当前位置：文档之家 › 第8章 梁的位移分析与刚度设计资料

第8章 梁的位移分析与刚度设计资料

  • 格式：pptx
  • 大小：1.74 MB
  • 文档页数：8

下载文档原格式

  / 8

合集下载

《梁的刚度分析》课件

《梁的刚度分析》课件


截面形状的影响
矩形截面
矩形截面的梁在垂直于长边方向上刚 度较低，容易发生弯曲变形。
工字形截面
工字形截面的梁在垂直于腹板方向上 刚度较高，抗弯能力较强。
梁的跨度与支撑的影响
跨度大小
梁的跨度越大，其自由端处的转角和 挠度越大，刚度越小。
支撑条件
支撑条件如简支、固支等对梁的刚度 也有影响。例如，简支梁在跨中受到 集中载荷时，跨中挠度较大，刚度较 小。
案例三：实际工程中的梁刚度问题解决
总结词：实际应用
详细描述：在实际工程中，梁的刚度问题可能涉及到多种因素，如载荷、支撑条件、材料特性等。解决实际工程中的梁刚度 问题需要综合考虑多种因素，采用理论分析和实验验证相结合的方法。
外部载荷的影响
载荷大小
随着外部载荷的增大，梁的变形量增加，刚度减小。
载荷分布
集中载荷或分布载荷对梁的刚度有不同影响。例如，集中载荷可能导致梁在载 荷作用点处产生较大的局部变形。
03
梁的刚度分析方法
弹性分析
弹性分析方法基于弹性力学理论，通过求解弹性 方程得到梁的变形和应力分布。
弹性分析适用于材料处于弹性阶段的情形，能够 给出梁在受力过程中的变形和应力分布。
VS
详细描述
在梁的刚度设计中，应优先选择具有高弹 性模量和强度的材料，如钢铁、合金钢和 优质木材等。这些材料能够提供更好的抗 弯和抗剪切性能，从而提高梁的刚度。
截面形状优化建议
总结词
合理的截面形状可以有效地提高梁的刚度，常见的优化截面形状包括矩形、工字形和圆形等。
详细描述
根据梁所承受的载荷和跨度大小，可以选择不同的截面形状进行优化。例如，对于承受较大载荷的梁 ，可以选择工字形截面以提高抗弯刚度；对于跨度较大的梁，可以选择圆形截面以增强抗扭刚度。
《梁的刚度分析》课件

《梁的刚度分析》课件


梁的刚度分析方法
1 弯矩-曲率法
通过分析梁的弯矩和曲率 关系来确定梁的刚度。
2 力-位移法
根据外力作用下梁的位移 和反力关系，计算梁的刚 度。
3 复合梁法
将梁视为由不同材料组成 的梁体，通过刚度的合成 计算梁的整体刚度。
弯矩-曲率法
弯矩-曲率方程
弯矩-曲率方程描述了梁的受力 和形变关系，是分析梁的刚度 的重要工具。
《梁的刚度分析》PPT课 件
本课件旨在介绍梁的刚度分析，让您了解梁的基本概念及其在工程中的应用。 通过弯矩-曲率法、力-位移法和复合梁法的讲解，帮助您掌握梁的刚度分析方 法。
概述
什么是梁的刚度
梁的刚度是指梁在受力作用下不产生过大的变 形，能够保持结构的稳定性。
梁在工程中的应用
梁广泛应用于桥梁、建筑物和机械设备等领域， 承受和传递荷载。
结论
1 梁的刚度分析方法选择
根据实际情况选择适合的梁的刚度分析方法。
2 工程实践中的应用
梁的刚度分析在工程实践中具有重要意义，可以保证结构的安全性和稳定性。
参考文献
[1] 参考文献1 [2] 参考文献2
弯矩-曲率图
绘制弯矩-曲率图以可视化梁在 不同位置的弯矩和曲率。
荷载作用下的梁的曲线
荷载作用下，梁会发生弯曲， 掌握梁在不同荷载情况下的曲 线变化很重要。
力-位移法

