学而思讲义学而思网校8[第11讲]作业精讲佳作赏析上

第一讲不等式基本性质第二讲不等式应用题第三讲不等式与一次函数应用第四讲不等式专题第五讲分解因式专题第六讲因式分解专题1第七讲因式分解(完全平方) 第八讲因式分解(十字相乘法) 第九讲分式的基本性质第十讲分式的运算第十一讲分式(计算)专题第十二讲分式方程应用题第十三讲期中考试计算专题第十四讲期中考试应用专题第一讲 不等式基本性质【知识要点:】1．不等式基本性质：①．不等式两边都_________同一个整式，不等号的方向__________。

若a ＞b, 则 a+c______b+c ；若a ＞b, 则 a-c______b-c 。

②．不等式两边都_________同一个正数，不等号的方向__________。

若a ＞b 且c ＞0,则ac________bc ； 若a ＞b 且c ＞0,则____________。

③．不等式两边都____________同一个负数，不等号方向____________。

若a ＞b 且c ＜0则ac_________bc ； 若a ＞b 且c ＜0，则___________。

2. 不等式常用结论性质：①．不等式的互逆性: 若a ＞b, 则b ＜a ；②．不等式的传递性: 若a ＞b, b ＞c ，则a ＞c ；③．不等式的同号合并性: 若 ,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d <<，则a c b d +<+。

3.不等式解集的表示方法与取值（若已知a<b ）。

（1）⎩⎨⎧〉〉b x ax 的解集为x ＞b 同大取大（2）⎩⎨⎧〈〈b x ax 的解集为x ＜a 同小取小（3）⎩⎨⎧〈〉b x ax 的解集为a ＜x ＜b 大小小大取中间（4）⎩⎨⎧〉〈b x a x 无解。

大大小小解不见【经典例题：】例1.用不等号填空题：（1）.若a b >，则12a - 12b -，21a + 21b +；（2）.若0,0,0x y z <><，则()x y z - 0；（3）.若a b >，则43a -+ 43b -+； （4）.若362x ->，则x －4；（5）.若,0a b c >>，则ac c + bc c +。

分数基本计算与比例初步内容提要：分数比例分数分数的概念把整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数如25表示把整体平均分成5份，占其中的2份分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示取其中的几份注意：分母不能为0分数的种类真分数：分子比分母小的分数，如2 3假分数：分子比分母大的分数，如3 2带分数：把假分数化成整数和真分数加在一起的分数，如32＝1＋2１＝112分数的性质1．分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变如246369＝＝，8421005025＝＝2．约分与通分约分：分子分母同时除以公因数，如425025＝最简分数通分：把多个分数的分母变成一样，如224833412⨯⨯＝＝比较大小333944312⨯⨯＝＝注意：有时通分也可把分子变成一样3．分数的倒数倒数：乘积为1的两个数互为倒数分数：分子与分母的位置互换注意：0没有倒数分数和小数互化分数化小数：分子除以分母小数化分数：小数点后有1位数，2位数，3位数…，分母分别为10，100，1000…分子就是小数点后的数注意要化成最简分数如2250.4 5÷＝＝0.012＝123 1000250＝分数的运算1．加减法同分母加减法：分母不变，分子相加减，结果化为最简分数异分母加减法：先通分，变为分母相同的分数，分子再相加减如：347888＋＝23342761 917153153153 +=+=2．乘除法乘法：分子乘分子，分母乘分母如3312311 88882243⨯4⨯4=⨯====1⨯133123 8884010 443⨯4⨯=⨯===55⨯5除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数如33121 888242 343⨯4÷=⨯===43⨯3注意：分数的乘除法运算过程中可以先约分分数的四则混合运算的规律与整数一样特殊的约分连锁约分 整体约分连锁约分：4433221⨯⨯⨯=122⨯33⨯44⨯1=整体约分：3333123123246369123(123)13526103915135(123)⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++＝＝33(123)⨯++13⨯335(123)⨯⨯++25＝我们来看看分数的乘除法 计算下列各式：28157549⨯＝__________；315711÷＝__________。

1 平行四边形性质、判定目标1 掌握平行四边形的性质掌握平行四边形的性质目标2 掌握平行四边形的判定掌握平行四边形的判定目标3 应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题【专题简介】【专题简介】与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏观的建筑物、开关自如的栅拦门、别具一格的灵柩••••••现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。

