距离.∴PBCE ||||||||||||PB n PB n d PB n PB n ⋅⋅=⋅===⋅18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ【正确答案】（1）证明见解析（2（3）存在，14λ=【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；PA AD ⊥PA AB ⊥（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.14λ=【小问1详解】因为，分别为，的中点，所以.A D MB MC AD BC ∥因为，所以，所以.BM BC ⊥BM AD ⊥PA AD ⊥又，，平面，PA AB ⊥AB AD A ⋂=,AB AD ⊂ABCD 所以平面.PA ⊥ABCD 【小问2详解】因为，，，所以，，两两垂直.PA AB ⊥PA AD ⊥90DAB ∠=︒AP AB AD 以为坐标原点，所在直线分别为轴，A ,,AB AD AP ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，A xyz -依题意有，，，，，，A (0,0,0)()2,0,0B ()2,2,0C D (0,1,0)()0,0,2P ()1,1,1E 则，，，.(2,2,2)PC =- (1,0,1)DE = (2,1,0)BD =-(2,0,2)BP =- 设平面的法向量，PBD ()111,,n x y z =则有()()()()11111111112,1,0,,202,0,2,,220BD n x y z x y BP n x y z x z ⎧⋅=-⋅=-+=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩令，得，，所以是平面的一个法向量.12y =11x =11z =()1,2,1n = PBD 因为，cos ,DE n DE n DE n⋅〈〉====⋅所以直线与平面DE PBD 【小问3详解】假设存在，使二面角λG AD P --即使二面角G AD P --由（2）得，，(2,2,2)(01)PG PC λλλλλ==-≤≤所以，，.(2,2,22)G λλλ-(0,1,0)AD = (2,2,22)AG λλλ=-易得平面的一个法向量为.PAD ()11,0,0n =设平面的法向量，ADG ()2222,,n x y z =，()()()()()2222222222220,1,0,,02,2,22,,22220AD n x y z y AG n x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=-⋅=++-=⎪⎩ 解得，令，得，20y =2z λ=21x λ=-则是平面的一个法向量.()21,0,n λλ=-ADG由图形可以看出二面角，G AD P --故二面角G AD P --则有，1cos ,n，解得，.=112λ=-214λ=又因为，所以.01λ≤≤14λ=故存在，使二面角14λ=G AD P --19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y ；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O PD O Q =l 理由．【正确答案】（1）145（2）1-（3）存在，和1y =y x=【分析】（1）代入和的公式，即可求解；(,)d A B (,)e A B （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式(),N x y (,)1d M N =N ，结合余弦值，即可求解；(),e A B （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，(),D O P 0k =0k ≠(),d O P 即可判断直线方程.【小问1详解】，348614(,)125555d A B +=--+-==，cos(,)cos ,OA OB A B OA OB OA OB⋅=〈〉===；()(),1cos ,1e A B A B =-=-=【小问2详解】设，由题意得：，(,)N x y (,)|2||1|1d M N x y =-+-=即，而表示的图形是正方形，|2||1|1x y -+-=|2||1|1x y -+-=ABCD 其中、、、．()2,0A ()3,1B ()2,2C ()1,1D 即点在正方形的边上运动，，，N ABCD (2,1)OM =(,)ON x y = 可知：当取到最小值时，最大，相应的cos(,)cos ,M N OM ON =<> ,OM ON <>有最大值．(,)e M N 因此，点有如下两种可能：N ①点为点，则，可得；N A (2,0)ON =cos(,)cos ,M N OM ON =<>==②点在线段上运动时，此时与同向，取，N CD ON (1,1)DC =(1,1)ON = 则cos(,)cos ,M N OM ON =<>==的最大值为．>(,)e M N 1【小问3详解】易知，则min (,)D O P (,1)P x kx k -+(,)()|||1|d O P h x x kx k ==+-+当时，，则，，满足题意；0k =(,)()|||1|d O P h x x ==+min (,)1d O P =min (,)1D O P =当时，，0k ≠1(,)()1k d O P h x x kx k x k x k -==+-+=+⋅-由分段函数性质可知，min 1(,)min (0),k d O P h h k ⎛⎫-⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又且时等号成(0)|1|h k =-≥11k k h k k --⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1k =立．综上，满足条件的直线有且只有两条，和．:1l y =y x =关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题.min min (,)(,)d O P D O Q =。

2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学（A）试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a,b∈R，那么log2a>log2b是(12)a<(12)b的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.集合A={x∣y=ln(x2−2x−3)},B={y∣y=x2−2x+3,x∈A}，则A∩∁R B=( )A. (−∞,−1)B. (−∞,−1)∪(3,6]C. (3,+∞)D. (−∞,−1)∪[6,+∞)3.已知复数z满足z⋅z=5，则|z−2+4i|的最大值为( )A. 5B. 6C. 35D. 364.已知非零向量a,b满足3|a|=|b|，向量a在向量b方向上的投影向量是，则a与b夹角的余弦值为( )A. 33B. 13C. −33D. −135.设函数f(x)的定义域为R，且f(−x+4)+f(x)=2，f(x+2)=f(−x)，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+x+b，f(3)+f(0)=−3，则b−a=( )A. −9B. −6C. 6D. 96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是( )A. 82，73B. 80，73C. 82，67D. 80，677.已知sin(40∘−θ)=4cos50∘⋅cos40∘⋅cosθ，且θ∈(−π2,π2)，则θ=( )A. −π3B. −π6C. π6D. π38.已知函数f(x)=x−22x+1+2，则不等式f(t2)+f(2t−3)>2的解集为( )A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−1,3)C. (−∞,−3)∪(1,+∞)D. (−3,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。

普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1（文科）[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（9）（1-2第四章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。

1．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．192．有一堆形状、大小相同的珠子,其中只有一粒重量比其它的轻,某同学经过思考,他说根据科学的算法,利用天平,三次肯定能找到这粒最轻的珠子,则这堆珠子最多有几粒（）A．21 B．24 C．27 D．303．“对于大于2的整数，依次从2～n 检验是不是n的因数，即整除n的数。

若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数”，对上面流程说法正确的是（）A．能验证B．不能验证C．有的数可以验证，有的不行D．必须依次从2～n－1检验4．“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下大将，他英勇善战，谋略超群，为建立汉朝立下不朽功勋。

据说他在一次点兵的时候，为保住事秘密，不让敌人知道自己里的事实力，采用下述点兵方法：先令士兵1~3报数，结果最后一个士兵报2；又令士兵1~5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵1~7报数，结果最后一个士兵报4；这样韩信很快算出自己士兵的总数。

士兵至少有多少人（）A．20 B．46 C．53 D．395．注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，连线标位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．196．“烧开水泡壶茶喝”是我国著名数学家华罗庚教授作为“统筹法”的引子，虽然是生活中的小事，但其中有不少的道理。

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。

5．难度系数：0.72。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。

2024-2025学年河南省百师联盟高二上学期10月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设直线l ：2x +4y +3=0的倾斜角为α，则cos α的值为A.55B. −55C. 255D. −2552.已知直线l 1的方向向量为a 1=(k,1)，直线l 2的方向向量为a 2=(2−k,k)，若l 1// l 2，则k =A. −2B. 1C. −2或1D. 0或23.在四面体OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，OM =34OA ，BN =λBC(λ>0)，若MN =−34a +12b +12c ，则λ=A. 12B. 13C. 23D. 144.若{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量a ，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得a =x e 1+ye 2+ze 3，我们把有序实数组(x,y,z)叫做基底{e 1,e 2,e 3}下向量a 的斜坐标．设向量p 在基底{a ,b ,c }下的斜坐标为(−1,2,3)，则向量p 在基底{a−b +c ,a−b ,a +c }下的斜坐标为A. (2,−4,−1)B. (−2,−4,1)C. (−2,4,1)D. (2,−4,1)5.平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，其中AD =2，AB =4，且∠A 1AD =∠A 1AB =60°，AA 1=4，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点，则线段BM 的长为A.15 B. 4 C.17 D. 326.已知从点(3,3)发出的一束光线，经过直线2x−y +2=0反射，反射光线恰好过点(4,0)，则反射光线所在的直线方程为A. 3x +y−12=0 B. 3x +7y−12=0C. x +y−4=0D. x =47.圆C ：(x−1)2+y 2=1与圆D ：x 2+y 2−2x +8y +8=0的公切线的条数为A. 0B. 1C. 2D. 38.已知圆C ：(x +2)2+y 2=4，直线l ：(m +1)x +4y−1+m =0(m ∈R)，则A. 直线l恒过定点(−1,1)B. 直线l与圆C有两个交点C. 当m=1时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1D. 过直线l的平行线3x+4y−7m=0上一动点P作圆C的一条切线，切点为A，则|PA|min=4二、多选题：本题共3小题，共18分。