什么是刚度系数
刚度系数是梁的刚度指标，代 表单位力作用下梁的变形程度。
刚度系数的计算方法
通过力的大小和相应位移的比 值计算得到刚度系数。
常用的刚度系数表格
根据不同材料和截面形状，可 以找到常用的刚度系数表格进 行计算。
复合梁法
什么是复合梁
结构位移和刚度—梁的刚度计算(建筑力学)

结构位移和刚度—梁的刚度计算(建筑力学)


二、用积分法求梁的变形
1.挠曲线近似微分方程
y( x)
M (x) EI
2.用积分法求变形 EI (x) M (x)dx C1
三、用叠加法求梁的变形
EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
叠加法—梁截面的总变形，就等于各个荷载单独作用时产生变形的代数和。
四、梁的刚度计算 ymax [ f ]
梁的刚度计算
主要内容
梁的刚度条件和设计准则 梁的刚度计算 梁的刚度计算工程实例
梁的刚度计算
➢ 如果梁的弯曲变形过大，即使强度满足要求，也不能正常工作。例如：房 屋的楼面板或者梁长时间受较大荷载作用，导致变形过大，会造成抹灰面 出现裂缝，工业厂房的吊车梁变形过大，会影响吊车梁的正常使用等。设 计梁时，除了进行强度计算外，还应考虑进行刚度计算，需要把梁的最大 挠度和最大转角限制在一定的允许范围内。
l
l
课后作业：《建筑力学练习册》 练习二十五
3.6 4 4
3.6kN m
2、按正应力强度设计。查强度准则
3.6kNm
max
M max Wz
M max 0.1d 3
[ ]
得：
d3
M max
3
3.6 106 mm 153.3mm
0.1[ ] 0.110
取d=160mm
梁的刚度计算
3、按梁的刚度准则校核。
查变形表得
ymax
Fl 3 48EI
为:
ymax [ f ]
l
l
式中 ymax 为最大相对挠度，[ f ] 为许用相对挠度，其值可
l
l
根据梁的工作情况及要求查阅有关设计手册。土建工程中的许
用相对挠度值 [ f ] 常限制在
粱的位移分析-工程力学-课件-09

粱的位移分析-工程力学-课件-09


y1 0 0 y2 0 0
M1 x y1 x
M2 x
1 x
q B A y l
2 x
y2 x
x＝a， y1 a y2 a
1 a 2 a
建立坐标系xy， 根据外力，梁分两段。
C x
a
M1 x y1 x
电葫芦爬坡，出 现振动、噪音。
1
齿轮轴
轧钢
轧辊 P2 P1
钢板
齿轮轴变形将导致齿轮不能正常 啮合、齿面磨损、轴与轴承配合 不好，出现噪音。
轧辊变形，钢板沿宽度 方向的厚度不均。
2
利用弯曲变形 汽车叠板弹簧 缓冲、减震
测力矩扳手
O
F
刻度
求解静不定梁则必须考虑梁的变形。
3
9.1.2 挠度、转角及相互关系
A x
b RA P l y
a x l
P C
b
B
RB
x
a P l
（2）列出挠曲线微分方程并积分 bP CB 段 EI y x P( x a) bP 2 AC段 EIy1 l x
l bP 2 EIy1 x C1 2l bP 3 EIy1 x C1 x D1 6l EIy 2
B点位移有影响。 yC yB1 yB2
yC
C
B
B= C
C
由于变形微小，由C引起的变形： yB2= C ×a
a
查表：
A a C
qa 4 yC y B1 8 EI
qa 3 C 6 EI
叠加：
qa 3 而： B C 6 EI
7qa 4 y B yB1 C a 24 EI
工程力学第8章 变形及刚度计算

