高中数学回归课本(直线与圆的方程)

回归教材变式专题八、直线与圆1.己知点A(1,V3),B(-1,3V3),求直线AB的斜率.变式1：已知点A(l,73),5(-1,373),则直线A3的倾斜角是()7t ° 7t八 2〃n 5勿A. —B, — C. — D.—3 6 3 6变式2：已知点4(1, -1), 5(5, 2)，直线/的倾斜角是直线A8的倾斜角的一半,求直线/的斜率.2.求过点P(2, 3),并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式1：直线2尤一3)，一6 = 0在x轴上的截距为。

，在y轴上的截距为人，则()A. Q = 3,b = 2B. a = 3,b = —2C. a = —3,b = 2D. o = —3,b = —2变式2：过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.变式3：直线/经过点户(2, 3),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线/的方程.3.求直线2x-5y-10 = 0与坐标轴围成的三角形的面积.变式1：过点(-5, -4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是.变式2：已知直线/过点F(2,l),且与工轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,。

为坐标原点，则左OAB而积的最小值为.4.求过点A(l-4)，且与直线2工+ 3)，+ 5 = 0平行的直线的方程.变式1：已知过点A(-29m)和B(m,4)的直线与直线2x + y -1 = 0平行，则m的值为()A. 0B. -8C. 2D. 10变式2：与直线2x + 3y + 5 = 0平行，且距离等于而的直线方程是.变式3：已知三条直线2x + 3y + 5 = 0, 4x — 3y +1 = 0, mx - ,y = 0不能构成三角形，求实数m 的取值集合.5.若直线ox + 2> + 6 = 0和直线工+。

(。

+ 1))，+(6p —1) = 0垂直，求。

的值.变式1：若直线«:ox + 2y + 6 = 0与直线匕：尤+仔―l)y + (/—1) = 0平行但不重合，则。

第九章 直线与圆一、知识梳理（一）直线与方程 1、倾斜角和斜率（1）倾斜角概念、范围；（2）斜率概念、公式、范围、增减变化； 2、直线方程形式①点斜式；②斜截式；③两点式；④截距式；⑤一般式；⑥参数方程； 3、两直线位置关系（1）平行：斜率关系、截距关系； （2）垂直：斜率关系； 4、两直线交点及距离（1）两点间距离：12PP =（2）点到直线距离：d（3）两平行线距离：d =；5、直线系方程（1）定点直线系：00()y y k x x -=-或00()()0A x x B y y -+-=； （2）共点直线系：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=；（3）平行直线系：与直线0Ax By C ++=平行的直线系0Ax By m ++=； （4）垂直直线系：与直线0Ax By C ++=垂直的直线系0Bx Ay n -+=； （二）圆与方程 1、圆的方程（1）标准方程、一般方程、参数方程； （2）点与圆位置关系；（3）圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=；（4）一般方程的特点：二次项系数相同且不为0、无xy 项、系数满足特定关系、圆心和半径的待定； （5）圆的方程求法：几何性质法、待定系数法；几何法、代数法； 2、圆与圆位置关系（1）关系类型：相交、外切、内切、相离；（2）①相交121212||r r O O r r ⇔-<<+；②外切1212O O r r ⇔=+；③内切1212||O O r r ⇔=-；④相离1212O O r r ⇔>+；3、圆系方程（1）过点11(,)A x y 、22(,)B x y 的圆系方程：1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=，0ax by c ++=是直线AB 的方程，λ是待定系数； （2）过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程：22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=，λ是待定系数；（3）过圆:221110x y D x E y F ++++=与圆:222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程：1C 2C2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=，λ是待定系数；4、圆的切线方程（1）已知圆220x y Dx Ey F ++++=①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=；当00(,)x y 圆外时，0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程；②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不 要漏掉平行于y 轴的切线；③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线； （2）已知圆222x y r +=①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=；②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±5、圆的相交弦方程；6、阿波罗尼斯圆：设AB a =，PAPBλ=，APB ∠的内角分线、外角平分线与AB 交点分别为C 、D ，则点P 轨迹为圆，圆心为CD 中点，半径为CD 的一半；（三）直线与圆1、直线与圆位置关系（1）关系类型：相交、相切、相离；（2）判定方法：①几何法：比较 d 与r ；②代数法：比较△与0； （3）弦长求法：①几何法：AB =AB = （4）切线方程；（5）切点弦直线方程； 2、对称问题（1）点关于直线轴对称：利用“垂直”、“平分”列方程组求出对顶点的坐标.特别：00(,)P x y 关于x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；00(,)P x y 关于y b =的对称点为00(,2)P x b y '-； （2）曲线关于点、直线中心对称或轴对称：转化为点的中心对称或轴对称（可选特殊点，也可选任意点）；①曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线方程是(2,2)0f a x b y --=； ②曲线(,)0f x y =关于直线y kx b =+的对称曲线求法：设(,)0f x y =上任意一点00(,)P x y ，P 关于y kx b =+的对称点为(,)P x y '，则00122y y k x x y y x x k b-⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，解出0x 、0y 代入(,)0f x y =，即可求出(,)0f x y =关于y kx b =+的对称曲线方程；（3）常见的对称结论：①点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -； ②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -； ③点(,)x y 关于(0,0)的对称点为(,)x y --； ④点(,)x y 关于点(,)a b 的对称点为(2,2)a x b y --； ⑤点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ；⑥点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --；⑦点(,)x y 关于直线(1)y kx m k =+=±的对称点为,x y 值互换，只适用于1k =±）；⑨设00(,)M x y 关于直线22:0(0)l Ax ByC A B ++=+≠的对称点为11(,)N x y ，则 22001222200122()22()22B A x ABy AC x A B A B x ABy BC y A B ⎧---=⎪⎪+⎨---⎪=⎪⎩+，1010x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，记d '=，则|d '|表示00(,)M x y 到直线l 的距离，从而：101022x x d y y d ⎧=-'⎪⎪⎨⎪=-'⎪⎩，即有00(,2)2x d y d N ''.二、学习误区1．设直线方程时要分斜率是否存在；2．设直线方程为斜截式时，注意参数的具体含义，a 、b 、m 、n 灵活处理； 3．y kx b =+与x my n =+；。

