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波动第03讲 第三节 简谐波的合成

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高二物理竞赛课件：简谐运动的合成

高二物理竞赛课件：简谐运动的合成

*四、两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍
x1 t
x2 t
x t
拍 合振动振幅 随时间周期性加强与减弱的现象
两个频率较大且相差极小的同方向谐振动合成形成拍
例1 两个同方向简谐振动，周期相同，振幅为 A1=0.05m, A2=0.07m，组成一个振幅为A=0.1044m的简 谐振动，求两个分振动的相位差。
要决定于 = 2- 1
= 0
y A2 x A1
=
y A2 x A1
为 的整数倍，合振动轨迹为直线
= /2
= 3/2
x2 A12
y2 A22
1
为 2的奇数倍，合振动轨迹为正椭圆
= P·/4 .Q = 3/4 = -/4 = -3/4
为其他值，合振动轨迹为斜椭圆
方向： 2 1 0就是顺时针，反之逆时针。
解： A2 ?
A2 A12 A2 2 A1 A cos( 1)
0.1m
A2
2
因为 A2 A12 A22
O
所以
2
1
2
A
2 1
1
1
A1
x
x x1 x2
A
A2
2
O
x 1
A1
x2 x1
பைடு நூலகம்
x
利用解析法也可以计算振幅和初相。
x x1 x2 A1 cost 1 A2 cost 2
A1 cost cos1 sint sin1 A2 cost cos2 sint sin2
A1 cos1 A2 cos2 cost A1 sin1 A2 sin2 sint
x=A1cos( t+ 1) y=A2cos( t+ 2)

12-3振动与波动合成

12-3振动与波动合成
A 2
×
o
x
2 20 3
2
四、简谐振动的能量
1.动能 2.势能
v A sin( t 0 )
1 Ek mv 2 2 1 2 2 kA sin ( t 0 ) 2
x A cos(t 0 )
1 2 E p kx 2
1 2 kA cos 2 ( t 0 ) 2
合振动:
x x1 x2 A cos(t )
1.应用解析法
x x1 x2
2.应用旋转矢量法
y
A2
2
A
A2 sin 2
A1
1
A2 cos 2
A1 sin 1
o
A1 cos1
x
x A cos( t )
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2.动力学（揭示本质）
水平方向受力
F kx
牛顿第二定律
d x k x0 2 dt m
2
动力学特征
d2 x F kx ma m 2 dt
d2 x 2 x0 2 dt

k m
x(t ) Acos(ωt 0 )
简谐振动（判据）： 受力角度 —— 动力学特征
2
在阻尼较小的情况下，微分方程的解为：
2 x(t ) A0 e t cos( 0 2 t 0 ) A cos( p t )
阻尼振动
等幅振动
x
A h ( ) 4
2 0 2 2 p 2 2 p
① ②
o
xot t来自 arctan 2 p
F －kx
加速度角度——运动学特征

《简谐运动的合成》课件

《简谐运动的合成》课件

演化、分支和应用
复杂演化
分支学科
摆锤波、庞加莱山丘和分形结构。
天文学、量子力学、金融市场的 年度周期、周期性疾病等。
应用
音乐制作、机械振动隔振等。
《简谐运的合成》PPT 课件
让我们一起探索简谐运动的奥秘，以及如何合成它们，理解它们的物理和声 学意义。
简谐运动
定义
在保证周期性的前提下，物体在固定外力作用下沿一个固定轨道做的运动称为简谐运动。
特点
周期性、振幅、相位、频率、能量守恒。
物理意义
简谐运动是许多自然现象的基础，例如弹簧振子、波的传播、电路中的交流电等。
4 频率
单位时间内重复运动的次数，即振动的快慢。
简谐振动的模拟
Project 1
通过模拟普通化学键中的键弹 性常数，让分子的振动成为一 个弹性团体的整体振动。
Project 2
开发一个可以模拟波的传播和 反射等现象的平台。
Project 3
设计一个工具用于分析在大量 复杂结构和流体下的流动或运 动。
总结
原理 应用 重要性
简谐运动的周期性、振幅、相位、频率、能量守 恒 声音、机械振动、电路等多个领域。
简谐振动学是理解自然现象及应用科学的基础。
力学和声学之美
1 位移
最基本的力学量，表述物体在空间三维坐标 系所占据的位置。
2 振幅
描述物体围绕平衡位置做小幅度振动的最大 位移量。
3 波长
因为波是重复的，所以它有特定的波长。
简谐振动的合成
概述
两个或多个简谐运动的合成。
合成振幅的求法
矢量法或三角函数法。
合成频率的求法
各组分振动的频率之和。
双摆实验
演示简谐振动的合成原理。