工程力学第8章 变形及刚度计算

第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
第8章 梁的弯曲问题(4)-位移分析与刚度计算

第8章 梁的弯曲问题(4)-位移分析与刚度计算


8—7 轴受力如图所示，已知 FP=1.6 kN，d=32 mm，E＝200 GPa。若要求加力点的挠度 不大于许用挠度 [w]＝0.05 mm，试校核该轴是否满足刚度要求。 解：由挠度表查得
wC = =
FPba 2 l − a 2 − b2 6lEI
(
)
−3
1.6 ×103 × 0.246 × 0.048 × 2942 − 482 − 2462 ×10−6 × 64 6 ( 246 + 48) ×10 × 200 ×10 × π × 32 ×10−12
d4w =q dx 4
对 x 求 4 次导数，有
这一结果表明，梁上作用有连续均布载荷。图（a）中的弯矩图就是对应连续均布载荷的弯 矩图，所以正确答案是： （ a）
8—6 图示承受集中力的细长简支梁，在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔，若不考 虑应力集中影响时， 关于小孔对梁强度和刚度的影响， 有如下论述， 试判断哪一种是正确的： (A) 大大降低梁的强度和刚度； (B) 对强度有较大影响，对刚度的影响很 小可以忽略不计． ； (C) 对刚度有较大影响，对强度的形响很 小可以忽略不计； (D) 对强度和刚度的影响都很小，都可以 忽略不计。 解：强度取决于危险截面上危险点的应力，
5ql 4 l ≤ 384 EI z 1000
Iz ≥
I z1 =
5 ×10000 × 4 3 × 1000 384 × 200 × 10 9
Iz 4 = 2083.3 cm 2
后 答
M max 10000 × 4 2 3 = = 2 × 10 − 4 m [σ ] 8 × 100 × 10 6 W 每根槽钢 W z1 = z ≥ 100 cm3 2 Wz ≥
wC − w B = δ 0 = 1.2
第八章__变形及刚度计算

第八章__变形及刚度计算


8×103 ×180 o = 0.40 / m < [θ ] 4 9 π × 0.110 80×10 × ×π 32
满足刚度条件
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半 实心圆轴受扭， 时，横截面的最大切应力是原来的 8 倍？ 圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
τ max MT MT = = W p πd 3 16
又因为BD段内虽然轴力 又因为 段内虽然轴力 为常数， 为常数，但截面面积又分两 所以要分4段求变形 段求变形。 段，所以要分 段求变形。
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
FN图
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
FN l EA
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
已知杆的长度、 受力如图。 例 已知杆的长度、截面面 积，受力如图。 材料的 弹性模量 E = 2.1 × 10 5 MPa。求杆的总变形 。
A1 = 250mm
50kN
2
A 2 = 200mm
30kN E
∆L AB
2
解：用直接法画轴力图 用直接法画轴力图
20kN
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
A B C D 1m 2m 1m 3m 10KN + – – 40KN 20KN
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
3
FN l EA
§8—2
圆杆扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形——扭转角 扭转变形 扭转角
MT 扭转角： 扭转角： ϕ = θdx = dx ∫ ∫0 GI p l
l
单位： 单位：rad
第八章 位移法

第八章 位移法


当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时， 其杆端弯矩为
6i F ΔAB M AB l 6i F M BA 4i B 2i A ΔAB M BA l M AB 4i A 2i B
转角位移方程
第8章 位移法
三、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
EI FP B
FP
EI EI
EI
EI
3、图示结构，各杆长为l， 用位移法求解时， 典型方程的系数r11= ，自由项R1P= 。
FPl FP
4、已知刚架的弯矩图如图所示，各杆 EI为常数，杆长l=4m，则结点B的转角 ΦB= 。 30
30
l
l/2
l/2
第8章 位移法
例8-2 求图a所示刚架的支座A产生转角 ，支座B产生竖向位移 3 Δ l 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。
由
M M1Z1 M
第8章 位移法
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。
如图b，由结点1的力矩平衡条件∑M1=0
M12 M13 0
如图c，由隔离体的投影平衡条件∑Fx=0
FS13 FS24 0
φA P q βAB φA FSAB FSBA l EI t1˚C t2˚C
MAB
A
B ΔAB
B'
EI EI F M 3 3 Δ M AB A AB l l2 M BA 0
EI 令：i 称为“线刚度”、 AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
一、杆端力的表示方法和正负号的规定
第八章钢筋混凝土梁板结构设计