2．5.1 直线与圆的位置关系学习任务1．驾驭直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点) 2．会用代数法和几何法来推断直线与圆的三种位置关系．(难点) 3．能用直线与圆的方程解决一些简洁的数学问题．(难点) 核心素养通过探讨直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及推断位置关系 相交 相切 相离 公共点个数_2__个_1__个_0__个推断方法几何法： 设圆心到直线的距离为d ＝ |Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2_d <r __ _d ＝r __ _d >r __代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ_Δ>0__ _Δ＝0__ _Δ<0__提示：“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，推断直线与圆的位置关系，一般用几何法．做一做：1.直线3x ＋4y ＝5与圆x 2＋y 2＝16的位置关系是( A ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．相切或相交[解析] 圆心到直线的距离d ＝532＋42＝1<4，所以直线与圆相交．2. 已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝ 0或 3 .[解析] 直线l 的一般式方程为kx －y ＋3k ＝0，圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，由直线l 与圆C 相切得||－1＋3k k 2＋1＝1，解得k ＝0或 3.解决实际问题的一般程序细致读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题．其次步：通过代数运算，解决代数问题．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．。

平面解析几何初步——直线与圆一．考试内容及要求本章知识结构三．基础知识梳理（一）直线的倾斜角与斜率及直线方程 1．直线的倾斜角(1)定义:当直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. (2)范围:直线l 倾斜角的范围是[0,π)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角090α≠,则斜率tan k α=；090α=时,直线斜率不存在；(2)P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)在直线l 上,且x 1≠x 2,则l 的斜率2121y y k x x -=-.3．直线方程的五种形式4.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为a x =;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为b y = ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y kx =（二）、两条直线的位置关系1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)①若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.②已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,若1l ,与2l 相交,则21k k ≠ ; 若21l l ⊥,则121-=⋅k k ;若1l //2l ,则21k k =且21b b ≠; 若1l 与2l 重合,则,21k k =且21b b = 2.几个公式①已知两点),(),,(222111y x P y x P ,则 =||21P P 221221)()(y y x x -+-②设点),(00y x A ,直线,0:=++C By Ax l 点A 到直线l 的距离为=d 2200||BA C By Ax +++③设直线,0:1=++C By Ax l ),(0:2C C C By Ax l '≠='++ 则1l 与2l 间的距离=d 22||BA C C +'-3.直线系（拓展）① 与直线0=++C By Ax 平行的直线系方程为0='++C By Ax ; ②与直线0=++C By Ax 垂直的直线系方程为0='+-C Ay Bx ; ③过两直线0:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 的交点的直线系方程为为参数）λλ(,0)(222111=+++++c y b x a c y b x a（三）、圆的方程1. 圆的标准方程与一般方程①圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-,其中圆心为),(b a ,半径为r ；②圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=,圆心坐标(,)22D E --,半径为2422FE D -+。

