2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《圆的综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《圆的综合》

1．如图，在等边△ABC中，已知AB＝8cm，线段AM为BC边上的中线．点N在线段AM上，且MN＝3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的．以点C圆心，以CN为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点．

（1）填空：∠DCE＝ 60

度，CN＝ 5

cm，AM＝ 4 cm．

（2）如图1当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长．

（3）当点D在MA的延长线上时，请在图2中画出示意图，并直接写出PQ＝ 6 cm．

当点D在AM的延长线上时，请在图3中画出示意图，并直接写出PQ＝ 6 cm．

解：（1）∵△CBE是由△CAD旋转得到，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝∠BCD+∠CAD＝∠ACB，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∴∠DCE＝60°；

∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，

∴BC＝AB＝8cm，

CM＝BC＝×8＝4cm，

在Rt△CMN中，CN＝＝＝5cm；

在Rt△ACM中，AM＝＝＝4cm；

（2）过点C作CF⊥PQ于F， ∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，

∴∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，

∵△CBE是由△CAD旋转得到，

∴∠CBE＝∠CAD＝30°，

∴CF＝BC＝×8＝4cm，

连接CP，则PC＝CN＝5cm，

在Rt△PCF中，PF＝＝＝3cm，

由垂径定理得，PQ＝2PF＝2×3＝6cm；

（3）①如图，点D在MA的延长线上时，

∵△CBE是由△CAD旋转得到，

∴∠CBE＝∠CAD，

∴∠CBQ＝∠CAM＝30°，

与（2）同理可求PQ＝6cm，

②如图，点D在AM的延长线上时，

∵△CBE是由△CAD旋转得到，

∴∠CBE＝∠CAD＝30°，

与（2）同理可求PQ＝6cm，

综上所述，PQ的长度不变都是6cm．

故答案为：（1）60，5，4；（3）6，6．

2．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB＝∠ACD．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）求证：CD2＝CG•CA；

（3）若⊙O的半径为，BG的长为，求tan∠CAB．

解：（1）∵∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，

∴∠OEB＝∠ABD，

∵OF⊥BD，

∴∠BFE＝90°，

∴∠OEB+∠EBF＝90°，

∴∠ABD+∠EBF＝90°，即∠OBE＝90°，

∴BE⊥OB，

∴BE是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵OF⊥BD，

∴＝，

∴∠DAC＝∠CDB，

∵∠DCG＝∠ACD，

∴△DCG∽△ACD，

∴＝，

∴CD2＝AC•CG；

（3）∵OA＝OB，

∴∠CAO＝∠ACO，

∵∠CDB＝∠CAO，

∴∠ACO＝∠CDB，

而∠CFD＝∠GFC，

∴△CDF∽△GCF，

∴＝，

又∵∠CDB＝∠CAB，∠DCA＝∠DBA，

∴△DCG∽△ABG，

∴＝，

∴＝，

∵r＝，BG＝，

∴AB＝2r＝5，

∴tan∠CAB＝tan∠ACO＝＝＝． 3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．

（1）求证：MN是⊙O的切线．

（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．

①求证：FD＝FG．

②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．

（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠ABC＝90°；

∵∠MAC＝∠ABC，

∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，

∴MN是⊙O的切线；

（2）①证明：∵D是弧AC的中点，

∴∠DBC＝∠ABD，

∵AB是直径，

∴∠CBG+∠CGB＝90°，

∵DE⊥AB，

∴∠FDG+∠ABD＝90°，

∵∠DBC＝∠ABD，

∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，

∴FD＝FG；

②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．

∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，

∴DE＝DH，

在Rt△BDE与Rt△BDH中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），

∴BE＝BH，

∵D是弧AC的中点，

∴AD＝DC，

在Rt△ADE与Rt△CDH中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．

∴AE＝CH．

∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，

∴AE＝1．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．

（1）求证：AO是△ABC的角平分线；

（2）若tan∠D＝，求的值；

（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．

（1）证明：连接OF，

∵AB与⊙O相切于点F，

∴OF⊥AB，

∵∠ACB＝90°，OC＝OF，

∴∠OAF＝∠OAC，

即AO是△ABC的角平分线；

（2）如图2，连接CE，

∵ED是⊙O的直径，

∴∠ECD＝90°，

∴∠ECO+∠OCD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE+∠ECO＝90°， ∴∠ACE＝∠OCD，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∴∠ACE＝∠ODC，

∵∠CAE＝∠CAE，

∴△ACE∽△ADC，

∴，

∵tan∠D＝，

∴，

∴；

（3）由（2）可知：＝，

∴设AE＝x，AC＝2x，

∵△ACE∽△ADC，

∴，

∴AC2＝AE•AD，

∴（2x）2＝x（x+6），

解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），

∴AE＝2，AC＝4，

∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，

如图3，连接CF交AD于点G，

∵AC，AF是⊙O的切线，

∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，

∴CF⊥AO，

∴∠ACO＝∠CGO＝90°，

∵∠COG＝∠AOC，

∴△CGO∽△ACO，

∴， ∴OC2＝OG•OA，

∴OG＝，

∴CG＝＝＝，

∴CF＝2CG＝．

5．如图1，已知AB是⊙O的直径，点D是弧AB上一点，AD的延长线交⊙O的切线BM于点C，点E为BC的中点，

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如图2，若DC＝4，tan∠A＝，延长OD交切线BM于点H，求DH的值；

（3）如图3，若AB＝8，点F是弧AB的中点，当点D在弧AB上运动时，过F作FG⊥AD于G，连接BG，求BG的最小值．

（1）证明：如图，连接OD，BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠CDB＝90°，

∵BM是⊙O的切线，

∴∠ABC＝90°，

∵点E是BC的中点，

∴DE＝BC＝BE＝CE，

∴∠EDB＝∠EBD，

又∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝90°，

即∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE 是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接BD，

∵∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，

∴∠A＝∠CBD，

∵DC＝4，tan∠A＝， ∴tan∠CBD＝tan∠A＝，

∴BD＝8，

∴BC＝＝4，

∴DE＝，

∴AB＝，

∴BO＝OD＝4，

又∵DE是⊙O的切线，

∴∠HDE＝90°，

∴tan∠DHE＝＝，设DH＝x，

则，

∴BH＝2x，

在Rt△BOH中，OB2+BH2＝OH2，

即，解得：x＝或x＝0（舍去），

∴DH＝；

（3）解：如图3，连接BF，取AF中点N，构造圆N，连接NG，

∵FG⊥AD于点G，

∴当点D 在弧AB上运动时，点G在圆N上运动，

∴当点N、G、B三点共线时，BG有最小值，

∵AB＝8，点F是弧AB 的中点，

∴∠AFB＝90°，AF＝BF＝， ∴NG＝NF＝，

BN＝＝＝2，

∴BG＝BN﹣NG＝2．

6．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O，以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P．AB＝6，BC＝，

（1）求证：F是DC的中点．

（2）求证：AE＝4CE．

（3）求图中阴影部分的面积．

（1）证明：由折叠的性质可知，AF＝AB＝6，

在Rt△ADF中，DF＝＝＝3，

∴CF＝DC﹣DF＝3，

∴DF＝FC，即F是CD的中点；

（2）证明：在Rt△ADF中，DF＝3，AF＝6，

∴∠DAF＝30◦，

∴∠BAF＝60◦，

由折叠的性质可知，∠EAF＝∠EAB，∠AFE＝∠B＝90°，

∴∠EAF＝∠EAB＝30°，

∴AE＝2EF，

∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝30◦，

∴EF＝2CE，

∴AE＝4CE；

（3）解：连接OP、OH、PH，