从本讲开始，我们将依次学习平行四边形、举行、菱形、正方形的概念，并在理解她们的基础上，利用已有的几何知识和方法，搜索并证明他们的性质定理和判定定理:进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，即通过观、即通过观、即通过观、类比、类比、类比、特殊化等途径和方法发特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们模块一 平行四边形的性质 知识导航知识导航 定义定义示例剖析示例剖析平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）:平行四边形的表示：一般按照一定的方向依次表示各项点:如右图的平行四边形不能表示平行四边形ACBD ，也不能表示平行四边形ADBC叫做平行四边形四边形ABCD ÞþýüBC // AD CD // AB 记作□ABCD性质性质示例剖析示例剖析①平行四边形的对边平行；①平行四边形的对边平行；四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．②平行四边形的对边相等：②平行四边形的对边相等：四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．③平行四边形的对角相等③平行四边形的对角相等四边形ABCD 为平行四边形Þ∠A=∠C ，∠B=∠D④平行四边形的对角线互相平分④平行四边形的对角线互相平分四边形ABCD 为平行四边形ÞOA=OC ，OB=OD【例1】如图，D 为平行四边形ABCD 的对角线的交点：过O 点作直线EF 分别交CD 、AB 于点E 、F ． (1)求证：OE= OF ；(2)若AB =5，BC =4，OE= 1.5，求四边形EFBC 的周长。

1初二秋季·第11讲·提高班·教师版满分晋级漫画释义三角形12级 成比例线段三角形11级特殊三角形之直角三角形三角形10级 勾股定理与逆定理 11特殊三角形之 直角三角形2初二秋季·第11讲·提高班·教师版有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，这是初中阶段研究的一个特殊三角形，它的性质和判定是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段．一、直角三角形1. 直角三角形的性质：⑴ 两锐角互余；⑵ 三边满足勾股定理；⑶ 斜边上的中线等于斜边的一半；⑷ 30︒角所对的直角边等于斜边的一半．另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab ch =．2. 直角三角形的判定：⑴ 有一个角是直角；⑵ 两锐角互余；⑶ 勾股定理的逆定理；⑷ 一条边上的中线等于这条边的一半．二、等腰直角三角形等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形为一体的特殊图形，除具备等腰三角形和直角三角形的所有性质以外，它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特点，可谓“集大成者”．另外，等腰直角三角形还可以看成是正方形的“半成品”，因此“还原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一．思路导航知识互联网题型一：直角三角形的性质及判定3初二秋季·第11讲·提高班·教师版【引例】 如图，正方形ABCD 的边长为4，E F 、分别在BC CD 、上，且3BE CF ==，AE BF 、相交于M ，求BM 的长． 【解析】 ∵ABCD 是正方形，∴4AB BC ==，90ABC C ∠=∠=︒，∵3BE CF ==，∴ABE BCF △≌△， ∴BAE CBF ∠=∠，∴90BME ∠=︒ 又由勾股定理可知5AE =， 在Rt ABE △中，BM AE ⊥， ∴AB BE AE BM ⋅=⋅，∴125AB BE BM AE ⋅==．【例1】 1. 在ABC △中，若35A ∠=︒，55B ∠=︒，则这个三角形是__________三角形．2. 如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，若28A ∠=︒，则B ∠=_______，ACD ∠=________，BCD ∠=________．3. 如图，已知图中每个小正方形的边长为1， 则点C 到AB 所在直线的距离等于 ．（十三中分校期中）4. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝ ．EABCDDCBA5. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6， 则S △ABC ＝ ．【解析】 1. 直角 典题精练例题精讲图2图1AMFDE FMDCBADCBAABC4初二秋季·第11讲·提高班·教师版2. 62︒；62︒；28︒3. 24. 833．通过向外补形，将四边形问题转化为三角形问题来解决．5. ∵AB 边上的中线长为2，∴AB =4，∴AC 2+BC 2=AB 2=16 ∵AC ＋BC ＝6，∴()236AC BC +=，即AC 2+BC 2+2AC BC =36 ∴1S 52ABC AC BC ==△【例2】 若直角三角形的两条直角边长为a b 、，斜边为c ，斜边上的高为h ，求证：⑴ 222111a b h+=；⑵ a b c h +<+．【解析】 ⑴ ∵222a b c +=，ab ch =，∴abc h=， 代入得22222a b a b h +=，∴222111a b h+=． ⑵ 由222a b c +=，ab ch =，则22222a ab b c ch ++=+，∴222222a ab b c ch h ++<++，即()()22a b c h +<+， ∴a b c h +<+．特殊的直角三角形是指()306090︒︒︒，，和()454590︒︒︒，，的直角三角形，它们的三条边之间有特殊的比例关系，分别是1:3:2和1:1:2，熟练运用这种特殊的比例关系，能够在解题过程中大幅提高解题的速度与正确率．【引例】 已知，Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AC =，求BC AB 、的长． 例题精讲思路导航题型二：特殊直角三角形的边角关系5初二秋季·第11讲·提高班·教师版【解析】 解法一：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴12BC AB =， 设BC x =，则2AB x =， 那么()()22262x x +=，解得2x =（舍负）∴2BC =，22AB =．解法二：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴::1:3:2BC AC AB =， ∴6233AC BC ===，∴222AB BC ==．【例3】 ⑴ 在ABC △中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，且::1:2:3A B C ∠∠∠=，则a 与c 的关系是____________．⑵ 如图，把两块相同的含30︒角的三角尺如图放置， 若66AD =cm ，则三角尺的最长边长为 ．（四中期中）⑶ 如图，以等腰直角三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，…，如此作下去，若1OA OB ==，则第8个等腰直角三角形的面积是 ．【解析】 ⑴ 2c a =；⑵ 12cm ；⑶ 64．【例4】 如图，点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点，且CD ＝AE ，AD 、BE 相交于P 点，BQ ⊥AD 。