第八章钢筋混凝土梁板结构设计


剪力包络图的绘制 第一步：确定荷载作用位置，恒荷载应满布于各跨，活荷载布置 只须考虑分别使该跨两端支座剪力为最大的两种情况。 第二步：分别求出上述两种荷载组合下的支座剪力值。 第三步：绘出上述两种荷载组合下的剪力图，并按相同比例叠画 在同一个图上。 第四步：连接剪力图上的最外轮廓线，并加粗以示区分。
式中： Mb——支座边缘处弯矩 M——支座中心处弯矩 Vb——视该跨为简支梁时的支座剪力 b/2——支座宽度
h. 主梁主要承受集中荷载，剪力图呈矩形。在斜截面抗剪 计算中，若需利用弯起钢筋抵抗部分剪力，则应考虑跨中有足够 的钢筋可供弯起，以使受剪承载力抵抗图完全覆盖剪力包络图。 若跨中钢筋可供弯起的根数不足，则应在支座设置专门的抗剪鸭 筋。
重点
主梁的构造要求。
难点 主梁的配筋计算。
现浇钢筋混凝土肋形楼盖
(三）主梁 1）主梁的计算特点 a.主梁的计算步骤 选择截面尺寸→荷载计算→按弹性理论计算内力→ 分别 按正截面和斜截面承载力条件计算纵向钢筋、箍筋和弯起钢筋 →确定构造钢筋。
b. 主梁的截面尺寸：满足此高跨比（1/15~1/10）和高宽比 （1/3~1/2）要求一般不必作挠度和裂缝宽度验算。
二、钢筋混凝土梁板结构常用结构形式
１、肋形梁板结构：板、梁和柱组成
二、钢筋混凝土梁板结构常用结构形式
２、无梁楼盖：将钢筋混凝土板直接支撑在有 柱帽的中间支柱及周边墙壁上。
二、钢筋混凝土梁板结构常用结构形式
３、圆形平板：圆形贮液结构的顶盖和底板
第二节 现浇单向板肋梁 板结构
1 受力特点 . 肋形楼盖的板一般四边都有支承，板上的荷载通过双向受
折算荷载的取值：
板
g'
g
q 2
梁的强度与刚度

梁的强度与刚度

第八章梁的强度与刚度第二十四讲梁的正应力截面的二次矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）第二十六讲弯曲正应力强度计算（二）第二十七讲弯曲切应力简介第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学难点：平行移轴定理及其应用。

教学内容：第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1 纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲概念：１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。

２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。

二、纯弯曲时梁的正应力：１、中性层和中性轴的概念：中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。

其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。

３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：（１）、任一点正应力的计算公式：（２）、最大正应力的计算公式：其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。

说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。

§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：１、矩形截面：２、圆形截面和圆环形截面：圆形截面圆环形截面其中：３、型钢：型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。

二、组合截面的二次矩平行移轴定理１、平行移轴定理：截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。

I Z1=I Z+a2A２、例题：例1：试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。

解：1、求T形截面的形心座标yc2、求截面对形心轴z轴的惯性矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度计算。

材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计

材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计

材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计梁的位移分析与刚度设计是材料力学中的重要内容，本章将详细讨论这一主题。

