2013年高考文科数学山东卷-答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

文科数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题

1.【答案】C

【解析】44i134i43iiiz，所以22(4)(3)5z。故选C。

2.【答案】A

【解析】(){4}UCABU，所以{1,2,3}ABU。因为{1,2}B。所以A一定含元素3，不含4。又因为{3,4}UCB，所以{3}UACBI

3.【答案】D

【解析】因为()fx为奇函数，所以1(1)(1)121ff。

4.【答案】B

【解析】由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如下图：

由图可知2PO，1OE，所以22215PE，所以184233V，1425452S。

5.【答案】A

【解析】由题可知12030xx，所以有213xx，从而可得03xx，所以定义域为(3,0]。

6.【答案】C

【解析】第一次：1.20a，1.210.20a，0.210.80a，0.81a不成立，输出0.8。第二次：1.20a不成立，1.21a成立，1.210.21a不成立，输出0.2。

7.【答案】B

【解析】由正弦定理sinsinabAB得：13sinsinAB，又因为2BA，所以可以得到 2 / 7 133sinsin22sincosAAAA。3cos2A，所以30A∠。60B∠，90C∠。所以22132C。

8.【答案】A

【解析】由题意：qp，pq，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以qppq等价于pqqp。所以p是q的充分而不必要条件。故选A。

9.【答案】D

【解析】因cossi()()()ncos()sinfxxxxxxxfx＝-＋-＝-+＝-，故该函数为奇函数，排除B。又π0,2x，0y，排除C。而πx时，πy，排除A，故选D。

10.【答案】B

【解析】∵模糊的数为x，则：90879491909091917x+++++++=，4x。所以7个数分别为90，90，91，91，94，94，87，方差为2222229091291912949187913677s。

11.【答案】D

【解析】设2001,2Mxxp，212xyxpp，故M点切线的斜率为033xp，故31,36Mpp。由31,36pp，0,2p，2,0三点共线，可求得433p，故选D。

12.【答案】C

【解析】由22340xxyyz+-=得2243xyxyz+-=，222224443331xyzxyxyxyxyxyxy，

当且仅当224xy=即xy=2时，zxy有最小值1。将2xy=代入原式得22zy=，

所以22222224xyzyyyyy+-=+-=-+，当1y=时有最大值2。故选C。

第Ⅱ卷

二、填空题

13.【答案】22

【解析】如下图，当AB所在直线与AC垂直时弦BD最短，2232122AC，2CBr==

∴22222BA，∴BD=22。 3 / 7

14.【答案】2

【解析】由约束条件可画出可行域如下图阴影部分所示。由图可知OM的最小值即为点O到直线20xy+-=的距离，即min|2|22d。

15.【答案】5

【解析】∵(1)OAtuuur，，2,2OBuuur，∴(3,2)BAOAOBtuuuruuuruuur。又∵90ABO∠°，∴0BAOBuuuruuur，即(3,2)(2,2)0t，6240t-+，∴5t。

16.【答案】①③④

【解析】对于①可分几种情形加以讨论：显然，,1ab时，lnx依lnx运算，ln||lnbaba成立，01ba时亦成立。若01a，则ln||lnbaba成立。综合①正确。对于②可以取特殊值1e,eab，验证排除。对于③分别研究ab，在|0,|x内的不同取值，可以判断正确。对于④根据ab，在|0,|x内的不同取值，进行判断，显然ab，中至少有一个小于1结论成立。当ab，都大于1时，112ab，所以2abab，满足lnx运算结论成立。

三、解答题

17.【答案】（Ⅰ）12

（Ⅱ）310

【解析】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个。 4 / 7

由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的。选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个。因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为3162P。

(Ⅱ)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个。由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的。选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个。因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为310P。

18.【答案】（Ⅰ）1

（Ⅱ）32，1

【解析】(Ⅰ)2331cos21()3sinsincos3sin2222231πcos2sin2sin2223xfxxxxxxxx。

因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又0，所以2ππ=424。因此1。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知π()sin23fxx。当3ππ2x时，5ππ8π2333x。所以可以得到

3πsin2123x，因此31()2fx。故()fx在区间3ππ,2上的最大值和最小值分别为32，1。

19.【答案】(Ⅰ)取PA的中点H，连接EH，DH。因为E为PB的中点，所以EHAB∥，12EHAB。

又ABCD∥，12CDAB，所以EHCD∥，EHCD=。因此四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH∥。又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE∥平面PAD。

（Ⅱ）证明：因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA∥。又ABPA，所以ABEF。同理可证ABFG。又EFFGFI，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG。又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD∥。又ABCD∥，所以MNAB∥。因此MN平面EFG。又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN。 5 / 7

20.【答案】（Ⅰ）21nan=

（Ⅱ）2332nnnT

【解析】(Ⅰ)设等差数列na的首项为1a，公差为d，由424SS=，221nnaa=+得：

11114684212211adadandand，解得11a=，2d=。因此21nan=，*nN。

（Ⅱ）由已知1212112nnnbbbaaaL，*nN，当1n时，1112ba；当2n时，111111222nnnnnba。所以12nnnba，*nN。由(Ⅰ)知21nan=，*nN，所以212nnnb，*nN。又23135212222nnnTL，231113232122222nnnnnTL，两式相减得

2311111222213121222222222nnnnnnnTL，所以2332nnnT。

21.【答案】 (Ⅰ)由2+lnfxaxbxx=，(0,)x，得221()axbxfxx。

（ⅰ）当0a，1()bxfxx。

若0b，当0x时，()0fx恒成立，所以函数()fx的单调递减区间是(,)x。

若0b，当10xb时，()0fx，函数()fx单调递减。当1xb时，()0fx，函数()0fx单调递增。所以函数()fx的单调递减区间是10,b，单调递增区间是1,b。

（ⅱ）当0a时，令()0fx，得210axbx+=。由280ba=+得

2184bbaxa，2284bbaxa。显然，10x，20x。

当20xx时，()0fx，函数()fx单调递减。当2xx，()0fx，函数()fx单调递增。

所以函数()fx的单调递减区间是280,4bbaa，单调递增区间是28,4bbaa。

综上所述，当0a，0b时，函数()fx的单调递减区间是0,；

当0a，0b时，函数()fx的单调递减区间是10,b，单调递增区间是1,b；

当0a时，函数()fx的单调递减区间是280,4bbaa，单调递增区间是28,4bbaa。

（Ⅱ）由题意，函数()fx在1x处取得最小值，由(Ⅰ)知284bbaa是()fx的唯一极小值点，

故2814bbaa，整理得21ab，即12ba。令24lngxxx＝-+，14()xgxx，令g()0x，得14x。 6 / 7

当104x时，g()0x，()gx单调递增；当14x时，g()0x，()gx单调递减。

因此11()1ln1ln4044gxg，故()0ga，即24ln2ln0aaba，即ln2ab。

22.【答案】(Ⅰ)2221xy+=

（Ⅱ）2t或233t

【解析】(Ⅰ)设椭圆C的方程为2222=1xyab，(0)ab。

由题意知2222222abccab解得2a，1b。因此椭圆C的方程为2221xy+=。

（Ⅱ）当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为xm，由题意20m或02m。

将xm代入椭圆方程2221xy+=，得22||2my。所以226||24AOBmSmV。

解得232m或212m。①

又11(2,0)(,0)22OPtOEtOAOBtmmtuuuruuuruuuruuur，因为P为椭圆C上一点，所以212mt。②

由①②得24t或243t。又因为0t，所以2t或233t。

当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为ykxh。将其代入椭圆的方程2221xy+=，