第十一讲页码与数字问题这一讲的标题是从形式上定义的，其实本讲侧重的是奥数中七大重点模块中计数问题，和数论模块中的位值原理。

一、枚举计数分类枚举一定要选恰当的顺序和分类的标准才能不重不漏。

本讲的例1侧重的是分类枚举，是对加法原理的渗透。

补充小题：一本书共250页，求编码时需要多少个数码？分析与答：由于本书的页码有一位数、两位数、三位数；而几位数就需要几个数码。

故须分类计数，再相加。

一位数：有9个，共需9×1=9个数码；两位数：有90个，共需90×2=180个数码；三位数：有250-99=151个，共需151×3=453个数码；共需9+180+453=642个数码。

【记住规律：一位数：1~9，有9个；两位数：10~99，有99-10+1=90个，或99-9=90；三位数：100~999，有999-100+1=900个，或999-99=900个；四位数：9000个；……】例1：给一本书编码，一共用了723个数字，这本书一共用多少页？分析与答：刚才例子是正着问，此题倒着问。

边尝试边计算：一位数：有9个，共计用去9个数码；两位数：有90个，共需90×2=180个数码；三位数：有900个，共需900×3=2700个数码；而此题只有723个数码，多于9+180，小于9+180+2700，说明数的页数是三位数。

一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，还剩723-189=534个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，则还有534÷3=178个三位数，第178个三位数是99+178=277，故本书有277页。

学案1：一本书的页码，在印刷时必须用198个铅字，自这一本书的页码中数字1出现多少次？分析与答：此题是在例1的基础上再加深一步。

要想求1出现的次数，必须知道本书有多少页，这就完全转化成利1。

一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，还剩198-189=9个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，则还有9÷3=3个三位数，第3个三位数是102，故本书有102页。

三角形3级三角形三大专题三角形4级全等三角形的认识三角形5级全等中的基本模型春季班第十三讲春季班第十一讲多边形的故事满分晋级阶梯11三角形三大专题漫画释义1、边长都是整数的三角形，称为整数边三角形．2、若三角形三边的长为a ，b ，c 且a b c ≤≤，则⑴ 三角形的最小的边a 满足：03a b ca ++<≤，当且仅当abc ==时，等号成立；⑵ 三角形的最大的边c 满足：32a b c a b cc ++++<≤，当且仅当a b c ==时，等号成立．（上述公式建议教师结合三角形三边关系和不等式给学生进行推导）方程（特别是不定方程）和不等式是解决整数边三角形或内角是整数的三角形的常用工具．运用这一工具时，枚举法（树状图）则是常用的方法，但要注意对求得的结果进行检验．例题精讲思路导航知识互联网题型一：整数边三角形【引例】 已知等腰三角形的周长是8，边长是整数，则腰长是多少？【解析】 假设最大边为a ，则易知843a <≤，所以3a =. 即三边满足3，3，2.所以腰长为3.【例1】 ⑴若三角形的周长为60，求最大边的范围.⑵设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角形共有多少个？【解析】 ⑴设三角形的三边为a 、b 、c ，其中最大的边c 满足：32a b c a b cc ++++<≤，当且仅当a b c ==时，等号成立．依题意有606032<c ≤，即2030a <≤；⑵∵三角形三边关系定理，知p m n <+，即15p p m n p +<++=，∴152p <∵m n p ≤≤，315p m n p ++=≥，∴153p ≥，∴ 151532p <≤∵p 为自然数，∴p 可取5、6、7当7p =时，7n =，1m =；6n =，2m =；5n =，3m =；4n =，4m =； 当6p =时，6n =，3m =；5n =，4m =； 当5p =时，5n =，5m =.综上所述,以m 、n 、p 为三边长的三角形共有7个.【例2】 ⑴三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <<，若7b =，则有 个满足题意的三角形.⑵三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．⑶三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．【解析】 ⑴上面都是已知三角形的周长，从三角形的最大的边出发用枚举法．而本题提供了另 一种思路：b 知道了，a 的范围就确定了，对a 采用枚举法就可以把问题算出来，现在对a 从1到6枚举满足不等式77c a <<+的整数c 的个数为1234515++++=． ⑵21．⑶28．典题精练题型二：多边形及其内、外角和多边形及其内、外角和 （一）多边形及其内角和1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ① 多边形的顶点、边、内角、外角、对角线内角：A ∠、ABC ∠、C ∠、CDE ∠、E ∠…… 外角：α∠对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD .n 边形对角线条数：(3)2n n -条② 凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图）图（a ）为凸多边形图（b ）为凹多边形（a ） （b ）③ 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如图正六边形） AB=BC=CD=DE=EF=AF A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠2．多边形内角和：n 边形内角和等于(2)180n -⋅°① 多边形内角和公式推理方法一： 边过n 边形一个顶点，连对角线，可以得(3)n -条对角线，并且将n 形分成角(2)n -个三角形，这(2)n -个三角形的内角和恰好是多边形的内和．将n 边形分成()2n -个三角形② 多边形内角和公式推理方法二：在n 边形边上取一点与各顶点相连，得(1)n -个三角形，n 边形内角和等于这(1)n -个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即 (1)180180(2)180n n -⋅-=-⋅°°° 将n 边形分成()1n -个三角形思路导航αEDFE DCB AA B C D③ 多边形内角和公式推理方法三：在n 边形内部取一点O 与n 边形各顶点相连，得n 个三角形：ABO △、BCO △、CDO △……，这n 个三角形所有内角之和为123456180BOA BOC COD n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+=⋅° 故()1231803602180n n ∠+∠+∠+=⋅-=-⋅°°°取多边形内一点，连结各顶点，将n 边形分成n 个三角形．注：多边形内角和公式可以通过割或补的思想推导得出，教师可以给学生介绍“补”的思想.（二）多边形外角和1．多边形外角和等于360°如图：1801α∠=-∠°，1802β∠=-∠°，1803r ∠=-∠°，…… 所以r αβ∠+∠+∠+1801180=-∠+∠-°°21803∠+-∠°+…… 等式右边共有n 个180°相加，123∠+∠+∠+代表n 边形的内角和， 整理得180(2)180n n ⋅--⋅°°，即r αβ∠+∠+∠+360=° 多边形外角和恒等于360︒．2．多边形边数与内外角和关系①多边形内角和与边数相关：边数增加，内角和增加，边数减少，内角和减少；每增加一条边，内角和增加180°，反过来也成立．②多边形外角和恒等于360°，与边数多少无关．③多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角。

