奶制品的生产与销售(数学建模)

基于核心素养的数学建模课程的案例研究*———以奶制品的生产与销售模型为例王天松俞芳（昌吉学院数学系新疆昌吉831100）摘要：数学建模课程是高校数学专业的基础课程之一，本文以奶制品的生产与销售模型教学设计为例，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等六个方面介绍数学建模课程的教学案例，最后针对案例给出相应的案例反思。

关键词：数学建模；教学案例；模型；反思中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1672-1578（2021)01-0001-03随着我国教育改革的不断发展，核心素养理念在高校教育改革中的地位愈显突出，逐渐成为目前高校教育改革的一项新的要求。

《数学建模》课程的开设和数学建模竞赛的开展促进了高校数学的教学教改，对学生综合素质的提高起到了积极、有效的作用[1-2]。

本文以奶制品的生产与销售模型教学设计为例，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等六个方面介绍数学建模课程的教学设计，最后针对案例给出相应的案例反思[3-5]。

1奶制品的生产与销售模型的教学设计1.1教材分析数学建模是高校数学专业重要的一门专业课程，通过这门课程的学习，应使学生获得数学建模的系统知识、数学思想与思维方法。

对于数学专业学生深刻理解和灵活使用数学知识解决实际问题至关重要，其内容是初步进行科学研究的重要工具，在金融、经济、社会科学等方面有着广泛的应用。

事实上，本课程是学生进行毕业论文写作及科研的阶梯，也为深入理解高等数学打下必要的基础。

本节内容选自姜启源版《数学模型》第四章第一节奶制品的生产与销售，是数学规划模型章节中的第一讲，主要是通过分析两个实际问题讲解线性规划模型（简称LP模型）的建模方法和利用LINGO的求解方法。

这节内容将为后面的模型探索打下坚实的基础，同时为了解LINGO软件的使用提供很好的平台，因此本节内容在该章节中具有重要的地位。

1.2学情分析数学系大四的学生具有一定的数学理论基础，而且具备一定的思维能力、逻辑能力以及综合运用知识的能力。

奶制品的生产与销售一、问题提出问题一：加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。

根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。

试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？问题二：问题1给出的A1,A2两种奶制品的生产条件、利润，及工厂的“资源”限制全都不变。

为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1,也可以将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元。

试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论一下问题（1）若投资30元可以增加供应一桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否做这些投资？若每天投资150元，可赚回多少？（2）每公斤高级奶制品B1,B2的获利经常有10%的波动，对制定的生产销售计划有无影响？若每公斤B1获利下降10%，计划应该变化吗？二、模型假设和符号说明2.1模型假设（1）假设A1,A2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；（2）假设A1,A2每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A 1,A2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；（3）假设加工A1,A2的牛奶的桶数可以是任意常数。

1、线性规划和整数规划实验1、加工奶制品的生产计划（1）一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3千克A1产品，或者在乙车间用8小时加工成4千克A2 产品.根据市场需求，生产的A1、A2产品全部能售出，且每千克A1产品获利24元，每千克A2产品获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲车间的设备每天至多能加工100 千克A1产品，乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题: （i）若用35元可以买到1桶牛奶，是否应作这项投资?若投资，每天最多购买多少桶牛奶?(ii)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元?(iii)由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30元，是否应改变生产计划?(2)进一步，为增加工厂获利，开发奶制品深加工技术.用2小时和3元加工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千克B1可获44元，每千克B2可获32元.试为该厂制订一个生产销售计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下问题:(i)若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时劳动时间，是否应作这项投资?若每天投资150元，或赚回多少?(ii)每千克高级奶制品B1, B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每千克B1的获利下降10%，计划是否应作调整?解：由已知可得1桶牛奶，在甲车间经过十二小时加工完成可生产3千克的A1，利润为72元；在乙车间经八小时加工完成可生产四千克的A2，利润为64元。

