一元一次方程与电话计费问题

课题实际问题与一元一次方程-------电话计费问题学习目标1、体验建立方程模型解决问题的一般过程2、初步理解分段讨论问题，体会分类思想和方程思想．3、探究电话计费问题转化成数学方程的思想方法．增强应用意识和应用能力。

教学重点会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次方程解决电话计费等有关方案决策的问题.教学难点准确理解电话计费问题中的各方式计费方法。

在电话计费中，能理解并准确的划分时间t的取值范围．教学方法及手段1.运用多媒体辅助教学2.运用合作学习的方式，分组学习和讨论教学过程教学环节教师活动学生活动创设情境明确目标自主学习指向目标【问题】：有四位同学到营业厅办理电话计费业务，营业员向他们出示了如下表两种移动电话计费方式：如果他们四人的平均每月通话时间为80 min、200min、280 min和360 min.他们如何选择计费方式才更合适？你是如何思考的？请你通过计算帮他们选择合适的计费方式．【思考】：你了解表格中这些数字的含义吗？根据理解的意思，用自己的话回答下面的问题．1、方式一中“月使用费58元”的意思是：。

2．方式一中“主叫限定时间150 min”是指：。

3．方式一中“主叫超时费，每分钟0.25元”是指月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/(元/min)被叫方式一58 150 0.25 免费方式二88 350 0.19 免费根据具体的通话时间计算选择合适的计费方式．初步体会选择更省钱的计费方式与通话时间有直接关系.1．方式一中“月使用费58元”的意思是：主叫时间不超过150_min时承担的固定收费58元．2．方式一中“主叫限定时间150 min”是指：__主叫时间小于或等于150_min__．3．方式一中“主叫超时费，每分钟0.25元”是指__主叫时间大于合作探究达成目标。

