2020年安徽省江南十校高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)

2020 年安徽省江南十校高考数学模拟试卷（理科）（4 月 份）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知复数 z=（1-a）+（a2-1）i（i 为虚数单位，a＞l），则 z 在复平面内的对应点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合 A={x|3x＜x+4}，B=（x|x2-8x+7＜0}，则 A∩B=（ ）A. （-1，2）B. （2，7）C. （2，+∞）D. （1，2）3. 某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为 120°，并在扇形弧上正面等距安装 7 个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计）．已知扇形的半径为 30 厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）A. 58 厘米B. 63 厘米C. 69 厘米D. 76 厘米4. 函数 f（x）=在[- ， ]上的图象大致为（ ）A.B.C.D.5. 若（l+ax）（l+x）5 的展开式中 x2，y3 的系数之和为-10，则实数 a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -lD. 16. 已知 a=log3 ，b=ln3，c=2-0.99，则 a，b，c 的大小关系为（ ）A. b＞c＞aB. a＞b＞cC. c＞a＞bD. c＞b＞a7. 执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（ ）A. -B.C.D.第 1 页，共 14 页8. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可以 写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是 1742 年由数学 家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中 做出相当好的成绩，若将 6 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质 数的概率为（ ）A.B.C.D.9. 已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，S2= ，S3= ，则 a1a2…an 的最小值为（ ）A. （ ）2B. （ ）3C. （ ）4D. （ ）510. 已知点 P 是双曲线 C： - =l（a＞0，b＞0，c=）上一点，若点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离之积为 c2，则双曲线 C 的离心率为（ ）A.B.C.D. 211. 已知 f（x）=1-2cos2（ωx+ ）（ω＞0）．给出下列判断： ①若 f（xl）=l，f（x2）=-1，且|x1-x2|min=π，则 ω=2； ②存在 ω∈（0，2），使得 f（x）的图象右移 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对 称； ③若 f（x）在[0，2π]上恰有 7 个零点，则 ω 的取值范围为[ ， ]④若 f（x）在[- ， ]上单调递增，则 ω 的取值范围为（0， ]其中，判断正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 如图，在平面四边形 ABCD 中，满足 AB=BC，CD=AD，且 AB+AD=10，BD=8．沿着 BD 把 ABD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且使 PC=2，则三棱锥 P-BCD 体积的最大值为（ ）A. 12B. 12C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知函数 f（x）=lnx+x2，则曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为______．14. 若∃x0∈R，x02-a+5＜0 为假，则实数 a 的取值范围为______．15. 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，1）和点 B（-3，4），若点 C 在∠AOB 的平分线上，且| |=3 ，则向量 的坐标为______．第 2 页，共 14 页16. 已知抛物线 C：y2=4x，点 P 为抛物线 C 上一动点，过点 P 作圆 M：（x-3）2+y2=4 的切线，切点分别为 A，B，则线段 AB 长度的取值范围为______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 csinB=bsin（ -C）+ b．（l）求角 C 的大小； （2）若 c= ，a+b=3，求 AB 边上的高．18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形， AB∥CD，CD=2AB=4，AD= ．△PAB 为等腰直角三角形， PA=PB，平面 PAB⊥底面 ABCD，E 为 PD 的中点． （1）求证：AE∥平面 PBC； （2）若平面 EBC 与平面 PAD 的交线为 l，求二面角 P-l-B 的正弦值．19. 一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得 2 分，反面向上得 1 分． （1）设抛掷 4 次的得分为 X，求变量 X 的分布列和数学期望． （2）当游戏得分为 n（x∈N*）时，游戏停止，记得 n 分的概率和为 Qn，Q1= ． ①求 Q2； ②当 n∈N*时，记 An=Qn+1+ Qn，Bn=Qn+1-Qn，证明：数列{An}为常数列，数列{Bn} 为等比数列．第 3 页，共 14 页20. 已知椭圆 E： + =1（a＞b＞0））的离心率为 ，且过 点（ ， ）．点 P 在第一象限，A 为左顶点．B 为下顶点， PA 交 y 轴于点 C，PB 交 x 轴于点 D． （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若 CD∥AB，求点 P 的坐标．21. 已知函数 f（x）=lnx-x2+ax（a∈R）． （1）若 f（x）≤0 恒成立，求 a 的取值范围； （2）设函数 f（x）的极值点为 x0，当 a 变化时，点（x0，f（x0））构成曲线 M．证 明：过原点的任意直线 y=kx 与曲线 M 有且仅有一个公共点．22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为（m 为参数），直线 l2 的参数方程为（n 为参数）．若直 l1，l2 的交点为 P，当 k 变化时，点 P 的轨迹是曲线 C． （l）求曲线 C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线 l3 的极坐标方程为 θ=α（ρ≥0），tanα= （0＜α＜ ），点 Q 为射线 l3 与曲线C 的交点，求点 Q 的极径．23. 已知函数 f（x）=|x-1|+|x+2|． （l）求不等式 f（x）＜x+3 的解集； （2）若不等式 m-x2-2x≤f（x）在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围．第 4 页，共 14 页2020 年安徽省江南十校高考数学模拟试卷（理科）（4 月 份）答案和解析【答案】1. B2. D3. B4. C5. B6. A7. D8. A9. D10. A 11. B 12. C13. 3x-y-2=0 14. （-∞，4] 15. （-3，9） 16. [2 ，4）17. 解：（1）因为 csinB=bsin（ -C）+ b．由正弦定理可得，sinCsinB=sinBsin（ -C）+ sinB，因为 sinB＞0，所以 sinC=sin（ -C）+ =，即=1，所以 sin（C ）=1，∵0＜C＜π，所以 C= ，（2）由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abcosC， 所以 a2+b2+ab=7，即（a+b）2-ab=7，所以 ab=2，S△ABC==，设 AB 边上的高为 h，则，故 h= ．18. 解：（1）证明：如图 1，取 PC 的中点 F，连结 EF，BF，∵PE=DE，PF=CF，∴EF∥CD，CD=2EF， ∵AB∥CD，CD=2AB，∴AB∥EF，且 EF=AB， ∴四边形 ABFE 为平行四边形，∴AE∥BF， ∵BF⊂平面 PBC，AE⊄平面 PBC， ∴AE∥平面 PBC． （2）解：如图 2，取 AB 中点 O，CD 中点 Q，连结 OQ， ∵OA=OB，CQ=DQ，PA=PB，∴PO⊥AB，OQ⊥AB， ∵平面 PAB⊥平面 ABCD，交线为 AB， ∴PO⊥平面 ABCD，OQ⊥平面 PAB， ∴AB，OQ，OP 两两垂直， 以点 O 为坐标原点，OQ，OB，OP 为 x，y，z 轴，建立空间 直角坐标系， 由 PA⊥PB，AB=2，得 OA=OB=OP=1，DQ=CQ=2， 在等腰梯形 ABCD 中，AB=2，CD=4，AD= ，OQ=1， O（0，0，0），A（0，-1，0），B（0，1，0），C（1，2，0），P（0，0，1），D（1，第 5 页，共 14 页-2，0），E（ ，-1， ）， 设平面 PAD 的法向量为 =（x，y，z），=（0，1，1）， =（1，-1，0），则，取 y=1，得 =（1，1，-1），设平面 EBC 的法向量 =（a，b，c），=（1，1，0）， =（-），则，取 a=1，得 =（1，-1，-5），设二面角 P-l-B 的平面角为 θ，则|cosθ|= = ，P-l-B 的正弦值为 sinθ==．19. 解：（1）解：变量 X 的所有可能取值为 4，5，6，7，8，∵每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为 ，反面向上的概率为 ，∴P（X=4）=（ ）4= ，P（X=5）= P（X=6）==， =，P（X=7）==，P（X=8）==，∴X 的分布列为：P45678X（2）①解：得 2 分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为：Q2=②证明：得 n 分分两种情况，第一种为得 n-2 分后抛掷一次正面向上， 第二种为得 n-1 分后，抛掷一次反面向上，∴当 n≥3，且 n∈N*时，Qn=+，An+1=Qn+2+=++=∴数列{An}为常数列，∵Bn+1=Qn+2-Qn+1=+ -Qn+1=-+=An，第 6 页，共 14 页=，=- （Qn+1-Qn）=- ，∵B1=P2-P1=，∴数列{Bn}为等比数列．20. 解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆 E 的标准方程为：；（2）由（1）知点 A（-2，0），B（0，-1），由题意可设直线 AP 的方程为：y=k（x+2）（0＜k＜ ），所以点 C 的坐标为（0，2k），联立方程，消去 y 得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，设 P（x1，y1），则，所以，所以=，所以 P（， ），设 D 点的坐标为（x0，0），因为点 P，B，D 三点共线，所以 kBD=kPB，即，所以 x0= ，所以 D（ ，0），因为 CD∥AB，所以 kCD=kAB，即，所以 4k2+4k-1=0，解得，又因为 0＜k＜ ，所以 k= ，所以点 P 的坐标为（ ， ）．21. 解：（1）由 x＞0 可得 f（x）≤0 恒成立等价为 a≤x- 恒成立．设 g（x）=x- ，g′（x）=1- =，再令 h（x）=x2-1+lnx，则 h′（x）=2x+ ＞0，则 h（x）在（0，+∞）递增，又 h（1）=0，则 0＜x＜1，h（x）＜0，x＞1，h（x）＞0， 即 0＜x＜1 时，g′（x）＜0；x＞1 时，g′（x）＞0，可得 g（x）在（0，1）递减；在 （1，+∞）递增， 即有 g（x）在 x=1 处取得极小值，即最小值 g（1）=1，所以 a≤1； （2）证明：由（1）可得 f（x0）=lnx0-x02+ax0，第 7 页，共 14 页f′（x0）=0，即 -2x0+a=0，即 a=2x0- ，所以 f（x0）=lnx0+x02-1，可得曲线 M 的方程为 y=lnx+x2-1，由题意可得对任意实数 k， 方程 lnx+x2-1=kx 有唯一解． 