第三节振动合成物理专题波动方程和波的能量

第三节振动合成物理专题波动方程和波的能量
13
比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
波动过程
振动过程
波动过程，某质元具有的
能量w是时间t的周期函数
振动过程，质元总能量不变
WmA22sin2[(tu x)0]
W 1 kA2 2
传播能量
不传播能量
W k 和 W 同p 相变化
W k 最大时、 W p为0 W p 最大时、 W k 为0
三、 波的能量密度和平均能量密度
2
u2
sin 2
(t
x) u
10
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
由波函数和波速 u 2 Y 可得
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
1 A22 (Sx) sin2 (t x )
Ek
1 2
A2 2 (Sx) sin 2 (t
x) u
2
u
棒元的总机械能
ut
G
G— 固体的切变弹性模量
— 固体密度
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：
ul
B
B— 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为
RT p
ul
M
说明
— 气体摩尔热容比
M— 气体摩尔质量 R — 气体摩尔常数
(1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与
1. 波的能量密度
E
Ek
Ep
A2 2 (SΔx) sin
2
(t
x) u
介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。

物理PPT课件：简谐波动的合成

物理PPT课件：简谐波动的合成
A12 A22 2 A12 0
返回
二、驻波
两个完全相同的简谐波，沿同一直线相反方向传播，合 成结果------驻波。
120s
写出两列波的表达式：
Y1 Acos(t x u) Y2 Acos(t x u)
合成结果：
Y Y1 Y2 Acos(t x u) Acos(t x u)
简谐波动的合成
本节内容
一、两列同方向同频率波的合成 二、两列反向传播的完全相同波的合成
什么是波的干涉现象？
频率相同，振动方向相同，初相位相同或相位 差固定的波源发出的波叠加时，叠加区内出现某些 地方振动加强，另一些地方振动减弱或完全抵消，这 种现象称为波的干涉现象。
一、波的干涉
同方向同频率初相位差固定的两列简谐波的合成 ------波的干涉。
（答案：x=4cos7t）
(2)开始时，物体在平衡位置，给以向上
21cm/s的初速度，同时开始计时。 （答案：x=3cos(7t+π/2)）
(3)把物体从平衡位置拉下4cm后，又给 以向上21cm/s的初速度，同时开始 计时。（答案:x=5cos(7t+ 370 ) ）
作业四
在半径为R的半球形碗中有一小球质量为m，若将小 球移开一个很小的位移，放开令其运动，求证小球 做简谐振动，并求其振动周期
根据图中所示位移时间曲线，分别 写出这两个振动的表达式。
（答案：
a x Acos 5 t
） 6 3
b x Acost
2
x A/2 o
x A
o
t 1
(a)
1
t
(b)
作业三
一弹簧悬挂10g砝码伸长8cm,现将这根弹簧下悬挂25g
的物体， 使它做自由振动，按下列情况分别求其振动 方程。 (1)开始时使物体从平衡位置向下移动4cm后松手。

简谐振动的合成PPT(课件)-高中物理竞赛

简谐振动的合成PPT(课件)-高中物理竞赛
2）反相位 2 0 1 0(2 k 1 )π(k0， 1, )
xx
o A1
20
o
A
A2
Tt
AA1A2
两个同方向同频率的合振动振幅与分振动的相位关系
（1）相位差 20102kπ (k0， 1， )
两个简谐振动的相位相同，合振动的振幅
AA1A2 相互加强
若 A1 A2 则 A2A1
（2）相位差 20 10 (2k1)π(k0， 1， )
不仅与两分振幅有关，而且还与相02位差10
讨论两种特殊相位情况 A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s0 (1)0
1）同相位 2 0 1 02 kπ(k0， 1 ， 2 , ) xx
0
o
A1
o
A2
A
AA1A2
T
t
讨论两种特殊相位情况 A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s0 (1)0
由余弦定理
A
A2
A2si n20
A 2010 0
x x x x 2
A1cos10
A1si n10
1
1A2 cos20
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2co2 s 0 1 ()0
tan0A A 1 1c so i n1 1 s0 0 A A 2 2scio n2 2 s0 0
两个简谐振动的相位相反，合振动的振幅
AA1A2 相互削弱
若 A1 A2 则 AO
（3）一般情况
A 1A 2A A 1A 2
合振动的振幅在 A1 A2 和 A1 A2 之间
例 两个同方向的简谐振动曲线如图所示，求合振动 方程。
x
攀登雪山时，尽量避免大声讲话，以免引起共振造成雪崩。