课本回归四-----直线与圆、圆锥曲线1（必修2P129T29）已知圆C ：222440x y x y +-+-=，若存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，则直线l 的方程为 .2. （必修2P129T26）若直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围为 .3. （选修2-1P33T21）已知圆221:(1)1F x y ++=，圆222:(1)9F x y -+=，若动圆C 与圆1F 外切，且与圆2F 内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为 .4. （必修2P129T22）设集合{}{}22222(,)4,(,)(1)(1)(0)M x y x y N x y x y r r =+≤=-+-≤>， 当M N N ⋂=时，则实数r 的取值范围为 .5. （选修2-1P37T10）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ,短轴的一个端点为P ，若12F PF ∠为钝角，则椭圆离心率的取值范围为 .6. （必修2P128T21）光线沿直线3460x y ++=射入，经过x 轴反射后反射光线与以点(2,8)为圆心的圆C 相切，则圆C 的方程为 .7. （必修2P128T9）已知点(1,3)A 关于直线l 对称的点为(5,1)B -，则直线l 的方程为 .8. （必修2P111T8）若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围为 .9. （必修2P106T21）已知(1,3)M -,(6,2)N ,点P 在x 轴上，则使PM PN +最小时点P 的坐标为 .10. （必修2P88T15）已知两条直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=都过点(1,2)A ，则过两点111222(,),(,)P a b P a b 的直线方程为 .11.（选修2-1P42T5）在ABC ∆ 中，(6,0),(6,0)B C -,直线AB,AC 的斜率乘积为94，则顶点A 的轨迹方程为 .12.（选修2-1P47T5）已知双曲线2214x y k-=的离心率(1,2)e ∈，则实数k 的范围为 .13.（选修2-1P48T10）离心率为2的双曲线的两条渐近线所成的锐角为 .14. （选修2-1P53T7）已知圆22:(3)1F x y ++=，直线:2l x = ，则与直线l 相切且与圆F 外切的圆的圆心M 的轨迹方程为 .15. （选修2-1P54T12）设过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为12,y y ，则12y y ⋅= .16. （必修2P94T 例3）某商品的市场需求量1y （万件），市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：1270,220y x y x =-+=-.当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量.（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品给予多少元的补贴？。