学而思奥数八大专题
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力的基本概念及测量(不在讲义中呈现，详见视频)(不在讲义中呈现，详见视频)弹簧测力计计数练习（不在讲义中呈现，详见视频）课堂练习1．下列关于力的说法中，正确的是( )A．没有物体，也可能会有力作用B．力是物体对物体的作用，所以彼此不直接接触的物体间没有力的作用C．在发生力的作用时，必定可找到此力的施力物体和受力物体D．力作用在物体上，只能使物体从静止变为运动2．如图所示，其中与其它三个力所产生的作用效果不同的是( )3．如图是北京奥运会运动项目图标，其中图片与物理知识对应正确的是( )A．游泳时人没有受到水的推力B．拉弓过程中弓发生了弹性形变C．人举着杠铃不动时对杠铃没有力的作用D．力能改变曲棍球的运动状态4．如图，分别用大小相等的力拉和压同一弹簧．该实验表明，弹簧受力产生的效果与力的( ) A．大小有关B．作用点有关C．方向有关D．大小、方向、作用点都有关5．人在湖水中用桨划船时，使船前进的力是( )A．人对船的推力B．桨对水的推力C．水直接对船的推力D．水对桨的推力6．说明在下列情况中，哪两个物体间发生了相互作用，谁是施力物体？谁是受力物体？⑴手用力提起书包。

⑵人踢足球时。

⑶石块从空中下落。

7．下图中的情景表示了力的作用效果，其中图_______主要表示力能使物体的运动状态发生改变；图_________主要表示力能使物体发生形变。

(选填：“A”、“B”、“C”或“D”)8．下列物体运动状态没有发生改变的是( )A．汽车启动时，从静止变为运动B．在竖直方向匀速上升的气球C．在草地上滚动的足球D．汽车在盘山公路上匀速行驶9．如图所示，两匹马各用1000N的力沿完全相反的方向拉一弹簧测力计，则此时弹簧测力计的读数为( )A．2000N B．1000N C．0N D．500N10．某一弹簧测力计在使用前，指针指在0.3N的刻度上,某同学没有校零，就用该弹簧测力计测一个4N的力，测得的结果是______N。

