2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：《圆的综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：《圆的综合》

1．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；

（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tanF＝，BC＝5，求DM的值．

2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD延长线于E点．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．

3．已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．

（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；

（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；

（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK＝9BK，若OL＝，求BD的值．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．

（1）证明：BD是⊙O的切线；

（2）若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；

（3）在（2）的条件下，求DF的长．

5．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；

（3）若DE＝4，sinC＝，求AD之长．

6．如图，在△ABC中，I是内心，AB＝AC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点I．

（1）求证：AI是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径是5．

①若E是BI的中点，OE＝，则BI＝ ；

②若BC＝16，求AI的长．

7．[教材呈现]图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．

通过该问题的证明，得出了直角三角形的一条性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．

[结论应用]

（1）如图②，在Rt△ABC中，F是AD中点，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在BC上（点D不与B、C重合），DE⊥AB于点E，连结CE、CF、EF．当AD＝4时，S△CEF＝ ．

（2）如图③，AD是⊙O直径，点C、E在⊙O上（点C、E位于直径AD两侧），在⊙O上，且sin∠DAC＝，CD＝2．当四边形OCDE有一组对边平行时，直接写出AE的长．

8．已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．

（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；

（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．

9．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．

（1）求证：EF是⊙O的切线．

（2）若∠CAB＝36°，⊙O的半径为12，求的长．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）求证：DH是⊙O的切线；

（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；

11．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OAC＝58°．

（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小；

（Ⅱ）如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小．

12．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．

（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；

（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．

13．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．

（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．

14．如图，△AOB中，A（﹣8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F．

（1）求证：EF为⊙P的切线；

（2）求⊙P的半径．

15．已知，AB为⊙O的直径，弦BC、AF相交于点E，过点E作ED⊥AB，∠AEC＝∠BED．

（1）如图1，求证：＝；

（2）如图2，当∠BAF＝45°时，OC交AF于点H，作FG⊥BH于点Q，交AB于点G，连接GH，求证：∠AGH＝∠BGF；

（3）如图3，在（2）的条件下，射线BG与⊙O交于点P，过点P作PK⊥BH交AB于点M，垂足为点K，点N为B的中点，MN＝，求⊙O的半径．

参考答案

1．解：（1）连接OE，则∠OCB＝∠OBC＝α，

∵FE＝FG，

∴∠FGE＝∠FEG＝β，

∵H是AB的中点，

∴CH⊥AB，

∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，

∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，

∴EF是⊙O的切线；

（2）∵CH⊥AB，

∴＝

∴∠CBA＝∠CEB，

∵EF∥BC，

∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，

∴∠FBE＝∠GBE，

∴△FEB∽△EGB，

∴BE2＝BG•BF；

（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，

设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，

∵EF∥BC，

∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，

在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，

则sinγ＝，cosγ＝，

CH＝BCsinγ＝5×＝3，同理HB＝4；

设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，

即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；

GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，

tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，

则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，

连接DE，则∠CED＝90°，

在Rt△CDE中

cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，

在△FEG中，cosβ＝＝＝，

解得：FG＝；

∵FH＝FG+GH＝，

∴HM＝FHtan∠F＝×＝；

∵CM＝HM+CH＝， ∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．

2．解：（1）连接OC，

∵OC＝OA，

∴∠OAC＝∠OCA，

又∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，

∴OC∥AE，

∵CE⊥AD，

即可得OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴BC＝＝＝6，

∵∠BAC＝∠DAC，

∴＝，

∴BC＝CD＝6，

延长BC交AE的延长线于F，

∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，

∴△ACB≌△ACF（ASA），

∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，

∵∠CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，

∴∠CDF＝∠ABF，

∵∠CFD＝∠AFB，

∴△CFD∽△AFB，

∴＝，

∴＝，

∴AD＝．

3．解：（1）∵CE⊥AD，

∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，

∵∠D+∠ACE＝90°，

∴∠ACE＝∠DCE，

在△ACE和△DCE中，

，

∴△ACE≌△DCE（ASA），

∴CA＝CD；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

即∠ADC+∠BDC＝90°，

∵∠ADC+∠ACE＝90°，

∴∠BDC＝∠ACE，

∵∠BDC＝∠BAC，

∴∠BAC＝∠ACE，

设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，

∴M在AC的垂直平分线上，

∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，

∴M与点O重合，即CE过圆心O，

∵AE＝DE，

∴CE⊥AD，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，