线性规划在经济生活中的应用(奶制品的生产和销售问题)

让利益最大化——关于皇氏乳业加工奶制品的生产计划摘要：如今乳制品的市场竞争越来越强，原料成本正在增加，为了提高皇氏乳业的竞争力，提高公司的利润，公司决定开发新产品，原料奶油及中老年奶粉。

先对皇氏乳业的原料成本，生产时间，产品利润等做了一系列调查，建立了线性规划模型，在对模型求解并进行灵敏度分析后，给出具体的对策建议。

关键词：线性规划；生产成本；最优生产计划一、问题的提出经过调查，每一桶牛奶的生产成本和利润如下表：每天至多加工50桶牛奶，机器最多使用480小时，至多加工100kg奶油A1。

（一）如何制定生产计划，使每天获利最大？（二） 35元可以买到一桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少？（三）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元？（四）奶油A1的获利增加到30元/公斤，是否改变生产计划？1.问题分析首先，工厂的经济效益主要取决于原料，劳动时间，产品利润等，至于劳动机械磨损，工人熟练程度等，均不予考虑。

所以我们主要研究原料成本，劳动时间，产品利润与工厂经济效益的关系。

2.数据的收集整理对于奶油A1、奶粉A2的产量，询问工厂管理人员得知。

对于加工时间，可以通人力资源管理部门查询。

对于利润，通过近期一个月的销售成绩，综合分析得出。

二、运筹模型1、模型的建立设X1桶牛奶生产奶油A1，X2桶牛奶生产奶粉A2。

Maxz=72X1+64X2St. X1+X2<=5012X1+8X2<=4803X1<=100X1,X2>=02、模型的求解应用EXCEL软件进行求解。

3、灵敏度分析包括对于目标系数（桶数）变化的灵敏度分析结果表和对于约束条件，如原料供应，劳动时间，加工能力等变化的灵敏度分析结果表。

4、结果分析（一）当20桶牛奶生产奶油A1，30桶生产奶粉A2，利润达到3360元，是最大值。

（二）原料增加1单位，利润增加48。

35元<48元，应该买（三）时间增加1单位，利润增加2元，能力增减不影响，所以临时雇用临时工人每小时不超过2元。

附1：用LINGO求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。

根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。

试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？数学模型：设每天用x1桶牛奶生产A1 ，用x2桶牛奶生产A2目标函数：设每天获利为z元。

x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x，x2桶牛奶可生产4*x2公1斤A2，获利16*4x2，故z=72x1+64x2约束条件：原料供应：生产A1、A2的原料（牛奶）总量不超过每天的供应50桶，即x1+x2≤50劳动时间：生产A1、A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时，即12x1+8x2≤480设备能力：A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时，即3x1≤100≥0非负约束：x1、x2均不能为负值，即x1≥0，x2综上所述可得max z=72x1+64x2s.t.x1+x2≤5012x1+8x2≤4803x1≤100x1≥0，x2≥0显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划（LP），求出的最优解将给出使净利润最大的生产计划，要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解和影响，一般称为敏感性（或灵敏度）分析。

LINGO求解线性规划用LINGO求解线性规划时，首先在LINGO软件的模型窗口输入一个LP模型，模型以MAX或MIN 开始，按线性规划问题的自然形式输入（见下面例子所示）。

摘要 (2)Abstract (3)第一章绪论 (4)1.2相关研究综述 (5)1.3 研究内容 (8)1.4 研究方法 (8)第二章数学模型的相关理论基础 (9)2.1 线性规划 (9)2.1.1线性规划简介 (9)2.1.2线性规划的模型建立 (9)2.1.3线性规划的解法 (10)第三章模型建立 (15)3.1变量的确定 (15)3.2目标函数的确定 (15)3.3约束条件的确定 (15)第四章模型的求解 (16)4.1 WinQSB的简介 (16)4.1.1 QSB (16)4.1.2 系统程序菜单简介 (17)4.2 计算过程 (19)第五章结论、建议与展望 (23)5.1 对运筹学的体会 (23)5.2 对团队合作精神的体会 (24)致谢 (25)参考文献 (25)摘要运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。