保密★启用前高二年级质量检测数学试题（答案在最后）2023.02注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()()2,5,8,3,4,4a b ==--，则a b +=（ ）A.()5,1,4B.()3,9,12C.()1,1,4-D.()1,9,4-2.双曲线22154x y -=的焦距为（ ） A.1 B.2 C.3 D.63.过点()2,3A 且与直线:2470l x y -+=平行的直线方程是（ ）A.240x y -+=B.270x y +-=C.210x y --=D.280x y +-=4.在等比数列{}n a 中，12562,4a a a a +=+=，则910a a +=（ ）A.2B.4C.6D.85.如果圆()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->关于直线y x =对称，则（ ） A.0D E += B.D E = C.D F = D.E F =6.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为1，且PA 与,AB AD 的夹角都等于60，若M 是PC 的中点，则BM =（ ）A.3B.4C.2D.34 7.已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（ ）A.15-B.14-C.11-D.6-8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，经过1F 的直线交椭圆于2,,A B ABF 的内切圆的圆心为I ，若23450IB IA IF ++=，则该椭圆的离心率为（ ）A.5B.23C.4D.12 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列说法中，正确的有（ ）A.直线()()23y a x a =++∈R 必过定点()2,3B.直线21y x =-在y 轴上的截距为1C.20y -+=的倾斜角为60D.点()1,3到直线20y -=的距离为110.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ）A.若59S S =，则必有140S =B.若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C.若67S S >，则必有78S S >D.若67S S >，则必有56S S >11.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =.若点,,E F G 分别为棱,,AB AD PC 的中点，则（ ）A.AG ⊥平面PBDB.直线FG 和直线AB 所成的角为4π C.当点T 在平面PBD 内，且2TA TG +=时，点T 的轨迹为一个椭圆D.过点,,E F G 的平面与四棱锥P ABCD -表面交线的周长为12.已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于,A B 两点，且4AB =，直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于,M N 两点，则（ ）A.若直线l 的斜率为3，则8MN =B.2MF NF +的最小值为3+C.若以MF 为直径的圆与y 轴的公共点为0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则点M 的横坐标为32D.若点()2,2G ，则GFM 周长的最小值为3三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.等差数列{}n a 中242,8a a ==，则数列{}n a 的前5项和5S =__________.14.若空间向量()()()1,1,1,1,0,1,1,2,a b c m ===共面，则实数m =__________.15.与两圆2222(1)1,106180x y x y x y -+=+-++=均相切的一条直线的方程为__________. 16.椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心.已知长方形ABCD 的四条边均与椭圆22:163x y C +=相切，则椭圆C 的蒙日圆方程为__________；长方形ABCD 的面积的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）设圆C 的方程为22450x y x +--=.（1）求该圆的圆心坐标及半径；（2）若此圆的一条弦AB 的中点为()3,1P ，求直线AB 的方程.18.（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，且2,,n n n a S a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2,,1,.n n n n a n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前20项和20T . 19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,,1ABC AB AC AB AC AA ⊥===，M 为线段11A C 上一点.（1）求证：1BM AB ⊥；（2）若直线1AB 与平面BCM 所成角为4π，求点1A 到平面BCM 的距离. 20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面,PAD PAD 为等边三角形，,22,,AD BC AD CD BC E F ===∥分别为棱,PD PB 的中点.（1）求平面AEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值；（2）在棱PC 上是否存在点G ，使得DG ∥平面AEF ？若存在，确定点G 的位置；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间(]()*0,m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前50项和50S . 22.（本小题满分12分）如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>，其左､右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且121sin 3PF F ∠=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由. 高二年级质量检测数学参考答案及评分标准一､单项选择题（每小题5分，共40分）二､多项选择题（每小题5分，共20分）9.CD 10.ABC 11.ABD 12.BCD三､填空题（每小题5分，共20分）13.25 14.1 15.1y =或4390x y --=或24710x y ++=（答案不唯一） 16.229x y +=；18四､解答题（共70分）（注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分.）17.（本小题满分10分）解：（1）由圆C 的方程为22450x y x +--=，则22(2)9x y -+=所以可知圆心()2,0C ，半径3r =.（2）由弦AB 的中垂线为CP ，则10132CP k -==-， 所以可得1AB k =-.故直线AB 的方程为：()()113y x -=--即40x y +-=.18.（本小题满分12分）解：（1）由题意得：22n n n S a a =+，当1n =时，2111122a S a a ==+， 又0n a >，所以11a =.当2n ≥且*n ∈N 时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--整理可得：()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a -----=+-=+， 因为10n n a a -+>，所以11n n a a --=.所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列.所以n a n =.（2）由（1）得：()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以()()2013192420T b b b b b b =+++++++()11111111319224462022⎛⎫=++++-+-++- ⎪⎝⎭()1011911122222⨯+⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭ 510022=+ 220522= 19.（本小题满分12分）解：（1）因为1AA ⊥平面,,ABC AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，又AB AC ⊥，因此建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()110,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0A B B C . 设()[]()0,,10,1M a a ∈，则()()11,,1,1,0,1BM a AB =-=.则1110110BM AB a ⋅=-⨯+⨯+⨯=，所以1BM AB ⊥.（2）设平面BCM 的法向量为()()(),,,1,,1,1,1,0n x y z BM a BC ==-=- 所以有00n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x ay z x y -++=⎧⎨-+=⎩， 令1x =，可得()1,1,1n a =-.因为直线1AB 与平面BCM 所成角为4π，所以111cos ,AB nAB n AB n⋅=⋅ ,2== 解得12a =，即11,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因为()11,0,1A B =-，所以点1A 到平面BCM 的距离为： 11.3AB d ⋅===nn 20.（本小题满分12分）解：（1）取AD 的中点O ，连接,OP OB .因为在四边形ABCD 中，,2AD BC AD BC =∥，所以,OD BC OD BC =∥，所以四边形OBCD 是平行四边形，所以OB CD ∥.因为CD ⊥平面PAD ，,OA OP ⊂平面PAD所以,CD OA CD OP ⊥⊥所以,OB OA OB OP ⊥⊥.又在等边PAD 中，O 是AD 的中点，所以OP OA ⊥.故以O 为原点，,,OA OB OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系.()()()()(1,0,0,0,2,0,1,2,0,1,0,0,.A B C D P --则故1,2E F ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，331,0,,,1,0222EA EF ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设平面AEF 的法向量(),,n x y z =，则0,0.n EA n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即30,2210.2x z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令(2,2,1,x n ==-. 又平面PAD 的法向量()0,2,0m DC ==.设平面AEF 与平面PAD 所成的锐二面角为θ，所以 17cos cos ,17m nm n mn θ⋅===⋅ 即平面AEF 与平面PAD . （2）设点G 满足()[],2,,0,1PG PC λλλλ==-∈.所以(),2G λλ-.则()1,2DG λλ=-+.因为DG ∥平面AEF ，所以())2120DG n λλ⋅=-+-+=.解得45λ=. 即棱PC 上存在点G ，使得DG ∥平面AEF ，且45PG PC =. 21.（本小题满分12分）解：（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列， 设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得：12,2a q ==或1132,2a q ==（舍）. 所以2n n a =. （2）由题意，2n m ≤，即2log n m ≤，当1m =时，10b =.当)12,21k k m +⎡∈-⎣时，*,m b k k =∈N . 则()()()50123457323350S b b b b b b b b b =+++++++++++ 0122438416519=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯193=.22.（本小题满分12分）解：（1）设()0,P c y ，代入椭圆方程，由221a c =+， 解得201PF y a==. 因为21211sin 3PF PF F PF ∠==， 所以13PF a=. 又122PF PF a +=，故132a a a +=，解得：a = 所以椭圆方程为：2212x y +=.- 11 - （2）设动直线l 的方程为：13y kx =-， 由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()2241621039k k x x +--=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()121222416,321921k x x x x k k +==-++， ()222166464Δ12160999k k k =++=+>. 设存在定点()0,M m 满足条件， 则()()1122,,,MA x y m MB x y m =-=- 由0MA MB ⋅=..可得()()12120x x y m y m +--=， 即121211033x x kx m kx m ⎛⎫⎛⎫+----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以()()221212111033k x x k m x x m ⎛⎫⎛⎫+-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()()()2222161411033921321k k k m m k k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+--+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即()()222613250m k m m -++-=. 由题意知上式对任意的k 均成立， 故210m -=且23250m m +-=， 解得1m =.所以存在定点()0,1M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点.。

2024高二数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知圆的方程为(x-3)^2+(y+1)^2=16，该圆的半径为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B3. 若直线l的方程为y=2x+3，且与x轴交于点A，与y轴交于点B，则|AB|的长度为：A. 5B. √5C. √10D. √13答案：D4. 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，求该数列的前n项和Sn：A. n^2+2nB. n^2+nC. n^2+2n+1D. n^2+n+1答案：A5. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最大值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C6. 已知向量a=(2,-1)，b=(1,3)，则向量a与向量b的数量积为：A. 1B. -1C. 5D. -5答案：C7. 若复数z满足|z-1|=2，且|z|=3，则z的实部为：A. 1B. 2C. -1D. -2答案：B8. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，且双曲线的渐近线方程为y=±(1/2)x，则a与b的关系为：A. a=2bB. a=b/2C. b=2aD. b=a/2答案：A9. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的单调递增区间：A. (-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,2)∪(2,+∞)D. (-∞,+∞)答案：B10. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式：A. -2B. 2C. -5D. 5答案：A二、填空题（每题3分，共15分）11. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则该数列的第10项a10为________。

答案：1912. 函数f(x)=x^2-6x+8的顶点坐标为________。

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。

5．难度系数：0.62。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A ．a b + ，c b + ，a c- B ．2a b + ，b ，a c- C ．2a b +，2c b + ，a b c++r r r D ．a b + ，a b c ++r r r ，cA ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】B3．设定点()10,2F -，()20,2F ，动点P 满足条件()120PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．射线D ．椭圆或线段4．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，113CF CC =，则异面直线EF 与11B D 所成角的余弦值为（）A ．23B C ．26D ．21故选：C .5．已知直线l ：3mx y ++和直线：，则“1m =-”是“l ∥A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当//l n 时，(m m6．已知椭圆22:1(0)M a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在M 上，Q 为2PF 的中点，且121,FQ PF FQ b ⊥=，则M 的离心率为（）A ．3B ．13C ．12D 根据题意可知112PF F F ==又Q 为2PF 的中点，可得PQ12均过定点，且圆12均与轴、轴相切，则圆12的半径之积为（）A ．ab B ．2abC ．22a b+D ．222a b +为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱,,AB AC AD 分别交于,,O P Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则V V'的最小值为（）A ．14B ．18C ．116D ．127【答案】C【详解】连接AM ，由题意知：()1122AN AF AD DF ==+ ()111362AD AB AC =+⨯+=令AOx AB APy AC ⎧=⎪⎪⎪=⎨，则AO AB x AP AC y ⎧=⎪⎪⎪=⎨选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =-- ，则12l l //B ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥C ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α10．已知直线，圆00为圆C 上任意一点，则下列说法正确的是（）A ．2200x y +的最大值为5B ．00y x 的最大值为5C ．直线l 与圆C 相切时，k =D ．圆心C 到直线l 的距离最大为411．已知直线:(0)l y kx k =≠交椭圆221x y a b+=于A ，B 两点，1F ，2F为椭圆的左、右焦点，M ，N 为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与2F 关于直线l 的对称点为Q ，则（）A ．若1k =，则椭圆的离心率为B ．若13MA MB k k =-，则椭圆的离心率为3C ．1//l FQ D ．若直线BQ 平行于x 轴，则k =对于A ，若1k =，则(0,)Q c 所以2222c cc e a b cc ===+对于B ，设0,0，则(B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点()()4,0,0,2A B ，当PBA ∠最小时，PB =.13．下列关于直线方程的说法正确的是.①直线sin 20x y θ-+=的倾斜角可以是2；②直线l 过点()2,3-，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为10x y +-=；③过点()00,P x y 的直线0Ax By C ++=的直线方程还可以写成()()000A x x B y y -+-=；④经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程可以表示为111212y y x x y y x x --=--.1111的棱长为3，P 是侧面11（包括边界）上一动点，E 是棱CD 上一点，若APB DPE ∠=∠，且APB △的面积是DPE 面积的9倍，则三棱锥P ABE －体积的最大值是．.77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=.(1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB 面积最小时，求AOB 的周长.()1740++--=m y m 可得：(m ，所以直线l 过定点()3,1M ．.....................51111平面11(1)求证：平面11AB C ⊥平面1A BC ；(2)设点P 为1AC 的中点，求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【详解】（1）证明1AA ⊥ 平面,ABC BC ⊂平面ABC ，1AA BC ∴⊥.又1,AB BC AA AB A ⊥⋂= ，且1,AA AB ⊂平面11ABB A ，BC ∴⊥平面11ABB A .1AB ⊂ 平面111,ABB A BC AB ∴⊥.又111,AB A C A C BC C ⊥⋂= ，且1,AC BC ⊂平面1A BC ，1AB ∴⊥平面1A BC .1AB ⊂ 平面11AB C ，∴平面11AB C ⊥平面1A BC ......................6分（2）由（1）知11AB A B ⊥，所以四边形11ABB A 为正方形，即12AA AB ==，且有22AC =.以点A 为原点，以1,AC AA 所在直线分别为,y z 轴，以过A 点和AC 垂直的直线为x 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()()()()()110,0,2,0,22,0,2,2,0,2,2,2,0,2,1A C B B P ，所以()()()2,0,1,0,2,1,2,2,0BP AP CB =-==-，设平面ABP 的一个法向量 =s s ，则0,0,BP n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,20,x z y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取()1,1,2n =- ，同理可得平面BCP 的一个法向量()2,2,2m = ，所以()()2,2,21,1,2221cos ,2224112222m n m n m n ⋅-⋅====++⨯++⨯ ，所以平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值为12......................15分17．（15分）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的焦距为22，离心率为22.(1)求C 的标准方程；(2)若5,02A⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l：()302x ty t=+>交椭圆C于E，F两点，且AEF△的面积为2，求t的值.联立则12232ty yt+=-+，12y y=-设直线l与x轴的交点为D⎛⎝如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD⊥，AB AD⊥，PA PD=，1AB=，2AD=，AC CD==.(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M，使得//BM平面PCD?若存在，求出AM AP的值；若不存在，请说明理由.【详解】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD⋂平面ABCD AD=，且AB AD⊥，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB PD⊥，又PD PA⊥，且PA AB A=，,PA AB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB；.......................5分（2）取AD中点为O，连接,CO PO，19．（17分）已知圆O的方程为2,1-的圆O的切线方程；(1)求过点()(2)已知两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中R a ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，PA n PB =（n 为常数），①求常数n 的值；②过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．。

