排列组合、二项式定理、概率与统计新题赏析
主讲教师：陈孟伟 北京八中数学特级教师
重难点突破
计数原理
二项式定理
概率
统计
新题赏析
题一：从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )．
A．24 B．18 C．12 D．6
题二：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种(用数字作答)．
题三：从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_________(用数字作答)．
题四：已知5(1)(1)axx的展开式中2x的系数为5，则a( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
题五：设m为正整数，2()mxy展开式的二项式系数的最大值为a，21()mxy展开式的二项式系数的最大值为b，若137ab，则m( )．
A．5 B．6 C．7 D．8
题六：将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为EX( )．
A．126125 B．65 C．168125 D．75
题七：一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽
查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p和2p, 则( )．
A．12pp B．12pp C．12pp D．以上均有可能
题八：某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物. 根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
.
.专心. 排列组合和二项式定理
一、考试说明要求：
内 容 要 求
A B C
分类计数原理与分步计数原理 √
排列与排列数 √
组合与组合数 √
二项式定理、二项展开式的性质 √
二、应知应会知识
1． 会根据两个原理解决有关分配决策的问题〔要正确区分分类和分步〕
(1) 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有〔 〕
A. 15种 B. 8种 C. 53种 D. 35种
(2) 四名医生分配到三所医院工作，每所医院至少一名，那么不同的分配方案有_______种．
(3) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有〔
〕
A. 1260种 B. 2025种 C. 2520种 D. 5040种
2．会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题
〔1〕不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，那么不同的排法种数共有〔 〕
A．12种 B．20种 C．24种 D．48种
〔2〕5人站成一排，其中A不在左端也不和B相邻的排法种数为〔 〕
A．48 B．54 C．60 D．66
〔3〕用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.〔用数字作答〕
3.会求某些元素按指定顺序排列的问题
〔1〕七个人排成一行，那么甲在乙左边〔不一定相邻〕的不同排法数有_________种．
〔2〕某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________.〔用数字作答〕
排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。
排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。这里的A表示从n个中取出m个的排列数。
二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。
概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。
概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。排列组合、二项式定理等工具 是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。
1 / 22 20.1.1 排列的概念
【教学目标】
1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法；
2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。
3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。
【教学重难点】
教学重点：排列的定义、排列数公式及其应用
教学难点：排列数公式的推导
【教学课时】
二课时
【教学过程】
合作探究一： 排列的定义
我们看下面的问题
（1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里
（2）从10名学生中选2名学生做正副班长；
（3）从10名学生中选2名学生干部；
上述问题中哪个是排列问题？为什么？
概念形成
1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素
2、排列：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．。
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
合作探究二 排列数的定义及公式
3、排列数：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示
议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
4、排列数公式推导 2 / 22 探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数2nA是多少？3nA呢？mAn呢？
)1()2)(1(mnnnnAmn（,,mnNmn）
说明：公式特征：（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个
因数是1nm，共有m个因数；
（2）,,mnNmn
即学即练:
1.计算 (1）410A；(2）25A；(3)3355AA