【探究】下表中有两种移动电话计费方式考虑下列问题：（1）设一个月内移动电话主叫为t min（t是正整数）。

一元一次方程的应用专题某通信公司推出了移动电话的两种计费方式(详情见下表）.设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分(t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：(1）用含有t的式子填写下表：(2）当t为何值时，两种计费方式的费用相等？(3）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱？(1）根据两种方式的收费标准进行计算即可.(2）先判断出两种计费方式的费用相等时t的大致范围，继而建立方程即可得出答案.(3）计算出两种方式在此区间的收费情况，然后比较即可得出答案.(1）①当150＜t＜350时，方式一收费：58+0.25(t-150）=0.25t+20.5；②当t＞350时，方式一收费：58+0.25(t-150）=0.25t+20.5；③当t＞350时，方式二收费：88+0.19(t-350）=0.19t+21.5.(2）∵当t＞350时，(0.25t+20.5）-(0.19t+21.5）=0.06t-1＞0，∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得.∴列方程0.25t+20.5=88，解得t=270.即当主叫时间为270分钟时，两种计费方式的费用相等.(3）①当350＜t＜360时，方式一收费-方式二收费=(0.25t+20.5)-(0.19t+21.5)=0.06t-1＞0,故方式二省钱；②当t=350时，方式一收费108元，大于方式二收费88元，故方式二省钱；③当330＜t＜350时，方式一收费=0.25t+20.5＞0.25×330+20.5=103(元），故方式二省钱.综上可得，当330<t<360时，方式二省钱.本题考查了一元一次方程的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，要将实际问题转化为数学问题来求解.第(3）题中，当330＜t＜360时，因为t=350是一个分界点，所以要分类讨论，分成330＜t＜350，t=350，350＜t＜360三类.某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×（1-80%）+30=110（元）．(购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品的标价）（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到31的优惠率？ （1）购买一件标价为1000元的商品，用获得的优惠额：1000×（1-80%）+130=330（元）除以标价就是优惠率.(2）设购买标价为x 元的商品可以得到31的优惠率，购买标价为500元与800元之间的商品时，消费金额a 在400元与640元之间.然后分情况计算，当400≤a ＜500时，500≤a≤640时，根据题意分别列出方程求解.注意解方程时要结合实际情况分析．（1）优惠额：1000×（1-80%）+130=330（元）；优惠率：1000330×100%=33%． （2）设购买标价为x 元的商品可以得到31的优惠率. 购买标价为500元与800元之间的商品时，消费金额a 在400元与640元之间． ①当400≤a＜500时，500≤x＜625，由题意得(1-80%）x+60=31x ，解得x=450． 但450＜500，不合题意，故舍去；②当500≤a≤640时，625≤x≤800，由题意得(1-80%）x+100=31x ，解得x=750． 而625≤750＜800，符合题意．∴购买标价为750元的商品可以得到13的优惠率．本题主要考查了一元一次方程在实际生活中的应用，所以学生平时要注意日常生活中的折扣计算问题，数学知识要学以致用．由于不同价格段的优惠不同，所以需要分类讨论，合理分类是本题的易错点．如图，几块大小不等的正方形纸片A ，B ，…，I ，无重叠地铺满了一块长方形.已知正方形纸片E的边长为7，求其余正方形的边长.可从中间最小的正方形的边长入手思考，表示出其余正方形的边长，根据A的边长相等列式求解即可.设中间正方形H的边长为x，则F的边长为7+x，B的边长为14+x，I的边长为7+2x，G的边长为7+3x，D的边长为4x，C的边长为7+3x+4x＝7+7x，A的边长＝B的边长+7-D的边长＝21-3x，或A的边长＝C的边长+D的边长＝7+11x.∴21-3x＝7+11x，解得x＝1.∴7+x＝8，14+x＝15，7+2x＝9，7+3x＝10，4x＝4，7+7x＝14，21-3x＝18.∴其余正方形的边长为18，15，14，10，9，8，4，1.本题考查一元一次方程的应用.利用最小的正方形的边长表示出其余正方形的边长是本题的难点，利用最大正方形的边长相等得到等量关系式是解答本题的关键.用小正方形的边长表示其他正方形边长时要注意正方形四条边都相等这一性质的灵活运用，表示各正方形边长要确保准确无误，一个错就全部错.拓展训练A组1.杭州湾跨海大桥全长36km，按规定桥上最低时速为60km，最高时速为100km.两辆汽车从桥的南北两端同时出发，相向而行，正常行驶时到它们在途中相遇所需的时间可能为( ）.A.36minB.22minC.15minD.7min（第2题）2.如图是超市中某品牌洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在了标签上，使得原价看不清楚.请你帮忙算一算，该洗发水的原价为( ）.A.22元B.23元C.24元D.26元3.一蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管20h可注满水池，两管齐开只需12h，那么单开乙管需( ）.A.32hB.30hC.8hD.以上答案均不对4.如图1，天平呈平衡状态，其中左侧托盘中有一袋玻璃球，右侧托盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20g的砝码.现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧托盘，并拿走右侧托盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态(如图2)，则被移动的玻璃球的质量为( ）.A.10gB.15gC.20gD.25g图1图2(第4题）（第5题）5.如图是2019年5月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数（如2，8，9，10，16）.若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为（ ）.A.41B.42C.81D.1206.有m 辆客车及n 个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则还有1人不能上车.下列所列方程：①40m+10＝43m-1;②4010-n =431-n ;③40m+10＝43m+1;④4010+n =431+n .其中正确的是（ ）. A.①③ B.②④ C.③④ D.②③7.某工厂某种产品，在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水产生，为保护环境，现要求污水须经净化后方可排放，净化污水有两种方案：①工厂净化后排出，处理费2元/立方米，设备损耗为3千元/月;②由污水处理厂处理，处理费为4元/立方米.若每月生产该产品件，则选用两方案费用一样.8.A ，B 两个动点在数轴上做匀速运动，它们的运动时间以及位置记录如下表：A ，B 两点相距9个单位长度时，时间t 的值为.9.魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：（第9题）魔术师立刻说出观众想的那个数.（1）如果小明想的数是-2，那么他告诉魔术师的结果应该是.（2）如果小聪想了一个数x 并告诉魔术师结果为96，请你算出x 的值.10.商场举行“六一”优惠活动，其中跳绳原价每根25元，若超过10根，则可享受八折优惠.根据以上信息，解答下列问题：（1）购买6根跳绳需元，购买12根跳绳需元.（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由．11.随着出行方式的多样化，某地区打车有三种乘车方式，收费标准如下（假设打车的平均车速为30千米/小时）：[例如：乘坐6千米，耗时12分钟，网约出租车的收费为12+2.4×（6-3）＝19.2（元）；网约顺风车的收费为6×1.5+12×0.5＝15（元）；网约专车的收费为6×2+12×0.6＝19（元）] 请据此信息解决下列问题.（1）王老师乘车从学校去汽车站，全程8千米，如果王老师乘坐网约出租车，需要支付的打车费用为元.（2）李校长乘车从学校去生态园，乘坐网约顺风车比乘坐网约出租车节省了2元.求从学校去生态园的路程.（3）网约专车和网约顺风车竞争客户，分别推出了优惠方式：网约顺风车对于乘车路程在5千米以上（含5千米）的客户每次收费立减6元；网约专车打车车费一律七五折优惠.