排列组合二项式定理
实质追索 随着计算机科学、数字通讯理论等现代科学的迅速发 展，使组合数学这一具有悠久历史的数学分支在自然科学 和社会科学的众多领域中得到了广泛的应用．组合数学的 研究课题之一，是在给定一个集合之后，确定这个集合中 元素的个数，这一问题称为计数问题，而同学们所学习的 排列组合是解决计数问题的基本工具之一．排列组合也是 与我们Ｅｌ常生活联系最为密切的高中数学内容，如可应用 来计算世界杯球赛比赛场数、有多少种可能的比赛结果、 足球彩票有多少种不同的填写方法等等． 排列组合知识是研究完成一个事件的所有方法的种 数，在解决此类问题时，首先要求我们能够准确地应用排 列组合的概念描述所要解决的问题，而后自行建立完成事 件的正确模式，从而求得正确的结果，两个计数原理是本 质，而排列组合公式只不过是把一些常见的模型加以总结 提炼、简化和压缩思维难度和长度．为了减少抽象性，我们 应该经常利用树图等直观的方法写出所有的排列（组合）， 并逐一计数．要善于剥去问题的各种形形色色的包装，并 用排列组合公式计算结果．解题的一个重要关键之处是能 够区别元素有无“顺序”，在此基础上重点掌握几种常见的 排列组合问题类型．如：若干元素必须排列在若干位置；若 干元素必须不排列在若干位置；若干元素必须排在一起： 若干元素必入选；若干元素必不入选等，并能够根据问题 特点采用直接计算还是间接计算两种不同的思考方式．同 时也要掌握一些常用的解题技巧，如“捆绑法”、“插 法”、 “隔板法”等． 对二项式定理，考试大纲要求并不高，但同学们常会 出现难度不高，错误不少的情况．原因是不注意一些概念 如二项式系数与系数两种概念之差别，展开式中第ｒ＋１项 的系数是Ｇ也经常搞错．在课本推导二项式定理时是通 过数学归纳法来完成的，实际上我们应用排列组合知识来 理解二项式定理更方便（课本有介绍），也更容易推广到多 项式．二项式定理不仅可用来计算展开式中的任意一项， 而且可应用在近似计算、研究整除问题及证明不等式，此 外应用赋值法可证明一些组合等式或求出某些项的系数．
第1页（共35页）第3章排列组合和二项式定理
一．分类加法计数原理（共1小题）
1．现有30个分别标有不同编号的球，其中有27个红球，3个黑球，若从这30个球中取出3个球，则至少取到两个黑球的取法总数为.（用数字作答）
二．分步乘法计数原理（共2小题）
2．现有5名同学去听同时进行的6个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种
数是（）
A．54
B．65
C
．D．6×5×4×3×2
3．从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数．
①求可以组成多少个大于500的三位数；
②求可以组成多少个三位数；
③若印有9的卡片，既可以当9用，也可以当6用，求可以组成多少个三位数．
三．计数原理的应用（共10小题）
4．将（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）展开，则x3
的系数等于（）
A．﹣10B．﹣12C．12D．10
5．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）
A．12种B．24种C．30种D．36种
6．如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条
路．从甲地到丁地的不同路线共有（）
A．12条B．15条C．18条D．72条第2页（共35页）7．甲、乙、丙三家公司承包6项工程，甲承包3项，乙承包2项，丙承包1项．不同的承包方案有（）
A．720种B．127种C．60种D．24种
8．某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A校，乙、
丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为（）
A．36B．96C．114D．130
9．我班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题
的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”．在一周中每天所解决问题个数的不
同方案共有（）
A．50种B．51种C．140种D．141种
10．某学校一天共排7节课（其中上午4节、下午3节），某教师某天高三年级1班和2班各有一节课，但
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学员编号： 年 级： 课时数：3
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课 题 排列组合与二项式定理
教学目标 1、 复习排列组合与二项式定理的基础知识；
2、 利用具体的实际问题来巩固理解两种分类方法。
教学内容
排列、组合和二项式定理
1.两个原理.
（1）分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。比较复杂的问题，常先分类再分步,分类相加，分步相乘.
（2）一个模型： 影射BAf:个数
若A有年n个元素，B有m个元素，则从A到B能建立nm个不同的影射
①n件不同物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？
②四人去争夺三项冠军，有多少种方法？
③从集合A={1，2，3}到集合B={3，4}的映射f中满足条件f（3）=3的影射个数是多少？
④求一个正整数的约数的个数
（3）含有可重元素的排列问题.
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于!!...!!21knnnnn.
第三节 排列组合与二项式定理复习
一．关于基本计数原理
1. 加法原理
设完成一件事有 m 种方式，第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，… … ；
第 m 种方式有种方法, 无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有 1n2n
mn
12mnnn+++L 种不同的方法 。
2. 乘法原理
设完成一件事有 m 个步骤，第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，… … ；
第 m 个步骤有种方法, 必须通过每一步骤，才算完成这件事。则完成这件事总共有 1n2n
mn
12mnnn×××L 种不同的方法 。
加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也
是推导下面常用排列组合公式的基础 。同时它们也是计算古典概率的基础。
二．关于排列
1、选排列：
从 n 个不同元素中，每次取 k 个 不同的元素，按一定的顺序排成一列，
称为选排列，其排列总数为： (1)kn≤≤
!(1)(2)(1)()knnpnnnnknk=−−−+=−L !
!
2、全排列：
当 k = n 时称为全排列，其排列总数为：
3、可重复排列： (1)(2)21nnnPpnnnn==−−⋅=L
从 n 个不同元素中，每次取 k 个元素 (kn)≤，允许重复，这种排列称为可重复排
列，其排列总数为： knnnn⋅⋅=L
三．关于组合与二项式定理
1、组合：
从 n 个不同元素中，每次取 k 个 不同的元素，不管其顺序合并成一组，
称为组合，其组合总数为： (1kn≤≤)
其中 常记为 ，称为组合系数。 knCn
k⎛⎞⎜⎟⎝
⎠!
!()!kknnPnCknkk==−!2、分组组合
n 个不同元素分为 k 组，各组元素数目分别为 的分法总数为： 12,,,krrrL
1212!,!!!kknrrrnrrr++=LL
3．有重复的组合
从 n 个不同元素中，每次取 k 个 元素，允许重复，不管其顺序合并成一组，
这种组合称为有重复的组合，其组合总数为： (1kn≤≤) !