设 h（x）=lnx+x2-kx-1，则 h′（x）= +2x-k=，①当 k≤0 时，h′（x）＞0 恒成立，h（x）在（0，+∞）递增， 由 h（1）=-k≥0，h（ek）=k+e2k-kek-1=k（1-ek）+e2k-1≤0， 所以存在 x0 满足 ek≤x0≤1 时，使得 h（x0）=0．又因为 h（x）在（0，+∞）递增，所以 x=x0 为唯一解． ②当 k＞0 时，且△=k2-8≤0 即 0＜k≤2 时，h′（x）≥0 恒成立，所以 h（x）在（0，+∞） 递增， 由 h（1）=-k＜0，h（e3）=3+e6-ke3-1=（e3- ）2+（2 -k）e3＞0， 所以存在 x0∈（1，e3），使得 h（x0）=0．又 h（x）在（0，+∞）递增，所以 x=x0 为唯 一解．③当 k＞2 时，h′（x）=0 有两解 x1，x2，设 x1＜x2，因为 x1x2= ，所以 x1＜ ＜x2，当 x∈（0，x1）时，h′（x）＞0，h（x）递增；当 x∈（x1，x2）时，h′（x）＜0，h（x） 递减， 当 x∈（x2，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，可得 h（x）的极大值为 h（x1）=lnx1+x12-kx1-1， 因为 2x12-kx1+1=0，所以 h（x1）=lnx1-x12-2＜0，所以 h（x2）＜h（x1）＜0，h（e ）=k2+e -ke -1=（e -k）e +k2-1＞0，令 m（x）=e -x，x＞2 ，可得 m′（x）=2x•e -1＞0，所以 m（x）＞m（2 ）＞0，所以存在 x0∈（x2，e ），使得 h（x0）=0，又因为 h（x）在（x2，+∞）递增，所以 x=x0 为唯一解． 综上可得，过原点的任意直线 y=kx 与曲线 M 有且仅有一个公共点．22. 解：（1）直线 l1 的参数方程为y=-kx．（m 为参数），转换为直角坐标方程为直线 l2 的参数方程为（n 为参数），转换为直角坐标方程为 y-2= ．联立两直线的方程消去参数 k 得：x2+（y-1）2=1（x≠0）． （2）设点 Q（ρcosα，ρsinα）由 tanα= ，可得：．代入曲线 C，得，解得 或 ρ=0（舍去），故点 Q 的极径为 ．23. 解：（1）当 x＜-2 时，f（x）＜x+3 可化为 1-x-x-2＜x+3，解得 x＞- ，无解；当-2≤x≤1 时，f（x）＜x+3 可化为 1-x+x+2＜x+3，解得 x＞0，故 0＜x≤1； 当 x＞1 时，f（x）＜x+3 可化为 x-1+x+2＜x+3，解得 x＜2，故 1＜x＜2．第 8 页，共 14 页综上可得，f（x）＜x+3 的解集为（0，2）； （2）不等式 m-x2-2x≤f（x）在 R 上恒成立，可得 m≤x2+2x+f（x）， 即 m≤（x2+2x+f（x））min，由 y=x2+2x=（x+1）2-1 的最小值为-1，此时 x=-1； 由 f（x）=|x-1|+|x+2|≥|x-1-x-2|=3，当且仅当-2≤x≤1 时，取得等号， 则（x2+2x+f（x））min=-1+3=2，所以 m≤2， 即 m 的取值范围是（-∞，2]． 【解析】1. 解：当 a＞1 时，1-a＜0，a2-1＞0，∴z 在复平面内的对应点所在的象限为第二象限． 故选：B． 由 a＞1 可得复数 z 的实部与虚部的范围，则答案可求． 本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2. 解：A={x|x＜2}，B={x|1＜x＜7}，∴A∩B=（1，2）． 故选：D． 可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可． 本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能 力，属于基础题．3. 解：因为弧长比较短的情况下分成 6 等份，每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，所以导线长度为 ×30=20π=20×3.14≈63（厘米）．故选：B． 弧长比较短的情况下分成 6 等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 用弧长近似代替弦长，计算导线的长度即可． 本题考查了扇形的弧长计算问题，也考查了分析问题解决问题的能力，是基础题．4. 解：根据题意，f（x）=，有 f（-x）=-=-f（x），所以 f（x）在[- ， ]上为奇函数，其图象关于原点对称，排除 A，B，在 （0， ）上，cosx＞0，2x＞0，2-x＞0，则 f（x）＞0，排除 D； 故选：C． 根据题意，利用排除法分析：先分析函数的奇偶性，再分析在 （0， ）上，f（x） ＞0，可得答案． 本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性，属于基础题.5. 解：因为（l+x）5 的展开式的通项公式为：Tr+1= •xr；可得展开式中 x，x2，x3 的系数分别为： ， ， ；故（l+ax）（l+x）5 的展开式中 x2 的系数为： +a• =10+5a；故（l+ax）（l+x）5 的展开式中 x3 的系数为：a• + =10+10a；∴10+5a+10+10a=20+15a=-10； ∴a=-2． 故选：B．第 9 页，共 14 页先求（l+x）5 的展开式的通项公式，进而求得结论． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基 础题．6. 解：因为 a=log3 ∈（0， ），b=ln3＞1，c=2-0.99＞2-1= ，故 b＞c＞a． 故选：A． 结合指数与对数函数的单调性分别确定 a，b，c 的范围即可比较． 本题主要考查了利用指数函数与对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础试题．7. 解：由题意得=．故选：D．根据循环体的算法功能可以看出，这是一个对数列 求前五项和的程序框图，计算可求解． 这是一道程序框图中的循环结构问题，考查了数列求和，需要弄清楚首项与项数，计算 要准确．难度不大．8. 解：由古典概型的基本事件的等可能性得 6 拆成两个正整数的和含有 5 个基本事件，分别为： （1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）， 而加数全为质数的有（3，3），∴拆成的和式中，加数全部为质数的概率为 P= ．故选：A． 利用列举法求出由古典概型的基本事件的等可能性得 6 拆成两个正整数的和含有 5 个基 本事件，而加数全为质数的有 1 个，由此能求出拆成的和式中，加数全部为质数的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题．9. 解：由题意可得，，解可得，或（舍），故 an=，当 1≤n≤5 时，an＜1，当 n≥6，an＞1，则 a1a2…an 的最小值为 a1a2…a5= = ．故选：D． 由已知结合等比数列的通项公式可求 a1，q，进而可求通项公式，然后结合项的特点可 求． 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题．10. 解：双曲线 C： - =l（a＞0，b＞0 的两条渐近线的方程为 bx±ay=0，设 P（x，y），利用点 P 到双曲线的两条渐近线的距离之积为||= ，第 10 页，共 14 页可得||=⇒a=b，∴双曲线的离心率e=．故选：A．双曲线C：-=l（a＞0，b＞0的两条渐近线的方程为bx±ay=0，设P（x，y），利用点P到双曲线的两条渐近线的距离之积为||=，求出a、c关系，即可求出双曲线的离心率．本题考查了双曲线的性质、离心率、距离公式，属于中档题．11. 解：∵，∴周期．①由条件知，周期为，∴，故①错误；②函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于y轴对称，则，∴ω=-1-3k（k∈Z），故对任意整数k，ω∉（0，2），故②错误；③由条件，得，∴，故③正确；④由条件，得，∴，又ω＞0，∴，故④正确．故选：B．先将f（x）化简，对于①由条件知，周期为，然后求出ω；对于②由条件可得=+kπ（k∈Z），然后求出ω=-1-3k（k∈Z）；对于③由条件，得2π-，然后求出ω的范围；对于④由条件，得，然后求出ω的范围，再判断命题是否成立即可．本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数的图象变换，考查了转化思想和推理能力，属中档题．12. 解：过点P作PE⊥BD于E，连结CE，由题意知△BPD≌△BCD，CE⊥BD，且PE=CE，∴BD⊥平面PCE，∴V P-BCD=V B-PCE+V D-PCE==，∴当S△PCE最大时，V P-BCD取得最大值，取PC的中点F，则EF⊥PC，∴S△PCE=•EF=，∵PB+PD=10，BD=8，∴点P到以BD为焦点的椭圆上，∴PE的最大值为对应短半轴长，∴PE最大值为=3，∴S△PCE最大值为2，∴三棱锥P-BCD体积的最大值为．故选：C．过点P作PE⊥BD于E，连结CE，推导出BD⊥平面PCE，当S△PCE最大时，V P-BCD取得最大值，取PC的中点F，则EF⊥PC，推导出点P到以BD为焦点的椭圆上，PE的最大值为对应短半轴长，由此能求出三棱锥P-BCD体积的最大值．本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13. 解：函数f（x）=ln x+x2，可知f（1）=1，故切点为（1，1），，故f′（1）=3，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=3（x-1），即3x-y-2=0，故答案为：3x-y-2=0．根据题意，求出f（1）和f′（1），即可得解．本题考查了导数的几何意义，是基础题．14. 解：若∃x0∈R，x02-a+5＜0为假，则其否定命题为真，即∀x∈R，x2-a+5≥0为真，所以a≤对任意实数恒成立；设f（x）=，x∈R；则f（x）=+≥2=4，当且仅当=，即x=±时等号成立，所以实数a的取值范围是a≤4．故答案为：（-∞，4]．若∃x0∈R，x02-a+5＜0为假，则其否定命题为真，利用分离常数法和基本不等式求出a的取值范围．本题考查了命题真假的判断问题，也考查了转化思想，是中档题．15. 解：由点C在∠AOB的平分线上，所以存在λ∈（0，+∞），使=λ（+）=λ（0，1）+λ（-，）=（-λ，λ）；又||=3，所以+=90，解得λ=5，所以向量=（-3，9）．故答案为：（-3，9）．由点C在∠AOB的平分线上得存在λ∈（0，+∞），使=λ（+），再由||求出λ的值即可．本题考查了平面向量的线性表示与坐标运算问题，是基础题．16. 解：如图：连接PM，PA，PB，易得MA⊥PA，MB⊥PB，PM⊥AB，所以四边形PAMN的面积为：PM，•AB，另外四边形PAMB的面积为三角形PAM面积的两倍，所以|PM|•|AB|=|PA|•|MA|，所以|AB|===4，所以当|PM|取得最小值时，|AB|最小，设点P（x，y），则|PM|==，所以x=1时，|PM|取得最小值为：2，所以AB的最小值为：=2．当P向无穷远处运动时，|AB|的长度趋近于圆的直径，故|AB|的取值范围是[2，4）．故答案为：[2，4）．画出图形，连接PM，PA，PB，易得MA⊥PA，MB⊥PB，PM⊥AB，求出四边形PAMN 的面积，结合四边形PAMB的面积为三角形PAM面积的两倍，求出|AB|的表达式，然后分析求解最小值以及最大值即可．本题考查最小与抛物线的位置关系的应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．17. （1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求C；（2）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18. （1）取PC的中点F，连结EF，BF，推导出四边形ABFE为平行四边形，AE∥BF，由此能求出AE∥平面PBC．（2）取AB中点O，CD中点Q，连结OQ，推导出PO⊥AB，OQ⊥AB，从而PO⊥平面ABCD，OQ⊥平面PAB，以点O为坐标原点，OQ，OB，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面P-l-B的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. （1）变量X的所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，由此能求出Q2．