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第02节 命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲解读】）命题的真假的判断；【知识清单】 1．命题及其关系 （1）命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． （2）四种命题及相互关系（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 对点练习：有下列四个命题（1）“若2320x x -+=，则1x =”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若1m ≤，则220x x m -+=有实数解”的逆否命题；（4）“若A B=B ，则A B ⊆”的逆否命题．其中真命题为（ ）A 、（1）（2）B 、（2）（3）C 、（4）D 、（1）（3）【答案】D2．充分条件与必要条件（1）若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； （2）若p ⇒q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件； （3）若p ⇒/q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； （4）若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；（5）若p ⇒/q 且q ⇒/p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 对点练习：【2018高考北京文4】设,,,a b c d 是非零实数，则“ad bc =”是“,,,a b c d 成等比数列”的（ ） A ．充分而不必条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：证明“ad bc =”不能推出“,,,a b c d 成等比数列”只需举出反例即可，论证“,,,a b c d 成等比数列”能推出“ad bc =”可利用等比数列的性质． 试题解析：当14,1,1,4a b c d ====时，,,,a b c d 不成等比数列，所以不是充分条件； 当,,,a b c d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件．．综上所述，“ad bc =”是“,,,a b c d 成等比数列”的必要不充分条件，故选B ．【名师点睛】本题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“p q ⇒”以及“q p ⇒”的真假．判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题． 【考点深度剖析】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值范围． 【重点难点突破】考点1四种命题的关系及真假判断【1-1】给出命题“已知实数,a b 满足1a b +=，则14ab ≤”，它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 【答案】B【解析】∵1a b +=2221()24a b a ab b ab =+=++≥14ab ⇒≤．∴原命题为真，从而逆否命题为真；若14ab ≤，显然得不出1a b +=，故逆命题为假，因而否命题为假，选B ． 【1-2】命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是（ ）A ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 【答案】C【解析】命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数．【1-3】以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若2log 0a >，则函数2()log f x x =(0,1)a a >≠在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a M ∈，则b M ∉”与命题“若b M ∈，则a M ∉”等价． 【答案】②④【解析】对于①，若2log 0a >2log 1=，则1a >，所以函数2()log f x x =在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x y +是偶数，则,x y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a M ∈，则b M ∉”与命题“若b M ∈，则a M ∉”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④．【领悟技法】1．四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为： （1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题． 注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面．2．正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要． 3． 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．4． 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 【触类旁通】【变式一】命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题 【答案】D【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC ∆的三内角成等差数列，则ABC ∆有一内角为3π”，它是真命题． 【变式二】【2018河北衡水金卷四】下列结论中正确的个数是（ ） ①“”是“”的充分不必要条件； ②命题“”的否定是“”；③函数在区间内有且仅有两个零点．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 0 【答案】A【解析】分析：由题意逐一考查所给命题的真假，然后判断真命题的个数即可．详解：逐一考查所给命题的真假：①若，则，反之未必成立，故“”是“”的充分不必要条件，该命题正确；②命题“”的否定是“”，原命题错误； ③函数的零点即函数与函数交点的个数，绘制函数图象如图所示，观察可知，交点的个数为1个，则零点的个数为1个，原命题错误．综上可得，正确命题的个数为1个．故选A ．【名师点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可．否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假；②原命题与其逆否命题同真假． 考点2 充分必要条件的判定【2-1】【2018天津滨海新区模拟】已知集合{}|145A x x x =-+-<，集合(){}22||log 2B x y x x ==-，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分析：该题属于不等式、函数的定义域、集合间关系以及充要条件判断的综合题，根据题意求出集合，之后应用集合的关系判断充分必要性即可．详解：利用绝对值不等式的求法求得{}|05A x x =<<，利用对数式有意义，真数大于零求得{}|02B x x =<<，因为B 是A 的真子集，故“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．【名师点睛】分别求出题中所给的集合A ，B ，结合集合的包含关系判断即可． 【2-2】【2018广东佛山二模】已知函数，则“”是“”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【2-3】设b a →→,为向量．则""b a b a →→→→=⋅是b a →→∥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也必要条件 【答案】Ｃ【解析】设向量,a b →→的夹角为θ，若cos a b a ba b θ→→→→→→⋅==，cos 1θ=±，则b a →→∥，若b a →→∥，则cos 1θ=±，从而cos a b a ba b θ→→→→→→⋅==，""b a b a →→→→=⋅是b a →→∥的充要条件．