1初一秋季·第11讲·尖子班·教师版原来如此！！！满分晋级阶梯漫画释义11角的计算与证明图形的认识7级 平行线的性质及判定图形的认识6级 直线的相交 图形的认识5级 角的计算与证明2初一秋季·第11讲·尖子班·教师版1. 角的定义、表示方法、分类．2. 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，这条射线叫做这个角的角平分线． 3. 余角和补角余角：如果两个角的和等于90︒，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 补角：如果两个角的和等于180︒，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 两个基本定理：① 同角（或等角）的余角相等．②同角（或等角）的补角相等．注意：暑期班提及过余角、补角、角分线相关知识但只是简单介绍，本讲深入了解，并让学生熟练掌握．对于角的基本概念、分类和表示方法等相关知识这里不再重复讲解，建议教师根据班级情况自行讲解.【例1】 ⑴ 如果90αβ∠+∠=︒，而β∠与γ∠互余，那么α∠与γ∠的关系为（ ）A ．互余B ．互补C ．相等D ．不能确定⑵ 已知α∠是锐角，α∠与β∠互补，α∠与γ∠互余，则βγ∠-∠的值等于（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．180°知识互联网思路导航典题精练题型一：余角、补角及角分线的简单运算3初一秋季·第11讲·尖子班·教师版DOECBA⑶如果α∠和β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：① 90β︒-∠；②90α∠-︒；③ 1()2αβ∠+∠；④ 1()2αβ∠-∠．正确的有（ ）A ． 4个B ．3个C ．2个D ．1个⑷ 一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角，求这个角的度数．【解析】 ⑴ C ；同角或等角的余角相等；⑵C ；一个角的补角与这个角的余角的差等于90°；⑶B ； ⑷ 设这个角的度数为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-，由题意，得：12(90)(180)1802x x ︒-+︒-=︒，解得：36x =︒．【铺垫】⑴ 下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的说法有（ ） A ． 4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 ⑵ 下列说法中，正确的是（ ） A ．一个角的补角必是钝角 B ．两个锐角一定互为余角 C ．直角没有补角D ．如果180MON ∠=︒，那么M ，O ，N 三点在一条直线上 ⑶ 下列语句正确的是（ ）A ．钝角与锐角的差不可能是钝角B ．两个锐角的和不可能是锐角C ．钝角的补角一定是锐角D ．α∠和β∠互补（αβ∠>∠），则α∠是钝角或直角 【解析】 ⑴ C; ⑵ D;⑶C.【备选】⑴ 若一个角的余角是40°，则这个角是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．140° ⑵ 互为补角的两个角度比是3:2，这两个角是（ ）A ．108°，72°B ．95°，85°C ．108°，80°D ．110°，70°⑶ 对于互补的下列说法中：①∠A+∠B+∠C=90°，则∠A 、∠B 、∠C 互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中，正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个⑷如图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠ C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠【解析】⑴ B ；⑵ A ；⑶B ；⑷C. 【总结】复习余角与补角的基本概念【例2】 ⑴ 如右图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平 分 COB ∠，若55EOB ∠=︒，则BOD ∠的度数是（ ） A B C O4初一秋季·第11讲·尖子班·教师版FE D CBAN MAB C DOAC D E 图2图1FA ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒⑵ 如右图，分别在长方形ABCD 的边DC 、BC 上取两点E 、F ， 使得AE 平分∠DAF ，若∠BAF = 60°，则∠DAE =（ ）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°⑶ 如右图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠= .【解析】 ⑴ C ；⑵ A ；⑶22501090AOD MON BOC ∠=∠-∠=⨯︒-︒=︒．【例3】 如图所示，OM 是AOC ∠的平分线，ON 是BOC ∠的平分线，⑴ 如果28AOC ∠=°，35MON ∠=°，求出AOB ∠的度数； ⑵ 如果MON n ∠=°，求出AOB ∠的度数；⑶ 如果MON n ∠=°的大小改变，AOB ∠的大小是否随之改变? 它们之间有怎样的大小关系?请写出来. 【解析】 ⑴ ∵OM 平分AOC ∠∴12MOC AOC ∠=∠∵ON 平分AOC ∠∴12NOC BOC ∠=∠∵()1122MON NOC MOC BOC AOC AOB ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 35MON ∠=°∴2AOB MON ∠=∠ ∴70AOB ∠=°；⑵ 同上22°AOB MON n ∠=∠=；⑶ MON ∠的大小改变时AOB ∠的大小也随之改变 当090n ︒<︒≤时，2AOB MON ∠=∠． 当90180n ︒<<︒时，3602AOB n ∠=︒-.NM ABOC5初一秋季·第11讲·尖子班·教师版【拓展】已知点O 是直线AB 上的一点，90COE ∠=︒，OF 是AOE ∠的平分线．①当点C ，E ，F 在直线AB 的同侧（如图1所示）时．试说明2BOE COF ∠=∠；②当点C 与点E ，F 在直线AB 的两旁（如图2所示）时，①中的结论是否仍然成立？请 给出你的结论并说明理由；③将图2中的射线OF 绕点O 顺时针旋转(0180)m m ︒<<，得到射线OD ．设AOC n ∠=︒，若2(60)3nBOD ∠=-︒ ，则DOE ∠的度数是 （用含n 的式子表示）． 图2图1ABOEF CC FEO B A【解析】 ①设COF α∠=，则90EOF α∠=︒-，∵OF 是AOE ∠平分线， ∴90AOF α∠=︒-，∴(90)902AOC ααα∠=︒--=︒-， 180BOE COE AOC ∠=︒-∠-∠ 18090(902)α=︒-︒-︒- 2α=即2BOE COF ∠=∠； ②解：成立，设AOC β∠=，则902AOF β︒-∠=， ∴145(90)22COF ββ∠=︒+=︒+， 180BOE AOE ∠=︒-∠ 180(90)β=︒-︒- 90β=︒+∴2BOE COF ∠=∠； ③解：180DOE BOD AOE ∠=︒-∠-∠ 2180(60)(90)3nn =︒--︒-︒-︒ 5(30)3n =+︒，6初一秋季·第11讲·尖子班·教师版ABCDO 图1ABDO图3故答案为：5(30)3n =+︒．定 义示例剖析角度计算的分类讨论在平面上，已知角的一边和角度大小则角的另一边因为旋转有两种方向会产生不确定性．B 'BAO角的计数问题在计算角的个数时一种方法是按一定顺序累加，固定角的一边，数出另一边共有多少个．另一种方法是使用排列组合知识．【例4】 ⑴ 一条射线OA ，从点O 再引两条射线OB 与OC ，使40AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，则AOC ∠= ．⑵ 已知40AOB ∠=︒，从O 点引射线OC ，若23AOC COB ∠∠=∶∶，求OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数为 ．⑶ 若170AOB ∠=︒，70AOC ∠=︒，60BOD ∠=︒，求COD ∠的度数． 【解析】 ⑴ 20︒或60︒；⑵ 当OC 在⑴区域，所求的角度数为4︒； 当OC 在⑵区域，所求的角度数为100︒； 当OC 在⑶⑷⑸区域，不符合．（不考虑优角）⑶分四种情况如图1，COD ∠=40AOB AOC BOD ∠-∠-∠=︒ 如图2，COD ∠=160︒如图3，COD ∠=180︒如图4，COD ∠=60︒典题精练题型二：角度计算中的分类讨论5()4()3()2()1()O 角平分线BA7初一秋季·第11讲·尖子班·教师版图2A B CDO 图4A B C D O 东北西南东南西北东西南北【例5】 如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线， 图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角，求画n 条射线所得的角的个数．