《现代控制理论》第2章 习题集
2.1 试叙述处理齐次状态方程求解问题的基本思路?
2.2 叙述求解预解矩阵的简单算法，并编程计算例2.1.1中的预解矩阵。
2.3 状态转移矩阵的意义是什么？列举状态转移矩阵的基本性质。
2.4 线性定常系统状态转移矩阵的计算方法有哪几种？已知状态转移矩阵，写出齐次状态
方程和非齐次状态方程解的数学表达式。
2.5 试求下列矩阵A对应的状态转移矩阵()tΦ。
(1) ， (2) 01
02A⎡⎤=⎢−⎣⎦⎥01
40A−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， (3) 01
12A⎡⎤=⎢⎥−−⎣⎦，
(4) ， (5) 010
001
254A⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥−⎣⎦0100
0010
0001
0000A⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦， (6) 000
01
001
000Aλ
λ
λ0
λ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
2.6 试求状态转移矩阵
22
222()
552tttt
ttteeeet
eeee−−−−
−−−−⎡⎤−−Φ=⎢⎥−+−+⎣⎦t
的逆矩阵。 1()t−Φ
2.7 一个振动现象可以由以下系统产生
01
10xx⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦&
证明该系统的解是
cossin()(0)
sincosttxtx
tt⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦
并用MATLAB观察其解的形状。
2.8 给定线性定常系统
01
32xx⎡⎤=⎢⎥−−⎣⎦&
且初始条件为
1(0)
1x⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦
试求该齐次状态方程的解。 ()xt
2.9 已知二阶系统的初始状态和自由运动的两组值： xAx=&1122(0),()
1t
texxt
e−
−⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 2212(0),()
1tt
ttetexxt
ete−−
−−⎡⎤+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
求系统的状态转移矩阵和状态矩阵。
2.10 为什么说状态转移矩阵包含了系统运动的全部信息，可以完全表征系统的动态特性？
2.11 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的状态矩阵A。
(i) ， (ii) 100
现代控制理论课后习题答案
第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:
()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?
+-??D N 解：()()22
232321s s s s s s s
++ =++ ? ?
D S N S ； ()3r 2,1,2
E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?
- ? ???；
()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?
；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?
；
所以⼀个gcrd 为001s ??
；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=
A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵t
A e 。
(2) 已知412102113-?? ?
= ? ?-??
A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。
解：(1)11()41s s s --??-= ?--??
I A
1110.50.5
0.250.2511(3)(1)(3)(1)1
3131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --
+-
--+-+??-+-+ ? ?
-=== ? ?---+ ?
-+ ? ?-+-+-+-+?
I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t t
t t s ------??+-??=-= ??? ?-+?
现代控制理论第版课后习题答案
Prepared on 22 November 2020
《现代控制理论参考答案》
第一章答案
1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下：
系统的状态方程如下：
令ys)(，则1xy
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2有电路如图1-28所示。以电压)(tu为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,xuxixic，输出量22xRy
有电路原理可知：•••3213222231111xCxxxxRxLuxxLxR 既得
22213322222131111111111xRyxCxCxxLxLRxuLxLxLRx•••
写成矢量矩阵形式为：
1-4 两输入1u，2u，两输出1y，2y的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示：
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21yxyxyx，，，则有
相应的模拟结构图如下：
1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(sssssW,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图
解：sssssssssW31233310)3(4)3)(2()1(6)(22
1-7 给定下列状态空间表达式
321321321100210311032010xxxyuxxxxxx‘
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8 第2章 线性系统理论
线性系统是实际系统的一类理想化模型，通常用线性的微分方程或差分方程描述。其基本特征是满足叠加原理，可分为线性定常系统和线性时变系统。
现代控制理论中，采用状态变量法描述系统，它既能反映系统内部变化情况，又能考虑初始条件，也为多变量系统的分析、综合提供了强有力的工具。
基本概念
输入：外部施加到系统上的全部激励。
输出：能从外部测量到的来自系统的信息。
状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。
状态向量：若n个状态变量)(1tx，)(2tx，…，)(txn是向量)(tx的各个分量，即
T21)()()(txtxtxtnx
)(tx为状态向量。
状态空间：以各状态变量作为基底组成的n维向量空间。在特定的时间，状态向量)(tx在状态空间中只是一个点。
状态轨迹：状态向量)(tx在状态空间中随时间t变化的轨迹。
连续时间系统：)(tx的定义域为某时间域],[f0tt内一切实数。
离散时间系统：)(tx的自变量时间t只能取到某实数域内的离散值。 百度文库 - 让每个人平等地提升自我
9 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间动态关系的一阶微分方程组或一阶差分方程组。一般形式为
),,(tuxfx
或
)),(),(()(1kkkkttttuxfx
式中 u——输入向量；
k——采样时刻。
状态方程表征了系统由输入引起的内部状态的变化。
输出方程：描述输出变量与系统输入变量和状态变量间函数关系的代数方程，具有形式
),,()(ttuxgy
它是一个代数变换过程。
状态空间表达式：状态方程与输出方程联立，构成对动态系统的完整描述，总称为系统的状态空间表达式，又称动态方程。
线性系统的状态空间表达式具有下列一般形式：
1）连续时间系统
)()()()()()()()()()(ttttttttttuDxCyuBxAx （2–1）