②得n分分两种情况，第一种为得n-2分后抛掷一次正面向上，第二种为得n-1分后，抛掷一次反面向上，当n≥3，且n∈N*时，Q n=+，由此能证明数列{A n}为常数列，由B n+1=Q n+2-Q n+1=+-Q n+1=-+-，能证明数列{B n}为等比数列．本题考查概率的求法，考查常数列、等比数列的证明，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. （1）列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可求出椭圆E的标准方程；（2）设直线AP的方程为：y=k（x+2）（0＜k＜），与椭圆方程联立，利用韦达定理可求出P（，），由点P，B，D三点共线，所以k BD=k PB，求出D（，0），由CD∥AB可得，解出k的值，从而求出点P的坐标．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了三点共线问题，是中档题．21. （1）由题意可得原不等式等价为a≤x-恒成立．设g（x）=x-，由g（x）的二次导数的符号，确定g（x）的单调性，可得g（x）的最小值，进而得到a的范围；（2）由极值的定义可得f（x0）=ln x0+x02-1，可得曲线M的方程为y=ln x+x2-1，由题意可得对任意实数k，方程ln x+x2-1=kx有唯一解．设h（x）=ln x+x2-kx-1，求得h（x）的导数，讨论k≤0；k＞0，△≤0，△＞0，结合h（x）的单调性，以及函数零点存在定理，化简计算即可得证．本题考查表达式恒成立问题的解法和直线与曲线恒有公共点的问题，注意运用参数分离和构造函数、分类讨论思想和导数的运用：求单调性和极值、最值，考查化简运算能力和推理论证能力，属于难题．22. （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. （1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，再求并集可得所求解集；（2）由题意可得m≤（x2+2x+f（x））min，结合二次函数的最值求法，以及绝对值不等式的性质可得所求最小值，进而得到m的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。

2020届安徽省江淮十校高三第二次联考（11月）数学（理）试题一、单选题1．若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{|14}x x <„ B ．{|14}x x <<C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】化简集合A ，再由交并补的定义，即可求解. 【详解】{|44}{3,2,1,0,1,2,3}A x x =∈-<<=---Z ， {|1}U B x x =>ð，(){2,3}U A B =I ð.故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”是假命题C ．若命题p 、q ⌝均为假命题，则命题p q ⌝∧为真命题D ．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()f x 是奇函数”的必要不允分条件 【答案】B【解析】选项A ：按照四个命题的关系，判断为正确；选项B ：转化为指数幂比较大小，不等式成立，故判断错误；选项C ：根据或且非的真假关系，判断为正确；选项D ：根据充分必要条件判断方法，为正确. 【详解】选项A: 命题“若2430x x -+=，则3x =”的 逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，故正确；选项B: (0,)x ∀∈+∞， 022()()13233x x x <==，而0,323x x x >∴<，命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <” 为真，判断错误；选项C: 若命题p 、q ⌝均为假命题， 则命题p ⌝、q 均为真命题， 故命题p q ⌝∧为真命题，判断正确； 选项D: ()f x 是定义在R 上的函数， 若“()f x 是奇函数”则“(0)0f =”正确； 而“(0)0f =”，()f x 不一定是奇函数， 如2()f x x =，选项D 判断正确. 故选:B 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到四种命题的关系，全称命题的真假判定，或且非复合命题的真假关系，以及充分必要条件的判断，属于基础题.3．已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】D【解析】先比较,,a b c 的大小关系，再根据()xx f x e e -=-单调性，比较函数值的大小，即可求解. 【详解】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<. 故选:D . 【点睛】本题考查了指数幂和对数值的大小关系，以及指数函数的单调性，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S =，330n S =，4176n S -=，则n =（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】根据等差数列的性质，求出1n a a +，再由前n 项和公式，即可求解. 【详解】∵123422a a a a +++=，4123154n n n n n n S S a a a a -----=+++= ∴14()176n a a +=，∴144n a a += ∴由1()2n n n a a S +=得443302n ⨯=，∴15n =. 故选:B . 【点睛】本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 5．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ，故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C 【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证。

江淮十校2020届高三第二次联考数 学（理科） 2019.11注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1、若全集R U =，集合{}{}01|,16|2≤-=<∈=x x B x Z x A ，则=)(B C A U I A 、{}41|<≤x x B 、{}41|<<x x C 、{}321，， D 、{}32， 2、下列说法错误的是A 、命题“若0342=+-x x ，则3=x ”的逆否命题为“若3≠x ，则0342≠+-x x ”B 、命题“x x x 32),,0(<+∞∈∀”是假命题C 、若命题q p ⌝、均为假命题，则命题q p ∧⌝为真命题D 、若)(x f 是定义在R 上的函数,则“0)0(=f ”是“)(x f 是奇函数”的必要不充分条件3、已知函数x x e e x f -=-)(（e 为自然数对数的底数），若5.07.0-=a ，7.0log 5.0=b ，5log 7.0=c ，则A 、)()()(c f a f b f <<B 、)()()(a f b f c f <<C 、)()()(b f a f c f <<D 、)()()(c f b f a f <<4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，176,330,2244===-n n S S S ，则=nA 、14B 、15C 、16D 、175、函数x x y sin 22-=的图象大致是A 、B 、C 、D 、6、已知向量)1,3(=，向量为单位向量，且1=⋅，则-2与2的夹角余弦值为A 、21B 、33C 、21- D 、33-7、平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为单位圆O 交于点),(00y x P ，且)0,2(πα-∈，则53)6cos(=+πα，则0x 的值为 A 、10433- B 、10334- C 、10433+ D 、10334+ 8、关于函数)3ln()1ln()(x x x f --+=有下述四个结论：①)(x f 在)3,1(-单调递增 ②)(x f y =的图象关于直线1=x 对称③)(x f 的图象关于点)0,1(对称 ④)(x f 的值域为RA 、0B 、1C 、2D 、39、阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离为定值λ（1,0≠>λλ）的动点轨迹.已知在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，,2cos cos ,sin 2sin =+=A b B a B A 则ABC ∆面积的最大值为A 、2B 、3C 、34D 、 35 10、在ABC ∆中，BAC BAC ∠︒=∠,60的平分线AD 交BC 于D ，且有AB t AC AD +=32，若6||=，则=|| A 、32 B 、33 C 、34 D 、3511、已知函数)0(12cos2sin )(2>+-=ωωωx x x f 在区间)2,1(上单调，则ω的取值范围是 A 、]83,0(π B 、]43,0(π C 、]87,43[]83,0(πππY D 、],43[]83,0(πππY 12、已知)1ln )(1ln ()(++++=x x x ax x f 与2)(x x g =的图象至少有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是A 、)22,21(-B 、)1,21(- C 、)122(， D 、)2,1( 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届安徽省江淮十校高三第二次联考数学（理科）试题 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.设全集{}{}2,60,ln(1)U R A x x x B x y x ==--<==-，则()U AB ð＝( )A.[1，3)B. (1，3]C.(1，3)D.(－2，1] 2.在复平面内，复数247iz i-=+ (i 是虚数单位)对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若741413a a =，则137SS ＝( ) A.2 B.12 C.1413 D.13144.已知偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区向[0，2]上是增函数，则(2019),(),(4)f f f π-的大小关系是( )A.(2019)(4)()f f f π<-<B.()(4)(2019)f f f π<-<C.(4)()(2019)f f f π-<<D.(4)(2019)()f f f π-<<5.某高中数学兴趣小组准备选拔x 名男生、y 名女生，若x 、y 满足约束条件251127x y y x x -≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪≤⎪⎩，则数学兴趣小组最多选拔学生( )A.21人B.16人C.13人D.11人 6.函数cos()f x x=的部分图象大致为()7.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在x ＝x 1，x ＝x 2，x ＝x 3(x 1<x 2<x 3)处的函数值分别为y 1＝f(x 1)，y 2＝f(x 2)，y 3＝f(x 3)，则在区间[x 1，x 3]上f(x)可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x ≈++---，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---。

