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课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(一)教学目的：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角教学难点：直线和平面所成角的概念及12cos cos cos θθθ=⋅的应用授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质 要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了 教学过程： 一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）二、讲解新课： 1 斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角证明：设平面α的一条斜线l 在α内的射影为l '，角θ是l 与l '所成的角 直线OD 是平面α内与l '不同的任意一条直线，过点l 上的点A 引AC 垂直于OD ，垂足为C 因为AB<AC ，所以AOACAO AB <，即AOC ∠<sin sin θ,因此∠<θ 4．公式已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=OCBAα用几何法研究：在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ，垂足为O 、B 连接OB ，则OB ⊥b.在直角△AOP 中，AP AO=1cos ϕ. 在直角△ABC 中，AO AB=2cos ϕ.在直角△ABP 中，APAB=θcos .所以 θϕϕcos cos cos 21==⋅=APABAO AB AP AO所以θϕϕcos cos cos 21=成立用向量运算研究：如图，AP 是平面α的斜线，A 是斜足，PO 垂直于平面α，O 为垂足，则直线AO 是斜线在平面α内的射影设AB 是平面α内的任意一条直线，且OB AB ⊥，垂足为B ，又设AP 与AO 所成角为1θ，AB 与AO 所成角为2θ，AP 与AB 所成角为θ，则易知：1||||cos AO AP θ=，212||||cos ||cos cos AB AO AP θθθ==又∵||||cos AB AP θ=，可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅，则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角； 三、讲解范例：例1 如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC为α内的一条直线，60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线AB 和平面α所成角解：∵AO α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO ∠为AB 和α所成角，又∵12cos cos cos θθθ=⋅，ODCBA1A∴cos cos 601cos cos cos 452ABC ABO CBO ∠∠====∠，∴45BAO ∠=，即斜线AB 和平面α所成角为45．例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角解法一：连结11A C 与11B D 交于O ，连结OB ，∵111DD AC ⊥，1111B D AC ⊥，∴1AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 在1Rt A BO ∆中，1112AO A B =，∴130A BO ∠=． 解法二：由法一得1A BO ∠是1AB 与对角面11BB D D 所成的角， 又∵112cos cos 452ABB ∠==，11cos B B B BO BO ∠== ∴1111cos cos cos A BB A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=．说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=⋅求线面角显得更加方便解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算例3．已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ，∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心， 设四面体的边长为a ，则CO =，CA∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，∴cosACO ∠=，所以，AC 与平面BCD 例4 如图，已知AP ⊥BP ，P A ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余弦值.解：∵AP ⊥BP ，P A ⊥PC ，∴AP ⊥PBC连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，∴PD=BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 231 ∴31217cos ==∠ADPDPDA ∴AD 与平面PBC 31217四、课堂练习： 1选择题（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º] （C ）[0º,180º] （D ）[0º,180º) （2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 . （2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，E1A 3cm ，这条线段与平面α所成的角是 .（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 . 答案：（1）θcos l （2）030 （3）101arcsin3．若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且P A =PB =PC ，求证点P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的外心. 分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由P A =PB =PC ，点P 的射影到⊿ABC 的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC 的外心.五、小结 ：我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影 六、课后作业：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求：（1）D1B 1与面AC 所成角的余弦值； （2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC 所成的角．解：（1）设正方体的边长为a ，则在1Rt D BD ∆中，1,DB D B ==. ∴1cos 3D BD ∠==. （2）45°．（3）45°． 七、板书设计（略）八、课后记：在具体解题时往往找不出夹角，关键是不能求斜线在平面内的射影，通过练习，使学生在不同的视图中能较熟练地找出射影。
直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。
2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。
教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。
2. 测量直线与平面所成角的方法。
教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。
2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。
2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。
2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。
3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。
三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。
2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。
但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。
可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。
六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义考点一：直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：特征：线线垂直线面垂直3.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：4.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：5.平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：对应练习：1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么( ).A. B. C.与相交 D.与的位置关系不确定2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是( ).A. B.C. D.3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有( ).A. B. C. D.或4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是( ).A.过P只能作一条直线与平面相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么( ).A.a与b可能垂直，但不能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能平行，也不能垂直6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：①若，则；②若，则届那么( ).A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题7.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：①若且，则m∥n；②若且，则；③若且，则；④若且，则m∥n.其中真命题的序号是( ).A.①②B.③④C.①④D.②③8.已知直线m⊥平面，直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ).①若，则；②若，则m∥n；③若m∥n，则；④若，则.A.③④B.①③C.②④D.①②9.下面四个命题：①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则；④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是( ).A.0个B.1个C.2个D.3个10.设有不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列三个命题：①若，，则；②若，，则；③若，则.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.311．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则()．A．l⊥m B．l∥mC．l，m异面D．l，m相交而不垂直13.已知直线⊥平面，直线平面，有四个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)14．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.15.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于点E ，F ，G . 求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD .考点二：斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角 (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点1A 1B 1C 1D ABCD 1A 1B 1C 1D(1)求EF 和底面ABCD 所成的角 (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角, (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角 (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点,(1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角 (2)求MN 和底面ABCD 所成的角4、空间四边形ABCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA =(1)求PB 与平面PAC 所成的角 (2)求PC 和平面PAB 所成的角5、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小 (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小A BCD1A 1B 1C 1D MNA BCP1A 1B 1C课后练习：1、已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A、a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB、a⊥b,b∥αC、α⊥β，a∥βD、a∥b,b⊥α2、如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α, 上述判断正确的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、②④3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC 组成的图形只能是（）A、一条线段B、一个锐角三角形C、一个钝角三角形D、一条线段或一个钝角三角形4、下列命题中正确的是（）A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个5、给出下列命题：①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β、上述命题中不正确的命题是（）A、①②③④B、①②③C、①③④D、②③④6、如果△ABC的三个顶点到平面 的距离相等且不为零，那么△ABC的( )A、三边均与 平行B、三边中至少有一边与 平行C、三边中至多有一边与 平行D、三边中至多有两边与 平行7、下列命题正确的是()A、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B、平行于同一个平面的两条直线平行C 、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D 、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行8、下列命题正确的是 ( )(A)αα////b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥ (B)a b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα (C)αα//b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ (D)αα////b b a a ⇒⎭⎬⎫⊥9、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角答案：DBDDC BDBA BCD 1A 1B 1C 1D。