专题1.2 直线与方程 章末检测2（中）第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1．（2021·广东省高二期末）过点()1,2P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A ．240x y +-=B ．250x y +-=C ．240x y +-=或250x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=【答案】D【分析】就直线与AB 平行或过AB 的中点可求直线的方程. 【详解】若过P 的直线与AB 平行，因为3(5)424AB k --==--， 故直线l 的方程为：()241y x -=--即460x y +-=.若过P 的直线过AB 的中点，因为AB 的中点为()3,1-，此时2(1)3132AB k --==--， 故直线l 的方程为：()3212y x -=--即3270x y +-=.故选：D. 2．（2021·合肥市第六中学高二期末）满足过点()2,3P 且在两坐标轴上截距相等的直线l 的条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】按照题意直线在两坐标轴上截距相等，则讨论直线过原点和不过原点两种情况，然后计算出结果，确定直线的条数.【详解】由题意知直线在两坐标轴上截距相等. 当直线过原点时直线方程为:32y x =； 当直线不过原点时设直线方程为1x ya b +=，又因为截距相等，则b a =，将点()2,3P 代入有231a a+=，解得5a b ==，此时直线方程为:+50x y -=.综上满足过点()2,3P 且在两坐标轴上截距相等的直线有2条.故选：B.【点睛】易错点点睛：本题考查了求直线方程，计算过程中需要满足其截距相等，这里需要注意分类讨论是否过原点，还有就是要注意直线方程有五种形式，解题时设直线方程要结合题中条件运用最优的直线方程来解题.3．（2021·江苏高二专题练习）l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程为（ ）A ．x ＋2y －3＝0B ．x －2y －3＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y －3＝0 【答案】A【分析】根据题意，当两条平行直线与AB 垂直时，两条平行直线的距离最大，求得直线l 1的斜率，结合点斜式，即可求解.【详解】当两条平行直线与AB 垂直时，两条平行直线的距离最大， 因为1(1)210k --==-，所以112k =- 所以l 1的方程为11(1)2y x -=--，即230x y +-=.故选：A. 4．（2020·湖南省长郡中学高二月考）直线l 经过()2,1A ，()2(,)1B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．0,B ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 【答案】D【解析】直线l 的斜率为2212121121y y m k m x x --===---，因为m R ∈，所以(],1k ∈-∞，所以直线的倾斜角的取值范围是0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故选：D.5．（2021·江苏高二课时练习）已知直线:10l ax y -+=，点(1,3)A -，()2,3B ，若直线l 与线段AB 有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[4-，1]B ．1[4-，1]C ．(-∞，[)1]14-⋃+∞D ．(-∞，[)4]1-⋃+∞【答案】A【分析】若直线l 与线段AB 有公共点，由A 、B 在直线l 的两侧（也可以点在直线上），得(1,3)(2,3)0f f -≤（(,)1f x y ax y =-+）可得结论．【详解】若直线l 与线段AB 有公共点，则A 、B 在直线l 的两侧（也可以点在直线上）.令(,)1f x y ax y =-+，则有(1f ，3)(2f -，3)0≤，即(31)(231)0a a ++-+.解得41a -，故选：A. 6．（2021·江西南昌市·高三二模）直线l ：()2y k x =+上存在两个不同点到原点距离等于1，则k 的取值范围是（ ）A ．()2,2-B ．(C ．()1,1-D ．⎛ ⎝⎭【答案】D【分析】由原点到直线的距离小于1可得．【详解】直线l ：()2y k x =+上存在两个不同点到原点距离等于1，则原点到直线的距离小于1，21k ，解得k <<D ．7．（2021·江苏高二课时练习）已知直线l 方程为f （x ，y ）＝0，P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2）分别为直线l 上和l 外的点，则方程f （x ，y ）﹣f （x 1，y 1）﹣f （x 2，y 2）＝0表示（ ） A ．过点P 1且与l 垂直的直线 B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线 【答案】C【分析】因为P 1（x 1，y 1）为直线l 上的点，则f （x 1，y 1）＝0，所以原方程化为f （x ，y ）﹣f （x 2，y 2）＝0，即可判断结果．【详解】P 1（x 1，y 1）为直线l 上的点，f （x 1，y 1）＝0，f （x ，y ）﹣f （x 1，y 1）﹣f （x 2，y 2）＝0，化为f （x ，y ）﹣f （x 2，y 2）＝0，显然P 2（x 2，y 2）满足方程f （x ，y ）﹣f （x 1，y 1）﹣f （x 2，y 2）＝0， 又因为f （x 2，y 2）0≠，则f （x ，y ）﹣f （x 2，y 2）＝0与f （x ，y ）＝0平行，所以f （x ，y ）﹣f （x 1，y 1）﹣f （x 2，y 2）＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选：C ．8．（2021·全国高二课时练习）已知在ABC 中，其中(1,4)B ，(6,3)C ，BAC ∠的平分线所在的直线方程为10x y -+=，则ABC 的面积为（ ）A．B ．C ．8 D ．【答案】C【分析】首先求得直线10x y -+=与直线BC 的交点D 的坐标，利用D 到直线,AB AC 的距离相等列方程，解方程求得A 点的坐标.利用A 到直线BC 的距离以及BC 的长，求得三角形ABC 的面积. 【详解】直线BC 的方程为()1415y x -=--，即5210x y +-=. 由521010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得811,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设()8,1,3A a a a +≠，直线,AB AC 的方程分别为()()3241,3616a a y x y x a a ---=--=--- ，即()()3131a x a y a ---+-，()()26360a x a y a -----=.根据角平分线的性质可知，D 到直线,AB AC 的距==83a ≠，所以上式可化为2=方并化简得2803a a -=，解得0a =（83a ≠），所以()0,1A .所以()0,1A 到直线BC=，而BC =182ABC S ∆==.故选：C【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 二、多选题（每小题5分，共20分）9．（2020·江苏高二期中）光线自点()2,4射入，经倾斜角为135的直线:1l y kx =+反射后经过点()5,0，则反射光线还经过下列哪个点（ ） A ．()14,2 B ．914,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．()13,2D ．()13,1【答案】BD【分析】求出点()2,4关于直线l的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.【详解】因为直线l 的倾斜角为135，所以直线l 的斜率为1k =-，设点()2,4关于直线:1l y x =-+的对称点为(),m n ，则41242122n m n m -⎧=⎪⎪-⎨++⎪=-+⎪⎩，解得31m n =-⎧⎨=-⎩，所以，反射光线经过点()3,1--和点()5,0，反射光线所在直线的斜率为101358--=--， 则反射光线所在直线的方程为()158y x =-，当14x =时，98y =；当13x =时，1y =.故选：BD. 【点睛】结论点睛：若点()11,P x y 与点()222,P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，由方程组121222210221x x y y A B C y y A x x B ++⎧⋅+⋅+=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩可得到点1P 关于直线l 的对称点2P 的坐标()22,x y （其中0B ≠，12x x ≠）. 10．（2021·全国高二专题练习）已知直线1:10l ax y -+=，2:10l x ay ++=，a R ∈，以下结论正确的是（ ） A ．不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则MO【答案】ABD【分析】由两直线垂直的判定方法可知A 正确；根据直线过定点的求解方法可知B 正确；设1l 上一点(),1x ax +，其关于0x y +=对称的点不在2l 上，知C 错误；联立两直线方程可求得M ，利用两点间距离公式表示出MO ，根据函数最值的求法可求得MO 的最大值，知D 正确.【详解】对于A ，()110a a ⨯+-⨯=恒成立，12l l ∴⊥恒成立，A 正确；对于B ，对于直线1l ，当0x =时，1y =恒成立，则1l 过定点()0,1；对于直线2l ，当0y =时，1x =-恒成立，则2l 恒过定点()0,1-，B 正确；对于C ，在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---， 代入2l 方程知：()1,ax x ---不在2l 上，C 错误；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得：221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，MO ∴==MOD 正确.故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题D 选项考查了两点间距离最值的求解，解题基本思路是能够将两点间的距离表示为关于某一变量的函数的形式，利用函数最值的求解方法求得结果.11．（2021·福建师大附中高二期中）某同学在研究函数()f x =的性质时，受到两点间距离公式的启发，将()f x变形为()f x ，则()f x 表示||||+PA PB （如图），下列关于函数()f x 的描述，描述正确的是（ ）A ．()f x 的图象是中心对称图形B ．()f x 的图象是轴对称图形C ．函数()f x的值域为)+∞ D．方程[()]1f f x =【答案】BC【分析】先根据几何意义可以求函数f （x ）的值域，进而判断AC 选项，再结合3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断B 选项，对于C 选项，把f （x ）当做整体换元令f (x ) =t ，先把t 解出来，进而解出x 无解，即可判断D 选项.【详解】由题意值()||f x AB ≥，而||AB =所以()f x ≥()f x的值域为)+∞，故C 正确. 由函数的值域知，函数图象不可能为中心对称图形，故A 错误.因为32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数关于32x =对称，故B 正确.设()f x t =，则方程[()]1f f x =+()1f t =10t =，或3t =.因为函数()f x ≥0t =或3t =时，不成立，所以方程无解，故D 错误.故选：BC【点睛】本题是有关命题真假判断的题目，解题的关键是根据图形，分析得到函数的性质，属于中档题. 12．（2020·江苏苏州市·高二期中）在平面直角坐标系中，定义()1212,d P Q x x y y =-+-为()()1122,,,P x y Q x y 两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（ ） A ．若点C 在线段AB 上，则有()()(),,,d A C d C B d A B +=B ．若、、A BC 是三角形的三个顶点，则有()()(),,,d A C d C B d A B +> C ．到()()1,0,1,0M N -两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线0x =D ．若O 为坐标原点，点B 在直线+0x y -上，则(),d O B 的最小值为2【答案】AC【分析】对A ，根据“折线距离”的定义化简可得；对B ，由绝对值不等式可判断；对C ，设出点的坐标，根据定义列出方程即可求解；对D ，由(),2d O B x y x x =+=+≥.【详解】对A ，若点C 在线段AB 上，设()()()001122,,,,,C x y A x y B x y ，则0x 在12,x x 之间，0y 在12,y y 之间， 则()()01012020,,d A C d C B x x y y x x y y +=-+-+-+-()1212,x x y y d A B =-+-=，故A 正确； 对B ，在ABC 中，()()01012020,,d A C d C B x x y y x x y y +=-+-+-+-()()()()01200120x x x x y y y y ≥-+-+-+-()1212,x x y y d A B =-+-=，故B 错误；对C ，设到()()1,0,1,0M N -两点的“折线距离”相等的点的坐标为(),x y ， 则11x y x y ++=-+，解得0x =，故C 正确；对D ，设(),B x y ，则(),d O B x y x x =+=+≥(),d O B 的最小值为D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查“折线距离”的应用，属于新定义问题，解题的关键是正确理解定义，并结合绝对值不等式进行化简判断.第II 卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13．（2021·浙江效实中学高二期中）已知ABC ∆为等腰直角三角形，C 为直角顶点，AC 中点为(0,2)D ，斜边上中线CE 所在直线方程为3+70x y -=，且点C 的纵坐标大于点E 的纵坐标，则AB 所在直线的方程为______.【答案】310x y -+=【分析】设(,37),(,37),()C a a E b b a b -+-+<，由中点公式求出点A 坐标，根据等腰直角三角形可知CE AB ⊥，AC DE ⊥，建立AE k 与CE k ，CD k 与DE k 间关系，即可求出,a b ，进而根据点斜式求出直线AB 的方程.【详解】因为中线CE 所在直线方程为3+70x y -=，所以可设(,37),(,37),()C a a E b b a b -+-+<， 由AC 中点为(0,2)D ，可得(,33)A a a --，所以3310103AE b a k b a a b--+==-+++，ABC ∆为等腰直角三角形，CE 为中线，CE AB ∴⊥,10133AE AB k k a b ∴=-+==+，3a b ∴+=①， 又,CE AE D =是AC 的中点，AC DE ∴⊥,1CD DE k k ∴⋅=-,353+51a b a b-+-∴⨯=-， 化简得：23()5ab a b =+- ②，由①②解得1,2a b ==，所以点(2,1)E ,又因为13AB k =，所以直线AB 方程为11(2)3y x -=-,即所求方程为310x y -+=.故答案为：310x y -+=【点睛】本题主要考查了两直线垂直位置关系，根据两直线垂直研究斜率之间的关系，直线方程的点斜式，考查了推理能力和运算能力，属于中档题.14．（2021·江苏高三其他模拟）与直线3450x y -+=关于1y x =+对称的直线的方程为__________. 【答案】4320x y -+=【分析】求出直线3450x y -+=与直线1y x =+的交点，在直线3450x y -+=上取点5(0,)4，求出它关于直线1y x =+的对称点，再由两点式可求出结果.【详解】联立34501x y y x -+=⎧⎨=+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线3450x y -+=与直线1y x =+的交点为(1,2)，在直线3450x y -+=上取点5(0,)4，设点5(0,)4关于直线1y x =+的对称点为(,)a b ，则541054122b a b a ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪+⎪=+⎪⎩，解得141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以点5(0,)4关于直线1y x =+的对称点为(1,14)， 由两点式可得与直线3450x y -+=关于1y x =+对称的直线的方程为：2112114y x --=--，即4320x y -+=.故答案为：4320x y -+=15．（2021·江西高二期末）在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB 的两个端点分别在x 轴和y 轴上运动，点M 是直线40x y +-=上的动点，则||||MA MB +的最小值为___________. 【答案】4【分析】设点()()0,0A a B b ，，，则229a b +=，求出点B 关于直线40x y +-=的对称点为()'11,B x y ，问题转化为要使||||MA MB +最短，则需'||AB 最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案.【详解】设点()()0,0A a B b ，，，则229a b +=，点B 关于直线40x y +-=的对称点为()'11,B x y ， 则11111++4022y bx x y b -⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1144x b y =-⎧⎨=⎩，所以要使||||MA MB +最短，则需'||AB 最短，而'||AB =又229a b +=，设3cos ,3sin a b θθ==，所以3sin +3cos +4a b πθθθ⎛⎫+==⎪⎝⎭，所以a b -≤+≤所以当4ab +=时（满足a b -+≤，'||AB 取得最小值，最小值为'||4AB =， 所以||||MA MB +的最小值为4，故答案为：4.