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信号与系统第8讲零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应的定义 ⏹从引起系统响应的根源出发，将系统全响应分为零输入响应和零状态响应，即 ⏹零输入响应是指没有外加激励信号（零输入）,仅由系统内部初始储能(电容储有电场能、电感储有磁场能)引起的响应； ⏹零状态响应是指系统内部储能为零（零状态)，仅由系统的外部的激励引起的响应。
)()()(t y t y t y zs zi +=零输入响应的求解设n 个特征根为 ()(1)(2)1210()()()'()()0n n n n n y t a y t a y t a y t a y t ----+++++=L 00111=++++--a a a n n n λλλΛ其特征方程为 12.nλλλL 零输入下，系统的微分方程为 系统的零输入响应与微分方程的齐次解相同 以下分三种情况讨论零输入响应的求解（2）若存在共轭复根，如 1,2j λαβ=±3123()(cos sin ),0n t t t zi n y t c t c t e c e c e t λλαββ=++++≥L (3) 若这些特征根中含有重根，设 r 12r λλλ===L 111121()[()],0n r t t t r zi r r n y t c c t c t e c e c e t λλλ+-+=++++++≥L L 1212(),0n t t t zi n y t c e c e c e t λλλ=+++≥L （1）若这些特征根都是单根，则由起始状态值确定待定系数【解】 特征方程为 其特征根为 λ1 = -1， λ 2= -3零输入响应为： (0)1,(0)2y y --'==得到：最后得到： 根据起始条件： 例1 已知系统微分方程应的齐次方程为： (0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。
)(3)('4)(''=++t y t y t y 0342=++λλ312()t tzi y t c e c e --=+312'()3t tzi y t c e c e --=--121=+c c 2321=--c c 251=c 232-=c 353()(),022t t zi y t e e t --=-≥例2 已知系统微分方程相应的齐次方程为：(0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。
实验一零输入响应零状态响应一、实验目的1、掌握电路的零输入响应。
2、掌握电路的零状态响应。
3、学会电路的零状态响应与零输入响应的观察方法。
二、实验内容1、观察零输入响应的过程。
2、观察零状态响应的过程。
三、实验仪器1、信号与系统实验箱一台（主板）。
2、系统时域与频域分析模块一块。
3、20MHz示波器一台。
四、实验步骤1、把系统时域与频域分析模块插在主板上，用导线接通此模块“电源接入”和主板上的电源（看清标识，防止接错，带保护电路），并打开此模块的电源开关。
2、系统的零输入响应特性观察（1）接通主板上的电源，同时按下此模块上两个电源开关，将“时域抽样定理”模块中的抽样脉冲信号（SK1000用于选择频段，“频率调节”用于在频段内的频率调节，“脉宽调节”用于脉冲宽度的调节，以下实验都可改变以上的参数进行相关的操作），通过导线引入到“零输入零状态响应”的输入端。
（2）用示波器的两个探头，一个接输入脉冲信号作同步，一个用于观察输出信号的波形，当脉冲进入低电平阶段时，相当于此时激励去掉，即在低电平时所观察到的波形即为零输入信号。
（3）改变本实验的开关SK900的位置，观察到的是不同情况下的零输入响应，进行相应的比较3、系统的零状态响应特性观察（1）观察的方法与上述相同，不过当脉冲进入高电平阶段时，相当于此时加上激励，即此时零状态响应应在脉冲的高电平进行。
（2）改变本实验的开关SK900的位置，观察到的是不同系统下的零状态响应，进行相应的比较。
五、实验报告1、用两个坐标轴，分别绘制出零输入和零状态的输出波形。
2、通过绘制出的波形，和理论计算的结果进行比较。
六、实验思考题根据实验提供的实验元件，计算RC串联电路系统的零状态和零输入过程。
七、实验测试点的说明1、测试点分别为：“输入”（孔和测试钩）：阶跃信号的输入端。
“输出”：零输入和领状态的输出端。
“GND”：与实验箱的地相连。
2、调节点分别为：“S9”：此模块的电源开关。
零输⼊响应与零状态响应1.零输⼊响应与零状态响应在Matlab中，lsim函数还可以对带有⾮零起始状态的LTI系统进⾏仿真，使⽤⽅法为y=lsim(sys,u,t,x0)，其中sys表⽰LTI系统，⽮量u和t分别表⽰激励信号的抽样值和抽样时间，⽮量x0表⽰该系统的初始状态，返回值y是系统响应值。
如果只有起始状态⽽没有激励信号，或者令激励信号为0，则得到零输⼊响应。
如果既有初始状态也有激励信号，则得到完全响应。
请注意lsim函数只能对⽤状态⽅程描述的LTI系统仿真⾮零起始状态响应，函数ss（对传递函数描述的LTI系统将失效，函数tf）。
例2.5 给定如图所⽰电路，t<0时S处于1的位置⽽且已经达到稳态，将其看做起始状态，当t=0时，S由1转向2.分别求t>0时i(t)的零状态响应和零输⼊响应。
图2.1 例2.4 电路图解：由所⽰电路写出回路⽅程和结点⽅程分别得到状态⽅程和输出⽅程：下⾯将⽤两种⽅法计算完全响应。
第⼀种⽅法：⾸先仿真2V电压e作⽤⾜够长时间（10s）后系统进⼊稳态，从⽽得到稳态值x0，再以该值作为初始值仿真4V电压e作⽤下的输出rf，即是系统的完全响应，为充分掌握lsim函数的使⽤⽅法，还仿真了系统的零状态响应rzs和零输⼊响应rzi。
