矩形的性质与判定

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矩形的性质和判定

一、基础知识

（一）矩形的定义

有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。

（二）矩形的性质：

1.矩形具有平行四边形的一切性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是900；

4.矩形是轴对称图形；

边 角 对角线 对称性

矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 轴对称，中心对称

（三）矩形的判定：

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形；

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

（四）直角三角形的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（如图：OB=OC=OA=21AC）

二、例题讲解

考点一：矩形的基本性质

例1：如图，在矩形ABCD中，AE•⊥BD，•垂足为E，•∠DAE=•2•∠BAE，•那么，•∠BAE=________，

∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．

AEDCBO

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练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.

练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.

例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?

练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。

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例3：如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E．试求BE与CE的长度．

练习1：如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．

1 矩形的性质和判定

【知识梳理】

一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。

二、性质：

①矩形的四个角都是直角

②矩形的对角线相互平分且相等

③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴

④矩形的面积S=长×宽

三、判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形；

④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

四、矩形与平行四边形的区别与联系：

① 相同点

1、两组对边分别平行

2、两组对边分别相等

3、两组对角分别相等

4、对角线相互平分

②区别

1、 有一个角是直角的平行四边形矩形

2、对角线相互平分且相等

【例题精讲】

考点1 矩形的性质

【例1】 已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。

2 【例2】如图，在矩形ABCD中，,EF分别是,BCAD上的点，且BEDF。求证：ABE≌CDF。

【例3】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，60AOB，2AB，则矩形的对角线AC的长是（ ）

A．2 B．4 C．23 D．43

【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）

A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行

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初中数学 矩形的性质和判定

编稿老师 巩建兵 一校 黄楠 二校 杨雪 审核 宋树庆

【考点精讲】

矩形概念性质判定方法对称性：轴对称图形对角线相等且互相平分四个角都是直角定义有三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形

【典例精析】

例题1 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF中点。设AM的长为x，试求x的最小值。

思路导航：根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，所以AM＝12EF＝12AP，在Rt△ABC中利用AP求出x的最小值。

答案：解：连接AP，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2＋AC2＝36＋64＝100，BC2＝100，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝12EF＝12AP，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC＝12×6×8＝12×10×AP，AP＝4.8，即x的最小值为2.4。

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点评：本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定等的应用，关键是求出AP的最小值和得出AM与AP的数量关系。

例题2 请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：

如图1，已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE＋PF＝CD。

证明思路：如图2，过点P作PG∥AB交CD于点G，则四边形PGDE为矩形，PE＝GD；又可证△PGC≌△CFP，则PF＝CG；所以PE＋PF＝DG＋GC＝DC。

如图3，若P是BC延长线上任意一点，其他条件不变，则PE、PF与CD有何关系？请你写出结论并完成证明过程。

矩形的性质与判定

矩形是平面几何中的一种基本图形，具有许多重要的性质和判定方法。本文将介绍矩形的性质以及如何判定一个四边形是否是矩形。

矩形的性质

1. 四边相等：矩形的四条边相互平行且相等长。

2. 四个角均为直角：矩形的四个角均为90度，即直角。

3. 对角线相等且互相平分：矩形的两条对角线相等且互相平分。

4. 对角线垂直且相交于中点：矩形的两条对角线互相垂直，且相交于各自的中点。

判定一个四边形是否为矩形

1. 判定四条边是否相等：如果一个四边形的四条边相等并且相互平行，则该四边形为矩形。

2. 判定四个角是否为直角：可以使用角度计算方法，通过测量四个角的度数是否均为90度来确定一个四边形是否为矩形。

3. 判定对角线是否相等且互相平分：通过测量对角线的长度是否相等来判断一个四边形是否为矩形。

4. 判定对角线是否垂直且相交于中点：可以通过测量对角线的交点是否为对角线中点以及两条对角线的斜率乘积是否为-1来判断一个四边形是否为矩形。

综上所述，矩形的性质包括四边相等、四个直角、对角线相等且互相平分、对角线垂直且相交于中点四个方面，通过判定四边形的边长、角度、对角线等特征可以确定一个四边形是否为矩形。

结语

矩形是几何学中重要的基本图形之一，具有许多独特的性质和判定方法。通过深入理解矩形的性质和判定方法，可以更好地理解和运用这一基本几何形状。愿本文对您理解矩形有所帮助。

以上是关于矩形的性质与判定的介绍，希望对您有所启发。