【点睛】方法点睛：本题考查两距离和的最小值问题，常采用求得点关于直线的对称点，利用对称的性质解决线段和的最小值问题.16．（2020·江苏高二期中）设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R)．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为__________________________；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积取最小值时，直线l 对应的方程为________________.【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0 x ＋y －2＝0【详解】(1)①当直线l 经过坐标原点时，可得a ＋2＝0，解得a ＝－2． 所以直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；②当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由条件得221a a a +=++，解得a ＝0， 所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．综上可得直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0． (2)在(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0（a >－1）中，令0x =，得2y a =+；令0y =，得21a x a +=+．所以2(,0),(0,2)1a M N a a +++．由于1a >-，得210a a +>+>． 所以22121(2)1(1)2(1)1(2)212121OMNa a a a S a a a a ∆++++++=⋅⋅+=⋅=⋅+++111[(1)2]2]2212a a =+++≥=+． 当且仅当111a a +=+，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0． 答案：(1) x －y ＝0或x ＋y －2＝0 (2) x ＋y －2＝0【点睛】用基本不等式求最值时，首先要判断是否满足了使用基本不等式的条件，若满足则可直接利用基本不等式求出最值；若不满足，则需要对代数式进行适当的变形，此时要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等变形的技巧，通过变形使得代数式满足基本不等式中“正”、“ 定”、“等”的条件． 四、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（2021·河南郑州市·高一期末）在ABC 中，已知()1,6M 是BC 边上一点，边AB ，AC 所在直线的方程分别为270x y -+=，60x y -+=.（1）若AM BC ⊥，求直线BC 的方程；（2）若BM CM =，求直线BC 在x 轴上的截距.【答案】（1）280x y +-=；（2）195-. 【分析】（1）由直线方程得交点A 的坐标，由AM BC ⊥，可得直线BC 斜率，写出点斜式方程整理即得； （2）题意说明M 是BC 中点，设(,)B a b ，由中点坐标得出C 点坐标，代入相应的直线方程可求得,a b ，从而可得直线BC 方程，求得其中x 轴上截距．【详解】解：（1）由27060x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得15x y =-⎧⎨=⎩，即()1,5A -，又()1,6M ，所以()651112AM k -==--，由题意知AM 为BC 边长的高，所以2BC k =-，()1,6M 为BC 边上一点，所以BC l ：()621y x -=--， 所以直线BC 的方程为280x y +-=.（2）设点B 的坐标为(),a b ，由题意知()1,6M 为BC 的中点，得点C 的坐标为()2,12a b --，又点B 与点C 分别在直线AB 和AC 上，所以()()27021260a b a b -+=⎧⎨---+=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以点B 的坐标为()3,1-，54BC BM k k ==，BC 方程()5614y x -=-，即54190x y -+=. 所以直线BC 在x 轴上的截距为195-. 【点睛】本题考查直线的位置关系，考查中点坐标公式．（1）斜率存在的两条直线12,l l ，12121l l l l k k ⊥⇔⋅=-，1212//l l l l k k ⇔=；（2）1122(,),(,)A x y B x y 的中点是1212(,)22x x y y M ++． 18．（2021·重庆复旦中学）根据条件求直线方程．（1）已知直线:210l x y --=，求其关于()1,1-对称的直线l '的直线方程；（2）求直线1:240l x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线2l 的方程．【答案】（1）270x y -+=；（2）211160x y ++=．【分析】（1）设所求直线:20l x y m '-+=，求出直线l 上任一点的对称点坐标，代入求出参数m 即可得； （2）求出已知两直线1l 和l 的交点坐标，在求出直线1l 上另一点关于直线l 的对称点坐标，由交点和对称点可得直线2l 方程．【详解】（1）设所求直线:20l x y m '-+=，在直线:210l x y --=上取一点()1,0，则关于点()1,1-的对称点()3,2-在直线:20l x y m '-+=上，代入得：7m =，所求直线方程为270x y -+=．（2）由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,2x y =⎧⎨=-⎩，1,l l 的交点()3,2M -， (2,0)A 是直线1l 的点，它关于直线l 的对称点为(,)A a b '， 则4232341022b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得4585a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以48,55A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，则,M A '都在直线2l 上，所以A M '所在直线2l 为23842355y x +-=-+-，故直线的方程为211160x y ++=． 【点睛】方法点睛：本题考查求关于点或直线对称的直线方程，解题方法如下：（1）直线1l 关于直线外的一点对称的直线2l 与已知直线1l 平行；（2）直线1l 与2l 关于直线l 对称，需要用到点关于直线对称，,A B 两点关于直线l 对称，则应用两个条件求解：直线AB 与l 垂直；线段AB 的中点在直线l 上．另外，如果1//l l ，则21//l l ，如果l 与1l 相交于点M ，则直线2l 也过点M ．19．（2021·华中科技大学附属中学高二月考）已知直线1:0l mx y m -+=，2:(1)0l x my m m +-+=，3:(1)(1)0l m x y m +-++=，记122331l l A l l B l l C ⋂=⋂=⋂=，，．（1）当2m =时，求原点关于直线1l 的对称点坐标；（2）在ABC 中，求BC 边上中线长的最小值．【答案】（1）84(,)55-；（2）12. 【分析】（1）根据对称的性质，结合互相垂直的两条直线的斜率的性质，通过解方程组、中点坐标公式进行求解即可；（2）根据两条直线的斜率关系可以判断出ABC 是直角三角形，最后利用直角三角形的性质，结合两点间距离公式进行求解即可.【详解】（1）当2m =时，直线1l 的方程为22022x y y x -+=⇒=+，所以直线1l 的斜率为2，设过原点与直线1l 垂直的直线l 斜率为k ，所以1212k k ⋅=-⇒=-，因此直线l 的方程为： 12y x =-，设直线l 与直线1l 的交点为D ，所以点D 的坐标是方程组1222y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩的解，解得：4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点D 的坐标为42(,)55-，设原点关于直线1l 的对称点坐标为(,)x y ， 所以有：408525204525x x y y +⎧⎧-==-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，即原点关于直线1l 的对称点坐标为84(,)55-； （2）因为1(1)0m m ⋅+-⋅=，所以直线1:0l mx y m -+=与直线2:(1)0l x my m m +-+=互相垂直，故ABC 是直角三角形，因此BC 边上中线长为12BC ， 解方程组：(1)00(1)(1)01x my m m x m x y m y m +-+==⎧⎧⇒⎨⎨+-++==+⎩⎩，即(0,1)B m +， 解方程组：01(1)(1)00mx y m x m x y m y -+==-⎧⎧⇒⎨⎨+-++==⎩⎩，即(1,0)C -，因此12BC 1m =-时，12BC 有最小值12， 所以BC 边上中线长的最小值12.【点睛】本题的关键就是通过直线之间的垂直关系确定三角形的形状，利用直角三角形的性质进行求解. 20．（2021·上海高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，边AB 、AD 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合（如图），将矩形折叠，使点A 落在直线DC 上，记为E 点，则O ，E 关于折痕对称.设折痕所在直线的斜率为k .（1）若1k =-，试求折痕所在直线的方程；（2）当20k -≤时（此时折痕与线段BC 相交），求折痕的长度的最大值.【答案】（1）1y x =-+；（2）【分析】（1）设折痕所在直线的方程为y x b =-+，0(,1)E x ，根据O 、E 关于直线y x b =-+对称列式可求出结果；（2）设折痕所在直线的方程为y kx b =+，0(,1)E x ，当0k =时，折痕的长度为2；当20k -≤<时，根据O 、E 关于直线y kx b =+对称可求出折痕所在直线的方程为212k y kx +=+，求出折痕的两个端点的坐标，根据两点间的距离公式求出折痕的长度，再根据20k -≤<可求出最大值.【详解】（1）当1k =-时，折痕所在直线的方程为y x b =-+，依题意设0(,1)E x ，则O 、E 关于直线y x b =-+对称， 所以00101001022x x b -⎧=⎪-⎪⎨++⎪=-+⎪⎩，解得011x b =⎧⎨=⎩，所以折痕所在直线的方程为1y x =-+. （2）设折痕所在直线的方程为y kx b =+，0(,1)E x ，当0k =时，折痕所在直线的方程为12y =，此时折痕的长度为2，当20k -+<时，根据O 、E 关于直线y kx b =+对称可得00101001022x k x k b -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩， 解得0212x k k b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，则折痕所在直线的方程为212k y kx +=+， 令2x =，得2122k y k +=+，则折痕与线段BC 的交点为21(2,2)2k k ++， 令1y =，得 2102k x k-=<，此时折痕的另一个端点在y 轴上， 令0x =，得212k y +=，则折痕的另一个端点为21(0,)2k +，因为20k -<，所以220(27k <≤-+=-所以2118k <+≤-2<≤，又2>，所以折痕的长度的最大值为【点睛】（1）中，根据O 、E 关于直线y x b =-+对称列式求解是解题关键；（2）中，正确求出折痕的两个端点的坐标是解题关键.21．（2021·大连市红旗高级中学高二期中）已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=.（1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少?（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）47=m时，距离最大，最大值为（3）AOB 面积的最小值为4，此时直线方程为240x y ++=.【分析】（1）整理直线方程可得方程组，解方程组可求得定点坐标；（2）易知当定点P 与Q 连线垂直时，点Q 到直线距离最大；求出PQ 方程后，利用直线垂直关系可构造方程求得m ；利用两点间距离公式可求得最大值；（3）利用直线方程可,A B 坐标，并确定m 的取值范围，利用m 表示出AOB S，可得一个分式型的函数，通过换元法可表示出219502522AOB S t t=⨯-+-，由二次函数最值的求解方法可求得所求面积最小值，并求得m 的值，由此可得直线方程.【详解】（1）由直线方程整理可得：()23240x y m x y -+++++=，由230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩得：12x y =-⎧⎨=-⎩，∴直线恒过定点()1,2P --； （2）由（1）知：直线恒过定点()1,2P --，则当PQ 与直线垂直时，点Q 到直线距离最大，又PQ 所在直线方程为：214231y x ++=++，即3210x y --=， ∴当PQ 与直线垂直时，()()322210m m --+=，解得：47=m ； 则最大值PQ =；（3）由题意知：直线斜率存在且不为零，令0x =得：3421m y m +=-+，即340,21m B m +⎛⎫- ⎪+⎝⎭； 令0y =得：342m x m +=--，即34,02m A m +⎛⎫- ⎪-⎝⎭； 又,A B 位于,x y 轴的负半轴，340213402m m m m +⎧-<⎪⎪+∴⎨+⎪-<⎪-⎩，解得：122m -<<； ()223413434122212232AOB m m m S m m m m +++=⨯⨯=⨯-+-++， 令34m t +=，则5102t <<，43t m -∴=， 222221191950252222550244223233AOB t t S t t t t t t ∴=⨯=⨯=⨯-+---⎛⎫-+--+⨯+ ⎪⎝⎭， 5102t <<，112105t ∴<<， 则当114t =，即0m =时，2max 5025928t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，()min 4AOB S ∴=，此时直线的方程为：240x y ++=.22．（2020·上海杨浦区·复旦附中高二月考）在平面直角坐标系内，对于任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-.（1）求线段2(,0)x y x y +=≥上一点(,)M x y 到原点(0,0)O 的“曼哈顿距离”；（2）求所有到定点(,)Q a b 的“曼哈顿距离”均为2的动点围成的图形的周长； （3）众所周知，对于“欧几里得距离”AB①对于平面上任意三点,,A B C ，都有AB AC CB ≤+;②对于平面上不在同一直线上的任意三点,,A B C ，若222AB AC CB =+，则ABC 是以C ∠为直角的直角三角形；③对于平面上两个不同的定点,A B ，若动点P 满足PA PB =，则动点P 的轨迹是线段,A B 的垂直平分线；上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确？说明理由.【答案】（1）2；（2）（3）①正确，②错误，③错误，理由见解析【分析】（1）直接根据新定义计算；（2）不妨取Q 点为原点，求出所有到定点(,)Q a b 的“曼哈顿距离”均为2的动点围成的图形，然后再求图形的周长．（3）用“曼哈顿距离”表示出三个命题的条件，代入检验判断三个命题是否正确．【详解】（1）因为(,)M x y 在线段2(,0)x y x y +=≥上，所以0,0x y ≥≥，002MO x y x y =-+-=+=； （2）不妨设Q 点就是原点（否则把Q 到平移到原点，不改变图形的周长），若(,)M x y 在第一象限（含,x y 轴正半轴），则002MO x y x y =-+-=+=，因此点(,)M x y 在线段2(,0)x y x y +=≥上，其长度为标轴上的点）都是一条线段，长度均为4=（3）对平面上任意三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，“曼哈顿距离”为：1212AB x x y y =-+-，1313AC x x y y =-+-，2323BC x x y y =-+- ①由绝对值的性质显然有231312x x x x x x -+-≥-,231312y y y y y y -+-≥-, 所以AC BC AB +≥，132x x x ≤≤且132y y y ≤≤（或不等号全部改变方向）时等号成立．①正确； ②22212121212()()2()()AB x x y y x x y y =-+-+--，2222221323132313231323()()()()2()()2()()AC BC x x x x y y y y x x x x y y y y +=-+-+-+-+--+--12122()()x x y y --与132313232()()2()()x x x x y y y y --+--不一定相等，因此不能得出“欧几里得距离”这个传统意义上的勾股定理的形式，不能判断ABC 是直角三角形．②错误；③不妨设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由PA PB =得1122x x y y x x y y -+-=-+-，平方后得222211112222()()2()()()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+--=-+-+--，显然112()()x x y y --＝222()()x x y y --不一定成立，因此22221122()()()()x x y y x x y y -+-=-+-也不一定成立，即不能得出“欧几里得距离”相等，P 不一定在线段AB 的垂直平分线上．③错误．【点睛】本题考查新运算与绝对值的结合，应注意点C 不同位置，弄清新命题的运算规则，是本题的关键，设出各点坐标，代入关系式计算 ，根据计算结果判断是解题基础．。