利用lingo软件，编写如下程序：model:max=24*3*x1+16*4*x2;s.t.12*x1+8*x2≤480;x1+x2≤50;3*x1≤100;X1≥0,x2≥0end求解结果及灵敏度分析为：Objective value: 3360.000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.0000002 0.000000 2.0000003 0.000000 48.000004 40.00000 0.000000Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX1 72.00000 24.00000 8.000000X2 64.00000 8.000000 16.00000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 480.0000 53.33333 80.000003 50.00000 10.00000 6.6666674 100.0000 INFINITY 40.00000 分析结果：1）从结果可以看出在供应甲车间20桶、乙车间30桶的条件下，获利可以达到最大3360元。

20１２——20 13 学年第二学期合肥学院数理系实验报告 课程名称：数学模型实验项目: 数学规划模型求解过程实验类别:综合性□设计性□验证性□专业班级：１0级数学与应用数学(1)班姓名: 汪勤学号:100７０２1004实验地点：３5＃６１1 实验时间：20１3年4月25日指导教师: 闫老师成绩：一.实验目的：了解线性规划的基本内容及求解的基本方法，学习MAＴLAB,ＬIＮDＯ，LI ＮGO求解线性规划命令,掌握用数学软件包求解线性规划问题;了解非线性规划的基本内容，掌握数学软件包求解非线性规划问题。

二。

实验内容:1、加工奶制品的生产计划问题一奶制品加工厂用牛奶生产Ａ1、A２两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A１，或者在设备乙上用8小时加工成４公斤A2。

根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出,且每公斤A1获利2４元每公斤A2获利16元。

现在加工厂每天能得到５0桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为4８0小时,并且设备甲每天至多能加工１0０公斤A１,设备乙的加工能力没有限制。

试为该厂制定一个生产计划,使每天获利最大,并进一步讨论以下3个附加问题：(1）若用35元可以购买到1桶牛奶,应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶?(2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间,付给临时工人的工资最多是每小时几元？(3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元,应否改变生产计划？2、奶制品的生产销售计划问题第1题给出的Ａ１,Ａ2两种奶制品的生产条件、利润及工厂的“资源"限制全都不变。

为增加工厂的获利,开发了奶制品的深加工技术:用2小时和3元加工费，可将１千克A1加工成０．8千克高级奶制品B1,也可将1千克A2加工成０．75千克高级奶制品B２，每千克B1能获利4４元,每千克B２能获利3２元。

试为该厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题:（１）若投资30元可以增加供应1桶牛奶,投资３元可以增加1小时劳动时间,应否作这些投资？若每天投资１50元可赚回多少？(2）每公斤高级奶制品B1，Ｂ2的获利经常有10％的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每公斤Ｂ１的获利下降1０%,计划应该变化吗？(3）若公司已经签订了每天销售1０千克 A1的合同并且必须满足,该合同对公司的利润有什么影响？3、货机装运某架货机有三个货舱:前仓、中仓、后仓。

奶制品的生产与销售数学模型
奶制品的生产与销售关系到企业的利润与市场占有率，因此建立数学模型帮助企业进行科学管理非常必要。

首先，我们假设企业每一批生产的奶制品量为x（单位：吨），销售价格为p（单位：元/吨），成本为c（单位：元/吨），则企业的利润为：
利润=（p-c）×x
其次，考虑到销售量的影响因素较多，我们可建立一元函数，将销售量y与各因素之间的关系反映出来，这里以多元线性函数举例：y=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn+b
其中，x1、x2、x3等为各个因素，如广告投入、市场营销、产品质量等，对应的系数a1、a2、a3等为其对销售量y的贡献度，b为常数项。