首先，我们将学习如何计算梁在受力作用下的位移，然后将介绍梁的刚度设计。

梁的位移分析是研究在给定外力作用下梁的变形情况。

梁的位移是描述梁形变的一个重要参数，它可以反映梁的刚度特性。

在计算梁的位移时，我们需要应用位移-力关系。

梁的位移可以通过积分方法求解。

首先，我们可以根据梁的几何形状和外力作用情况建立梁的运动方程。

然后，可以利用平衡方程进行求解。

在求解过程中，我们需要考虑梁的边界条件和材料的力学特性，如杨氏模量和截面积。

一般情况下，我们可以将梁的位移分为两个部分：切向位移和法向位移。

切向位移是梁沿梁轴方向的位移，用u表示。

法向位移是梁在横截面上的位移，用v表示。

通过计算这两个位移，可以得到梁的整体位移。

梁的位移分析对于工程设计非常重要。

它可以帮助我们了解梁的形变情况，从而设计更合理的结构。

此外，梁的位移还可以用于计算应力和应变，进一步分析梁的受力情况。

梁的刚度设计是根据梁的位移要求设计梁的刚度。

刚度是指梁对力的抵抗能力，可以表示梁的刚度特性。

在刚度设计中，我们需要根据梁的应力要求确定梁的截面形状和尺寸。

刚度设计的目标是使梁在承受一定荷载下的变形满足设计要求。

在设计过程中，我们需要考虑梁的强度和刚度，以确保梁的安全性和稳定性。

此外，我们还需要考虑经济性，尽可能减少材料的使用量。

在刚度设计中，我们可以使用材料的力学性质和梁的几何尺寸来计算梁的刚度。

常用的方法有弹性理论法和极限平衡法。

在弹性理论法中，我们可以根据梁的几何形状和外力作用，利用弹性力学公式计算梁的刚度。

在极限平衡法中，我们可以根据荷载条件和材料的破坏特性，计算梁的刚度限制。

总结起来，梁的位移分析与刚度设计是材料力学中的重要内容。

通过位移分析，我们可以了解梁的形变情况，并计算应力和应变。

刚度设计则可以帮助我们设计梁的刚度，确保结构的安全性和稳定性。

材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计


梁的刚度设计的方法
梁的刚度设计可以采用多种方法，包括链接刚度法、等位弯矩法和等位剪力 法。这些方法根据不同的设计要求和结构特点选择使用。
• 链接刚度法：根据梁的端部连接方式和约束条件，计算刚度。 • 等位弯矩法：根据梁结构的弯矩分布，确定刚度。 • 等位剪力法：根据梁结构的剪力分布，确定刚度。
梁的刚度设计的实例分析
材料力学第8章梁的位移 分析与刚度设计
欢迎来到材料力学第8章的学习，今天我们将讨论梁的位移分析和刚度设计。 通过深入了解这些内容，您将掌握梁的变形规律和如何设计具有所需刚度的 梁结构。
梁的位移分析的目的
梁的位移分析旨在确定在给定荷载下梁结构的变形和位移。这有助于评估结 构的稳定性和合理性。
梁的位移分析方法
梁的位移分析可以使用多种方法进行，包括三公式法、超柔度法和部分均布 荷载法。每种方法都有其适用的情况。
• 三公式法：适用于较简单的力学模型。 • 超柔度法：适用于复杂的结构和不规则荷载。 • 部分均布荷载法：适用于均布荷载作用下的梁结构。
梁的刚度设计的原理
梁的刚度设计的原理是通过合理的截面设计和荷载分配来提供所需的结构刚 度。刚度设计旨在确保结构在服役荷载下具有合适的刚度和稳定性。
梁的位移分析与刚度设计的相关工程实例
最后，我们将探讨一些实际工程案例，展示梁的位移分析和刚度设计在真实项目中的应用。通过这些实例，您 将பைடு நூலகம்好地理解梁结构设计的挑战和解决方案。
让我们通过一些实例分析来加深对梁刚度设计的理解。使用不同的方法，我 们将设计和评估具有所需刚度的梁结构，并探讨设计选项的优劣。
梁的刚度设计的注意事项
在进行梁的刚度设计时，需要注意以下几点： • 合理的截面选择：选择适当的截面形状和尺寸，以满足刚度要求。 • 约束条件的考虑：考虑梁的端部约束条件对刚度的影响。 • 侧刚度的满足：确保梁在侧向荷载作用下具有足够的刚度。 • 梁的稳定性分析：分析梁结构的稳定性，确保其在设计荷载下不会失稳。