【解析】 3,6，10，(1)(2)2n n ++ 【拓展】已知直角AOB ∠，以O 为顶点，在AOB ∠的内部画出100条射线，则以OA 、OB 及这些射线为边的锐角共有多少个？若以O 为项点，在AOB ∠的内部画出n 条射线（1n ≥的自然数），则OA 、OB 以及这些射线为边的锐角共有多少个？【解析】 200个，2n【提示】在AOB ∠的内部，以O 为顶点，画1，2，3，4条射线，数数各有多少个锐角，找出规律，再计算100条射线、n 条射线所构成的锐角的个数．1. 方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围090α︒︒≤≤. 2. 钟表问题: ⑴ 分针每分钟转6︒ ⑵ 时针每分钟转0.5︒【例6】 ⑴ 如右图所示，下列说法中错误．．的是（ ） A ．OA 的方向是北偏西15°思路导航典题精练题型三：角的综合应用60°75°45°30°北南西东O DCBA8初一秋季·第11讲·尖子班·教师版7654 3 2 1B ．OB 的方向是南偏西45°C ．OC 的方向是南偏东60°D ．OD 的方向是北偏东60°（西城区期末）⑵ 如左下图所示的44⨯正方形网格中，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．⑶ 如右下图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O 点，则AOC DOB ∠+∠= ．⑷ 如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起．① 如图1，若20AOD ∠=°，则COB ∠= ° 如图2，若30AOD ∠=°，则COB ∠= ° 如图3，若50AOD ∠=°，则COB ∠= °② 如图4，若AOD α∠=，猜想COB ∠与α的数量关系为： （用式子表示）, 证明你的结论．【解析】 ⑴ D ；⑵利用对称性得315︒； ⑶180︒；⑷ ①160︒，150︒，130︒．② 180COB α∠=︒-．A BO图1CAD BO 20︒图2ABCD30︒图3CADB50︒图4AOBDCα9初一秋季·第11讲·尖子班·教师版∠AOB 是平角直线是平角∠CAB ∠ABC BO A B A B A CC B A 证明：90COD ∠=︒,90AOB ∠=︒,AOD α∠= ∴90AOC α∠=︒-, 90BOD α∠=︒-∴COB AOC AOB ∠=∠+∠ 9090180αα=︒-+︒=︒-．【例7】 饭后，韩老师准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是6点多，时针与分针成90︒角，散完步后回家，韩老师又看了一下钟，还不到7点，而时针与分针又恰好成90︒角，问韩老师外出多少分钟？ 【解析】 钟表上相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每小格6︒，秒针每分钟转过360︒，分针每分钟转过6︒，时针每分钟转过0.5︒． 设小明外出时，时间为6点x 分，又设小明回家时是6点y 分．由题意得18060.590x x -+=°°，61800.590y y --=°°，解得41611x =，14911y =148491632111111y x -=-=．【备选】⑴α∠,β∠都是钝角，甲、乙、丙、丁计算，1()6αβ+的结果依次为50︒，26︒，72︒，90︒，其中有正确的结果，则计算一定正确的是（ ） A ． 甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁⑵已知α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算()115αβγ++的值时，有三位同学分别计算出了23︒、24︒、25︒这三个不同的结果，其中有一个是正确答案，则αβγ++=______. 【解析】 ⑴ A ；⑵345．因为90360αβγ︒<++<︒，故()162415αβγ︒<++<︒，所以三个结果中23︒是正确的，所以1523345⨯=．训练1. ⑴下列图中的角表示方法正确的个数有 ( )思维拓展训练（选讲）10 初一秋季·第11讲·尖子班·教师版A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ⑵把20.3°换算成度、分、秒的结果是 ； ⑶用度表示 722342'''︒= ； ⑷计算 3216'25''47825'︒⨯-︒=____________； ⑸计算 157435'︒÷= ．【解析】 ⑴B ；⑵2018'° ；⑶72.395︒；⑷504040'''︒；⑸ 313236'''．训练2. 以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得54AOC BOC ∠∠=∶∶，若30AOB ∠=︒，则AOC∠的度数为 ．【解析】 1640'︒或150︒．训练3. 如右图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE∠互余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠， 求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．【解析】 COE ∠和BOE ∠互余，所以90AOC BOC ∠=∠=︒111222DOF EOF EOD EOC BOE BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠180451353AOF BOD AOB DOF DOF ∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒=∠ 3BOC EOF EOD DOF =∠+∠+∠=∠训练4. 在上午10时30分到11时30分之间，时针和分针成直角的时刻是 ．【解析】 设过x 分钟，时针与分针的夹角为90︒，由60.513590x x -=-或60.513590x x -=+，得2811x =或104011．故10点23811分或11点101011分．题型一 余角、补角及角分线的简单运算 巩固练习【演练1】 如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60，求这个角的余角度数．【解析】 设这个角为x ，则它的补角和余角分别为180x ︒-和90x ︒-，(180)(90)[(180)(90)]60x x x x ︒-+︒--︒--︒-=︒，所以60x =︒，复习巩固ABC D EO 图2F E B11初一秋季·第11讲·尖子班·教师版所以这个角的余角的度数为30︒．【演练2】 如图，O 为直线AB 上一点，50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒．⑴ 请你数一数，图中有多少个小于平角的角； ⑵ 求出BOD ∠的度数； ⑶ 请通过计算说明OE 是否平分BOC ∠．【解析】 ⑴ 图中共有9个小于平角的角；⑵ 155︒；⑶180180902565BOE DOE AOD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，902565COE ∠=︒-︒=︒，所以BOE COE ∠=∠，即OE 平分BOC ∠． 题型二 角度计算中的分类讨论 巩固练习【演练3】 已知100AOB ∠=°，50BOC ∠=°，求AOC ∠的度数.【解析】 AOC ∠等于50°或150°．【演练4】 已知：OA 、OB 、OC 是从点O 引出的三条射线，85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠．【解析】 注意分情况讨论，容易得到答案：4324'︒或12636'︒．题型三 角的综合应用 巩固练习【演练5】 如图，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是北偏西40°，OD 是OB 的反向延长线.若OC 是AOD ∠的平分线，则BOC ∠的度数为____________，OC 的方向是________________.【解析】 117.5︒；北偏东77.5︒．【演练6】 钟表在8点30分时，时钟上的时针与分针之间的夹角为（ ）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°（顺义区期末）【解析】 C ．O E D CB A DC B A O 北西南东初一秋季·第11讲·尖子班·教师版逆境中崛起的天才曾经，因为潦倒，他将自己的诗仅卖了10块钱，而被人嘲笑为“弱智”，而这首诗花了他整整10年的时间；曾经，“穷鬼”一词变成了他的代名词，生活的一连串打击一度让他几近崩溃，走投无路。