波动(谐波波函数) ppt课件


2
一、波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 弹性介质 2. 电磁波
只需振源 可在真空中传播
3. 物质波 物质的固有性质
ppt课件
A
振源A振动通过 弹性力传播开去
真空
机械波的传播 3
二、 波面 波射线 1. 横波 纵波 横波：各振动方向与波传播方向垂直 纵波：各振动方向与波传播方向一致
横波
u
纵波 x
第2章 波 动
§1 平面简谐波的描述
§2 波的能量
§3 惠更斯原理
§4 波的叠加
§5 驻波
§6 群速度
§7 多普勒效应
ppt课件
1
§1 平面简谐波的描述 一、波的产生 二、波面 波射线 三、平面 S.H.W.的传播 四、平面 S.H.W.的表达式 五、平面 S.H.W.的复数表示法 六、波动方程
ppt课件
向x轴正向传播


Acos t


2π

x
向x轴负向传播
2.角波数（简称波数)
波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）
角波数：2长度内含的波长数目（简称波数）
k 2π

ppt课件
24
平面谐波一般表达： Acos t kx
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波
Acos t kx 取实部 Aei(tkx) Re Aeitkx
Aei tkx Aeikxei t
经典波：波函数表示实在物理量 只有取 实部才有意义 但可以使计算方便
量子：波函数本身一般就是复数
ppt课件
28
六、波动方程
1 4 7 10 13
振动 0 状态 > 0

简谐振动、振动合成ppt课件


x0
A0
-A 0
A
0
0 -A 0
A 0
;
9
5、振幅与初相的确定
初始条件：x t0 x0 , V t0 V0
x A cos(t ) v A sin( t )
x0 A cos ① v0 A sin ②
①2+(②/)2
有
x
2 0
(v0
/ )2
A2
A
x02
v0
2
②/①有
tg v0 / A v0
A M
A v t M 0
2. M 点的运动速度
ox P x
v A
在 x 轴上投影速度
v A sin( t )
;
31
3. M 点的加速度
a A2
在x轴上投影加速度
a A2 cos(t )
y
aM
A M A2 t 0
ox P x
结论：
M点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程。
M点速度在x轴投影，为谐振动的速度。
x
14
建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。
F弹 x
3.振动位移
ox
振动位移：从 o 点指向物体所在位置的矢量。
回复力： 一维振动
F弹 k x F弹 kx ma
a d 2x F弹 k x
dt 2 m;
m
15
d2x k x 0 dt 2 m
F弹 x
令
2 k
m
ox
有
d 2x 2x 0 简谐振动微分方程
2
1 mA 2 2 sin 2 (t )
2
;
25
Ek
1 m 2 A 2 sin

简谐运动的合成.ppt


2
1
(2k 1)π
2
1
小结
（1）相位差 2 1 2k π
A A A
1
2
(k 0，1，) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1，)
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A A A A A
1
2
1
2
二 两个相互垂直的同频率的简谐
振幅
A

2 A1 cos2 π 2
1
2
t
Amax 2A1 Amin 0


x (2A1 cos2 π
2
2
1 t)cos2 π
2
2
1t
2π2 1 T π
2
2 1
T 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
方法二：旋转矢量合成法
(2 1)t (2 1)