【2-4】【2018江西新余二模】“”是“函数在区间上无零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】函数f （x ）=3x +m﹣3在区间[1，+∞）无零点，则3x +m＞3，即m +1＞，解得m ＞，故“m ＞1“是“函数f （x ）=3x +m﹣3在区间[1，+∞）无零点的充分不必要条件，故选A ．【领悟技法】充要关系的几种判断方法（1）定义法：若 ,p q q p ⇒≠> ，则p 是q 的充分而不必要条件；若,p q q p ≠>⇒ ，则p 是q 的必要而不充分条件；若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充要条件； 若,p q q p ≠>≠> ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．（2）等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．（3） 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件 【触类旁通】【变式一】【2018河北唐山二模】设，则“”是“”为偶函数的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【变式二】以q 为公比的等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“1q >”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】等比数列中，若10a >，则由13a a <可得，21q >，即1q >或1q <-；若1q >，则有21q >，所以，211a q a >，即13a a <．所以，“13a a <”是“1q >”的必要而不充分条件．故选A ．考点3 充分条件与必要条件的应用【3-1】给定两个命题p ，q ，若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由q p ⇒⌝且p q ⌝≠>可得p q ⇒⌝且q p ⌝≠>，所以p 是q ⌝的充分不必要条件． 【3-2】【2018衡水信息卷一】已知:p 函数()4xy a =-在R 上单调递减，:12q m a m +≤≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】(),1-∞【解析】当p 为真时，45a <<．记集合A {}|4a 5a =<<，{}B |12a m a m =+≤≤． 若p 是q 的必要不充分条件，则B A Ü．①当12m m +>，即1m <时，B A =∅Ü；②当m 1≥时，B A Ü等价于1{14 25m m m ≥+><，解得m ∈∅．综上所述，实数m 的取值范围为(),1-∞，故答案为(),1-∞． 【3-3】函数()2log ,02,0xx x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩，有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( )A ．0a <B ．102a <<C ．112a <<D ．0a ≤或1a >【答案】A【解析】因为函数()f x 过点()1,0，所以函数()f x 有且只有一个零点⇔函数()2,0x y a x =-+≤没有零点⇔函数()2,0x y x =≤与直线y a =无公共点．由数形结合，可得0a ≤或1a >．观察选项，根据集合间关系{}{00a a a a <≤Ü或}1a >，答案选A ．【领悟技法】１．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验．２．对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性．此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）． 【触类旁通】【变式一】【2018河北衡水金卷四】设p ：3402x xx-≤，q ： ()22210x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．[]3,1-C ．[)(]2,00,1-⋃D ．[)(]2,10,1--⋃ 【答案】D【变式二】【2018衡水金卷五】命题p ：若0x >，则x a >；命题q ：若2m a ≤-，则()sin m x x R <∈恒成立．若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[)0,1【解析】命题p 的逆命题：若x a >，则0x >，故0a ≥．命题q 的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则21a -<-，1a <，则实数a 的取值范围是[)0,1．【易错试题常警惕】易错典例：已知不等式1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，则m 的取值范围是____________． 易错分析，（1）“1132x <<”是“1x m -<”的充分条件，但不是必要条件，学生容易看成必要条件；（2）从集合的角度看，若设1132A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}1B x x m =-<，则A B Ü，学生容易看成A B =．正确解析：由题意知：1132x <<是不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件．所以1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭是{}1x x m -<的真子集．而{}{}111x x m x m x m -<=-+<<+，所以有113112m m ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423m -≤≤，所以m 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．温馨提醒：利用充分条件、必要条件求解参数的值或取值范围是高考的一个重点内容，解答此类问题的关键是从正反两方面考虑，紧扣充分条件、必要条件的定义，若有大前提，在进行正反两方面推理时，大前提都要参与推理，是推理的条件．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．【学科素养提升之思想方法篇】 转化与化归思想转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法．转化与化归思想在本节中的应用主要是：（1）判断命题真假：原命题和其逆否命题同真同假，原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等 【典例】已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0，若q 是p 的必要而不充分条件，则m 的取值范围为________． 【答案】[9，＋∞)【解析】命题p ：－2≤x ≤10，由q 是p 的必要不充分条件知，{x |－2≤x ≤10}Ü{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ≤－21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ＜－21＋m ≥10，∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．【变式】已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．思想方法指导 等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化． 【答案】[9，＋∞)【解析】∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}． 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}． 设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9．∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
