数学建模02年A题优秀论文

汽车前照灯线光源的优化设计

摘 要

汽车前照灯分为“近”和“远”两个档位，“近光”的距离取的是汽车前照灯正前方的一恒定距离（国际通用的标准为25米远）。汽车的配光性能可以通过在接收屏上测光强等手段来衡量。针对一个已经提出配光性能要求的汽车前照灯光源设计问题，本文提出了“双向蒙特卡罗方法”，此方法能够大大节省计算量，使计算量至少降低了一个数量级（具体数据见正文中第五部分的表格）；同时，在具体求解时还根据题目特点，使用了进一步优化计算的逆向蒙特卡罗法。

计算接收屏上定接收点的能量时采用蒙特卡罗光能算法：将光源发出的光束细分为光线后，对每条光线依据反射定理及空间解析几何等有关知识，计算出此条光线最终是否落在屏上的定点，以此统计屏上定点的光线数目。

计算线光源最小功率时建立了优化模型：

目标函数： ahPMin，

约束条件为：1.020k.

线光源能量P等于其功率密度h与长度a的乘积，使其最小是第一个目标，另外一个目标是k＝EB/EC在大于2倍的前提下与2尽量接近,这里EB、EC分别表示B、C两点上的光能量。在此两个目标值的基础上兼顾到对实际生产有意义的光源长度精度值限制，求出了最优长度为3.90mm。

根据几何光学的光路可逆原理，进行光路的逆转，将原来的线光源与接收屏上的点转变为线接收器与点光源，此时在线光源与接收屏上的点之间建立了“联系”的光线，虽然能量分布产生了变化，但边界点的轨迹是不变的。即：如果把屏上点N当作点光源时没有光线照射到线接收器上，那么线光源发出的光也就不会落在点N上。这样用逆向蒙特卡罗法计算出所有这种点的集合，其补集即为所求亮区域。

本文对模型的计算量简化程度进行了定性分析，验证了模型的合理性，并以此论证了采用双向光路追迹的意义，又对第二个问题进行了扩展，仍然使用双向蒙特卡罗法，求出了总的屏上光能量分布情况，并绘制了等高线描述的光能量分布图，对总光能分布的特点进行了详细的分析。

特别地，本文在最后讨论了模型在实际生产中的应用与变化，从结构、质地、物理性质等方面指出了模型适用性与有待改进的地方，增强了模型的实用性。

关键词：光路逆转；蒙特卡罗法；前照灯；抛物反射面 2 汽车前照灯线光源的优化设计

一、问题重述

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

请解决下列问题：

（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

（3）讨论该设计规范的合理性。

二、模型假设

1、 反射面上无能量损耗。

2、 根据汽车制造业的惯例，车灯设计中只使用几何光学的光路追迹法，物理光学理论中的干涉衍射及色散等因素对光能量的影响不予考虑。则空间一点的光强度与通过该点的光线数目成正比且不受光程影响。（此段论述参考了2001年广西省南宁市汽车配件一厂的前照灯设计课题中的有关假设）

3、 线光源能量分布均匀，功率密度一定时总功率与长度成正比。

三、符号说明

符号 含义

a 线光源长度

I 光强度

Φ 光通量

h 线光源功率密度

P 线光源总功率

EB、EC B、C两点上各自的光能量

k B、C点接收到的光能量之比，即为EB：EC

四、问题分析与模型建立

为了便于后面的分析，首先提出以下定理。

引理：光路可逆。 3 由引理可以推出：

定理1： 设从线光源正向光路追迹到屏上点的光线与抛物面上的作用域的范围为∑（若作用域为一个个离散点则∑代表点集），从屏上点发光追迹到线光源的光线与抛物面的作用域的范围为∑’（若作用域为一个个离散点则∑’代表点集），则有



定理2：当光源发光光强一定时，接收面上的光强度等于面上各微元面收到的光线数目n之和成正比。

证明：光通量为通过某一截面的光线的条数n’。

dSn'

光强度I与光通量d的关系为： dId（d为立体角） ①

光强度I与光能量E的关系为：drIEr,,,, ②

 coscosddSISI ③

由①③知：要使收集的光线数目n具有可比性，需使不同光源发光强度I相等。

SddSSdnSdIdSIEdIdS＝由①③得coscosI

这里dS’为法线方向为光线方向的微小面积元，dS为接收面上的微小面积元，证明完毕。

A:问题分析

此问题的难点在于对于抛物面这样一个旋转对称的曲面，只有对称轴上的点才具有这样的对称性，而非轴上点（即线光源上除焦点以外的所有点）对抛物面存在一个离焦的问题。那么如果想从理论上寻找一些简化的光路表达式，不是一件容易的事。因此我们的主要方向在于寻找能够降低计算量的办法。

光路逆向与双向光路追迹的提出

为了确定光线与抛物面的作用轨迹，追迹从线光源发出到达屏上的光线需要在整个旋转抛物面上求解，而若光路逆向（即假设B、C两点为总能量均为K的点光源，而原线光源为长度为a的线接收器，B，C发出的光线经过抛物面反射后部分落在线接收器），由于屏与抛物面相隔距离很远，从屏上点光源发出的光线追迹时只需取空间一个很小的立体角就能够分析完全可能照射到抛物面上的所有光线。则我们初步推测如果能够合理利用逆向追迹的这 4 一特点，就能够对降低计算量做出贡献。