学而思课后作业答案新一L49-96第11讲答案解析Practice & GrammarMultiple choice1.B（pictures为可数名词，much修饰不可数名词，any用于疑问句，some用于肯定句）2.C（traffic为不可数名词，many修饰可数名词，any用于疑问句和否定句，a lot o f既可用于可数名词，也可修饰不可数名词）3.B（homework为不可数名词，many修饰可数名词，much修饰不可数名词）4.A（water为不可数名词，many修饰可数名词，much修饰不可数名词，some用于肯定句）5.B（go shopping固定搭配，购物）6.B（steak为不可数名词，many修饰可数名词，much修饰不可数名词，some用于肯定句）7.C（否定句中"和"不用and，用or）8.A（hope为不可数名词，many修饰可数名词， any用于否定句，some用于肯定句）HomeworkMultiple choice1.A（would you like句型中用some，some用于疑问句中表示请求或建议或希望得到对方的肯定回答）2.B（some用于疑问句中表示请求或建议或希望得到对方的肯定回答）3.A（computers为可数名词，many修饰可数名词，much修饰不可数名词）4.C（go to the butcher's去肉店）5.A（否定句中"和"不用and，用or）6.A（vegetables为可数名词，a lot of用于肯定句，much修饰不可数名词可用于否定句）7.B（any用于否定句，some用于肯定句）8.C（much修饰不可数名词，cheese不可数）。