2A1 A2
cos(2
1 )
x x1 x2

A
x tan
A1
sin
1

A2
sin2
A1 cos1 A2 cos2

A2
2

1
A1
O x2 x1 x
两个同方向同频率简谐运动合成后仍
为同频率的简谐运动
（1）相位差
2
1
2k π
(k
o
A1
A2
A3
A4
A5
A
x
A Ai NA0
x A cos[t (N 1)]

第四节 简谐波动的合成

120s
写出两列波的表达式：
Y1 Acos(t x u) Y2 Acos(t x u)
合成结果：
Y Y1 Y2 Acos(t x u) Acos(t x u)
2Acost cos x u (2Acos x u) cost A' cost
驻波的特点
每个质点都在做简谐振动，但振幅不同，有些点的振 幅为0---波节，有些点的振幅最大---波腹，而波形 不走动。
引起的振动的相位差
P x 3
Q
2
x
R
x
Yp
A1
cos (t
x
x ) u
YQ
A1
cos (t
x u
)
x 2 x 3
u
（2）R点的合振幅
P x Q
x
R
x
A1 A2
A A12 A22 2A1A2 cos
A12 A22 2 A12 0
返回
二、驻波
两个完全相同的简谐波，沿同一直线相反方向传播，合 成结果------驻波。
2
作业一
S1、S2是由同一振子所带动的波源，但S1的位相超
前S2 π/2，那么点P为干涉为极大的条件是二者的
波程差为多少？
答案：(r k 1 )
4
s1 r1
p
r2
s2
作业二
弦线上的驻波相邻波节的距离为65cm，弦的振动频率为 2.3ⅹ102Hz,求波的传播速率u和波长λ.
(答案： 1.3m,u 2.99m / s)
平面简谐波的波动方程 Y Acos(t x u)
波长λ 波速 u波频υ u
波强度 I A2
波的干涉现象
干涉极大的条件 干涉极小的条件
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x y ( x, t ) A cos t x u 2 u
dEk dE p 1 2 A2 dV sin 2 [ (t x / u ) ] 2 1 w 2 A2 I wu, I wu 2 2 2 , T u
波 的 叠 加 习 题
波 的 叠 加 习 题
波 的 叠 加 习 题
波 的 叠 加 习 题
/ 2 两波源相距为d，分析两波在各处
的干涉结果。
相干条件: 1 2 , 1 2 con
1 2 (

u2
r2

u1
r1 ) 1 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
简谐波的干涉
第三节 简谐波的叠加 驻波：传播方向相反的 两列波的叠加
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
驻波、波节、波腹 反射波的半波损失
如果有半波损失：
相位差是Pi
则反射和入射波的
பைடு நூலகம்
[ (t x0 / u ) 1 ] [ (t x0 / u ) 0 ] 2 x0 / u 1 0
演示：驻波的产生和驻波的形成 振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
y1 ( x, t ) A cos[ (t x / u)]
资料
振动方向有相同成分
相干条件: 1 2 , 1 2 con
y2 ( x, t ) A cos[ (t x / u)]
1 2 (

u2
r2

u1
r1 ) 1 2
两列波叠加
解 ：弦两端为固定点，是波节.
ln
千斤

nu 频率 2l
u
2
n 1,2,
波速 u
T

l
码子
1 T 基频 n 1 1 262 Hz 2l n T 谐频 n 1 n 2l
波的衍射： 绕过障碍物传播，绕射
简谐波
资料
y( x, t ) A cos[ (t x / u ) ]
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象.
驻波的形成
演示：振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时，波长 n 和弦线长 l
n 1,2, 应满足 l n 由此频 2 率 决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式.
n
u n n ， 2l
两端固定的弦 振动的简正模式
cos(2 x / ) 1 x k / 2
相邻节点或者相邻波腹的间距都是波长的一半
简谐波的干涉
波的反射和半波损失：当一
列波传播到两种介质的交界面时会发 生反射和透射。 当波从波疏煤质向波密煤质传播 时，反射波与入射波相比在反射点有 相位Pi的改变。如果反射波的振幅与 入射波相同，那么在反射点形成一个 节点。换句话说，如果反射点是一个 波节，那么反射波就会有半波损失。
r1 ) 1 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
简谐波的干涉
第三节 简谐波的叠加 相位差与合成波振幅的关系
2k , A A1 A2
资料
干涉
加强 相消
振动方向有相同成分
(2k 1) , A A1 A2
(2k 1) , 2
水波衍射 隔墙有耳：声波 衍射 光波衍射
波的衍射： 绕过障碍物传播，绕射 惠更斯原理： 波面上的每一点都是产
简谐波
t
资料
y( x, t ) A cos[ (t x / u ) ]
生次级波的波源，而次级波波面的包络 x y ( x , t ) A cos t 是下一个波面。
一端固定一端自由 的弦振动的简正模式
ln
n
2
n 1,2,
l
1 n l (n ) n 1,2, 2 2
1
2
l
1
4
2 2 l 2
33 l 2
32 l 4 53 l 4
讨论 如图二胡弦长 l 0.3 m ，张力 T 9.4N . 密度 3.8 104 kg m . 求弦所发的声音的基频和谐频.
干涉
2 2
相干条件: 1 2 , 1 2 con
1 2 (