逆向求解时“倒置”了光源，此时光线在全空间的强度分布产生了变化，左边上下两图反映了光源倒置前后的光能分布变化。可见通过O、N两点的光线疏密程度均发生了改变，而从现有数据无法计算出“光源倒置”前后的全空间能量分布具体变化情况，即单独用逆向法不能够得出正确的能量关系，也就不能解决第一问所提出的问题。但又由定理1，此方法能够求解出线光源上的光线与抛物面的作用域∑。（同样，因为第二问只需要求接收屏上的亮区，即线光源上的光线与接收屏的作用域范围，此方法可以用来巧解本文第二问中的有/无光照的分界线）

综合考虑逆向法的优越性及局限性，使用光路正、反双向追迹法是合理的，鉴于此，我们提出了双向蒙特卡罗光路追迹法。

B：模型建立

蒙特卡罗光路追迹法说明：

蒙特卡罗光路追迹的过程是，认为点光源射出的是分布均匀的光线（即光源发出一批总数目为N，N极大的均匀光线），然后把接收面细分为矩形小方格，光线最终被收集到一个个的矩形小方格内，由定理2，点光源发光为等光强度发光，可用接收面上接收的光线数目n衡量接收面能量强弱，也即到达每个矩形小方格的光能值依赖于小方格所收集到的光线的数量。方格越小对光能描述得越好。

需要声明的是，蒙特卡罗法本身是随机地产生点数，在计算点光源发光时一般追迹的光线数目为上万条，当光线数目如此密集之后，这样实际上光源所追迹的光线已经均匀化。基于此，我们在下面的理论及计算中，都假设光源发出均匀光线，而不是随机生成光线。

双向蒙特卡罗光路追迹法：

依据上述分析，我们建立了双向蒙特卡罗光路追迹法，此理论中各向的追迹均采用蒙特卡罗光路追迹；

第一步（逆向过程）：把屏上的点看作发光点，进行光路逆向，对屏上一点所发出光线进行光路追迹，得出落在线接收器上的光线与抛物面的作用域范围∑’；

第二步（正向过程）：根据第一步所得的∑’，依据定理1，采用正向光路追迹，即线光源上各点发光，此时，求解范围被限制在了∑＝∑’内。对此区域求得落在屏上对应点的光线分布，也即光能量分布。

此两步一正一反，故称为双向蒙特卡罗光路追迹法。相应的，我们也可以定义逆向蒙特卡罗法，就是只采用上面第一步里的逆向运算。 反射函数光线均匀发射光线非均匀到达ON光线均匀发射光线非均匀到达oN反射函数 5 由上面的具体方案，我们回头再分析双向追迹的优越性。在第一步中屏上点发出的光线只需追迹与抛物面相交的很小的一块空间区域，计算量比起不使用逆向追迹有少量增加；在第二步中，由于有了第一步所得的作用区域，大大减少了正向追迹时光线的求解范围。两者综合作用，其反向追迹增加的计算量与正向追迹减少的计算量相比，小到可以忽略不计。比起只用正向求解，总体速度得到很大的提高。

五、模型的求解、评价与优化

问题1的求解

采用双向蒙特卡罗法结合几何光学的反射定理与光路追迹公式得出B、C两点能量比值k，为使线光源达到最小功率，我们建立了一个目标函数如下：

目标函数： ahPMin，

约束条件为：1.020k.

k的理想取值应该在2附近且不得小于2，理论分析h可以通过EC来度量，他们之间成反比例关系，而通过计算，我们发现当线光源长度在满足k的取值约束条件的区间内变动时，h的变化量h是一个极小值，即在这段区间内可以认为h为恒量，那么P与a为线性关系，上述目标函数及约束条件转变为

1.020,kaMin

依据此目标函数，最终求得最佳长度a为3.90mm

问题2求解、优化与结果分析

问题二本身的求解仅仅需要采用逆向的蒙特卡罗法求出反向后恰好无任何光线落在线接受器上的点的集合，即为有光照与无光照的分界线，但是根据实际设计中有关要求来看，求出大致的能量分布总图对前照灯设计有着重要的意义，所以我们对模型进行了优化，采用了双向的蒙特卡罗法绘制了总的能量等高线图，分别如两图所示（坐标单位：mm） 6

除了显然的对称性之外，我们注意到到总能量等高线图中间一点为极大值点，而极大值上下的等高线要比左右的等高线稠密，这说明了在垂直方向上，接近中心点时能量急剧增加，而且距离中心点越近效果越明显。

更值得注意的就是能量分布存在两个左右对称的奇点，通过图形估计其绝对值比2600mm稍大，翻阅汽车前照灯配光性能检验标准（GB4599－94），要求前照灯灯光能量分布存在某一临界位置（即本图的奇点坐标），在这一临界位置之内要求光能下降速率较慢，而超过该临界位置之后光能迅速下降为0，这与模型的计算结果吻合的相当好，可以从左边的能量分布投影图上可以很直观的观察出来这种变化。

合 理 性 评 价

1．计算量的具体讨论

我们在这里详细讨论模型对计算量的节省程度。由于双向蒙特卡罗法节省计算量最根本的原因在于首先通过反向运算求的了作用域∑，由于∑

在最坏的情况下，作用域∑为面，面积为S面，整个抛物面的面积为S总,那么搜索的速度提高倍数为S总/ S面；当作用域∑为线，面积为S线，则S线<>S总/ S面；当作用域∑为点，面积S点，则S点<>S总/S线.这样的速度提高倍数是比较令人满意的。