2020年安徽省江南十校联考理科数学试题及答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March绝密★启用前2020年安徽省“江南十校”综合素质检测理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．效．。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z＝(1－a)＋(a2－1)i(i为虚数单位，a>1)，则z在复平面内的对应点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A＝{x|3x<x＋4}，B＝{x|x2－8x＋7<0}，则A∩B＝A.(－1，2)B.(2，7)C.(2，＋∞)D.(1，2)3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为厘米厘米厘米厘米4.函数f(x)＝cos22x xx x-+在[－2π，2π]上的图象大致为5.若(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2，x3的系数之和为－10，则实数a的值为A.－3B.－2C.－16.已知a＝log2，b＝ln3，c＝2－，则a，b，c的大小关系为>c>a >b>c >a>b >b>a7.执行下面的程序框图，则输出S的值为A.112-B.2360C.1120D.43608.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题。

2020年安徽省江南十校高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数z =1+ai i(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (−∞,0)2. 已知集合A ={x|3x −x 2>0}，B ={x|−1<x <1}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <3}B. {x|−1<x <0}C. {x|0<x <1}D. {x|1<x <3}3. 一个半径是2的扇形，其圆心角的弧度数是，则该扇形的面积是( ) A.B.C.D. π4. 函数f(x)=sinx2+cosx (−π≤x ≤π)的图象大致为( )A.B.C.D.5. (x + y 2x)(x +y)5的展开式中x 3y 3的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 206. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a7. 阅读如图所示的程序框图，输出的S 的值是( )A. 2 0132 015B. 2 0132 014C. 2 0122 013D. 2 0112 0128.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和”，如10=7+3.在不超过30的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A. 112B. 114C. 115D. 1189.在正项等比数列{a n}中，若a1=2，a3=8，{a n}的前n项和为S n.则S6=()A. 62B. 64C. 126D. 12810.双曲线x2−y23=1的两条渐近线夹角是()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°11.关于函数f(x)=4sin(2x+π3),(x∈R)有下列命题：其中正确的是()①由f(x1)=f(x2)=0可得x1−x2必是π的整数倍；②f(x)的表达式可改写为f(x)=4cos(2x−π6)；③f(x)的图象关于点(−π6,0)对称；④f(x)的图象关于直线x=π3对称；⑤f(x)在区间(−π3,π12)上是增函数．A. ②③⑤B. ①②③C. ②③④D. ①③⑤12.如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=PA=PC=2，M，N为线段AC上的点，若MN=2，则三棱锥P−MNB的体积为()A. 13B. √23C. √33D. 23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f (x )=x 22+x −2lnx ，求函数f (x )在点(2,f (2))处的切线方程________．14. 若命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+m <0”是假命题，则实数m 的范围是______．15. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(1,3)，B(−2,k)，若向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数k = ______ ． 16. 已知A 是抛物线y 2=4x 上的一点，以点A 和点B(2,0)为直径的圆C 交直线x =1于M ，N 两点．直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于P ，Q 两点．(1)求线段MN 的长；(2)若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与|MN|相等，求直线l 的方程． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知a,b,c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且2asin (C +π3)=√3b ．(1)求角A 的值．(2)若b =3,c =4，点D 在BC 边上，AD =BD ，求AD 的长．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA=AB=√3，BC=2，AD=1．(1)若M为棱SB的中点，求证：AM//平面SCD;(2)当SM=MB，DN=3NC时，求平面AMN与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．19.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．(1)设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(2)求恰好得到n(n∈N∗)分的概率．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0 )的离心率为23，C 为椭圆E 上位于第一象限内的一点． (1)若点C 的坐标为(2,53)，求椭圆E 的标准方程；(2)设A 为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的斜率．21. 已知函数f(x)=x|x +a|−12lnx(Ⅰ)当a ≤−2时，求函数f(x)的极值点； (Ⅱ)若f(x)>0恒成立，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosφy =2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l 1与C 相交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，过点M 作l 1的垂线l 2交C 于P ，Q 两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ|的值．|MP|⋅|MQ|23.已知函数f(x)=|x−1|+|x−2|．(1)解不等式：f(x)≤x+3；(2)若不等式|m|·f(x)≥|m+2|−|3m−2|对任意m∈R恒成立，求x的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查复数的基本运算和复数的几何意义，属于基础题．解：由z=a−i，又∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，有a>0．∴实数a的取值范围为(0,+∞)故选A．2.答案：C解析：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<1}，∴A∩B={x|0<x<1}．故选：C．3.答案：C解析：本题主要考查了弧长公式，扇形的面积公式的应用，属于基础题．由已知先求弧长，利用扇形的面积公式即可计算得解．解：因为扇形的弧长，则面积，故选C．4.答案：A解析：解：f(−x)=−sinx2+cosx =−f(x)则函数f(x)是奇函数，排除C ， 分母2+cosx >0，则当0<x <π时，sinx >0，则f(x)>0，排除D ， f(π4)=√222+√22=√24+√2<f(π2)=12，则B 不满足条件．故选：A ．利用函数的奇偶性得到图象关于原点对称，利用f(π4)<f(π2)，进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．5.答案：C解析：解：因为(x + y 2x)(x +y)5=(x 2+y 2)(x+y)5x；要求展开式中x 3y 3的系数即为求(x 2+y 2)(x +y)5展开式中x 4y 3的系数；展开式含x 4y 3的项为：x 2⋅C 52x 2⋅y 3+y 2⋅C 54x 4⋅y =15x 4y 3；故(x + y 2x)(x +y)5的展开式中x 3y 3的系数为15；故选：C ．先把条件整理转化为求(x 2+y 2)(x +y)5展开式中x 4y 3的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．6.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ． 故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：依题意，知：i=1,n=2,S=0+11×2，i=2,n=3,S=11×2+12×3，i=3, n=4, S=11×2+12×3+13×4，…i=2 013, n=2014, S=11×2+12×3+13×4+⋯+12 013×2 014=1−12 014=2 0132 014．i=2014，满足退出循环条件，故输出S值为：20132014．故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8.答案：C解析：本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键．利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．解：在不超过30的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有C102=45种，和等于30的有(7,23)，(11,19)，(13,17)，共3种，则对应的概率P=345=115，故选C．9.答案：C解析：解：在正项等比数列{a n}中，由a1=2，a3=8，得q2=a3a1=82=4，∴q=2．则S6=2(1−26)1−2=126．故选：C．由已知结合等比数列的通项公式求得公比，再由等比数列的前n项和求S6．本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是基础的计算题．10.答案：B解析：由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．解：双曲线x2−y23=1的两条渐近线的方程为：y=±√3x，所对应的直线的倾斜角分别为60°，120°，∴双曲线x2−y23=1的两条渐近线的夹角为60°，故选B．11.答案：A解析：解：①由f(x1)=f(x2)=0，得2x1+π3=kπ,2x2+π3=mπ，所以2x1−2x2=(k−m)π，即x1−x2=(k−m)π2,k,m∈Z，所以①错误．②f(x)=4cos(2x−π6)=4cos(π6−2x)=4sin[π2−(π6−2x)]=4sin(2x+π3)，所以②正确．③因为f(−π6)=4sin[2(−π6)+π3]=4sin0=0，所以f(x)的图象关于点(−π6,0)对称，所以③正确．④因为f(π3)=4sin(2×π3+π3)=4sinπ=0不是函数的最大值，所以f(x)的图象关于直线x=π3不对称，所以④不正确．⑤由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，得−5π12+kπ≤x≤π6+kπ，当k=0时，得−5π12≤x≤π6，即函数的一个单调增区间为[−5π12,π6]，所以函数f(x)在区间(−π3,π12)上是增函数，所以⑤正确．故选A．利用三角函数的图象和性质分别判断．本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的性质，综合性较强．12.答案：D解析：解：取AC的中点O，连结PO，BO．∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABC．∵AB⊥BC，AB=BC=PA=PC=2，∴AC=2√2，BO=AO=12AC=√2，∴PO=√PA2−OA2=√2．∴V P−MNB=13S△BMN⋅PO=13×12×2×√2×√2=23．故选D．取AC的中点O，连结PO，BO，则利用面面垂直的性质可证PO⊥平面ABC，利用勾股定理计算BO，PO，于是V P−BMN=13S△BMN⋅PO．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．13.答案：2x−y−2ln2=0解析：本题考查导数的几何意义，基础题型．利用导数的几何意义求解即可．解：∵函数f(x)=x22+x−2lnx，∴f′(x)=x+1−2x，∴f′(2)=2+1−1=2，f(2)=2+2−2ln2=4−2ln2，∴函数f(x)在点(2,4−2ln2)处的切线方程为y−4+2ln2=2(x−2)，即2x−y−2ln2=0．故答案为2x−y−2ln2=0．14.答案：[14,+∞)解析：本题考查了特称命题与全称命题的概念，是基础题．命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+m <0”的否定为：“∀x ∈R ，x 2+x +m ≥0“，原命题为假，则其否定为真，由△=1−4m ≤0，可求出实数m 的范围．解：命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+m <0”是假命题，即命题的否定为真命题，其否定为：“∀x ∈R ，x 2+x +m ≥0“， 则△=1−4m ≤0， 解得：m ≥14，故实数m 的范围是[14,+∞)．15.答案：4解析：解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,k)−(1,3)=(−3,k −3)，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)⋅(−3,k −3)=−3+3(k −3)=0，解得k =4． 故答案为：4．利用向量的坐标运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量的坐标运算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．16.答案：解：(1)设A(y 024,y 0)，圆C 方程为(x −2)(x −y 024)+y(y −y 0)=0， 令x =1，得y 2−y 0y +y 024−1=0，∴y M +y N =y 0，y M y N =y 024−1，|MN|=|y M −y N |=√(y M +y N)2−4y M y N =√y 02−4(y 024−1)=2．(2)设直线l 的方程为x =my +n ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则 由{x =my +n,y 2=4x消去x ，得y 2−4my −4n =0， y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4n ，∵OP →⋅OQ →=−3，∴x 1x 2+y 1y 2=−3，则(y 1y 2)216+y 1y 2=−3，∴n 2−4n +3=0，解得n =1或n =3，当n=1或n=3时，点B(2,0)到直线l的距离为d=1√1+m2，∵圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，∴y028=1√1+m2，又m=y024−2y0，消去m得y02⋅y04+6416=64，求得y02=8，此时m=y024−2y0=0，直线l的方程为x=3，综上，直线l的方程为x=1或x=3．解析：(1)根据题意利用弦长公式求出即可得到MN的长；(2)设出直线l的方程为x=my+n，P，Q点的坐标，联立直线和抛物线方程，得到关于n的式子，解出即可得到直线方程．17.答案：解：(1)2asin(C+π3)=√3b变形为因为sinC≠0，所以，tanA=√3，因为是在三角形内，故A．(2)由题意得，a2=b2+c2−2bccosA=13，∴a=√13，根据正弦定理得到：，所以cosB=2√13，因为AD=BD，所以sin∠ADB=sin2B=2sinBcosB=2×3√32√13×52√13=15√326在△ABD中，由正弦定理得：AD sinB =ABsin∠ADB，．解析：本题考查了正弦定理和余弦定理，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．(1)直接化简可求出tan A的值，即可解得答案；(2)利用余弦定理和正弦定理求解即可得答案．18.答案：(1)证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．在△SBC中，ME为中位线，∴ME//BC且ME=12BC，∵AD//BC且AD=12BC，∴ME//AD且ME=AD，∴四边形AMED为平行四边形．∴AM//DE.∵DE⊂平面SCD，AM⊄平面SCD，∴AM//平面SCD．(2)解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,√3,0),C(2,√3,0),D(1,0,0),S(0,0,√3)，于是AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,√32), AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)+34(1，√3，0)=(74，3√34，0)．设平面AMN 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z),则{AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0将坐标代入并取y =7，得n ⃗ =(−3√3,7,−7).另外易知平面SAB 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(1,0,0) 所以平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=3√1525解析：【试题解析】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题． (1)取线段SC 的中点E ，连结ME ，ED ，推导出四边形AMED 为平行四边形，从而AM//DE ，由此能证明AM//平面SCD ．(2)以A 为坐标原点，建立分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．19.答案：解：(1)所抛5次得分ξ的概率为P(ξ=i)=C 5i−5(12)5(i =5,6，7，8，9，10)， 其分布列如下：Eξ=∑i 10i=5⋅C 5i−5(12)5=152(分)．(2)令p n 表示恰好得到n 分的概率．不出现n 分的唯一情况是得到n −1分以后再掷出一次反面． 因为“不出现n 分”的概率是1−p n ，“恰好得到n −1分”的概率是p n−1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1−p n =12p n−1， 即p n −23=−12(p n−1−23)．于是{p n −23}是以p 1−23=12−23=−16为首项，以−12为公比的等比数列． 所以p n −23=−16(−12)n−1，即p n =13[2+(−12)n ]． 答：恰好得到n 分的概率是13[2+(−12)n ]．解析：本题主要考查独立重复试验，数列的递推关系求解通项，重点考查了学生的题意理解能力及计算能力．(1)由题意分析的所抛5次得分ξ为独立重复试验，利用二项分布可以得此变量的分布列； (2)由题意分析出令p n 表示恰好得到n 分的概率．不出现n 分的唯一情况是得到n −1分以后再掷出一次反面．“不出现n 分”的概率是1−p n ，“恰好得到n −1分”的概率是p n−1，利用题意分析出递推关系即可．20.答案：解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=23，则b 2a 2=59，①由点C 在椭圆上，将(2,53)代入椭圆方程，4a 2+259b 2=1，② 解得：a 2=9，b 2=5， ∴椭圆E 的标准方程为x 29+y 25=1；(2)方法一：由(1)可知：b 2a 2=59，则椭圆方程：5x 2+9y 2=5a 2，设直线OC 的方程为x =my(m >0)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)， {x =my5x 2+9y 2=5a 2，消去x 整理得：5m 2y 2+9y 2=5a 2， ∴y 2=5a 25m 2+9，由y 2>0，则y 2=√5a√5m 2+9，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB//OC ，设直线AB 的方程为x =my −a ， 则{x =my −a 5x 2+9y 2=5a 2，整理得：(5m 2+9)y 2−10amy =0， 由y =0，或y 1=10am5m 2+9，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)， 则y 2=2y 1， 则√5a 2=2×10am5m 2+9，(m >0)，解得：m =√35，则直线AB 的斜率1m=5√33； 方法二：由(1)可知：椭圆方程5x 2+9y 2=5a 2，则A(−a,0)， B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)，则y 2=2y 1， 由B ，C 在椭圆上， ∴{5x 22+9y 22=5a 25(12x 2−a)2+9(y22)2=5a 2，解得：x 2=a4，y 2=4√3 则直线直线AB 的斜率k =y 2x 2=5√33；直线AB 的斜率=5√33解析：(1)利用抛物线的离心率求得b 2a 2=59，将(2,)代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值； (2)方法一：设直线OC 的斜率，代入椭圆方程，求得C 的纵坐标，则直线直线AB 的方程为x =my −a ，代入椭圆方程，求得B 的纵坐标，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线直线AB 的斜率k ； 方法二：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，y 2=2y 1，将B 和C 代入椭圆方程，即可求得C 点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB 的斜率．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ) 当a ≤−2时，f(x)={x 2+ax −12lnx,x ≥−a−x 2−ax −12lnx,0<x <−a ． ①当x ≥−a 时，f′(x)=2x +a −12x=4x 2+2ax−12x>0，所以f(x)在(−a,+∞)上单调递增，无极值点， ②当0<x <−a 时，f′(x)=2x −a −12x=−4x 2−2ax−12x．令f′(x)=0得，−4x 2−2ax −1=0，△=4a 2−16>0， 则x 1=−a−√a2−44，x 2=−a+√a2−44，且0<x 1<x 2<−a ，当x ∈(0,x 1)时，f′(x)<0；当x ∈(x 1,x 2)时，f′(x)>0； 当x ∈(x 2,a)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0,x 1)上单调递减，在(x 1,x 2)上单调递增；在(x 2,a)上单调递减． 综上所述，当a <−2时，f(x)的极小值点为x =−a−√a2−44和x =−a ，极大值点为x =−a+√a2−44；(Ⅱ)函数f(x)的定义域为x ∈(0,+∞)，由f(x)>0可得|x +a|>lnx 2x…(∗)(ⅰ)当x ∈(0,1)时，lnx2x <0，|x +a|≥0，不等式(∗)恒成立； (ⅰ)当x =1时，lnx2x =0，即|1+a|>0，所以a ≠1； (ⅰ)当x >1时，不等式(∗)恒成立等价于a <−x −lnx2x恒成立或a >−x +lnx 2x恒成立．令g(x)=−x −lnx2x，则g′(x)=−1−1x⋅2x−2lnx 4x 2=−2x 2−1+lnx2x 2．