第四章测评(满分:100分)一、单项选择题:本题共7小题,每小题4分,共28分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.下列有关说法正确的是( )A.玻尔在1900年把能量子引入物理学,破除了“能量连续变化”的传统观念B.动能相同的一个质子和一个电子,质子的德布罗意波长比电子长C.康普顿效应表明光子不仅具有能量,还具有动量D.普朗克大胆地把光的波粒二象性推广到实物粒子,预言实物粒子也具有波动性2.下列实验,深入地揭示了光的粒子性一面的有( )3.(湖北十堰高二期末)氢原子的能级图如图所示,用某单色光照射大量处于基态的氢原子后,氢原子辐射的光对应谱线只有两根谱线属于巴耳末系,则该单色光的光子能量为( )A.14.14 eVB.12.75 eVC.12.09 eVD.10.20 eV4.脉冲燃料激光器以450 μs的脉冲形式发射波长为585 nm的光,这个波长的光可以被血液中的血红蛋白强烈吸收,从而有效清除由血液造成的瘢痕。

每个脉冲向瘢痕传送约为5.0×10-3 J的能量,普朗克常量为6.626×10-34J·s。

则( )A.每个光子的能量约为5×10-19 JB.每个光子的动量约为3.9×10-43kg·m/sC.激光器的输出功率不能小于1.24 WD.每个脉冲传送给瘢痕的光子数约为1.47×10165.如图所示,分别用1、2两种材料作K极进行光电效应探究,其逸出功的大小关系为W1>W2,保持入射光不变,则光电子到达A极时动能的最大值E km 随电压U变化关系的图像是( )6.(广东湛江高二期末)如图所示,放映电影时,强光照在胶片上,一方面,将胶片上的“影”投到屏幕上;另一方面,通过声道后的光照在光电管上,随即产生光电流,喇叭发出与画面同步的声音。

电影实现声音与影像同步,主要应用了光电效应中的规律是( )A.入射光的频率必须大于金属的截止频率,光电效应才能发生B.光电子的最大初动能与入射光的强弱无关,只随着入射光的频率增大而增大C.当入射光的频率大于截止频率时,光电流的强度随入射光的强度增大而增大D.光电效应的发生时间极短,光停止照射,光电效应立即停止7.(辽宁朝阳高二期末)如图为氢原子的能级示意图,用某种单色光A照射处在基态的大量氢原子,结果向外辐射了6种不同频率的光子,由高能级向n=2能级跃迁向外辐射的光子处在巴耳末系,已知金属钾的逸出功为2.25 eV。

苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学（答案在最后）2024.1注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3～请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：10x ++=的倾斜角为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2214x y -=的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O 的对称点为B ，则AF BF -=（）A ．-B ．C ．4-D ．43．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b-C ．a b + ，a b - ，cD ．a b + ，a b c ++ ，c4．已知{}n a 是等比数列，若243a a a =，458a a =，则1a =（）A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：0mx y m +-=被圆M ：224210x y x y +--+=截得的最短弦的长度为（）A B ．2C ．D ．46．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面{}00P n P P α=⋅= ，其中点()01,2,3P ，法向量()1,1,1n =，则下列各点中不在平面α内的是（）A ．()3,2,1B ．()2,5,4-C ．()3,4,5-D ．()2,4,8-7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过()1,0A -，且与圆C ：()2219x y -+=相切，则圆心P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、1R 为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、2R 为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且1235R R =，3AB CD =，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：221x y m m +=-，则下列说法正确的有（）A ．若1m >，则C 是椭圆B ．若2m >，则C 是椭圆C ．若0m <，则C 是双曲线D ．若1m <，则C 是双曲线10．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a pa q +=+（p ，q ∈R ，*n ∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的有（）A ．若1p =-，3q =，则102a =B ．若1p =-，3q =，则1030S =C ．若2p =，1q =，则101024a =D ．若2p =，1q =，则102036S =11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =，则A ．1A E BD ⊥B ．1A E ⊥平面11BDD BC ．1BD =D ．直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，T 是C 的准线与x 轴的交点．若124k k =-，则（）A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在1k ，2k ，使得52AB =C ．AOB △面积的最小值为34D ．AF AT BFBT=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知荾形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程：______．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2A ，记抛物线C ：24y x =上的动点P 到准线的距离为d ，则d PA -的最大值为______．15．已如圆台的高为2，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆2O 的半径为4，A ，B 两点分别在圆1O 、圆2O 上，若向量1O A 与向量2O B的夹角为60°，则直线AB 与直线12O O 所成角的大小为______．16．函数[]y x =被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如：[]11-=-，[]4.24=．已知数列{}n a 的通项公式为()2log 21n a n =+⎡⎤⎣⎦，设{}n a 的前n 项和为n S ，则使得300n S ≤的最大正整数n 的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程；（2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()4211n n S n a =++（*n ∈N ）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF BE =，11B F C E ⊥．（1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥1A AEF -的体积最大时，求平面1A EF 与平面11ACC A 夹角的余弦值20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为（1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，11cos πn n a a n +=++（*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 及{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22b =且2121k k b a --=，2223k k b b +=（*k ∈N ），记{}n b 的前n 项和为n S ，试求所有的正整数m ，使得2212m m S S -=成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：222212x y a a -=+的右焦点为()2,0F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以12A A 为直径的圆为圆O ．（1）当l 与圆O 相切时，求DE ；（2）求证：直线AQ 与直线2A P 的交点S 在圆O 内．苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 【解析】35πtan 36k αα==-⇒=，选A 2．【答案】D【解析】由双曲线的定义知24AF BF a -==，选D 3．【答案】C【解析】对于A ，()()12b b c b c ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向是b c + ，b ，b c - 共面对于B ，()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向量a ，a b + ，a b -共面对于D ，()()c a b c a b =++-+，所以三个向量a b + ，a b c ++ ，c 共面对于C ，若()()c x a b y a b =++- ，不存在实数x ，y 使得等式成立，所以a b + ，a b - ，c不共面选C4．【答案】A【解析】由224333a a a a a =⇒=，所以30a >，则31a =，由233453888a a a q q =⇒=⇒=，所以2q =所以31214a a q ==，选A 5．【答案】C【解析】直线l ：0mx y m +-=过定点()1,0A ，圆M ：()()22214x y -+-=，圆心()2,1M ，半径2R =因为点()1,0A 在圆M 内，由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时，弦长最短为==，选C6．【答案】B【解析】对于B ，若点()2,5,4P -，则()03,3,1P P =-，则033110n P P ⋅=-++=≠ ，所以点()2,5,4-不在平面a 内，选B 7．【答案】B【解析】因为点A 在圆C 内，所以圆P 内切与圆C ，由两圆内切的关系可知，3C P PC r r AP =-=-从而32AP PC AC +=>=，所以点P 轨迹是以AC 为焦点的椭圆8．【答案】A【解析】法1：不妨设13R =，25R =，CD m =，则3AB m =，253MB R AB m =-=-，132OM R MB m =-=-所以21324151MD R OM OC CD m R m m m ==++=-++=+=⇒=所以13a c OC R -===①，212329a AC MA OM OC R m R ==++=+-+=②联立①②解得92a =，32c =，所以椭圆离心率1e 3c a ==选A法2：13R =，25R =，设轨道Ⅱ得长轴和焦距分别为2a 和2c25AM DM R ===，3OB OC ==则()2AB AM MB AM OB OM OM=-=--=+()2CD MD MC MD OC OM OM=-=-+=-3AB CD =，得：1OM =则6OA OM AM a c =+==+，3OC a c==-()2a c a c +=-，得：3a c =，故1e 3=，选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC 10．【答案】AD【解析】若1p =-，3q =，则13n n a a ++=，213n n a a +++=，两式相减可得2n n a a +=，所以{}n a 为周期2的周期数列11a =，22a =，则1022a a ==，A 正确；()101255315S a a =+=⨯=，B 错误若2p =，1q =，则()1121121n n n n a a a a ++=+⇒+=+，因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，则21n n a =-，所以1010211023a =-=，C 错误()10111021210212203612S -=-=-=-，D 正确故选AD11．【答案】ACD【解析】易知11A AB A AD ≌△△，所以11A D A B =，设AC BD O = ，O 为BD 中点，则1AO BD ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11A ACC ，1A E ⊂平面11A ACC ，所以1A E BD ⊥，A正确；对于B ，因为1123A E AA AB AD =-++，所以211111112221110333223A E AA AA AB AD AA AA AB AA AD AA ⎛⎫⋅=-++⋅-+⋅+⋅=-++=≠ ⎪⎝⎭，所以1A E 与1AA 不垂直，即1A E 与1BB不垂直所以1A E 与平面11BDD B 不垂直，B 错误对于C ，11111BD BA AA A D AB AA AD =++=-++，所以()()()2222211111222BD AB AA AD ABAA ADAB AA AB AD AA AD=-++=++-⋅-⋅+⋅111132222222BD =-⨯-⨯+⨯=⇒=C 正确对于D ，选项A 中已经证明BD ⊥平面11A ACC ，所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角即为直线1BD 与BD 所成角的余角，BD AD AB =-，而1BD = ，()()111BD BD AD AB AB AA AD ⋅=-⋅-++=所以111cos ,2BD BD BD BD BD BD ⋅==⋅，所以直线1BD 与BD 所成角为π4所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π4，D 正确故选ACD法2：{}1,,AB AD AA为空间基底来解决问题由题意知：1112AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=1111111233A E AE AA AC CE AA AB AD AA AA AB AD AA =-=+-=++-=+- DB AB AD =-，则：2211122033A E DB AB AD AA AB AA AD ⋅=--⋅+⋅= 2111111121033A E BB A E AA AB AA AD AA AA ⋅=⋅=⋅+⋅-=≠ 故A 正确，B 错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，则：1BD == ，C 正确；显然有BD AC ⊥，且1BD =又()11110BD AA AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅= 故1BD AA ⊥，从而易得：BD是平面11ACC A 的一个法向量()()1111111112222BD BD AD AA AB AD AB ⋅=+-⋅-=--= 设1BD 与平面11ACC A 所成角为θ，则1sin cos ,BD BD θ== ，D 正确；因此，选ACD ．12．【答案】ABD【解析】()11,A x y ，()22,B x y ，则1212121244y y k k x x y y ===-得：2121y y p =-=-，故直线AB 过焦点F ，选项AD 正确22AB p ≥=，故选项B 正确；设直线AB 的倾斜角为θ，则2112sin 2sin 2AOBp S θθ==≥△，选项C 错误；（或注意到当AB 为通径时，213224AOB p S ==<△，故选项C 错误）因此，选ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】2214x y +=（答案不唯一）14．【答案】5【解析】由抛物线的定义知，d PF =，所以()()2221205d PA PF PA AF -=-≤=-+-=当点P 位于射线AF 与抛物线交点时，取最大值515．【答案】3π【解析】法1：AB 在12O O 上的投影向量为12O O ，故212124AB O O O O ⋅== ()221122124416216AB AO O O O BO A O B =++=++-⋅=设直线AB 与直线12O O 所成角为θ，则12121cos 2AB O O AB O O θ⋅== ，即3πθ=法2：如图，12O A O C ∥，则260BO C ︒∠=，2BO C △为等边三角形，点A 在圆2O 上的射影为D ，则D 为2O C 中点，所以224223BD =-=，2AD =，在Rt ADB △中tan 3BDBAD AD∠==，则π3BAD ∠=即AB 与12O O 所成角为π3法3：以2O 为原点建系，()10,0,2O ，()0,2,2A ，()23,2,0B 故12121241cos ,242AB O O AB O O AB O O ⋅===⨯，即所成角为π3．16．【答案】59【解析】12k a k -=，()122log 211k k a k +⎡⎤=+=+⎣⎦故122k k n -≤<时，n a k =，共11222k k k ---=项其和为()()1121222k k k k k k --⋅=-⋅--⋅()()()()1021121021212021222121k k k k S k k k --=⋅--⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅--⋅=-⋅+6321321300k S S -==>又3263n ≤<时，6n a =，故60303S =，59297S =因此，所求正整数n 的最大值为59.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）因为E 为BD 中点，()2,0B ，()0,1D ，所以11,2E ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥，由()1,1A --，()2,0B ，得13AB k =，所以13CD AB k k ==．由l CD ⊥知直线l 的斜率为3-，所以直线l 的方程为()1312y x -=--，即所求直线l 的方程为6270x y +-=．（2）因为四边形ABCD 为平行四边形，且()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ，设(),C m n ，由BC AD = 得212,m n -=⎧⎨=⎩解得()3,2C ，又由1BD BC k k ⋅=-得BC BD ⊥，且BC =，所以点C 为圆心，与直线BD 相切的圆的标准方程为()()22325x y -+-=．18．【解析】（1）令1n =得11a =因为()4211n n S n a =++（*n ∈N ），所以()114211n n S n a --=-+（2n ≥，*n ∈N ），两式相减得()()142121n n n a n a n a -=+--（2n ≥，*n ∈N ），即()()12321n n n a n a --=-．所以12123n n a n a n --=-（2n ≥，*n ∈N ），所以3212135211323n n a a a n a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-，即121n a n a =-，所以21n a n =-（2n ≥，*n ∈N ），又11a =，所以21n a n =-（*n ∈N ）．（2）由（1）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111121335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19．【解析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，因为90BAC ∠=︒，所以AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系（如图），设1AA a =（0a >），AF BE λ==（02λ<<）又2AB AC ==，所以可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()10,0,A a ，()12,0,B a ，()10,2,C a ，()2,0,0E λ-，()0,,0F λ，所以()12,,B F a λ=-- ，()12,2,C E a λ=---，因为11B F C E ⊥，所以110B F C E ⋅= ，所以22420a λλ--+=，所以2a =，即该直三棱柱的高为2．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AA ⊥平面AEF ，又90BAC ∠=︒，由（1）知12AA =，AE BE λ==（02λ<<），所以()111112333A AEF AEF V S AA λλ-=⋅=⋅-≤△，当且仅当1λ=时取“＝”即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥1A AEF -的体积最大．此时()1,0,0E ，()0,1,0F ，()10,0,2A ，所以()11,0,2A E =- ，()10,1,2A F =-，设()1,,n x y z =是平面1A EF 的一个法向量，则11110,0,A E n A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1z =，得()12,2,1n = ，又平面11ACC A 的一个法向量为()21,0,0n =，所以12121222cos ,313n n n n n n ⋅===⨯⋅，因为平面1A EF 与平面11ACC A 的夹角θ为锐角，所以2cos 3θ=．20．【解折】（1）由题意2c =c ==，又因为2a b =，所以4a =，2b =，所以C 的标准方程为221164x y +=．（2）设直线l ：12y x m =+（0m ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，()33,P x y ．将12y x m =+代入C ：221164x y +=中，化简整理得222280x mx m ++-=，于是有2122123240,2,28,m x x m x x m ⎧∆=->⎪+=-⎨⎪=-⎩所以12AB x =-===因为点O 关于l 的对称点为P ，所以333302,0001,222y x y x m -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩解得334,58.5x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即48,55P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为P 在C 上，所以2248551164m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得22517m =．又因为点O 到直线l的距离d ==，所以由对称性得2OAB OAPB S S AB d ==⋅=四边形△22==第二问法2：设l：12y x m=+，OP：2y x=-，则(),2P x x-，0x≠=，0x≠，解得45mx=-，则48,55m mP⎛⎫- ⎪⎝⎭代入C：221612525m m+=，得：22517m=，则5OP==22222222804160y x mx mx mx y=+⎧⇒++-=⎨+-=⎩A Bx x-==A BAB x=-=故1217S AB OP=⋅=．21．【解析】（1）将2,3n=代入11cosπn na a n+=++，得21a=，33a=，令2,21n k k=-，得2122k ka a+=+，221k ka a-=，所以21212k ka a+-=+，又11a=，从而()2112121ka k k-=+-=-，所以22121k ka a k-==-，从而,,1,.nn nan n⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（2）由212121k kb a k--==-，又22b=，2223k kb b+=，所以{}2k b是以2为首项、3为公比的等比数列，所以1223kkb-=⋅，所以()()*1*2,21,23,2,nnn n k kbn k k-⎧=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩NN因为2212m mS S-=，所以221m mb S-=．因为()()21122113212422m m m mS b b b b b b b b b----=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11223112131231mmm mm---+-=+=+--，所以1122331m m m--⋅=+-，即1231m m-=-当1m=时，1231m m-=-无解；当1m >所以当且仅当2m =时，2113m m --取最大值1，即1231m m -=-的解为2m =．综上所述，满足题意的m 的值为2．第2问法2：（2）212121k k b a k --==-，2223k k b b +=，22b =，则2223k kb b +=故{}2n b 是首项为2，公比为3的等比数列，则1122323n n n b b --=⋅=⋅()()21321242m m m S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()222133113m m m m ⋅-=+=+--2212m m S S -=，即()2222m m m S S b =-，即222m mS b =213143m m m -+-=⋅，即1231m m -=-令()2113n n f n --=，则()()2221212231333nn nn n n n n f n f n -+--+++-=-=1n =时，()()10f n f n +->，即()()12f f <2n ≥时，()()10f n f n +-<，即()()()234f f f >>>⋅⋅⋅()10f =，2n ≥时，()()21f n f <=故满足方程1231m m -=-的正整数m 只有2即使得2212m m S S -=成立的正整数m 为222．【解析】（1）因为()2,0F ，所以()2224a a ++=．所以21a =，所以圆O 的半径1r =．由题意知l 的斜率存在，设l ：()2y k x =-（0k ≠）．当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d r =，1=，解得3k =±由()222,0,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22223440k x k x k --+=，即2210x x +-=，解得1D x =-，12E x =，所以D E DE x =-=（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由()222,1,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()222234430k x k x k --++=，此时0k ≠，0∆>，21224303k x x k +=<-，解得203k <<，且21222212224124,3343154,33k x x k k k x x k k ⎧+==+⎪⎪--⎨+⎪==+⎪--⎩所以()1212514x x x x =+-，因为()11,0A -，()21,0A ，所以1AQ ：()2211y y x x =++，2A P ：()1111yy x x =--，联立1AQ ，2A P 方程，消去y 得()()()()()()2121121212121221112221111222x y k x x x x x x x x x y k x x x x x x ++-+--+===------+．所以()()121212121212211221125931223224443531221221444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+----+--===---++---+-++，即131x x +=--，所以12x =．将12x =代入2A P 方程得()1121y y x -=-，即()111,221y S x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭．因为11x <-，所以()()()()()2211121111313132310,214141441x x y x x x x -⎛⎫+⎡⎤-⎛⎫===+∈ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪---⎝⎭-⎣⎦⎝⎭所以()221111221y x ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即直线1AQ ，2A P 的交点S 在圆O 内．法2：（1）2224a a ++=，得：21a =，故C ：2213y x -=()2,0F ，圆O 半径为1，设l ：2x my =+1=，得：23m =()22222311212003x my m y my y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩231D E y y m -=-，则243331D E DE y m =-==-；（2）证：设l ：2x my =+，,,33m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11,P x y ，()22,Q x y ()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩1221231m y y m -+=-，122931y y m =-，显然有()121234my y y y =-+()1212211212222y y x y x y my y y y ++=++=，21121222x y x y y y -=-()()()2212122112122112121211211311:1221321:11212A P y y y x y x y y y A Q y x x x x y x y y y y y y y A P y x y k x x ⎧⎧-⎪⎪++-=+===⎪⎪+⎪-++-⇒⎨⎨⎪⎪=-=-=-⎪⎪--⎪⎩⎩即211,22A P S k ⎛⎫-⎪⎝⎭，双曲线的渐近线斜率为2A P k <。