第8章弯曲刚度(完整版)


因此，对于某根具体的梁，只要列出它的弯矩 方程M = M(x)，将其代入 EIw( x ) M ( x ) ，对
x连续积分后有：
EIw M ( x ) dx C1 EIw [ M ( x ) dx ] dx C1 x C 2
利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角 方程 = (x) = w'(x)和挠度方程 w = w (x) ，从而也 就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。
工程力学教程电子教案
弯曲刚度
5
1.梁的曲率与位移
根据上一章所得 到的结果，弹性范围 内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横 截面上的弯矩、弯曲
刚度之间存在下列关
系：
M ＝ EI
1
工程力学教程电子教案
弯曲刚度
6
2.挠度与转角的相互关系 梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变， 这种位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
工程力学教程电子教案
弯曲刚度
19
（2）位移边界条件
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束 条件是指约束对于挠度和转角的限制： 在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于
零：w=0;
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零： w=0， θ ＝0。 连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲 成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及
工程力学教程电子教案
弯曲刚度
9
3.研究梁的挠度和转角的目的：
(1) 对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大 挠度是否超过按要求所规定的容许值；
(2) 解超静定梁。如下图所示梁。
F1 A FA FC
C
F2 B FB

工程力学08-梁的位移分析和刚度条件


8.1 基本概念
8.1.2 梁的挠度与转角
现研究梁上一截面C的位移 ，它由C移动到C1位置
w—截面形心的垂直位移，称“挠度” q—截面相对变形前绕中性轴转过的角度，称 “转角” y θ 挠度与转角的关系 A C dw θ = tanq (8-2) dx C1 x 或： dw = q (8-3) dx w=w(x)—挠度是截面的函数，称“挠度方程”
(0≤x1≤a)
Fb x12 AC段： EIq1=EIw1’= + C1 2 l Fb x13 EIw1= + C1x1+ D1 l 6
(a)
(b)
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
(a≤x≤l)
应用举例a xຫໍສະໝຸດ C x2 lFb
FRB B
x
Fb 2 – b2 – 3x2)+ 3l (x – a)2] q=+ [(l b 6EIl
Fb 2 2 –x2)x+ l (x – a)3] w= + [(l – b 6EIl b
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
8.2 小挠度微分方程及其积分
8.2.2 积分常数的确定 约束条件与连续条件 常见约束、连续条件 载荷作用处： y
F
a b x
x=a, w1=w2,q1=q2
中间支座处：
y x l a
连 续 条 件

第八章 弯曲刚度详解


40
3
40
12 3
边界条件：当 x 0 时，y 0 ；
当 x 2m 时， y l 2.29 103 m
代入上式得 C 11.145103，D 0
故 y 3 102 ( 20 x4 20 x3) 11.145 103 x
40
12 3
当 x 1m 时，y 7.395 103 m 7.395 mm 。
1 6
Pa3
C2
0
EI
(0)
1 2
Pa2
C1
0
a
P
L
x
f
(a ) (a ) C1 D1
f (a ) f (a )
C1a C2 D1a D2
C1
D1
1 2
Pa2
; C2
D2
1 6
Pa3
写出弹性曲线方程并画出曲线
P
f
(x)
6EI P
6EI
(a x)3 3a2 x a3 3a2 x a3
=+ +
A
D
B
图1
P1=1kN B
图2
C
C
M Bx
f2
P
q [例4] 按叠加原理求A点转角和
A
C
B C点挠度。
a
a
P
=
解： ① 载荷分解如图
② 由梁的简单载荷变形表，
A
B
查简单载荷引起的变形。
+
PA
Pa2 4EI
f PC
Pa3 6EI
A
q B
qA
qa3 3EI
f qC
5qa 4 24EI
A
P
q B