直线与圆的方程的应用一、教材分析直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.二、教学目标1．知识与技能（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.2．过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.三、教学重点与难点教学重点：求圆的应用性问题.教学难点：直线与圆的方程的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图1在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.（二）推进新课、新知探究、提出问题①你能说出直线与圆的位置关系吗？②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可.⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.（三）应用示例思路1例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.图2解法二：如图2,过P 2作P 2H ⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在Rt △AOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r 2=(r-4)2+102. 解得r=14.5.在Rt △CP 2H 中,有|CP 2|2=|CH|2+|P 2H|2.因为|P 2H|=|OA 2|=2,于是有|CH|2=r 2-|OA 2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=25.206-10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱A 2P 2的长度约为3.86 cm.点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择.变式训练已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图3解:如图3,以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA 、DB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD 的外接圆的圆心O 1分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足分别为M 、N 、E,则M 、N 、E 分别为线段AC 、BD 、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得1O x =x m =2c a +,1O y =y n =2d b +,x E =2a ,y E =2d.所以|O 1E|=222221)222()222(c bd d b a c a +=-++-+. 又|BC|=22c b +,所以|O 1E|=21|BC|. 点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例2 有一种大型商品,A 、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍,已知A 、B 两地相距10 km,居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A 地近,且费用低,列方程或不等式.解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系,则A(－5,0),B(5,0).设某地P 的坐标为(x,y),且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低,并设A 地的运费为3a 元/km,则B 地运费为a 元/km.由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费,即3a 22)5(y x ++≤a 22)5(y x +-,整理得(x+425)2+y 2≤(415)2. 所以以点C(-425,0)为圆心,415为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A 地购货费用较低,圆外的居民从B 地购货费用较低,圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从A 、B 两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路2例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系, 设圆的方程为x 2+y 2+2x-4y+1+λ(2x -y+3)=0, 配方得标准式(x +1+λ)2+(y-2-2λ)2=(1+λ)2+(2+2λ)2-3λ-1,∵r 2=45λ2+λ+4=45(λ+52)2+519,∴当λ=-52时,半径r=519最小.∴所求面积最小的圆的方程为5x 2+5y 2+6x-18y-1=0. 解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)连线为直径的圆符合要求.由⎩⎨⎧=+-++=+-,0142,03222y x y x y x 消去y,得5x 2+6x-2=0. ∴判别式Δ＞0,AB 中点横坐标x 0=221x x +=-53,纵坐标y 0=2x 0+3=59, 即圆心O′(-53,59). 又半径r=21|x 1-x 2|·221+=519,∴所求面积最小的圆的方程是(x+53)2+(y-59)2=519. 点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x 1-x 2|·21k+;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=22d r -,其中r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离.变式训练设圆满足①截y 轴所得弦长为2,②被x 轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.图4解:关键确定圆心坐标和半径.如图4. 设圆心A(a,b),则半径r=2|b|. 由截y 轴的弦长为2,知a 2+1=r 2=2b 2, 又圆心A 到l 的距离d=51|a-2b|,∴5d 2=a 2+4b 2-4ab≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1,当且仅当a=b 时等号成立.这里由⎪⎩⎪⎨⎧==+=,2,1,2222r b r a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,12,1,1r b a r b a 或∴圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.例2 已知x,y 是实数,且x 2+y 2-4x-6y+12=0,求(1)xy 的最值;(2)x 2+y 2的最值;(3)x+y 的最值;(4)x-y 的最值.活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义. 解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆. (1)xy表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k, 故当y=kx 为圆C 的切线时,k 得最值. ∵21|32|kk +-=1,∴k=2±323.∴x y 的最大值为2+323,最小值为2-323.(2)设x 2+y 2表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P 为直线OC 与圆C 的两交点P 1、P 2时,OP 12与OP 22分别为OP 2的最大值、最小值.∴x 2+y 2的最大值为(2232++1)2=14+213,最小值为(2232+-1)2=14-213.(3)令x+y=m,当直线l:x+y=m 与圆C 相切时,l 在y 轴上截距m 取得最值.∵2|32|m -+=1,∴m=5±2.∴x+y 的最大值为5+2,最小值为5-2. (4)令x-y=n,当直线l′:x -y=n 与圆C 相切时,l′在y 轴上截距的相反数n 取得最值. ∵2|32|n --=1,∴n=-1±2.∴x-y 的最大值为-1+2,最小值为-1-2.点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.例3 已知圆O 的方程为x 2+y 2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.解法一:参数法(常规方法)设过A 的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k 存在时),P(x,y),则⎩⎨⎧-+==+),2(,922k kx y y x 消y,得(1+k 2)x 2+2k(2-k)x+k 2-4k-5=0.∴x 1+x 2=1)2(22+-k k k .利用中点坐标公式及中点在直线上,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=12,1)2(22k k y k k k x (k 为参数).∴消去k 得P 点的轨迹方程为x 2+y 2-x-2y=0,当k 不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程.∴P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法) 设过点A 的弦MN,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).∵M 、N 在圆O 上,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.9,922222121y x y x .∴相减得(x 1+x 2)+2121x x y y --·(y 1+y 2)=0(x 1≠x 2).设P(x,y),则x=221x x +,y=221y y +. ∴M 、N 、P 、A 四点共线,2121x x y y --=12--x y (x≠1).∴2x+12--x y ·2y=0. ∴中点P 的轨迹方程是x 2+y 2-x-2y=0(x=1时亦正确). ∴点P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法三:数形结合(利用平面几何知识)由垂径定理知OP ⊥PA,故P 点的轨迹是以AO 为直径的圆.(下略)点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即⎩⎨⎧==,0),(,0),(y x g y x f 消y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便.基本思路是利用弦的两个端点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得x 1+x 2、y 1+y 2、x 1-x 2、y 1-y 2等.再由弦MN 的中点P(x,y)的坐标满足x=221x x +,y=221y y +,以及直线MN 的斜率k=2121x x y y --(x 1≠x 2)等,设法消去x 1、x 2、y 1、y 2,即可得弦MN 的中点P 的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁.学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质;③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法; ④理论与实际结合:学以致用,创造开拓.（四）知能训练课本本节练习1、2、3、4.（五）拓展提升某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线AC 上(C 为垂足),且距C 分别为2a 和a(a ＞0)的点A 和B,进攻队员沿直线AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD 和BM 交于M,若在M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD 应为什么方向才能取胜?图5解:如图5,以l 为x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点M 坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M 所需时间分别为t 1=v AM 2||,t 2=vBM ||. 若t 1＜t 2,则|AM|＜2|BM|,即2222)(2)2(a y x a y x -+<-+. 整理,得x 2+(y-32a)2＞(32a)2,这说明点M 应在圆E:x 2+(y-32a)2=(32a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN 为圆E 的切线,N 为切点,在Rt △AEN 中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线AD 与AC 所成角大于30°即可.（六）课堂小结1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.（七）作业习题4.2 B组2、3、5.。