令k(x)=−2x 2−1+lnx ，则k′(x)=−2x +1x=1−2x 2x<0，而k(1)=−1−1+ln1=−2<0，所以k(x)=−2x 2−1+lnx <0，即g′(x)=−2x 2−1+lnx2x 2<0，因此g(x)=−x −lnx2x在(1,+∞)上是减函数，所以g(x)在(1,+∞)上无最小值，所以a <−x −lnx 2x不可能恒成立． 令ℎ(x)=−x +lnx 2x，则ℎ′(x)=−1+1x⋅2x−2lnx 4x 2=−2x 2+1−lnx2x 2<0，因此ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数，所以ℎ(x)<ℎ(1)=−1，所以a ≥−1.又因为a ≠−1，所以a >−1． 综上所述，满足条件的a 的取值范围是(−1,+∞)．解析：(Ⅰ)由题意化简函数解析式，根据求导公式分别求出f′(x)，分别判断出f′(x)与0的关系，利用导数的正负求出函数ℎ(x)的单调区间、极值点；(Ⅱ)先求出函数f(x)的定义域为x∈(0,+∞)，再化简不等式f(x)>0为|x+a|>lnx2x，对x与1的关系进行分类讨论，当x>1时转化为“a<−x−lnx2x 恒成立或a>−x+lnx2x恒成立”，再分别构造函数，求出导数、函数的单调区间和值域，即可求出a的取值范围．本题考查利用导数研究函数单调性、极值、最值等，恒成立问题的转化，以及转化思想、分类讨论思想、构造函数法等，考查化简、灵活变形能力，综合性强、难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点、难点．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)≤x+3，∴|x −1|+|x −2|≤x +3， ①当x ≥2时，，②当1<x <2时，，③当x ≤1时，，由①②③可得x ∈[0,6]；(2)①当m =0时，0≥0，∴x ∈R ；②当m ≠0时，即f(x)≥|2m +1|−|2m −3|对m 恒成立， |2m +1|−|2m −3|≤|(2m +1)−(2m −3)|=4， 当且仅当2m ≥3，即0<m ≤23时取等号， ∴f(x)=|x −1|+|x −2|≥4， 由x ≥2，2x −3≥4，解得x ≥72； 1<x <2，x −1+2−x ≥4，解得x ∈⌀； x ≤1时，3−2x ≥4，解得x ≤−12； 综上可得x ∈(−∞,−12]∪[72,+∞)．解析：(1)分别讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，去掉绝对值，解不等式求并集可得；(2)讨论m =0，m ≠0，由绝对值不等式的性质可得f(x)≥4，再讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，解不等式求并集可得范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想方法和转化思想、运算能力，属于中档题．。

2020年安徽省江南十校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数2(1)(1)(z a a i i =-+-为虚数单位，)a l >，则z 在复平面内的对应点所在的象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知集合{|34}A x x x =<+，2(|870}B x x x =-+<，则(A B =I ) A ．(1,2)-B ．(2,7)C ．(2,)+∞D ．(1,2)3．（5分）某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120︒，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计）．已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为( ) A ．58厘米 B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米4．（5分）函数cos ()22x x x x f x -=+在[2π-，]2π上的图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．5．（5分）若5()()l ax l x ++的展开式中2x ，3y 的系数之和为10-，则实数a 的值为( ) A ．3-B ．2-C ．l -D ．16．（5分）已知3log 2a =，3b ln =，0.992c -=，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．（5分）执行如图的程序框图，则输出S 的值为()A ．112-B ．2360C ．1120D ．43608．（5分）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“11+”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( )A ．15B ．13C ．35D ．239．（5分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，219S =，3727S =，则12n a a a ⋯的最小值为( ) A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()2710．（5分）已知点P 是双曲线2222:(0x y C l a a b-=>，0b >，22)c a b =+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为( )A 2B 5C 3D ．211．（5分）已知2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+>．给出下列判断：①若()l f x l =，2()1f x =-，且12||min x x π-=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈，使得()f x 的图象右移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，则ω的取值范围为41[24，47]24④若()f x 在[6π-，]4π上单调递增，则ω的取值范围为(0，2]3其中，判断正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，满足AB BC =，CD AD =，且10AB AD +=，8BD =．沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD-体积的最大值为( )A ．12B ．122C 162D ．163二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2()f x lnx x =+，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为 ．14．（5分）若0x R ∃∈，2200150x a x -+<为假，则实数a 的取值范围为 ．15．（5分）在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且||310OC =u u u r OC u u u r的坐标为 ．16．（5分）已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆22:(3)4M x y -+=的切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 长度的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin()33c B b C b π=-+． ()l 求角C 的大小；（2）若7c =3a b +=，求AB 边上的高．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，24CD AB ==，2AD =．PAB ∆为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）求证：//AE 平面PBC ；（2）若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P l B --的正弦值．19．（12分）一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分． （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望．（2）当游戏得分为(*)n x N ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为n Q ，112Q =． ①求2Q ；②当*n N ∈时，记112n n n A Q Q +=+，1n n n B Q Q +=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列．20．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y E a b a b +=>>的离心率为3，且过点7(，3)4．点P 在第一象限，A 为左顶点．B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标．21．（12分）已知函数2()()f x lnx x ax a R =-+∈． （1）若()0f x …恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点0(x ，0())f x 构成曲线M ．证明：过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1((1)x mm y k m =-⎧⎨=-⎩为参数），直线2l 的参数方程为(2x nn k y n =⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）．若直1l ，2l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C ．()l 求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线3l 的极坐标方程为(0)θαρ=…，4tan (0)32παα=<<，点Q 为射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x x =-++． ()l 求不等式()3f x x <+的解集；（2）若不等式22()m x x f x --„在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．2020年安徽省江南十校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数2(1)(1)(z a a i i =-+-为虚数单位，)a l >，则z 在复平面内的对应点所在的象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：当1a >时，10a -<，210a ->， z ∴在复平面内的对应点所在的象限为第二象限．故选：B ．2．（5分）已知集合{|34}A x x x =<+，2(|870}B x x x =-+<，则(A B =I ) A ．(1,2)-B ．(2,7)C ．(2,)+∞D ．(1,2)【解答】解：{|2}A x x =<，{|17}B x x =<<， (1,2)A B ∴=I ．故选：D ．3．（5分）某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120︒，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计）．已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为( ) A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【解答】解：因为弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 可以用弧长近似代替弦长， 所以导线长度为2302020 3.14633ππ⨯==⨯≈（厘米）． 故选：B ．4．