2020-2021中考数学《圆的综合的综合》专项训练附详细答案

2020-2021中考数学《圆的综合的综合》专项训练附详细答案

一、圆的综合

1．如图，⊙A过▱OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）．

（1）若∠BOH=30°，求点H的坐标；

（2）求证：直线PC是⊙A的切线；

（3）若OD=10，求⊙A的半径．

【答案】（1）（1，﹣3）；（2）详见解析；（3）53.

【解析】

【分析】

（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论；

（2）先判断出∠PCD=∠DAE，进而判断出∠PCD=∠CAE，即可得出结论；

（3）先求出OE═3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论．

【详解】

（1）解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为M．

∵四边形OBCD是平行四边形，

∴∠B=∠ODC

∵四边形OHCD是圆内接四边形

∴∠OHB=∠ODC

∴∠OHB=∠B

∴OH=OB=2

∴在Rt△OMH中，

∵∠BOH=30°，

∴MH=12OH=1，OM=3MH=3，

∴点H的坐标为（1，﹣3），

（2）连接AC．

∵OA=AD，

∴∠DOF=∠ADO

∴∠DAE=2∠DOF ∵∠PCD=2∠DOF，

∴∠PCD=∠DAE

∵OB与⊙O相切于点A

∴OB⊥OF

∵OB∥CD

∴CD⊥AF

∴∠DAE=∠CAE

∴∠PCD=∠CAE

∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°

∴直线PC是⊙A的切线；

（3）解：⊙O的半径为r．

在Rt△OED中，DE=12CD=12OB=1，OD=10 ，

∴OE═3

∵OA=AD=r，AE=3﹣r．

在Rt△DEA中，根据勾股定理得，r2﹣（3﹣r）2=1

解得r=53．

【点睛】

此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键．

2．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．

（1）求证：AC∥OD；

（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）2π．

【解析】

试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；

（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．

试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；

（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180=2π．

点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

3．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）求证：BE=2AD；

（3）求DEBE的值.

【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）212

【解析】

试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；

（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；

（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2 ，DH=21, 然后根据相似三角形的性质可求解.

试题解析：（1）∵D是的中点

∴AD=DC

∴∠CBD=∠ABD

∴BD平分∠ABC

（2）提示：延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF,

BE=AF=2AD

（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：

设OH为1，则BC为2，OB=OD=2

，

DH=21, DEBE=DHBC

DEBE=212

4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．

（1）求证：∠AEC=90°；

（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；

（3）若DC=2，求DH的长．

【答案】（1）证明见解析；

（2）四边形AOCD为菱形；

（3）DH=2．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；

（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．

试题解析：（1）连接OC，

∵EC与⊙O切点C，

∴OC⊥EC，

∴∠OCE=90°，

∵点CD是半圆O的三等分点，

∴，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）

∴∠AEC+∠OCE=180°，

∴∠AEC=90°；

（2）四边形AOCD为菱形．理由是：

∵，

∴∠DCA=∠CAB，

∴CD∥OA，

又∵AE∥OC，

∴四边形AOCD是平行四边形，

∵OA=OC，

∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

（3）连接OD．

∵四边形AOCD为菱形，

∴OA=AD=DC=2，

∵OA=OD，

∴OA=OD=AD=2，

∴△OAD是等边三角形，

∴∠AOD=60°，

∵DH⊥AB于点F，AB为直径，

∴DH=2DF，

在Rt△OFD中，sin∠AOD=，

∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，

∴DH=2DF=2．

考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．

5．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。

解决问题：如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使∠APB=30°的点P有_______个；

（2）若点P在y轴正半轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）设sin∠APB=m，若点P在y轴上移动时, 满足条件的点P有4个，求m的取值范围．

【答案】（1）无数；（2）（0，237）或（0，237）；（3）0﹤m﹤23.

【解析】

试题分析：（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．

（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标． （3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，由此即可求出m的范围．

试题解析：解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．

在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB=12∠ACB=12×60°=30°，∴使∠APB=30°的点P有无数个．

故答案为：无数．

（2）点P在y轴的正半轴上，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．

∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5，∴AB=4．

∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=12AB=2，∴OG=OA+AG=3．

∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4，∴CG=22ACAG

=2242

=23，∴点C的坐标为（3，23）．

过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1．∵点C的坐标为（3，23），∴CD=3，OD=23．

∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．

∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2=2243=7．

∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=7，∴P1（0，23+7），P2（0，23﹣7）．

（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．

理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH=2AE 得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．∵∠APB为锐角，∴sin∠APB随∠APB增大而增大，．

连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．

∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°，∴四边形OPEH是矩形，∴OP=EH，PE=OH=3，∴EA=3．sin∠APB=sin∠AEH=23，∴m的取值范围是203m．