二项式定理 排列 组合 专题
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1 二项式定理
主讲人：陈逸
知识强化
一、知识概述
二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高的应用价值和思维训练价值．二项式定理主要包括：定理本身、通项公式、杨辉三角、二项式系数的性质等．
二、重难点知识归纳
1、二项式定理
．
这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式，的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数称为二项式系数，称为二项展开式的第r＋1项，又称为二项式通项．
对于二项式定理有五点注意事项：
①不得随意变更展开式中各项的顺序；
②二项展开式共有 n＋1项；
③系数依次为；
④a的指数从n起依次减少1，直到0为止，而b的指数以0起依次增加1，直到n为止；
⑤a、b可以是数，也可以是式（单项式，多项式分式，根式等）．
2、通项公式的特点：
（1）它表示二项展开式的第r＋1项，该项的二项式系数是，而不是；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质：
（1）对称性：由组合数性质“”可得到对称性，即．
（2）增减性与最大值：如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.
（3）二项展开式中的二项式系数和为2n，即.
（4）二项展开式中奇数项与偶数项的二项式系数和相等，即
.
2 三、典型例题剖析
例1、求的展开式中的系数．
解析：
方法一：，
∴x3的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5．
方法二：利用通项公式，则
的通项为，．
的通项为，．
令，则或或．
从而的系数为．
例2、在的展开式中，求：
（1）第5项的二项式系数及第5项的系数；
（2）倒数第3项．
解析：
要求展开式中某些特定的项或特定的系数时，可以不必写出全部的展开式，只需利用通项公式即可．
（1），
∴第5项的二项式系数是，第5项的系数是．
（2）方法一：展开式中的倒数第3项即为第7项，
．
方法二：在展开式中的倒数第3项就是展开式中的第3项，．
例3、在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中
3 所有有理项．
分析：
本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．
解：二项式的展开式的通项公式为．
前三项的r＝0，1，2．
得系数为t1＝1，，，
由已知，∴n＝8．
通项公式为，r＝0，1，2，…，8，Tr＋1为有理项，故16－3r是4的倍数，∴r＝0，4，8．
依次得到有理项为．
例4、已知，求：
（1）a1＋a2＋a3＋…＋a7；
（2）a1＋a3＋a5＋a7；
（3）a0＋a2＋a4＋a6．
分析：
本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有0、1、－1等．
解：
（1）取x＝0可得a0＝1，
取x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(－1)7＝－1．
∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2．
（2）取x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37，
记A＝a0＋a2＋a4＋a6，B＝a1＋a3＋a5＋a7，
∴A＋B＝－1，A－B＝37．
可得A＝(37－1)＝1093，B＝－(1＋37)＝－1094．
从而a1＋a3＋a5＋a7＝－1094．
（3）从（2）的计算已知a0＋a2＋a4＋a6＝1093．
例5、求证能被64整除．
分析：
4 考虑到用二项式定理证明，就需要多项式展开后的各项尽量多的含有的式子.因此，可将化成再进行展开，化简即可证得.
证明：
∵
＝
＝
＝．
∴多项式展开后的各项含有．
∴能被64整除．