（5分）函数cos ()22x xx x f x -=+在[2π-，]2π上的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，cos ()22x x x x f x -=+，有cos ()()22x xx xf x f x --=-=-+， 则[2π-，]2π上，()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB ，又由在区间(0,)2π上，cos 0x >，20x >，20x ->，则()0f x >，排除D ；故选：C ．5．（5分）若5()()l ax l x ++的展开式中2x ，3y 的系数之和为10-，则实数a 的值为( ) A ．3-B ．2-C ．l -D ．1【解答】解：因为5()l x +的展开式的通项公式为：15r r r T x +=g ð； 可得展开式中x ，2x ，3x 的系数分别为：15ð，25ð，35ð；故5()()l ax l x ++的展开式中2x 的系数为：2155105a a +=+g 痧；故5()()l ax l x ++的展开式中3x 的系数为：23551010a a +=+g 痧；1051010201510a a a ∴+++=+=-；2a ∴=-．故选：B ．6．（5分）已知3log 2a =，3b ln =，0.992c -=，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：因为31log 2(0,)2a =∈，31b ln =>，0.9911222c --=>=，故b c a >>． 故选：A ． 7．（5分）执行如图的程序框图，则输出S 的值为()A ．112-B ．2360C ．1120D ．4360【解答】解：由题意得12131415143155253545560S =-+-+-+-+-=．故选：D ．8．（5分）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“11+”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( )A ．15B ．13C ．35D ．23【解答】解：由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，分别为：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，而加数全为质数的有(3,3)，∴拆成的和式中，加数全部为质数的概率为15P =． 故选：A ．9．（5分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，219S =，3727S =，则12n a a a ⋯的最小值为( ) A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()27【解答】解：由题意可得，121(1)97(1)27a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解可得，11272a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或11323a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍)， 故11227n n a -=g ， 当15n 剟时，1n a <，当6n …，1n a >， 则12n a a a ⋯的最小值为5512534()()27a a a a ⋯==． 故选：D ．10．（5分）已知点P 是双曲线2222:(0x y C l a a b-=>，0b >，c =上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为( )ABCD ．2【解答】解：双曲线2222:(0x y C l a a b-=>，0b >的两条渐近线的方程为0bx ay ±=，设(,)P x y ，利用点P 到双曲线的两条渐近线的距离之积为22222221||4b x a yc b a -=+， 可得222221||4a b c a b a b =⇒=+， ∴双曲线的离心率c e a ===故选：A ．11．（5分）已知2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+>．给出下列判断：①若()l f x l =，2()1f x =-，且12||min x x π-=，则2ω=； ②存在(0,2)ω∈，使得()f x 的图象右移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称；③若()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，则ω的取值范围为41[24，47]24④若()f x 在[6π-，]4π上单调递增，则ω的取值范围为(0，2]3其中，判断正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：Q 22()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x πππωωω=-+=-+=+，∴周期22T ππωω==．①由条件知，周期为2π，∴12w =，故①错误； ②函数图象右移6π个单位长度后得到的函数为sin(2)36x y x ωπω=-+，其图象关于y 轴对称， 则()362k k Z ωππππ-+=+∈，13()k k Z ω∴=--∈，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，故②错误； ③由条件，得74221212πππππωωωω--剟，∴41472424ω剟，故③正确； ④由条件，得362262w w ππππππ⎧-+-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩…„，∴23ω„，又0ω>，∴203ω<„，故④正确．故选：B ．12．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，满足AB BC =，CD AD =，且10AB AD +=，8BD =．沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD-体积的最大值为( )A ．12B ．122C 162D ．163【解答】解：过点P 作PE BD ⊥于E ，连结CE ， 由题意知BPD BCD ∆≅∆，CE BD ⊥，且PE CE =，BD ∴⊥平面PCE ，1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---∆∆∴=+==g ，∴当PCE S ∆最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥，2112PCE S PC EF PE ∆∴==-g ，10PB PD +=Q ，8BD =，∴点P 到以BD 为焦点的椭圆上，PE ∴的最大值为对应短半轴长，PE ∴最大值为22543-=，PCE S ∆∴最大值为22，∴三棱锥P BCD -体积的最大值为162． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2()f x lnx x =+，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为 320x y --= ．【解答】解：易知f （1）1=，故切点为(1,1)，1()2f x x x'=+， 故f '（1）3=，所以切线方程为13(1)y x -=-， 即320x y --=即为所求． 故答案为：320x y --=．14．（5分）若0x R ∃∈，2200150x a x -+<为假，则实数a 的取值范围为 (-∞，4] ．【解答】解：若0x R ∃∈，2200150x a x -+<为假，则其否定命题为真，即x R ∀∈，22150x a x -+…为真， 所以221a x +„对任意实数恒成立；设22()1f x x =+x R ∈；则()24f x ，=，即x =时等号成立，所以实数a 的取值范围是4a „． 故答案为：(-∞，4]．15．（5分）在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且||OC =u u u r OC u u u r的坐标为 (3,9)- ．【解答】解：由点C 在AOB ∠的平分线上， 所以存在(0,)λ∈+∞，使()(0||||OA OB OC OA OB λλ=+=u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ，31)(5λ+-，43)(55λ=-，9)5λ；又||OC =u u u r所以2239()()9055λλ-+=，解得5λ=，所以向量(3,9)OC =-u u u r ． 故答案为：(3,9)-．16．（5分）已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆22:(3)4M x y -+=的切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 长度的取值范围为 ． 【解答】解：如图：连接PM ，PA ，PB ，易得MA PA ⊥，MB PB ⊥，PM AB ⊥，所以四边形PAMN 的面积为：12PM ，AB g ，另外四边形PAMB 的面积为三角形PAM 面积的两倍，所以1||||||||2PM AB PA MA =g g ，所以2||||||||PA MA AB PM ===g所以当||PM 取得最小值时，||AB 最小，设点(,)P x y ，则||PM =所以1x =时，||PM 取得最小值为：AB 的最小值为：=P 向无穷远处运动时，||AB 的长度趋近于圆的直径，故||AB 的取值范围是4)．故答案为：4)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin()33c B b C b π=-+． ()l 求角C 的大小；（2）若7c =3a b +=，求AB 边上的高． 【解答】解：（1）因为sin sin()33c B b C b π=-．由正弦定理可得，sin sin sin sin()3sin 3C B B C B π=-+，因为sin 0B >，所以31sin sin()3sin 32C C C C π=-+-31cos 12C C -=，所以sin()16C π-=， 0C π<<Q ，所以23C π=， （2）由余弦定理可得，2222cos c a b ab C =+-， 所以227a b ab ++=，即2()7a b ab +-=， 所以2ab =，13sin 2ABC S ab C ∆==，设AB 边上的高为h ，则73h =，故21h =． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，24CD AB ==，2AD =．PAB ∆为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）求证：//AE 平面PBC ；（2）若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P l B --的正弦值．【解答】解：（1）证明：如图1，取PC 的中点F ，连结EF ，BF ，PE DE =Q ，PF CF =，//EF CD ∴，2CD EF =， //AB CD Q ，2CD AB =，//AB EF ∴，且EF AB =，∴四边形ABFE 为平行四边形，//AE BF ∴，BF ⊂Q 平面PBC ，AE ⊂/平面PBC ， //AE ∴平面PBC ．（2）解：如图2，取AB 中点O ，CD 中点Q ，连结OQ ，OA OB =Q ，CQ DQ =，PA PB =，PO AB ∴⊥，OQ AB ⊥，Q 平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，PO ∴⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ，AB ∴，OQ ，OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，OQ ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 由PA PB ⊥，2AB =，得1OA OB OP ===，2DQ CQ ==， 在等腰梯形ABCD 中，2AB =，4CD =，2AD ，1OQ =，(0O ，0，0)，(0A ，1-，0)，(0B ，1，0)，(1C ，2，0)，(0P ，0，1)，(1D ，2-，0)，1(2E ，1-，1)2， 设平面PAD 的法向量为(m x =r，y ，)z ， (0AP =u u u r ，1，1)，(1AD =u u u r，1-，0)，则00m AP y z m AD x y ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1y =，得(1m =r ，1，1)-， 设平面EBC 的法向量(n a =r，b ，)c ，(1BC =u u u r ，1，0)，11(,2,)22EB=--u u u r ，则0112022n BC a b n BP a b c ⎧=+=⎪⎨=-+-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1a =，得(1n =r ，1-，5)-， 设二面角P l B --的平面角为θ，则||5|cos |||||9m n m n θ==r rg r r g ，P l B --的正弦值为25214sin 1()9θ=-=．