A A A
2 2 1
没有干涉
u2
r2

u1
r1 ) 1 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
以上各式中k是整数 k 0, 1, 2, 3,
奥地利物理学家，数学家和天文学家多普勒，克里斯 琴· 约翰(Doppler, Christian Johann)1803年11月29日出 生于奥地利的萨尔茨堡 (Salzburg)。1842年，他因文章 "On the Colored Light of Double Stars" “多普勒效 应”(Doppler Effect)，而闻名于世。1853年3月17日， 多普勒与世长辞。
如果振动在同一个方向
y y1 (r1 , t ) y2 (r2 , t )
2 y 2 y12 y2 2 y1 y2
第三项是干涉项
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
1 2 (1 2 )t (
2
u2
r2
1
u1
r1 ) 1 2
后
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
y ( x, t ) y1 ( x, t ) y2 ( x, t ) 2 A cos( x / u )cos(t ) 2 A cos(2 x / )cos(t )
两列波叠加
不再是行波，
而是停在某个地方，驻波
y1 ( x, t ) A cos[ (t x / u)] y2 ( x, t ) A cos[ (t x / u)]
1 2 (

驻波节点：驻波中位移始终为零的地方
cos(2 x / ) 0 x (2k 1) / 4
u2
r2

u1
r1 ) 1 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
驻波、波节、波腹
驻波波腹：驻波中最大位移是2A的地
方
第十章 波动
第一节 平面简谐波 第二节 简谐波的能量和能流 第三节 简谐波的合成
下面是 第三节 简谐波的合成
浮光跃金，静影沉璧
回顾：平面简谐波 平面波：波线和波面
简谐波
( x, t )
资料
y( x, t ) A cos[ (t x / u ) ]
x y A cos t t 2 u
相干条件: 1 2 , 1 2 con
1 2 (

u2
r2

u1
r1 ) 1 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
简谐波的干涉
第三节 简谐波的叠加 例题
[2]如图，相干波源s1和s2，s1超前s2
资料
振动方向有相同成分
问题：如果空间有众多的波
存在会有什么景象？
李白《听蜀僧浚弹琴》 蜀僧抱绿绮，西下峨眉峰。 为我一挥手，如听万壑松。 客心洗流水，馀响入霜钟。 不觉碧山暮，秋云暗几重。
简谐波的干涉
资料
振动方向有相同成分
相干条件: 1 2 , 1 2 con
1 2 (

u2
r2
x ( x, t ) A cos t u 2 x y ( x, t ) A cos t x u 2 u
dEk dE p 1 2 A2 dV sin 2 [ (t x / u ) ] 2 1 w 2 A2 I wu, I wu 2 2 2 , T u
克里斯蒂安· 惠更斯(Christiaan Huyg(h)ens， 1629年04月14日-1695年07月08日)荷兰物理学家、天文学家、数 学家，1629年4月4日生于海牙，1695年7月8日卒于海牙。他建立 向心力定律，提出动量守恒原理，并改进了计时器。
演示：惠更斯原理
频率相同、 振动方向平行、

u1
r1 ) 1 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
驻波、波节、波腹 反射波的半波损失
简谐波的干涉
第三节 简谐波的叠加 例题
[1]如图，相干波源s1和s2，s1超前s2
资料
振动方向有相同成分
/ 4 两波在P点干涉加强、相消和不干
涉时，波长满足的条件是什么？

u
2
x y ( x, t ) A cos t x u 2 u
dEk dE p 1 2 A2 dV sin 2 [ (t x / u ) ] 2 1 w 2 A2 I wu, I wu 2 2 2 , T u
资料
振动方向有相同成分
相干条件: 1 2 , 1 2 con
1 2 (
设入射波：
y0 ( x, t ) A cos[ (t x / u) 0 ]

u2
r2

u1
r1 ) 1 2
反射波的一般形式：
y1 ( x, t ) A cos[ (t x / u) 1 ]
1 2 , 1 2 const