我们可以通过统计分析、回归分析等手段来确定各项因素的影响程度和系数。

最后，考虑到奶制品行业的季节性和地域性，我们可以建立区域销量模型，将销售量与产品销售区域、季节等因素联系起来，进一步分析和预测销售量。

以上是奶制品生产与销售的数学模型，企业可以根据实际情况进行调整，以达到科学管理、优化运营的目的。

数学建模加工奶制品的生产计划温馨提示：该文档是小主精心编写而成的，如果您对该文档有需求，可以对它进行下载，希望它能够帮助您解决您的实际问题。

文档下载后可以对它进行修改，根据您的实际需要进行调整即可。

另外，本小店还为大家提供各种类型的实用资料，比如工作总结、文案摘抄、教育随笔、日记赏析、经典美文、话题作文等等。

如果您想了解更多不同的资料格式和写法，敬请关注后续更新。

Tips: This document is carefully written by the small master, if you have the requirements for the document, you can download it, I hope it can help you solve your practical problems. After downloading the document, it can be modified and adjustedaccording to your actual needs.In addition, the store also provides you with a variety of types of practical information, such as work summary, copy excerpts, education essays, diary appreciation, classic articles, topic composition and so on. If you want to know more about the different data formats and writing methods, please pay attentionto the following updates.现代生活中，乳制品已经成为人们饮食中不可或缺的一部分，而对于乳制品生产企业来说，如何合理安排生产计划，提高生产效率和产品质量，是至关重要的。

实验名称：奶制品的生产与销售
实验日期：2015年 5月 12日星期二,
周次：11
课节：5-6
实验目的：通过本实验掌握数学规划模型的数学思想，设计算法，使用Matlab 编程解决奶制品的生产与销售问题。

实验内容：1.一奶制品加工厂用牛奶生产21,A A 两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤1A ，或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤2A 。

根据市场需求，生产的21,A A 全部能售出，且每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元。

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多能加工100公斤1A ，乙类设备的加工能力没有限制。

试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。

2.为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤1A 加工成0.8公斤高级奶制品1B ，也可将1公斤2A 加工成0.75公斤高级奶制品2B ，每公斤1B 能获利44元，每公斤2B 能获利32元，。

试为该厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大。

数值算法：
1.求问题1最优解[x]=linprog(f,A,b,[],[],lb,[]);计算最大利润z =g*x;
2.求问题2最优解[x]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,[]); 计算最大利润z =g*x;
3.输出结果。

摘要：本文利用规划模型对奶制品销售定价问题给予解决。

首先针对问题一，根据题意，利用需求关于价格的交叉伸缩性，以各奶制品的价格为自变量，销售量作为因变量，列出表达式。

同时，考虑到脂肪与奶粉产量有限，设置两个限制条件，又以销售总收入最大作为目标函数，建立线性规划模型并利用Lingo软件进行模型求解及灵敏度分析，得到5种奶制品所导致的需求，进而得到10.2⨯元471310销售总收入。

针对问题二，由于政策不允许某种产品价格上升过快，我们根据题中现有的数据，即往年各奶制品的消费量和价格得到总的消费费用，以此作为新的限制条件。

同时保留第一问中的最终目标及其他约束条件不变，用Lingo软件进行求解。

再根据新的奶制品的价格及需求得到相对应的销售收入，将销售最大化下销售价格与费用构成的销售总收入作为对比，获得10.2⨯元的经济收益。

102436针对第三问，在添加约束条件h(-%hx/)≤的情况下，保留题一的最终10目标及其他约束条件，运用题一中的规划模型并进行Lingo求解，得到较优价格及相应的收益，并将价格、销量与往年对比，分析比较该条件对不同产品的价格及销量的变化。

本文采用目标最优的方法，针对奶制品定价问题，建立线性目标规划模型，用方法解决问题，将理论用于实践。

同时本文所建立的规划模型由于其交互作用，有相当的灵活性与实用性，具有推广的实际用途。

关键词：线性目标规划价格伸缩性交叉伸缩性最优目标函数1问题重述某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。

所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产。

原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种产品，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有80万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油1和奶油2两种奶油制品和奶酪1和奶酪2两种奶酪制品，供国内全年消费。

价格的变化会影响消费需求。

为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：E=需求降低百分数/价格提高百分数。

另外，两种奶油和两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代，这一规律可以用需求关于价格的交叉伸缩性EAB定义作：EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数。

河北大学《数学模型》实验实验报告一、实验目的学会利用LＩNGO进行实验,熟练掌握用LＩNＧO求解简单的线性规划问题以及能够完成对其灵敏度的分析。

二、实验要求１.实验５-1 加工奶制品的生产计划按如下步骤操作:(1)打开lingo(2）修改“选项…”(Ｏptions…）LINGO/Ｏptｉons…在出现的选项框架中，选择Generaｌ Solveｒ(通用求解器)选项卡,修改2个参数： Dｕa ｌ Coｍpｕtatｉonｓ(对偶计算）设置为:Prｉces ａnd Raｎges(计算对偶价格并分析敏感性）Model Ｒｅgeneｒatｉｏｎ（模型的重新生成)设置为：Alwaｙs(每当有需要时）点击OＫ退出。

