排列组合与二项式定理

排列组合二项式定理　

实质追索　随着计算机科学、数字通讯理论等现代科学的迅速发　展，使组合数学这一具有悠久历史的数学分支在自然科学　和社会科学的众多领域中得到了广泛的应用．组合数学的　研究课题之一，是在给定一个集合之后，确定这个集合中　元素的个数，这一问题称为计数问题，而同学们所学习的　排列组合是解决计数问题的基本工具之一．排列组合也是　与我们Ｅｌ常生活联系最为密切的高中数学内容，如可应用　来计算世界杯球赛比赛场数、有多少种可能的比赛结果、　足球彩票有多少种不同的填写方法等等．　排列组合知识是研究完成一个事件的所有方法的种　数，在解决此类问题时，首先要求我们能够准确地应用排　列组合的概念描述所要解决的问题，而后自行建立完成事　件的正确模式，从而求得正确的结果，两个计数原理是本　质，而排列组合公式只不过是把一些常见的模型加以总结　提炼、简化和压缩思维难度和长度．为了减少抽象性，我们　应该经常利用树图等直观的方法写出所有的排列（组合），　并逐一计数．要善于剥去问题的各种形形色色的包装，并　用排列组合公式计算结果．解题的一个重要关键之处是能　够区别元素有无“顺序”，在此基础上重点掌握几种常见的　排列组合问题类型．如：若干元素必须排列在若干位置；若　干元素必须不排列在若干位置；若干元素必须排在一起：　若干元素必入选；若干元素必不入选等，并能够根据问题　特点采用直接计算还是间接计算两种不同的思考方式．同　时也要掌握一些常用的解题技巧，如“捆绑法”、“插　法”、　“隔板法”等．　对二项式定理，考试大纲要求并不高，但同学们常会　出现难度不高，错误不少的情况．原因是不注意一些概念　如二项式系数与系数两种概念之差别，展开式中第ｒ＋１项　的系数是Ｇ也经常搞错．在课本推导二项式定理时是通　过数学归纳法来完成的，实际上我们应用排列组合知识来　理解二项式定理更方便（课本有介绍），也更容易推广到多　项式．二项式定理不仅可用来计算展开式中的任意一项，　而且可应用在近似计算、研究整除问题及证明不等式，此　外应用赋值法可证明一些组合等式或求出某些项的系数．　

排列、组合与二项式定理

1.两个计数原理

（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n

类方式，在第1类方式中有

1m

种

不同的方法，在第2类方式中有

2m

种不同的方法，......，在第n

类方式中有

nm

种不同的

方法，那么完成这件事共有

nmmmN...

21种不同的方法.

（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n

个步骤，做第1步有

1m

种

不同的方法，做第2步有

2m

种不同的方法，......，做第n

步有

nm

种不同的方法，那么完

成这件事共有

nmmmN

21种不同的方法.

（3）两个计数原理的区别

分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，

分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.

2.排列

（1）排列的定义：一般地，从n

个不同元素中取出)(nmm

个元素，按照一定的顺序排成

一列，叫做从n

个不同元素中取出m

个元素的一个排列.

（2）排列数的定义：一般地，从n个不同元素中取出)(nmm个元素的所有排列的个数，

叫做从n

个不同元素中取出m

个元素的排列数，用符号m

nA

表示.（3）排列数公式：)1()2)(1(

)!(!



mnnnn

mnn

Am

n

.

特别地：①（全排列）.123)2)(1(!nnnnAn

n②.1!0

3.组合

（1）组合的定义：一般地，从n

个不同元素中取出)(nmm

个元素并成一组，叫做从n

个

不同元素中取出m

个元素的一个组合.

（2）组合数的定义：一般地，从n个不同元素中取出)(nmm个元素的所有组合的个数，

叫做从n

个不同元素中取出m

个元素的组合数，用符号m

nC

表示.（3）组合数公式：



121

!

!!!m

m

n

n

m

mnnnnm

An

C

Ammnm





.

特别地：01

nC

.

（4）组合数的性质：①mn

nm

nCC



；②1

1

m

nm

nm

nCCC

；③1

1

k

nk

nnCkC

.

.专心. 排列组合和二项式定理

一、考试说明要求：

内 容 要 求

A B C

分类计数原理与分步计数原理 √

排列与排列数 √

组合与组合数 √

二项式定理、二项展开式的性质 √

二、应知应会知识

1． 会根据两个原理解决有关分配决策的问题〔要正确区分分类和分步〕

(1) 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有〔 〕

A. 15种 B. 8种 C. 53种 D. 35种

(2) 四名医生分配到三所医院工作，每所医院至少一名，那么不同的分配方案有_______种．

(3) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有〔

〕

A. 1260种 B. 2025种 C. 2520种 D. 5040种

2．会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题

〔1〕不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，那么不同的排法种数共有〔 〕

A．12种 B．20种 C．24种 D．48种

〔2〕5人站成一排，其中A不在左端也不和B相邻的排法种数为〔 〕

A．48 B．54 C．60 D．66

〔3〕用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.〔用数字作答〕

3.会求某些元素按指定顺序排列的问题

〔1〕七个人排成一行，那么甲在乙左边〔不一定相邻〕的不同排法数有_________种．

〔2〕某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________.〔用数字作答〕

如何利用二项式定理证明排列组合公式

在数学中，排列组合公式是计算排列和组合的常用公式之一。而二项式定理是一个重要的数学定理，可以用来展开一个二项式的多项式。

为了证明排列组合公式可以利用二项式定理，我们首先需要了解排列组合公式的含义和推导过程。然后，我们将介绍二项式定理的概念和公式，并使用它来证明排列组合公式。

排列组合公式是用来计算从一个集合中选取若干元素的方式数量的公式。排列是有序选择，组合是无序选择。在排列中，元素的选取顺序是重要的，而在组合中，元素的选取顺序是不重要的。

在给出排列组合公式之前，我们先来看一下排列和组合的定义：

- 排列是从n个元素中选取r个元素进行排列，记作P(n,r)。

- 组合是从n个元素中选取r个元素进行组合，记作C(n,r)。

排列组合公式可以表示为：

P(n,r) = n! / (n-r)!

C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)

其中，n!表示n的阶乘。

接下来，我们来介绍二项式定理。在代数中，二项式定理是一个用于展开一对数之和的多项式的公式。它可以表示为： (a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n

其中，C(n,r)表示从n个元素中选取r个元素进行组合。

现在，我们开始证明排列组合公式可以利用二项式定理。

首先，我们先利用二项式定理展开二项式(a + b)^n，其中a和b为任意常数，n为正整数。展开后的多项式以C(n,0)、C(n,1)、...、C(n,n-1)、C(n,n)为系数。

我们可以观察到，二项式(a + b)^n中的每一项都可以与排列组合公式的一个项相对应。以P(n,r)为例，假设有一个排列包含n个元素，这个排列可以分为r个元素的子排列和(n-r)个元素的子排列。那么，根据排列的定义，这个排列有n!种排列方式。