2024研究生数学建模优秀论文

参赛密码

（由组委会填写）

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华为杯

”

第十三届全国研究生

数学建模竞赛

学 校 上海交通大学

参赛队号 10248021

队员姓名 1.刘剑青

2.施金晓

3.钮敏哲

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（由组委会填写）

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华为杯

”

第十三届全国研究生

数学建模竞赛

题 目 军事行动避空侦察的时机和路径选择

摘 要：

本文围绕军事行动的避空侦察与路径选择问题，基于地球自转运行状态参数、

侦察卫星轨道运行状态参数，结合观测站对侦察卫星的观测数据以及新疆地区城

市交通路线及延伸数据，分别对卫星过顶情况、观测站监测卫星情况进行预测，

并对根数未知情况下的卫星运行情况进行深入分析，在此基础上，结合新疆城市

交通数据建立军队最优路径模型，最后对单卫星与组合卫星条件下的军队在特定

区域的规避策略进行了探索与分析。

针对军事行动避空侦察的实际和路径选择问题，本文围绕三个问题建立了合

适的优化数学模型，并进行了合理性分析、编程、计算与检验，最后得到了卫星

星下点运行轨迹经纬度模型、地面观测站观测范围模型、运行卫星侦查范围模型、

根数未知的卫星状态预测模型、军事行动最优路径规划模型（目标函数与约束条

件）、单个卫星侦察规避模型以及组合卫星侦察规避模型。

模型Ⅰ：卫星星下点运行轨迹经纬度模型

以经纬度为坐标参量建立空间坐标系，利用根数-卫星轨道变换分析卫星运

行轨迹与时间的关系，判断卫星与地球的相对运动方式，列出卫星星下点轨迹-

时间函数，以此建立卫星星下点运行轨迹经纬度模型。

模型Ⅱ：地面观测站观测范围模型与运行卫星侦查范围模型 根据卫星侦察目标的区域范围，结合卫星侦察幅宽、与时间状态对应的星下

点坐标与运行方向，建立运行卫星侦查范围模型，并判断相应时刻卫星是否过顶；

根据地面观测站的仰角区间，结合观测站的位置坐标、与时间状态对应的卫星星

下点坐标，建立地面观测站观测范围模型，并判断相应时刻地面观测站是否可以

观测到卫星。

模型Ⅲ：根数未知的卫星状态预测模型

通过地面观测站的观测结果预测卫星的根数，进而利用星下点轨迹模型与观

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一、问题重述

过孔是印刷线路板（也称为印刷电路板）的重要组成部分之一，打孔机主要用于在制造印刷线路板流程中的打孔作业。目前，实际采用的打孔机普遍是单钻头作业，即一个钻头进行打孔。本问题旨在解决某类打孔机的生产效能问题。

打孔机的生产效能主要取决于：（1）单个过孔的钻孔作业时间，由生产工艺决定；（2）打孔机加工作业时，钻头的行进时间；（3）针对不同孔型加工作业时，刀具的转换时间。

某种钻头装有8种刀具，8种刀具的顺序固定，不能调换。加工作业时，一种刀具使用完毕后，可转换使用另一种刀具。相邻两刀具的转换时间是18。作业时，可顺时针旋转转换刀具，如刀具a刀具b；也可逆时针旋转转换刀具，如刀具a刀具h。将任两个刀具转换，所需时间是相应转换时间的累加。假定钻头的行进速度相同，为180mm/，行进成本为0.06元/mm，刀具转换的时间成本为7元/min。刀具行进过程中可同时转换刀具，但相应费用不减。

不同的刀具加工不同的孔型，有的只需一种刀具来完成，有的需要多种刀具及规定的加工次序来完成。表1为10种孔型所需加工刀具及加工次序（某表示该孔型不限制加工次序）。

表1：10种孔型所需加工刀具及加工次序

孔型所需刀具AaBbCa,cDd,e某Ec,fFGHhIe,cJf,cg,h某d,g,f同一线路板上的过孔不要求加工完毕一个孔，再加工另一个孔，即对于须用多种刀具加工的过孔，只要保证所需刀具加工次序正确即可。 建立相应的数学模型，并完成以下问题：