（３)在模型窗口输入模型Modｅl:ｍax =72*x１+64*x２;［milk] x1＋ｘ2<5０;[ｔiｍｅ] 12*ｘ1+8＊ｘ2＜４８0;[cｐct] 3*x１<100;Eｎd保存为：ｓy4-1.lg4ＬINGO语法:1. 程序以“model:”开始，每行最后加“；”,并以“enｄ”结束;2. 非负约束可以省略;3. 乘号＊不能省略;4. 式中可有括号;5. 右端可有数学符号。

（４）求解模型运行菜单LＩNGO/Sｏlｖe。

选择LIＮGO/Solｖｅ求解结果的报告窗口检查输出结果与教材p８9的标准答案是否相同。

(5）灵敏性分析点击模型窗口。

选择LＩNGＯ/Ｒanｇes模型的灵敏性分析报告检查输出结果与教材p90的标准答案是否相同。

结果分析可参阅教材p90－91。

2.实验5-2 奶制品的生产销售计划按以下步骤操作:（1)打开菜单“File”/“New”,新建模型文件。

（２)在模型编辑窗口输入模型（利用Linｇｏ编程语言完成）: (３）将文件存储并命名为sy4-2.lg４（记住所在文件夹）。

（４)求解模型。

(５）灵敏性分析。

检查输出结果与教材p９2-9４的标准答案是否相同。

结果分析可参阅教材p９4。

奶制品生产计划问题分析通过制定生产计划，从而获得最大利润。

一．基本模型1.决策变量：设每周用x桶牛奶，出售x1公斤A1，x2公斤A2，x5公斤B1，x6公斤B2。

其中，是用x3公斤A1加工成x5公斤B1，x4公斤A2加工成x6公斤B2。

2.目标函数：设每周获利z元，销售收入为：30x5+20x6+10x1+9x2；原料牛奶及加工费支出为：15x+4x3+3x4；所以获利 z=30x5+20x6+10x1+9x2-(15x+4x3+3x4)。

3.约束条件：劳动时间：每周将牛奶加工成A1,A2的时间是15x,将A1加工成B1的时间是12x3，将A2加工成B2的时间是10x4，三者之和不得超过2000小时。

非负约束:x1，x2，x3，x4，x5，x6，x均为非负；且x为整数；为了实际操作过程的方便，将x3、x4设置为整数。

题目中给定的生产条件的约束：（ 1 ）1桶牛奶加工成2公斤A1和3公斤A2，所以x1+x3=2x，x2+x4=3x。

（ 2 ）1公斤A1加工成0.8公斤B1，1公斤A2加工成0.7公斤B2 , 所以x5=0.8x3，x6=0.7x4。

（3）高级奶制品的需求量占总需求量的20%—40%，所以0.2(x1+x2+x5+x6)<=x5+x6<=0.4(x1+x2+x5+x6)由此得基本模型： Max z=30x5+20x6+10x1+9x2-(15x+4x3+3x4)Subject to x5+x6-0.2x1-0.2x2-0.2x5-0.2x6>=0x5+x6-0.4x1-0.4x2-0.4x5-0.4x6<=0x1+x3-2x=0x2+x4-3x=0x5-0.8x3=0x6-0.7x4=015x+12x3+10x4<=2000 二．模型求解用LINDO软件求解：在LINDO软件中按如下输入：MAX 30x5+20x6+10x1+9x2-15x-4x3-3x4stx5+x6-0.2x1-0.2x2-0.2x5-0.2x6>=0x5+x6-0.4x1-0.4x2-0.4x5-0.4x6<=0x1+x3-2x=0x2+x4-3x=0x5-0.8x3=0x6-0.7x4=015x+12x3+10x4<2000endgin xgin x3gin x4可得如下输出：OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 2986.000VARIABLE VALUE REDUCED COSTX 68.000000 -32.000000X3 81.000000 -10.000000X4 0.000000 -2.000000X5 64.800003 0.000000X6 0.000000 0.000000X1 55.000000 0.000000X2 204.000000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.040001 0.0000003) 64.720001 0.0000004) 0.000000 10.0000005) 0.000000 9.0000006) 0.000000 30.0000007) 0.000000 20.0000008) 8.000000 0.000000NO. ITERATIONS= 58BRANCHES= 9 DETERM.= 1.000E 0所以，最优解为x=68，x1=55,x2=204,x3=81,x4=0,x5=64.800003,x6=0,最优值为z=2986.000。