高二数学选择性必修二同步检测试卷全套《4.1 数列的概念》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．下列说法正确的是( )A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C．数列11n⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是递增数列D．数列()11nn⎧⎫-⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是摆动数列2．已知数列12，23，34，…，1nn+，则0.96是该数列的( )A．第20项 B．第22项 C．第24项 D．第26项3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于( )A．11 B．12 C．13 D．144．已知数列{a n}的通项公式a n＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )A.15B．5 C．6 D．231log3log325+5．已知递减数列{a n}中，a n＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0]6．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n，则此数列最大项是( )A．第4项 B．第6项 C．第5项 D．第5项和第6项7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，a n. 则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝( )A ．n 2B ．(n －1)2C ．n(n －1)D ．n(n ＋1)8．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n≥2时，b n ＝a b n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65 二、多选题9．(多选)一个无穷数列{a n }的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n 3－6n 2－12n －6 C ．a n ＝12n 2－12n ＋1 D ．a n ＝26611n n -+ 10．(多选)数列{F n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( )A ．S 5＝F 7－1B ．S 5＝S 6－1C ．S 2 019＝F 2 021－1D ．S 2 019＝F 2 020－1 11．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+12．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为{}n a ，其前n 项和为*,n S n ∈N ，则（ ）A ．20220a =B ．357202111115051011a a a a ++++=C ．232156S =D ．246489800a a a a ++++=三、填空题13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 14．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1nn +，则a n ·a n ＋1·a n ＋2＝________. 15.数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n≥2)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________． 16.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前多少项和最大．18．在数列{}n a 中，2293n a n n =-++.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.19．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n+1 +2a n a n+1- a n =0. （1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{a n}的一个通项公式； （3）实数199是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？20．已知数列2299291n n n ⎧⎫-+⎨⎬-⎩⎭. (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由． 21．已知函数f(x)＝x －1x.数列{a n }满足f(a n )＝－2n ，且a n >0.求数列{a n }的通项公式． 22．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n n (n ∈N *)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由． 答案解析 一、单选题1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C ．数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是递增数列 D ．数列()11nn ⎧⎫-⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是摆动数列【答案】D【解析】数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列． 2．已知数列12，23，34，…，1n n +，则0.96是该数列的( ) A ．第20项 B ．第22项 C ．第24项 D ．第26项 【答案】C 【解析】由1nn +＝0.96，解得n ＝24. 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( )A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.4．已知数列{a n}的通项公式a n＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )A.15B．5 C．6 D．231log3log325+【答案】B【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5. 5．已知递减数列{a n}中，a n＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0]【答案】C【解析】a n＋1－a n＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n，则此数列最大项是( )A．第4项 B．第6项 C．第5项 D．第5项和第6项【答案】D【解析】a n＝－n2＋11n＝－2112n⎛⎫-⎪⎝⎭＋1214，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，a n取最大值．故选D.7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，a n. 则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝( )A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1) 【答案】C【解析】由题意得a k＝nk.k≥2时，a k－1a k＝2211(1)1nnk k k k⎛⎫=-⎪--⎝⎭.∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝n21111112231n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝n211n⎛⎫-⎪⎝⎭＝n(n－1)．故选C.8．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{a n}，数列{b n}满足b1＝2，当n≥2时，b n＝a b n－1，则b6的值是( )A．9 B．17 C．33 D．65【答案】C【解析】∵b n ＝a b n －1，∴b 2＝a b 1＝a 2＝3，b 3＝a b 2＝a 3＝5，b 4＝a b 3＝a 5＝9，b 5＝a b 4＝a 9＝17，b 6＝a b 5＝a 17＝33. 二、多选题9．(多选)一个无穷数列{a n }的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n 3－6n 2－12n －6 C ．a n ＝12n 2－12n ＋1 D ．a n ＝26611n n -+ 【答案】AD【解析】对于A ，若a n ＝n ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意；对于B ，若a n ＝n 3－6n 2－12n ＋6，则a 1＝－11，不符合题意；对于C ，若a n ＝12n 2－12n ＋1，当n ＝3时，a 3＝4≠3，不符合题意；对于D ，若a n ＝26611n n -+，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意．故选A 、D.10．(多选)数列{F n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( )A ．S 5＝F 7－1B ．S 5＝S 6－1C ．S 2 019＝F 2 021－1D ．S 2 019＝F 2 020－1 【答案】AC【解析】根据题意有F n ＝F n －1＋F n －2(n≥3)，所以S 3＝F 1＋F 2＋F 3＝1＋F 1＋F 2＋F 3－1＝F 3＋F 2＋F 3－1＝F 4＋F 3－1＝F 5－1，S 4＝F 4＋S 3＝F 4＋F 5－1＝F 6－1，S 5＝F 5＋S 4＝F 5＋F 6－1＝F 7－1，…，所以S 2 019＝F 2 021－1.故选A 、C.11．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin 2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+【答案】BD【解析】因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.12．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为{}n a ，其前n 项和为*,n S n ∈N ，则（ ）A ．20220a =B ．357202111115051011a a a a ++++=C ．232156S =D ．246489800a a a a ++++=【答案】BCD【解析】根据数列前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,，则奇数项为：2112-，2312-，2512-，2712-，2912-，，偶数项为：222，242，262，282，2102，，所以通项公式为221,(2,(2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数）为偶数），对于A ， 22020020==2a ，故A 错误；对于B ，35720211111a a a a ++++22222222=++++31517120211---- 1111224466820202022⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111*********20202505100222202211⎛⎫=⨯-+-++-=-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对于C ，()()2313232422S a a a a a a =++++++222212323122+++-=，由()()22221211236n n n n +++++=，所以()()2323231461112215626S ++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，24648a a a a ++++()222221242922421224=⨯+⨯+⨯++⨯=++()()242412241298006+⨯+=⋅=，故D 正确.故选：BCD 三、填空题13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 【答案】9【解析】由a n ＝19－2n>0，得n<192.∵n ∈N *，∴n≤9.14．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1nn +，则a n ·a n ＋1·a n ＋2＝________. 【答案】3n n + 【解析】a n ·a n ＋1·a n ＋2＝1n n +·12n n ++·23n n ++＝3n n +. 15.数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n≥2)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________． 【答案】-1【解析】∵S n ＋S n －1＝2n －1(n≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1.16.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.【解析】因为OA 1＝1，OA 2，OA 3OA n a 1＝1，a 2，a 3a n 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前多少项和最大．【解析】（1）当1n =时，11321132a S ==-+=；当2n ≥时，()()()22132132111n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-+----+⎣⎦332n =-；所以：32,1332,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）因为()22321321n S n n n n =-+=--+()216257n =--+；所以前16项的和最大．18．在数列{}n a 中，2293n a n n =-++.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.【解析】（1）令22107,293107,291100n a n n n n =--++=---=，解得10n =或112n =-（舍去）.所以10107a =- （2）229105293248n a n n n ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 由于*n ∈N ，所以最大项为213a =19．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n+1 +2a n a n+1- a n =0. （1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{a n }的一个通项公式；（3）实数199是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？ 【答案】(1)见解析（2）121n a n =-（3）50【解析】（1）由已知可得11a =，213a =，315a =，417a =，519a =.（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为121n a n =-. （3）令119921n =-，解得50n =，故199是这个数列的第50项. 20．已知数列2299291n n n ⎧⎫-+⎨⎬-⎩⎭. (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．【解析】(1)设a n ＝f(n)＝2299291n n n -+- ＝(31)(32)(31)(31)n n n n ---+＝3231n n -+.令n ＝10，得第10项a 10＝f(10)＝2831. (2)令3231n n -+＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明：∵a n ＝3231n n -+＝1－331n +， 且n ∈N *，∴0<1－331n +<1， ∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)令13<a n ＝3231n n -+<23， ∴3196,9662,n n n n +<-⎧⎨-<+⎩∴7,68,3n n ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间1233⎛⎫⎪⎝⎭，内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 21．已知函数f(x)＝x －1x.数列{a n }满足f(a n )＝－2n ，且a n >0.求数列{a n }的通项公式． 【解析】∵f(x)＝x －1x ，∴f(a n )＝a n －1na ，∵f(a n )＝－2n.∴a n －1na ＝－2n ，即2n a ＋2na n －1＝0. ∴a n.∵a n >0，∴a n－n.22．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n n (n ∈N *)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．【解析】存在最大项．理由：a 1＝12，a 2＝2222＝1，a 3＝2332＝98，a 4＝2442＝1，a 5＝2552＝2532，….∵当n≥3时，221122(1)2(1)22n n n n a n n a n n++++=⨯=＝1211n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2<1， ∴a n ＋1<a n ，即n≥3时，{a n }是递减数列． 又∵a 1<a 3，a 2<a 3，∴a n ≤a 3＝98. ∴当n ＝3时，a 3＝98为这个数列的最大项．《4.2 等差数列》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．122．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O)，则S 200等于( )A ．100B ．101C ．200D ．2014．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( ) A ．15 B ．35 C ．66 D ．1005．设数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．216.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．67．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．298．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( ) A ．15 B ．24 C ．18 D ．28 二、多选题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d.已知a 3＝12，S 12>0，a 7<0，则( ) A ．a 6>0 B ．－247<d<－3 C ．S n <0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝a 4，则( )A ．a 1＋a 3＝0B ．a 3＋a 5＝0C ．S 3＝S 4D ．S 4＝S 511．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项正确的是（ ） A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为812．在等差数列{}n a 中每相邻两项之间都插入()*k k ∈N个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}n b .若9b 是数列{}n a 的项，则k 的值可能为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 三、填空题13．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________. 14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝________. 15．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．16. 已知等差数列{a n }的公差d>0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)则数列{a n }的通项公式为a n ＝________； (2)若b n ＝nS n c+ (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，则c ＝________. 四、解答题17．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .18．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n .19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. (1)求S n ，并画出{S n }(1≤n≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； (3){S n }有多少项大于零？20．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，求a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6. 21．设S n 是数列{a n }的前n 项和且n ∈N *，所有项a n ＞0，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34. (1)证明：{a n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．22．求等差数列{4n ＋1}(1≤n≤200)与{6m －3}(1≤m≤200)的公共项之和． 答案解析 一、单选题1．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】B 【解析】∵1=S n S n+奇偶，∴1651=150n n +.∴n ＝10，故选B. 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 【答案】B【解析】等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O)，则S 200等于( )A ．100B ．101C ．200D ．201 【答案】A【解析】由A ，B ，C 三点共线得a 1＋a 200＝1，∴S 200＝2002(a 1＋a 200)＝100. 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( ) A ．15 B ．35 C ．66 D ．100 【答案】C 【解析】易得a n ＝1,1,25, 2.n n n -=⎧⎨-≥⎩|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1， 令a n ＞0则2n －5＞0，∴n≥3. ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10| ＝1＋1＋a 3＋…＋a 10 ＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.5．设数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21 【答案】C【解析】∵a 1＋a 3＋a 5＝105＝3a 3， ∴a 3＝35，∵a 2＋a 4＋a 6＝99＝3a 4， ∴a 4＝33， ∴d ＝a 4－a 3＝－2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝41－2n ， 令a n ＞0，∴41－2n ＞0， ∴n ＜412， ∴n≤20.6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C【解析】a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝1()2m m a a +＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5，故选C.7．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 【答案】B【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210＞200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．8．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( ) A ．15 B ．24 C ．18 D ．28 【答案】C【解析】设括号内的数为n ，则4a 2＋a 10＋a (n)＝24， 即6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又因为S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d)为定值， 所以a 1＋5d 为定值． 所以126n +＝5，解得n ＝18. 二、多选题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d.已知a 3＝12，S 12>0，a 7<0，则( ) A ．a 6>0 B ．－247<d<－3 C ．S n <0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 【答案】ABCD【解析】依题意得a 3＝a 1＋2d ＝12，a 1＝12－2d ，S 12＝1122a a +×12＝6(a 6＋a 7)．而a 7<0，所以a 6>0，a 1>0，d<0，A 选项正确．且716167161240,51230,2112470,a a d d a a d d a a a d d =+=+<⎧⎪=+=+>⎨⎪+=+=+>⎩ 解得－247<d<－3，B 选项正确．由于S 13＝1132a a +×13＝13a 7<0，而S 12>0，所以S n <0时，n 的最小值为13.由上述分析可知，n ∈[1,6]时，a n >0，n≥7时，a n <0；当n ∈[1,12]时，S n >0，当n≥13时，S n <0.所以当n ∈[7,12]时，a n <0，S n >0，nnS a <0，且当n ∈[7,12]时，|a n |为递增数列，S n 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项．故选A 、B 、C 、D. 10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝a 4，则( )A ．a 1＋a 3＝0B ．a 3＋a 5＝0C ．S 3＝S 4D ．S 4＝S 5 【答案】BC 【解析】由S 7＝177()2a a +＝7a 4＝a 4，得a 4＝0，所以a 3＋a 5＝2a 4＝0，S 3＝S 4，故选B 、C. 11．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项正确的是（ ） A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【答案】ABD【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得1163(4)a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故A 、B 正确； 因为2217()2222n d d d dS n a n n n =+-=-， 由7722dn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误，令27022n d d S n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确． 故选：ABD ．12．在等差数列{}n a 中每相邻两项之间都插入()*k k ∈N个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}n b .若9b 是数列{}n a 的项，则k 的值可能为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】ABD【解析】由题意得：插入()*k k ∈N个数，则11ab =，22k a b +=，323k a b +=，434k a b +=⋅⋅⋅所以等差数列{}n a 中的项在新的等差数列{}n b 中间隔排列，且角标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，所以1(1)(1)n n k a b +-+=， 因为9b 是数列{}n a 的项，所以令**1(1)(1)9,,n k n N k N +-+=∈∈， 当2n =时，解得7k =， 当3n =时，解得3k =， 当5n =时，解得1k =，故k 的值可能为1,3,7，故选：ABD 三、填空题13．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________. 【答案】5【解析】∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5. 14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝________. 【答案】8【解析】∵a n ＝11(1),(2),nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩∴a n ＝2n －10.由5＜2k －10＜8，得7.5＜k ＜9，又k ∈N *，∴k ＝8.15．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________． 【答案】405【解析】由a 203＋a 204>0知a 1＋a 406>0，即S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d>0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.16. 已知等差数列{a n }的公差d>0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)则数列{a n }的通项公式为a n ＝________； (2)若b n ＝nS n c+ (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，则c ＝________. 【答案】(1)4n －3 (2)－12【解析】(1)∵S 4＝28，∴14()42a a +⨯＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又∵a 2a 3＝45，公差d>0， ∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9， ∴115,29,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,4,a d =⎧⎨=⎩∴a n ＝4n －3.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝nS n c+＝22n n n c -+，∴b 1＝11c +，b 2＝62c+，b 3＝153c +.又∵{b n }也是等差数列， ∴b 1＋b 3＝2b 2， 即2×62c +＝11c +＋153c+， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)． 四、解答题17．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 【解析】∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n. 当n≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝13n ＋(1)2n n -×(－4) ＝15n －2n 2；当n≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(131)42+⨯－(15n －2n 2) ＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝22152(4),21556(5).n n n n n n ⎧-≤⎪⎨-+≥⎪⎩18．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n . 【解析】(1)由11923,2422,a d a d +=⎧⎨+=-⎩得150,3,a d =⎧⎨=-⎩∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53. 令a n >0，得n<533， ∴当n≤17，n ∈N *时，a n >0； 当n≥18，n ∈N *时，a n <0， ∴{a n }的前17项和最大． (2)当n≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝－32n 2＋1032n. 当n≥18，n ∈N *时， |a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2223103310317172222n n ⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n ＝223103,17,*,223103884,18,*,22n n n n N n n n n N ⎧-+≤∈⎪⎪⎨⎪-+≥∈⎪⎩19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. (1)求S n ，并画出{S n }(1≤n≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； (3){S n }有多少项大于零？ 【解析】(1)S n ＝na 1＋(1)2n n - d ＝12n ＋(1)2n n -×(－2)＝－n 2＋13n.图象如图．(2)S n＝－n2＋13n＝－2132n⎛⎫-⎪⎝⎭＋1694，n∈N*，∴当n＝6或n＝7时，S n最大；当1≤n≤6时，{S n}单调递增；当n≥7时，{S n}单调递减．{S n}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.(3)由图象得{S n} 中有12项大于零．20．已知等差数列{a n}的前n项和S n＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.【解析】∵S n＝n2－2n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，∴a2＋a3－a4＋a5＋a6＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4＝2a4＋2a4－a4＝3a4＝3×(2×4－3)＝15.21．设S n是数列{a n}的前n项和且n∈N*，所有项a n＞0，且S n＝14a2n＋12a n－34.(1)证明：{a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．【解析】(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝14a21＋12a1－34，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝14(a2n＋2a n－3)－14(a2n－1＋2a n－1－3)．所以4a n＝a2n－a2n－1＋2a n－2a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0，因为a n＋a n－1＞0，所以a n－a n－1＝2(n≥2)．所以数列{a n}是以 3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.22．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．【解析】由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得2,31,m tn t=⎧⎨=-⎩(t∈N*且23≤t≤67)．则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t －1)＋1}(t ∈N *且23≤t≤67)，即{12t －3}(t ∈N *且23≤t≤67)，各项之和为67×9＋67662×12＝27 135.《4.3 等比数列》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．242．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则57a a 等于( ) A.56 D ．65 C. 23 D ．323．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000 D ．－10 000 4．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝15．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．166．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193 【答案】C7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则52S S 等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－118．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24二、多选题9．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7a 8>1，7811a a -- <0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q<1 B ．a 7a 9<1 C ．T n 的最大值为T 7 D ．S n 的最大值为S 7 10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则( ) A ．数列{a n }的公比为2 B ．数列{a n }的公比为8 C.63S S ＝8 D ．63SS ＝9 11．下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列()k N *∈B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，仍为等比数列()k N *∈C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值D ．若数列{}n a 满足21159,4n nn a a a a +=-+=，则121111222n a a a +++<--- 12．在数列{}n a 中，2a 和6a 是关于x 的一元二次方程240x bx -+=的两个根，下列说法正确的是（ ）A ．实数b 的取值范围是4b ≤-或4b ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a 的前7项和为4bC ．若数列{}n a 为等比数列且0b >，则42a =±D ．若数列{}n a 为等比数列且0b >，则26a a +的最小值为4 三、填空题13．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．14．设数列{a n }为公比q>1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.15．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．16．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________． 四、解答题17．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13. (1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝12na -； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．18．容器A 中盛有浓度为a%的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b%的同种农药m L ，A ，B 两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A 中农药的14倒入B 中，混合均匀后，再由B 倒入一部分到A 中，恰好使A 中保持m L ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?19．已知等差数列{}n a 中，22a =，156a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*n S nn N =∈，数列{}n b 满足12b=，()*1322,n n b b n n N -=+≥∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}1n b +是等比数列； （3）设数列{}n c 满足1nn n a c b =+，其前n 项和为n T ，证明：1n T <. 21．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n a S -=. （1）求n a 与n S ； （2）记21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．已知数列{}n a 满足：114a =，11230n n n n a a a a ++-+=. （Ⅰ）证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记()221n n n b a n =++，求使[][][][]1232020n b b b b ++++≤成立的最大正整数n的值.（其中，符号[]x 表示不超过x 的最大整数） 答案解析 一、单选题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 【答案】A【解析】由题意知(3x ＋3)2＝x(6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24. 2．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则57a a 等于( ) A.56 D ．65 C. 23 D ．32【答案】D【解析】公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q<1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5，a 4＋a 6＝qq ＝5. 解得q57a a ＝21q＝22⎛ ⎝⎭＝32. 3．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000 D ．－10 000 【答案】C【解析】∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.4．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝1 【答案】B【解析】由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又因为a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】C【解析】等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.6．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193 【答案】C【解析】设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由71112112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-＝381，解得a 1＝192.7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则52S S 等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－11 【答案】D【解析】设{a n }的公比为q.因为8a 2＋a 5＝0. 所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以52S S ＝5121(1)1(1)1a q qa q q----＝5211q q --＝13214+-＝333-＝－11.故选D.8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24【解析】选C 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q nS n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.二、多选题9．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7a 8>1，7811a a -- <0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q<1 B ．a 7a 9<1C ．T n 的最大值为T 7D ．S n 的最大值为S 7 【答案】ABC【解析】 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，7811a a --<0，∴a 7>1,0<a 8<1， ∴0<q<1，故A 正确． a 7a 9＝a 28<1，故B 正确；T 7是数列{T n }中的最大项，故C 正确；因为a 7>1，0<a 8<1，S n 的最大值不是S 7，故D 不正确；故选A 、B 、C.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则( ) A ．数列{a n }的公比为2 B ．数列{a n }的公比为8 C.63S S ＝8 D ．63SS ＝9 【答案】AD【解析】因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，所以63a a ＝q 3＝8，解得q ＝2，所以63S S ＝611q q --＝1＋q 3＝9，故选A 、D.11．下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列()k N *∈B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，仍为等比数列()k N *∈C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值D ．若数列{}n a 满足21159,4n n n a a a a +=-+=，则121111222n a a a +++<--- 【答案】ACD【解析】对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =+++，2122k k k k k S S a a a ++-=+++，3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，，可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，构成等差数列，故A 正确；对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误； 对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；对于D 中，由2159n nn a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则()()1111132332n n n n n a a a a a +==------，所以1111233n n n a a a +=----， 所以1212231111111111222333333n n n a a a a a a a a a ++++=-+-++---------- 1111111333n n a a a ++=-=----. 因为14a =，所以2159n nn n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113n a +-<-，故D 正确.故选：ACD12．在数列{}n a 中，2a 和6a 是关于x 的一元二次方程240x bx -+=的两个根，下列说法正确的是（ ）A ．实数b 的取值范围是4b ≤-或4b ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a 的前7项和为4bC ．若数列{}n a 为等比数列且0b >，则42a =±D ．若数列{}n a 为等比数列且0b >，则26a a +的最小值为4 【答案】AD【解析】对A ，240x bx -+=有两个根，24140b ∴∆=-⨯⨯≥，解得：4b ≤-或4b ≥，故A 正确； 对B ，若数列{}n a 为等差数列，2a 和6a 是关于x 的一元二次方程240x bx -+=的两个根， 26a a b ∴+=，则()()76712777222a a a S a b++===，故B 错误； 对C ，若数列{}n a 为等比数列且0b >，由韦达定理得：26264a a b a a +=⎧⎨⋅=⎩，可得：20a >，60a >，40a ∴>，由等比数列的性质得：2426a a a =⋅，即42a ===，故C 错误；对D ，由C 可知：24264a a a =⋅=，且20a >，60a >，264a a ∴+≥=，当且仅当262a a ==时，等号成立，故D 正确.故选AD.三、填空题13．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________． 【答案】3或27【解析】设此三数为3，a ，b ，则223(6)3a b a b=+⎧⎨-=⎩解得33a b =⎧⎨=⎩或15,27,a b =⎧⎨=⎩所以这个未知数为3或27.14．设数列{a n }为公比q>1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 【答案】18【解析】由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝54a a ＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝1322⎛⎫+⎪⎝⎭×32＝18. 15．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 【答案】2048【解析】这10个正方形的边长构成以2为公比的等比数列{a n }(1≤n≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝21122⎛⎫ ⎪⎝⎭＝211＝2 048.16．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________． 【答案】450 【解析】由241001399a a a a a a ++++++＝q ，q ＝2，得24100150a a a +++＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450. 四、解答题17．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13. (1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝12na -； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 【解析】(1)证明：因为a n ＝13×13⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1＝13n ， S n ＝111113331213nn ⎛⎫--⎪⎝⎭=-，所以S n ＝12n a -.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n)＝－(1)2n n +.所以{b n }的通项公式为b n ＝－(1)2n n +. 18．容器A 中盛有浓度为a%的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b%的同种农药m L ，A ，B 两。