第⼆种⽅法：构造⼀个激励信号，先保持2V⾜够长时间再跳变为4V，然后即可以零初始状态⼀次仿真得到系统的完全响应r1。
对应程序如下：C=1;L=1/4;R1=1;R2=3/2;A=[-1/R1/C,-1/C;1/L,-R2/L];B=[1/R1/C;0];C=[-1/R1,0];D=[1/R1];sys=ss(A,B,C,D); %建⽴LTI 系统systn=[-10:0.01:-0.01]'; %⽣成-10s 到-0.01s 的抽样时间，间隔为0.01sen=2*(tn<0); %⽣成机理信号的抽样值e(t)=2[rn tn xn]=lsim(sys,en,tn); %仿真t<0时的输出信号x0=xn(length(en),:); %x0记录了初始状态的值t=[0:0.01:10]';e=4*(t>=0); %⽣成激励信号的抽样值e(t)=4ezi=0*(t>=0); %⽣成零输⼊信号的抽样值e(t)=0rzs=lsim(sys,e,t); %仿真零状态响应rzi=lsim(sys,ezi,t,x0); %仿真零输⼊响应rf=lsim(sys,e,t,x0); %仿真完全响应r1=lsim(sys,[en;e],[tn;t]); %⽤另⼀种⽅法仿真完全响应2. 冲激响应与阶跃响应如果分别⽤冲激信号和阶跃信号作激励，lsim 函数可仿真出冲激响应和阶跃响应。
零输入响应与零状态响应一、零输入响应1定义在没有外加激励时，仅有t = 0时刻的非零初始状态引起的响应。
取决于初始状态和电路特性，这种响应随时间按指数规律衰减。
2简介系统的零输入响应完全由系统本身的特性所决定，与系统的激励无关。
当系统是线性的，它的特性可以用线性微分方程表示时，零输入响应的形式是若干个指数函数之和。
指数函数的个数等于微分方程的阶数，也就是系统内部所含"独立"储能元件的个数。
假定系统的内部不含有电源，那么这种系统就被称为"无源系统"。
实际存在的无源系统的零输入响应随着时间的推移而逐渐地衰减为零。
零输入响应是系统微分方程齐次解的一部分。
3起始状态所谓的起始状态，是反映一个系统在初始观察时刻的储能状态。
以电系统为例，我们做如下约定:在研究t=0以后的响应时，把t=0(-)时的值uc(0-)和il(0-)等称为起始状态，而把t=0+时的值uc(0+)和il(0+)以及它们的各阶导数称为初始值或初始条件。
二、零状态响应1定义在动态电路中，动态元件的初始储能为零（即零初始状态）下，仅有电路的输入（激励）所引起的响应。
三、两种响应的区别零状态响应：0时刻以前响应为0（即初始状态为0），系统响应取决于从0时刻开始加入的信号f(t);零输入响应：从0时刻开始就没有信号输入（或说输入信号为0），响应取决于0时刻以前的初始储能。
四、两种响应的判断方法如果有电源激励就是，而元件本身没有电压或电流就是零状态，相反没有电源激励只有元件本身初始值电压电流，就是零输入响应。
五、两种响应的求解方法1零输入响应：就是没有外加激励，由初始储能产生的响应，它是齐次解的一部分；2零状态响应：就是初始状态为零，外加激励产生的响应。
它可以通过卷积积分来求解。
零状态响应等于单位样值相应和激励的卷积。
其中，单位样值相应就是系统函数的反拉式变换或z变换。
六、两种响应之间的联系引起电路响应的因素有两个方面，一是电路的激励，而是动态元件储存的初始能量。
信号与系统课程设计报告书课题名称 零输入响应与零状态响应姓 名梁何磊学 号 20086354 院、系、部 电气系 专 业 电子信息工程 指导教师秀婷 康朝红2011年1月11日※※※※※※※※※ ※ ※※ ※※ ※※※※※※※※※2008级信号与系统课程设计连续时间系统的LTI 系统的时域仿真 -------零输入响应与零状态响应20086354 梁何磊一、设计目的掌握信号经过LTI 系统的时域分析方法。
巩固已经学过的知识，加深对知识的理解和应用，加强学科间的横向联系，学会应用MATLAB 对实际问题进行仿真。
学会对带有非零起始状态的LTI 系统进行仿真。
二、设计要求（1）根据实际问题建立系统的数学模型，对给定的如下电路，课本第二章例2-8，参数如图所示；建立系统的数学模型，并计算其完全响应；（2）用MATLAB 描述此系统；（3）仿真实现并绘制输出信号的波形。
要求用两种方法仿真实现完全响应。
对仿真结果进行比较，并与理论值比较。
三、设计方法与步骤：一般的连续时间系统分析有以下几个步骤: ①求解系统的零输入响应; ②求解系统的零状态响应; ③求解系统的全响应; ④分析系统的卷积；⑤画出它们的图形. 下面以具体的微分方程为例说明利用MATLAB 软件分析系统的具体方法.1．连续时间系统的零输入响应描述n 阶线性时不变（LTI ）连续系统的微分方程为：已知y 及各阶导数的初始值为y(0),y (1)(0)，… y (n-1)(0)， 求系统的零输入响应。
建模当LIT 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）1121111n n m n n m m n n m d y d y dy d u du a a a a y b b b u dtdt dt dt dt -++-++⋅⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅⋅++()4=t e ()t L H 41=L Ω=232其中p1,p2,…,p n是特征方程a1λn+a2λn-1+…+a nλ+a n=0的根，它们可以用root(a)语句求得。
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