实验名称奶制品的生产与销售班级学号姓名实验地点完成日期成绩（一）实验目的与要求目的：建立数学模型来解决企业在无深加工和可深加工的情况下生产与销售最优的计划方案。

要求：1）学习掌握决策变量、约束条件并能运用；2）建立模型解决实际优化问题；3）会用数学软件求解，对结果进行分析。

（二）实验内容一奶加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲设备上用12小时生产成3公斤A1，或者在乙设备上用8小时加工成4公斤A2。

根据市场需求，生产的A1,A2全部可以销售出去。

每公斤A1可获利24元，每公斤A2获利16元。

现在加工厂每天可以有50桶牛奶，每天正式工人总劳动时间为480小时，且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有上限。

为该厂制定一个加工计划，进一步讨论下列问题：（1）无深加工的情况下，制定生产计划使获利最大。

（2）可深加工的情况下，制定生产计划使获利最大。

（3）分析两种情况下，原料和劳动时间的影子价格。

（三）实验具体步骤解题思路：假设：每天生产A1的桶数为x1每天生产A2的桶数为x2每天生产B1的桶数为x3每天生产B2的桶数为x4每天的利润为z目标函数：x1桶牛奶可生产3 x1公斤A1，获利24乘以3 x1；x2桶牛奶可生产34乘以x2公斤A，获利16乘以4x2，故z=72 x1+64 x2。

2约束条件：原料的供应生产A1,A2两种奶制品的原料不可以超过每天的供应量，即x1+x2〈=50桶；劳动时间生产A1,A2的总加工时间不得超过每天正式工人的工作时间，即12x1+8x2〈=480小时；设备能力 A1的产量不得超过甲类设备每天的加工能力，即3x1〈=100；非负约束条件x1x2均不能为负数，即x1〉=0，x1〉=0。

综上可得(1)无深加工的情况下为：Max z=72x1+64x2s.t. x1+x2〈=50 12x1+8x2〈=4803x1〈=100x1>=0x2>=0（2）可深加工的情况下为：Max z=24(3x1-x3)+16(4x2-x4)+35.2x3+24x4s.t. x1+x2<=5012x1+8x2+2x3+2x4<=4803x1<=1003x1-x3>=04x2-x4>=0代码一：clearclcm=50;T=480;G=100;g1=3;g2=4;t1=12;t2=8;p1=24;p2=16;p3=44;p4=32;b1=0.8;b2=0.75;t3=2;t4=2;a1=3;a2=3;c=-[p1*g1;p2*g2];A=[1,1;t1,t2;g1,0];b=[m;T;G];lb=zeros(size(c));[x,z,ef,op,lmd]=linprog(c,A,b,[],[],lb)代码二：clearclcm=50;T=480;G=100;g1=3;g2=4;t1=12;t2=8;p1=24;p2=16;p3=44;p4=32;b1=0.8;b2=0.75;t3=2;t4=2;a1=3;a2=3;d=-[p1*g1;p2*g2;p3*b1-p1;p4*b2-p2];B=[1,1,0,0;t1,t2,t3,t4;g1,0,0,0;g1,0,-1,0;0,g2,0,-1]; h=[m;T;G;0;0];lh=zeros(size(d));[x,z]=linprog(d,B,h,[],[],lh)（四）实验结果无深加工的情况：可深加工的情况：（五）收获与体会通过本章学习，初步了解了linprog的使用方法，学会对问题的目标函数、约束条件的运用来解决实际问题的优化方案。