2020年九年级中考数学复习专题训练：《圆的综合 》(含答案)

2020年九年级中考数学复习专题训练：《圆的综合 》

1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D．

（1）若AB＝8，∠ABC＝30°，求⊙O的半径；

（2）若点E是边BC的中点，连结DE，求证：直线DE是⊙O的切线；

（3）在（1）的条件下，保持Rt△ACB不动，将⊙O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到⊙O′，当⊙O′与直线AB相切时，m＝

．

2．如图，矩形ABCD中，AB＝13，AD＝6．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．

（1）当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为 ；

（2）在（1）的条件下，证明：FG是⊙O的切线；

（3）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由．

3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形BEFG中，点E在AB的延长线上，点G在BC上，点O在线段AB上，且AO≥BO．以OF为半径的⊙O与直线AB交于点M，N．

（1）如图1，若点O为AB中点，且点D，点C都在⊙O上，求正方形BEFG的边长．

（2）如图2，若点C在⊙O上，求证：以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．

（3）如图3，若点D在⊙O上，求证：DO⊥FO．

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．

（1）求∠ADB的度数；

（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；

（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．

5．定义：当点P在射线OA上时，把的的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．

例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为＝．

（1）在△OAB中，

①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；

②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；

③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．

其中真命题有 ．

A．①②B．①③C．②③D．①②③

（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．

①如图2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC是⊙O的切线；

②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为 ．

6．问题发现：

（1）如图1，△ABC内接于半径为4的⊙O，若∠C＝60°，则AB＝

；

问题探究：

（2）如图2，四边形ABCD内接于半径为6的⊙O，若∠B＝120°，求四边形ABCD的面积最大值；

解决问题：

（3）如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条弧形道路围成，点M是AB道路上的一个地铁站口，已知AD＝BM＝1千米，AM＝BC＝2千米，∠A＝∠B＝60°，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．

7．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．

（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；

（2）若直径AB的长为4．

①当PE＝ 时，四边形BOPQ为正方形；

②当PE＝ 时，四边形AEOP为菱形．

8．已知AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC、AC．

（1）如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小．

（2）如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE，若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．

9．已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC．

（Ⅰ）如图①，OB＝BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小；

（Ⅱ）如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB＝18°，求∠FAC的大小．

10．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，连接AM．

（1）求证：AM平分∠CAB；

（2）若AB＝4，∠APE＝30°，求的长．

11．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F，交⊙O于D，连接DE，BE，BD

（1）求证：∠C＝∠BED；

（2）若AB＝12，tan∠BED＝，求CF的长．

12．已知，点A为⊙O外一点，过A作⊙O的切线与⊙O相切于点P，连接PO并延长至圆上一点B连接AB交⊙O于点C，连接OA交⊙O于点D连接DP且∠OAP＝∠DPA．

（1）求证：PO＝PD；

（2）若AC＝，求⊙O的半径．

13．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1于点F．

（1）求证：FC＝FD．

（2）当E是的中点时，

①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若＝，且AB＝30，则OP＝ ．

14．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．

（1）判断△AEF的形状为

，并判断AD与⊙O的位置关系为 ；

（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；

（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为 ；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）

（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为 ．

（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）

15．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；

（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tanF＝，BC＝5，求DM的值．

16．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；

（3）若DE＝4，sinC＝，求AD之长．

17．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．

（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”．

（2）△ABC中，BC＝9，tanB＝，tanC＝，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长．

（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D．

①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”．

②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出的值．

18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．

（1）求证：∠CAB＝2∠BCP；

（2）若⊙O的直径为5，sin∠BCP＝，求△ABC内切圆的半径；

（3）在（2）的条件下，求△ACP的周长．

19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．

（1）求证：AF为⊙O的切线；

（2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；

（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为2，求EN的长．