对采用哪一种打车方式更合算提出你的建议.12.题目：王师傅每天能生产某种零件80个，王师傅生产3天后，李师傅加入与王师傅生产同一种零件，再经过5天，两人共生产这种零件940个.问：李师傅每天生产零件多少个？分析：可以用如图所示的示意图来分析本题中的数量关系：（第12题）（1）请参照上面的分析方法分析并解答下面的问题（需画出分析示意图并解答）：A，B两地相距940km，甲开车以80km/h的速度从A地出发去B地；3h后，乙开车从B地出发去A 地；再经过5h，甲、乙两人相遇.问：乙开车的速度是多少？（2）通过以上问题的解答可以发现，上述两个应用题采用了同一种分析方法：来进行分析，以上问题还可以用 （填一种即可）方法来分析.B 组13.按如图所示的程序计算：当输入x=100时，输出结果是299；当输入x=50时，输出结果是446.如果输入x 的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的x 的值最多有（ ）.A.1个B.2个C.3个D.4个（第13题） （第14题）14.如图，电子蚂蚁P ，Q 在边长为1个单位长度的正方形ABCD 的边上运动，电子蚂蚁P 从点A 出发，以23个单位长度/秒的速度绕正方形顺时针运动，电子蚂蚁Q 从点A 出发，以21个单位长度/秒的速度绕正方形逆时针运动，则它们第2019次相遇在（ ）.A.点AB.点BC.点CD.点D15.如图，将一把长为7cm 的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺被分成了三段.若这三段的长度由短到长之比为1∶2∶4，其中没完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是cm.（第15题）16.已知A ，B 两地是同一条河流边顺流而下的两个不同地方，且A ，B 在同一直线上，某船先从A 地顺流而下来到B 地，再立刻调头逆流而上到达A 地，一共用了5h ，调头时间忽略不计.已知该船的静水速度为25km/h ，水流速度为5km/h ，求A ，B 两地相距多少千米.17.一个车队共有n （n 为正整数）辆小轿车，正以36km/h 的速度在一条笔直的街道上匀速行驶，行驶时车与车的间距均为5.4m.甲在路边等人，他发现该车队从第一辆车的车头到最后一辆车的车尾经过自己身边共用了20s 的时间，假设每辆车的车长均为4.87m ．（1）求n 的值.（2）若乙在街道一侧的人行道上与车队同向而行，速度为v （m/s ），当车队的第一辆车的车头从他身边经过了15s 后，为了躲避一只小狗，他突然以3v （m/s ）的速度向前跑，这样从第一辆车的车头到最后一辆车的车尾经过他身边共用了35s ，求v 的值．18.如图，一根竹竿插入水池底部的淤泥中，竹竿的入泥部分占全长的51，淤泥以上的入水部分比入泥部分长21m ，露出水面部分为1013m.请画一条线段表示竹竿，并在线段上标出上述各部分.问：竹竿有多长？ （1）小敏解得原题的正确答案是“竹竿长3m”.现在小敏将原题中的“比入泥部分长21m”改为“比入泥部分短21m ”，最后答案要求不变，那么题中的“露出水面部分为1013m”应改为露出水面部分为多少米？（2）如果小聪将原题改编为：一根竹竿插入水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占全长的51，露出水面部分为1013m.若此时将竹竿向上拔高15m ，则淤泥以上的入水部分比入泥部分长52m.问：竹竿有多长？(请解答这个问题)（第18题）19.依法纳税是公民应尽的义务.修订后的新《个税法》于2019年1月1日起全面施行，相关税率表如下：（1）若某人1月份应纳税所得额为3500元，应纳税元.（2）若甲1月份应纳税所得额为x 元且3000≤x≤10000时，则甲应纳税元（用含x 的代数式表示并化简）.（3）若小明的父母1月份应纳税所得额共计4400元（父亲应纳税所得额超过母亲），已知两人纳税共计202元，求小明父母1月份的应纳税所得额分别为多少元？1.【通辽】一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（ ）.A.亏损20元B.盈利30元C.亏损50元D.不盈不亏2.【邵阳】程大位是我国明朝商人、珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，求大、小和尚各有多少人.下列求解结果正确的是（ ）.A.大和尚25人，小和尚75人B.大和尚75人，小和尚25人C.大和尚50人，小和尚50人D.大、小和尚各100人3.【呼和浩特】文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元.”小华说：“那就多买一个吧，谢谢.”根据两人的对话可知，小华结账时实际付款元.4.【湖北】某公司积极开展“爱心扶贫”的公益活动，现准备将6000件生活物资发往A ，B 两个贫困地区，其中发往A 区的物资比B 区的物资的1.5倍少1000件，则发往A 区的生活物资为件.5.【岳阳】某市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等.第一次他们领来这批书的32，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？6.【江西】如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成.闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1）；使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2）.如图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图.已知第1节套管长50cm ，第2节套管长46cm ，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm.完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为x （cm ）.（1）请直接写出第5节套管的长度.（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm ，求x 的值.1.晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看钟，发现此时时针和分针在同一直线上；做完数学作业八点不到，此时时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间（ ）.A.30minB.35minC. 11420minD. 11360min（第2题）2.如图，实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1∶2∶1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ）.现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm.若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1min ，乙的水位上升65cm ，则开始注入min 的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm ． 3.小杰与小丽分别在400m 的环形跑道上练习跑步与竞走(跑步速度大于竞走速度），如果两人同时由同一起点同向出发，那么2min 后，小杰与小丽第一次相遇；如果两人同时由同一起点反向出发，那么1110min 后两人第一次相遇.小杰的跑步速度与小丽的竞走速度各是多少？4.欧拉既是一位伟大的数学家，又是一位教子有方的父亲，下题就是他编写以启迪孩子们智力的好题：“父亲临终前立下遗嘱，要按下列方式分配遗产：老大分得100法郎和剩下的101；老二分得200法郎和剩下的101；老三分得300法郎和剩下的101……以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完所有孩子分得的遗产相等.”问：每个孩子分得的遗产是多少？5.某中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级学生到县城参加数学竞赛，每辆车限坐4人（不包括司机）.其中一辆小汽车在距离考场15km 的地方出现故障，此时离进考场的截止时刻还有42min ，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h ，人步行的速度是5km/h （上、下车时间忽略不计）．(1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在进考场的截止时刻前到达考场.（2）假如你是带队老师，请你设计一种运送方案，使他们能在进考场的截止时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．。