（1）由附件1提供的某块印刷线路板过孔中心坐标的数据，请给出单钻头作业的最优作业线路（包括刀具转换方案）、行进时间和作业成本。

（2）为提高打孔机效能，现在设计一种双钻头的打孔机（钻头形状与单钻头相同），两钻头可以同时作业，也可一个钻头打孔，另一个钻头行进或转换刀具。为避免钻头间的触碰和干扰，在过孔加工的任何时刻必须保持两钻头间距不小于3cm的合作间距。

1 鲈鱼质量分析模型

摘要

本文讨论了鲈鱼的质量和其身长，胸围的关系。首先我们假设鲈鱼的体重和其身长呈正相关，利用题目中所给出的数据进行拟合，并计算出鲈鱼体重和身长的函数关系以及鲈鱼实际体重和估算值之间的相对误差，验证假设成立。通过多次拟合，得出最佳函数关系：3726230088023LLLW，其相对误差如下：

鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表1（方法一）

身长/cm 31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8 45.1

体重/g 482 482 454 652 737 765 1162 1389

拟合值/g 466.6 479.9 479.9 674.4 727.3 727.3 1228.8 1339.4

相对误差/% 3.2 0.44 5.7 3.44 4.93 5.75 3.57 0.86

平均相对误差为：3.49%

从表中的数据，我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差较小，说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。

然后，我们利用同样的思想分析鲈鱼体重与胸围的关系，其结果如下：

鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表2

胸围（cm） 21.3 21.6 21.6 22.9 24.8 24.8 27.9 31.8

重量（g) 482 482 454 652 737 765 1162 1389

拟合值（cm） 462.1 489.7 489.7 609.3 784.1 784.1 1069.3 1428.1

相对误差（%） 4.13 1.60 7.86 6.55 6.39 2.50 7.98

2.81

平均相对误差为： 4.98% 从表中的数据，我们可以看出方法二的相对误差小于方法一的相对误差，所以方法二的结果更贴近实际。

在原有的基础上，我们进而提出，鲈鱼的体重与其身长和胸围都有关系，其结果如下：

鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表3

1 题目：送货问题

摘要

本文深入研究了具有供求平衡，有序卸货特点的运输问题，建立数学模型求解最小运费，安排每辆车的最佳运载方案。

在问题（一），行车路线是一个闭合回路，在受到卸货顺序限制的情况下，使每次运输的费用最小，从而使总费用最小，应用线性规划知识求得6辆车的工作时间分别为5.83、5.83、7.08、7.25、7.25、7.25小时，运输的总费用为4875元，总共运了28次。

问题（一）中，运输车的路程为固定值，在问题（二），运输车可以随时掉头，这样运输车的行车路线就不唯一了。而且运输车可以为距离港口较远的公司送小件，然后掉头为距离港口较近的公司送大件。确定约束方程，列出目标函数，求得共派了4辆车，各辆车的工作时间分别为6.3、6.67、6.54、7.04小时，运输的总费用为4856.8元，总共运27次。

在问题（三）中，增加了载重量为4吨和8吨二种类型的运输车，使问题变得复杂。当空载距离大于3100公里时，选用载重量为4吨的运输车较省钱，运输车行驶的最远距离是29公里，所以不选择载重量为4吨的运输车为公司送货。选用载重量为6吨、8吨二种类型的运输车为公司送货，建立目标函数，约束条件，求得选择一辆6吨的，二辆8吨的车为公司送货，运输车的工作时间分别为6.57、6.38、7.19小时，总费用为4409.2元，总共运21次，与前二种调度方案

相比，更节省钱。

关键字：线性规划 卸货顺序

2 一 问题重述

某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。 问题：