直线和圆的方程（A 基础卷）一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。

每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知直线l 过点(3A ，(3B +，则直线l 的斜率为（ ）A B C ．D ．【答案】C【详解】因为直线l 过点(3A ，(3B +，所以由过两点的直线的斜率公式，得直线l 36-= 故选：C ．2．直线30x -=的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30° 【答案】D【详解】30°. 故选：D ．3．过点(1,0)且与直线20x y -=垂直的直线方程是（ ）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．220x y +-=D ．210x y +-=【答案】C【详解】因为直线20x y -=的斜率为12，故所求直线的斜率等于2-，所求直线的方程为02(1)y x -=--，即220x y +-=，故选：C ．4．直线:1l y x =-截圆22:1O x y +=所得的弦长是（ ）A ．2B C D ．1 【答案】C【详解】圆心（0,0）到直线10x y --=的距离d =1，则弦长为= 故选：C.5．已知圆221:1O x y +=与圆()()222:3416O x y -++=，则圆1O 与圆2O 的位置关系为（ ） A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离【答案】A【详解】 圆1O 的圆心为()0,0，半径等于1，圆2O 的圆心为()3,4-，半径等于4，5=， 恰好等于它们的半径之和，所以两个圆外切.故选：A.6．已知圆1C 与圆()()222:214C x y ++-=关于直线 y x =对称，则圆1C 的方程为（ ） A ．22(1)(2)4x y ++-=B ．22(1)(2)4x y -+-=C ．22(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)4x y -++=【答案】D【详解】设圆心()22,1C -关于直线 y x =直线的对称点1C 的坐标为(),a b ，则线段C 1C 2的中点为21,22a b -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，且1212C C b k a -=+. 于是12=12212=12b a a b b a +-⎧⎪=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪-⎪+⎩，易知圆的半径长度不变，所以圆1C 的方程为22(1)(2)4x y -++=.故选：D.7．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=，则()()2222a b -+-的最小值为（）A B．5 C ．D ．10 【答案】B【详解】由题意，得直线l 恒过圆心()2,1M --，则210a b --+=，则21b a =-+，所以()()()()22222222212555a b a a a -+-=-+-+-=+≥，所以()()2222a b -+-的最小值为5.故选：B8．已知圆22:22440()C x y x my m m ++---=∈R ，则当圆C 的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）AB ．6C 1D 1 【答案】D【详解】根据题意，圆22:22440()C x y x my m m ++---=∈R ，变形可得222(1)()45x y m m m ++-=++．其圆心为(1,)m -，半径为r ，则22245(2)1r m m m =++=++，当圆C 的面积最小时，必有2m =-，此时21r =．圆C 的方程为22(1)(2)1x y +++=，圆心C 到原点为距离d =则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为1d r +=． 二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。