梁的位移分析与刚度设计


§8-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、梁的挠曲线近似微分方程式
曲线 y f (x)的曲率为
y K
(1 y 2 ) 3/2
1M
EI z
1
v (1 v 2 ) 3/2
v
M v 或 EIv M EI z
y M0
M v 0 M
y M0
M v 0 M
x
x
EIv M
梁的挠曲线近似微分方程:
第八章 弯曲变形 静不定梁 §8-1 概 述
一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求
具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即 要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正 常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大， 就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车 行走困难，出现爬坡现象。
A
v Px (4x2 3l2 ) 48EI
x l
C
l
B
x
2
2
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
Pl 2 16EI
v max
v
x l 2
Pl 3 48EI
例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支 梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。
y
q
A
C
D
E
B
x
a
a
a
a
解：由对称性，只考虑半跨梁ACD
EIv M (x) 或:
d2v EI M (x)
dx 2
二、用积分法求梁的变形
EIv M(x)
EIv M(x) dx C
EIv M(x) dx dx Cx D

第8章梁的位移分析与刚度设计

1
力学中的曲率公式 =

1
数学中的曲率公式 =

d
小挠度情形下
= θ ≪ 1 ，得到
d
d2

=±
2
d

d2
d 2
d
1+
d
2
3ൗ
2
此式即为确定梁的挠度和转角的微分方程，称为小挠度微分方程
（diiferential equation for small deflection），式中的正负号与w坐
大连大学
=
10
8.1 基本概念——
8.1.2 梁的挠度与转角
大连大学
11
8.1.2 梁的挠度与转角
▪ 梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位
移(displacement)。梁的位移包括三部分：
① 横截面形心处的垂直于变形前梁的轴线方向的线位移，称为挠度
（deflection），用w表示；
处的连续条件确定确定。
大连大学
31
8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角
4. 利用约束条件和连续条件确定积分常数
在支座A、C两处挠度应为零，即
x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0
因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲
线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度
和转角必须分别相等：
x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2
据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为
3 P 3
=
256
7 P 2
=
128
5 P 2
= －
128
大连大学
34
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