19．（12分）一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分． （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望．（2）当游戏得分为(*)n x N ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为n Q ，112Q =． ①求2Q ；②当*n N ∈时，记112n n n A Q Q +=+，1n n n B Q Q +=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列．【解答】解：（1）解：变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8， Q 每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为12，反面向上的概率为12，411(4)()216P X ∴===，14411(5)()24P X C ===，24413(6)()28P X C ===，34411(7)()24P X C ===，44411(8)()216P X C ===，X ∴的分布列为：（2）①解：得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为：22113()224Q =+=，②证明：得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上， 第二种为得1n -分后，抛掷一次反面向上，∴当3n …，且*n N ∈时，121122n n n Q Q Q --=+，1211111111122222n n n n n n n n n A Q Q Q Q Q Q Q A ++++++=+=++=+=，∴数列{}n A 为常数列，12111111112222n n n n n n n n B Q Q Q Q Q Q Q ++++++=-=+-=-+Q111()22n n n Q Q B +=--=-，121311424B P P =-=-=Q ， ∴数列{}n B 为等比数列．20．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y E a b a b +=>>，且过点3)4．点P 在第一象限，A 为左顶点．B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标．【解答】解：（1）由题意可得222227914163a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆E 的标准方程为：2214x y +=；（2）由（1）知点(2,0)A -，(0,1)B -，由题意可设直线AP 的方程为：1(2)(0)2y k x k =+<<，所以点C 的坐标为(0,2)k ，联立方程22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(14)161640k x k x k +++-=， 设1(P x ，1)y ，则212164214k x k --=+g ，所以2128214k x k -=-+，所以2122824()1414k ky k k k -=-=++， 所以2282(14k P k --+，2414kk + )， 设D 点的坐标为0(x ，0)，因为点P ，B ，D 三点共线，所以BD PB k k =， 即2202411148214kk k x k ++=---+，所以02412k x k -=+，所以24(12k D k -+，0)， 因为//CD AB ，所以CD AB k k =，即(21)1212k k k +=--，所以24410k k +-=，解得12k -±=， 又因为102k <<，所以21k -， 所以点P 的坐标为(22)．21．（12分）已知函数2()()f x lnx x ax a R =-+∈． （1）若()0f x „恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点0(x ，0())f x 构成曲线M ．证明：过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点． 【解答】解：（1）由0x >可得()0f x „恒成立等价为lnxa x x-„恒成立． 设()lnxg x x x=-，22211()1lnx x lnx g x x x --+'=-=，再令2()1h x x lnx =-+， 则1()20h x x x'=+>，则()h x 在(0,)+∞递增，又h （1）0=，则01x <<，()0h x <，1x >，()0h x >，即01x <<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>，可得()g x 在(0,1)递减；在(1,)+∞递增， 即有()g x 在1x =处取得极小值，即最小值g （1）1=，所以1a „；（2）证明：由（1）可得20000()f x lnx x ax =-+， 0()0f x '=，即00120x a x -+=，即0012a x x =-， 所以2000()1f x lnx x =+-，可得曲线M 的方程为21y lnx x =+-，由题意可得对任意实数k ，方程21lnx x kx +-=有唯一解． 设2()1h x lnx x kx =+--，则2121()2x kx h x x k x x-+'=+-=，①当0k „时，()0h x '>恒成立，()h x 在(0,)+∞递增，由h （1）0k =-…，22()1(1)10k k k k k h e k e ke k e e =+--=-+-„， 所以存在0x 满足01k e x 剟时，使得0()0h x =．又因为()h x 在(0,)+∞递增，所以0x x =为唯一解．②当0k >时，且△280k =-„即0k <„()0h x '…恒成立，所以()h x 在(0,)+∞递增， 由h （1）0k =-<，363323()31()0h e e ke e k e =+--=+>，所以存在30(1,)x e ∈，使得0()0h x =．又()h x 在(0,)+∞递增，所以0x x =为唯一解． ③当k >时，()0h x '=有两解1x ，2x ，设12x x <，因为1212x x =，所以12x x <<，当1(0,)x x ∈时，()0h x '>，()h x 递增；当1(x x ∈，2)x 时，()0h x '<，()h x 递减， 当2(x x ∈，)+∞，()0h x '>，()h x 递增，可得()h x 的极大值为21111()1h x lnx x kx =+--， 因为211210x kx -+=，所以2111()20h x lnx x =--<，所以21()()0h x h x <<，22222222()1()10k k k k k h e k e ke e k e k =+--=-+->，令2()x m x e x =-，x >，可得2()210x m x x e '=->g ，所以()0m x m >>，所以存在02(x x ∈，2)k e ，使得0()0h x =， 又因为()h x 在2(x ，)+∞递增，所以0x x =为唯一解．综上可得，过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1((1)x mm y k m =-⎧⎨=-⎩为参数），直线2l 的参数方程为(2x nn k y n =⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）．若直1l ，2l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C ．()l 求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线3l 的极坐标方程为(0)θαρ=…，4tan (0)32παα=<<，点Q 为射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径．【解答】解：（1）直线1l 的参数方程为1((1)x mm y k m =-⎧⎨=-⎩为参数），转换为直角坐标方程为y kx =-．直线2l 的参数方程为(2x nn k y n =⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数），转换为直角坐标方程为2x y k -=． 联立两直线的方程消去参数k 得：22(1)1(0)x y x +-=≠． （2）设点(cos ,sin )Q ραρα由4tan 3α=，可得：43sin ,cos 55αα==．代入曲线C ，得2805ρρ-=，解得85ρ=或0ρ=（舍去），故点Q 的极径为85．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x x =-++． ()l 求不等式()3f x x <+的解集；（2）若不等式22()m x x f x --„在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）当2x <-时，()3f x x <+可化为123x x x ---<+，解得43x >-，无解；当21x -剟时，()3f x x <+可化为123x x x -++<+，解得0x >，故01x <„； 当1x >时，()3f x x <+可化为123x x x -++<+，解得2x <，故12x <<． 综上可得，()3f x x <+的解集为(0,2)；（2）不等式22()m x x f x --„在R 上恒成立，可得22()m x x f x ++„，即2(2())min m x x f x ++„，由222(1)1y x x x =+=+-的最小值为1-，此时1x =-；由()|1||2||12|3f x x x x x =-++---=…，当且仅当21x -剟时，取得等号， 则2(2())132min x x f x ++=-+=，所以2m „， 即m 的取值范围是(-∞，2]．。

江南十校2020届高三第二次联考
数学（理科）
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
小值．
（1）证明：AD PB ⊥；
（2）求二面角A PB C --余弦值． 21．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆E 的右焦点为()21,0F ，P ．Q 为椭圆上的两个动点，2PQF V 周长的最大值为8． （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）记椭圆E 的左焦点为1F ，过2F 作直线l 与椭圆交于不同两点M ．N ，求1F MN V 面积取最大值时
的直线l 方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数()x f x e x a =--，对于(),0x f x ∀∈≥R 恒成立． （1）求实数a 的取值范围；
()()122g x g x +=，求证：120x x +<．
江南十校2020届高三第二次联考 数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．答案：D
解析：解得{}|0U y y =>，{}12|A x x =<<，
故()[)0,12,U A =⋃+∞ð．
10．答案：C
解析：构造长方体1111ABCD A B C D -，使MN 与1BD 重合．
设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ， 则2
2
2
1x y z ++=．。