矩形的性质和判定

1 矩形的性质和判定

【知识梳理】

一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。

二、性质：

①矩形的四个角都是直角

②矩形的对角线相互平分且相等

③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴

④矩形的面积S=长×宽

三、判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形；

④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

四、矩形与平行四边形的区别与联系：

① 相同点

1、两组对边分别平行

2、两组对边分别相等

3、两组对角分别相等

4、对角线相互平分

②区别

1、 有一个角是直角的平行四边形矩形

2、对角线相互平分且相等

【例题精讲】

考点1 矩形的性质

【例1】 已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。

2 【例2】如图，在矩形ABCD中，,EF分别是,BCAD上的点，且BEDF。求证：ABE≌CDF。

【例3】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，60AOB，2AB，则矩形的对角线AC的长是（ ）

A．2 B．4 C．23 D．43

【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）

A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行

矩形的性质和判定复习

知识点：

1、 矩形的定义：

2、 矩形的性质：

（1）

（2）

3、矩形的判定：

（1）

（2）

4、直角三角形相关定理：

选择题：

1.下列命题中错误的是（ ）

A. 平行四边形的对边相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

第2题图 第3题图 第4题图

3.如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是（ ） A.2 B.4 C.23 D.43

4.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）

A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD

解答题：

1、如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长.

2、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：OC=12EF；

（2）当点O位于AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？给出证明．

3、如图所示，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，求AF的长。

4、如图，矩形纸片ABCD的边AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，则折叠后DE的长与折痕EF的长分别为（ ）

九 年级

数学 科 探究 新知 导学案 主备人 李媛媚 时间 9.9 审定人 执教人（或学生）

学习内容： 1.2矩形的性质与判定 师：教学设计 生：学习笔记 三、互动互研，解难释疑:

①矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？

②矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?

由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能发现它有什么特殊的性质吗？

四、精点巧拨，归纳生成:

矩形有哪些性质，你从哪些方面总结。

五、分层设练，拓展延伸:

（1）下列说法错误的是（ ）．

A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。

C.有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 _____。

（3 ）BC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.

(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;

(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.

（4）在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。 学习目标： 理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;

重点难点： 探索矩形的概念和性质。

一、优化导入，揭示目标;

1、平行四边形具有哪些性质？（四号生口答）

2、探究矩形的定义。

利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。在演示过程中让学生思考：

（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？

（2）在运动过程中四边形不变的是什么？

（3）在运动过程中四边形改变的是什么？

ACBD

一、复习回顾基础知识

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD

矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.对角线相等的平行四边形是矩形。

3.有三个角是直角的四边形是矩形。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

巩固练习

(1)下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）

A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行

(2)矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝___________cm，BC＝___________cm．

(3)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝___________．

(4)矩形的对角线长为,132两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________．

(5)如图，E为矩形纸片ABCD的BC边上一点，将纸片沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处．若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为___________．

(6).矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是____________

二、经典例题、针对训练、延伸训练

例1．已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE∶ED＝1∶3，从两条对角线的交点O作OF⊥AD于F，且OF＝2，求BD的长．

例2．已知：如图，在□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN相交于P，CN与DQ相交于M，试说明四边形MNPQ是矩形．