位移是各部分变形累加的结果。位移与变形有着
密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处 有位移；有位移也不一定有变形。
这是因为，杆件横截面的位移不仅与变形有关，
而且还与杆件所受的约束有关。
2020/9/10
5
在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积分运
算，积分限或积分常数则与约束条件和连续条件有关。
若材料的应力-应变关系满足胡克定律，且在弹性范围
内加载，则位移与力(均为广义的)之间均存在线性关 系。因此，不同的力在同一处引起的同一种位移可以 相互叠加。
本章将在分析变形与位移关系的基础上，建立确定梁
位移的小挠度微分方程及其积分的概念，重点介绍工 程上应用的叠加法以及梁的刚度设计准则。
2020/9/10
弯矩的符号与前面第五章的规定一致，与坐标选取无关。
即M(x)为+，则梁的曲线向下凸。
M(x)为-，则梁的曲线向上凸。
M
M
1 M (x)
(x) EI
2020/9/10
17
ω
ω
M 0
x
d
2 w( x) dx2
w'' (x)
0
x
M 0
x
d 2w(x) 0
dx2
x
ω
M 0
2020/9/10
d 2w(x) 0
1M
EI
其中，ρ和M都是横截面位置x的函数，EI为横截面的 弯曲刚度。
(x) M M (x)
2020/9/10
8
8.1.2 梁的挠度与转角
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改 变称为位移 (Displacement)。梁的位移包括三部分：
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度(deflection)，用ω表示
2020/9/10
2
失效(failure)或破坏
工程构件在外力作用下丧失正常功能的现象。 失效类型：
(1) 强度失效(failure by lost strength) 指构件在外力作用下发生不可恢复的塑性变形或发生断裂。
(2) 刚度失效(failure by lost rigidity) 指构件在外力作用下产生过量的弹性变形。
应用挠度曲线的曲率与弯矩和弯曲刚度之间的关系 式，以及数学中关于曲线的曲率公式有
1M
EI
1
1
w'' w'
2
3 2
在小变形条件下，由于w' 2 1，故被忽略。
d 2w(x) M (x)
dx2
EI
梁的挠曲线近似微分方程，又 称为Euler-Bernoulli方程。
2020/9/10
12
2020/9/10
9
dw tan
dx
tan
+
所以我们得到了挠度ω和转角θ之间的微分关系
dw(x)
y
dx
挠度方程(deflection equation) Z
2020/9/10
10
8.1.3 梁的位移与约束密切相关
2020/9/10
约束不同导 致梁的位移 不相同。
11
8.2 小挠度微分方程及其积分
dx2
ω
M 0
d 2w(x) w'' (x) 0 dx2
18
通常选取的坐标：
x
ω
M 0
d
2 w( x) dx2
0
根据弯矩的正负号规则和上面所选取的坐标系，弯 矩和挠度二阶导数总是不一致的，所以在公式右边应该 取负号。
d
2 w( x) dx2
M (x) EI
2020/9/10
19
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方 程M(x)，分别对x作不定积分，得到包含积分常数的挠 度方程与转角方程为:
(x) 1
f '' (x)
f
' ( x)
2
3 2
1
w'' (x) w'(x) 2
3 2
''
1
d 2w(x)
(x)
dx2
2020/9/10
1 M (x)
(x) EI
d 2w(x) M (x)
dx2
EI
14
2020/9/10
15
2020/9/10
16
1 d 2w(x)
(x)
dx2
挠度符号按照数学中的符号规定，与坐标系的选取有关。
第八章 梁的位移分析与刚度设计
主讲教师：毛卫国 单 位：材料与光电物理学院
2020/9/10
1
在第7章，我们主要学习了梁的纯弯曲、横向弯曲和 斜弯曲中正应力与外加力偶的关系，分析了正应力的分 布情况，如何判别最大正应力的位置，进而如何判断梁 的强度问题。
x
Mz Iz
y
max
另外，我们知道，当梁受到横向载荷或外加力偶时，其 中不仅产生正应力，而且在梁的不同位置处其变形情况 也不同。
(3) 稳定失效(failure by lost stability) 指构件在某种外力作用下，其平衡形式发生突然转变。
2020/9/10
3
研究的意义
位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形
和位移都是弹性的，工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都 有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能， 即发生刚度失效。 尤其是在高精密的仪器、器械中对于材料的弹性变形控制尤为重要。
变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度
(slope)，用θ表示。
横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移
(horizontal displacement)，用u表示。
在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度ω相比为高
阶小量，故通常不予考虑水平位移u 。
所以我们主要关注挠度ω和转角θ之间的关系
符号问题：
挠度ω和转角θ的正负号由所选坐标系的正方向来确定。
沿y轴正向的挠度ω为正+，反之为负； 将x轴绕坐标原点旋转90o与y轴重合，转角θ和它的转向
相同为正，反之为负。 弯矩M(x)的正负号确定依旧与第5章的符号规则一样。
2020/9/10
13
补充知识
曲率的定义：
w (x) 1
我们要研究材料的变形和位移之间的关系。 位移分析也是解决超静定问题与振动问题的基础。
2020/9/10
4
上一章中已经提到，如果忽略剪力FQ的影响，在平面弯 曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线，梁的横截面 变形后依然保持平面，且仍与梁变形后的轴线垂直。由 于发生弯曲变形，梁横截面的位置发生改变， 这种改变 称为位移(Displacement)。
6
8.1 基本概念
8.1.1 梁弯曲后的挠度曲线
若在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一条连续
光滑曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线(elastic curve)
或挠度曲线(deflection curve)，简称弹性线或挠曲线。
2020，弹性范围内的挠度曲线在 一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存 在下列关系