一元一次方程的电话计费问习题带答案
1、应用题第一类月租30元,0.12元一分钟第二类无月租,0.32元一分钟平均每月通话多少分?两种类型的收费标准一样多?
30+0.12x=0.32x
解方程得x=150
即平均每月通话150分钟持平
2、某电信运营商有两种手机卡,A类卡收费标准如下：无月租,每通话1分钟交费0.6元；B类卡收费标准如下：月租费50元,每通话1分钟交费0.4元．（1）分别写出A、B两类卡每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式；
（2）一个用户这个月预交话费200元,按A、B两类卡收费标准分别可以通话多长时间?
（3）若每月平均通话时间为300分钟,你选择哪类卡?
（4）根据一个月的通话时间,你认为选择哪项业务更实惠
1,B；y=50+0.4x A;y=0.6x
2,B类333.3分A类375分
3,选择B类
4当一个月通话时间小于250分钟时B类卡更实惠,反之当一个月的通话时间大于250分时A类卡更实惠.。

课题：利用一元一次方程解决电话计费问题
授课时间：2016 年11月18日（星期五）
学情分析：
利用方程建立模型解决实际问题为学生面临的最大难题，一方面我们的学生面对文字题目有压力，其次，学生没有办法根绝题目意思建立数学模型，反过来进行结局实际问题，但生活中的数学问题大多数是具有开放性的综合问题，所以想通过本节课进一步体验“建模解题”的过程，渗透以建模思想。

内容分析：
应用题是初中的难点，本节课的内容又是应用题中的难点，电话计费问题是生活中的常见问题，具有一定的开放性，如果直接应用课本例题探究，则会出现学生压力太大，因此想通过降低问题难度，引导学生“建立模型”，培养学生的分析，转化能力。

在电话计费问题中建立模型的关键有两个，一是应用分类思想对不同情形分别进行分析；二是发现并利用相等关系确立方程模型。

分类思想是解决综合性问题时的重要策略，需要学生在适当条件下具有较强的分类节点的能力。

教学目标：
1、体验建立方程模型解决问题的一般过程。

2、体会分类思想和方程思想，曾强应用意识和应用能力。

重点、难点：
重点：建立电话计费问题的方程模型
难点：由实际问题抽象出数学模型的探究过程。

教学过程：。