第一节勾股定理专题第二讲二次根式乘除法第三讲二次根式专题第四讲二次根式专题 2第五讲二次根式测试题第六讲非负数的性质第七讲二元一次方程组第八讲二元一次方程组复习题第九讲二元一次方程组解应用题专项1 第十讲二元一次方程组应用题2【知识要点：】1.勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方， （即： 222c b a =+）。

2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c += 那么这个三角形是直角三角形。

3.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①．先找出最大边（如:c ） ②．计算2c 与22a b +，并验证是否相等。

若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。

4.勾股数：（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的正整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①．3、4、5 ②．5、12、13； ③．8、15、17；④．7、24、25； ⑤．10、24、26； ⑥．9、40、41．5．直角三角形相关性质：（1）直角三角形中，如果两条直角边分别为a 、b,斜边为 c ，斜边上的高为h ，那么它们存在的关系：面积：ch ab s 2121==（即：c abh =.）周长：c b a l ++=（2）直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半；（反之，如果在直角三角形中有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）（即：2:3:1::=AB AC BC ）（3）在等腰直角三角形中，斜边是等于直角边的2倍（等腰直角三角形斜边上的高正好是斜边的一半。

）（即：2:1:1::=AB BC AC ）【课堂练习题：】a bch ab=3a30°c=2aC ABCABBA不正确的是（）（A）222cba=+（B）222bac=-（C）22bca-=（D）222cba=-2.一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为（）（A） 4 （B） 8 （C） 10 （D） 123.如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为1S、2S、3S，则1S、2S、3S的关系是（）（A）321SSS=+（B）232221SSS=+（C）321SSS>+（D）321SSS<+4.若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．（A）3cm2（B）32cm2（C）33cm2（D）4cm25.点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是（）（A）40 cm （B）220 cm （C）20 cm （D）210 cm6.在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）（A）a=9 、b=41 、c=40 （B）a=11 、b=12 、c=15（C）a∶b∶c=3∶4∶5 （D） a=b=5 、c=257.在△ABC中，AB=12cm， BC=16cm， AC=20cm，则△ABC的面积是( )（A）96cm2 (B) 120cm2 (C) 160cm2 (D) 200cm28.锐角三角形的三边长分别是2、3、x，则x的取值范围是（）（A）5<x<13（B）13<x<5 （C）1<x<13（D）1<x<59.已知如图，水厂A和工厂B、C正好构成等边△ABC，现由水厂A和B、C两厂供水，要在A、B、C间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最合理的方案是（）10.如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2-10的立方根为（）（A）2-10 （B） -2-10 （C） 8 （D） -12二＞填空题:●●AB(第5题图)架设了一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A 处测得∠EAC=30°， 两山峰的底部BD 相距900米，则缆车线路AC 的长为____米．14.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是： ，它是 （填入“真”或“假”）命题。

一：同一直线上的二力合成力的作用效果是相同的！很多人才能拖动的物体，一头大象就能拖动。

1．合力：几个力的共同作用在一个物体上，它们的作用效果可以用一个力来代替，这个力叫那几个力的合力。

2．力的合成：已知作用在一个物体上的几个力的大小和方向。

求合力的大小和方向。

3．小练一下1．下面关于力的合成的说法正确的是( )A．只有作用在同一直线上的力才能合成。

B．只有作用在同一方向上的力才能合成。

C．只有作用在同一物体上的力才能合成。

D．任何几个力都能合成。

2．有关合力的说法错误的说法是( )A．合力和分力不一定是真实存在的。

B．合力的作用效果和分力的作用效果是一样的。

C．考虑合力时就不考虑分力了。

D．合力不可能为零。

4．实验探究二力合成及平衡力5．同一直线上二力合成规律⑴同向大小：F＝F1＋F2方向：同两力方向⑵反向大小：F＝F1－F2方向：同较大力(F1)6．力的合成知识的应用课堂练习：【例1】同一直线上两个向上的力分别为20牛和40牛，它们的合力为______牛，方向向____。

【例2】同一直线上同方向的两个力的合力为200牛，方向向下，其中一个力的大小为180牛，另一个力的大小为______牛，方向向_______。

【例3】耕地时，马的水平拉力是2000牛，土地对犁的阻力是1700牛，犁受到的合力是______牛，方向______________。

【例4】桌面放一个重力为3牛的茶杯，桌子对它的支持力是3牛，茶杯所受的合力是_____牛。

【例5】作用在一个物体上的两个力，分别为F1＝3N，F2＝5N，并且这两个力在同一条直线上，则F1与F2的合力可能是________。

【例6】水平面上的一个物体分别受到了向左向右的两个力的作用，开始时F右＞F左，当向左的力逐渐变大时，物体所受水平方向的合力大小______________。

【例7】质量为4t的汽车，在平直的公路上运动时，受地面的支持力为3.92×104N，受到的阻力为6×103N，汽车的牵引力为7×103N，求汽车所受合力是多大？二力平衡观察与分析静止的电灯受到几个力的作用？1．概念：平衡状态：平衡力：二力平衡：★请举出处于二力平衡的物体？★作用在一个物体上的二个力，符合什么条件才能使物体处于平衡？探究：二力平衡的条件2．二力平衡的条件：作用在同一物体上的两个力，如果大小相等、方向相反，并且在同一条直线上，这两个力就彼此平衡。