初二一次函数的概念及性质

初二数学一元一次函数应用知识点及经典例题

一元一次函数是初中数学中的一重要内容，本文主要介绍了一元一次函数的应用知识点及经典例题。

一、函数与解析式

1. 函数的概念

函数是每个自变量对应唯一一个因变量的对应关系。

2. 函数的解析式

函数的解析式是对函数进行具体表述的式子，形如 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示函数的斜率和截距。

二、函数图象

函数图象是表达函数 y = f(x) 在平面直角坐标系中对应点集的图形。

三、应用知识点

1. 函数的性质

一元一次函数是一条直线，其图象一定是一条斜率为正或负的直线。其次，函数图象通过第一象限或第三象限，取决于它的截距是否为正。最后，对于 y = kx + b，当 k > 0 时，随着 x 的增大 y 增大；当 k < 0 时，随着 x 的增大 y 减小；当 k = 0 时，函数图象为一条水平直线；当 b > 0 时，函数图象通过第一象限；当 b < 0 时，函数图象通过第三象限。

2. 数据分析

使用一元一次函数解决实际问题时，需要进行数据分析，找出自变量和因变量之间的关系。对于一个数据集，通过绘制散点图可以直观表现 x 和 y 的关系；通过计算斜率和截距，可以建立 y = kx

+ b 的函数模型。

四、经典例题

1. 试从图中判断函数解析式。

答：当 x > 2 时，函数图象与直线 y = 2x - 2 具有相同特征，因此函数解析式为 y = 2x - 2。

2. 已知一元一次函数 y = kx + 3 的图象过点 P(3, 9)，求解析式。

答：由题意可知，当 x = 3 时，y = 9，因此代入函数解析式可得 9 = 3k + 3，解得 k = 2。故函数解析式为 y = 2x + 3。

3. 农民要给小鸡喂食，每只鸡每天需要 0.1 千克的饲料。现在农民有 200 千克饲料，请问他最多可以养多少只鸡？

答：设小鸡的数量为 x，则每天需要的饲料量为 y = 0.1x。由于农民有 200 千克饲料，因此 y ≤ 200。将 y = 0.1x 带入不等式中可得 0.1x ≤ 200，解得 x ≤ 2000。故农民最多可以养 2000 只鸡。

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课 题 一次函数的概念及其性质

一、本次课授课目的及考点分析：

授课目的：

1、掌握一次函数的定义、图象和主要性质；

2、了解一次函数与正比例函数的关系；

3、会根据已知条件求出一次函数的解析式．结合例题培养学生观察、归纳的思维和渗透数形结合思想．

教学重点：

会根据已知条件求出一次函数的解析式；

教学难点：

在y=kx+b中，k和b的数与形的联系；

二、本次课的内容： 一次函数的概念、一次函数的图像、一次函数的性质

教学过程

一、错题回顾：

二、教授新课：

(一)复习

1．写出正比例函数的解析式．

2．正比例函数的图象是什么形状？当k＞0，k＜0时，图形的位置怎样？

(二)新课

这些函数的共同的特点都是含自变量的一次式．

(1)一次函数的一般形式：一般地．如果y=kx+b①(k，b是常数，k≠0)．那么y叫做x的一次函数．

(2)一次函数与正比例函数的关系．当b=0时，①式为y=kx是正比例函数．所以，正比例函数是一次函数的特殊情况．

(3)两个条件确定一次函数式．因为一次函数含有两个系数k，b．而要求两个系数k，b需要列出两 2

个独立且不矛盾的方程，也就是说要想求出一个一次函数式，需要两个条件．

例1 已知x是自变量，a，b是常量，下面各式中，是x的一次函数的是 [ ]．

(A)(1) (B)(1)，(5) (C)(1)，(2)，(4) (D)(1)，(2)，(4)，(6)

这六个式子是

(1)y=3x+5； (2)3x+5； (3)y=3x2+5；

分析：(3)是二次函数，(5)是分式函数，这两个都不是一次函数．容易被认为不是一次函数的是(4)3a+5x，因为其中没有y，即不是y=3a+5x形式．其实3a+5x本身就是x的函数，y=3a+5x只是用字母y来表示3a+5x而已，所以本题应选(D)．

一次函数

一次函数的实例一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。

数学术语

函数的基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也可以说x是自变量，y是因变量。表示为y＝kx＋b（k≠0，k、b均为常数），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx

基本定义

变量：变化的量（可取不同值）

常量：不变的量（固定不变）

自变量k和X的一次函数y有如下关系：

y=kx+b（k为任意不为零常数，b为任意常数）

当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。

x为自变量，y为应变量，k为常量，y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。

定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；

要与实际相符合

函数性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b（k≠0)（k不等于0，且k，b为常数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).

3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°) 形、取、象、交、减。

4.当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.

5.当两直线中的k相同，b也相同时，两直线重合

当两直线中的k相同，b不相同时，两直线平行

当两直线中的k不相同，b不相同时，两直线相交

当两直线中的k不相同，b相同时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）

八年级（初二）数学下册一次函数知识点总结

函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果bkxy（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数bkxy中的b为0时，kxy（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数bkxy的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy的图像是经过原点（0，0）的直线。（如下图）

4. 正比例函数的性质

一般地，正比例函数kxy有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数bkxy有下列性质：