当然，随着客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事活动，有些已经深入到日常生活当中去了。

运筹学可以根据问题的要求，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，以达到最好的效果。

运筹学有广阔的应用领域，它已渗透到诸如服务、库存、搜索、人口、对抗、控制、时间表、资源分配、厂址定位、能源、设计、生产、可靠性等各个方面。

运筹学是软科学中“硬度”较大的一门学科，兼有逻辑的数学和数学的逻辑的性质，是系统工程学和现代管理科学中的一种基础理论和不可缺少的方法、手段和工具。

运筹学已被应用到各种管理工程中，在现代化建设中发挥着重要作用。

本论文利用运筹学课程所学知识，结合其它相关管理学常识，通过对某厂奶制品的生产与销售计划，生产成本及生产流程的分析，建立相关数学模型，利用线性规划软件对其求解，以期在现有条件下发现影响利润的资源因素，并通过相关理论对现有的资源和生产能力进行分析，并提出一些合理性的建议，实现产出及利润最大化。

【关键词】：运筹学管理科学生产计划利润最大化AbstractOperations research major research activities in economic activity and military can be used to express the number of relevant planning and management issues. Of course, with the objective reality of the development, operations research not only of the many elements of economic and military activities, some of which go deep into the daily life. Operations research problems can request, through mathematical analysis, computation, a variety of results obtained, Finally, comprehensive and reasonable arrangements to achieve the best results.Operations research has broad applications, it has infiltrated into such service, inventory, search, population, confrontation, control, schedule, resource allocation, site location, the energy, design, production, reliability, and other aspects. Operations research is soft science of "hardness" of a larger subject, both the logic of mathematics and mathematical logic of nature, science and modern management science and engineering as a foundation in theory and indispensable methods, means and tool. Operations research has been applied to various management project, in the modernization drive plays an important role.In this thesis, Operations Research curriculum the knowledge, combined with other relevant management knowledge, through the exhaust pipe of a factory production planning, production costs and production process of analysis, mathematical models related to the use of linear programming software, the solution, in order to under the conditions found in existing resources and factors affecting profits, and through the theory of existing resources and capacity to analyze and make some reasonable proposals to achieve production and profit maximization.【Key words】: operational research, management science, production planning, profit maximization第一章绪论1.1研究的背景及意义1.1.1研究背景企业的生产计划是企业生产管理的依据，它对企业的生产任务作出统筹安排，规定着企业在计划期内产品生产的品种、质量、数量和进度等指标，是企业在计划期内完成生产目标的行动纲领，是企业编制其它计划的重要依据，是提高企业经济效益的重要环节。

线性规划在生活中的应用摘要：线性规划现如今广泛应用在生活中的各个方面，深受人们的喜爱。

本文主要采用图解法，对生活中所面临的与线性规划有关的一些问题进行求解，使人们能够在生活中消除资源分配的烦恼，使企业能够应对市场激烈的竞争，有效及时的制定方案，减少工作量节约经费。

深刻体会与认识线性规划在生活、生产中的重要地位。

关键词：线性规划生活应用1、线性规划的相关概念线性规划是运筹学的一个重要分支，其研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟，是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

是在线性约束条件下，对线性目标函数极值问题进行研究的数学理论和方法。

2、生活问题中使用线性规划的优势随着时代的变迁，经济全球化的不断发展，科学技术变得越来越先进。

现代化生产的大型企业越来越多，大型企业的管理模式变得越来越复杂，因此，必须借助有效的、科学的方法来解决一些问题。

企业必须要充分利用已有的人力物力财力，实现各个岗位员工薪资的最大化，吸引大量优秀的人才，提高企业在市场中的竞争力，并最终获得利润的最大化。

科技、时代的进步也带领农村农业的发展，在农业生产中，降低成本，获取最高利润，得到最佳的销售方法等，这些都是可以运用线性规划来解决的。

3、线性规划在生活中的应用（常见生产问题、优势等）常见的生产问题：1.面条的加工销售计划2.农业生产问题3.配料问题4.生产销售问题5.作物布局6.话费选用套餐问题7.两种不同型号材料的配比问题优势：在生活中，由于资源的有限，如果我们能够充分的利用已有的资源，这是实现高效生产的一个重要的途径，如果能够把线性规划运用到农业生产中，可以使农业的生产中减少一定的阻碍，可以使农业生产中的成本、损失降到最低，并且可以的到最大的利润，降低人力物力财力的消耗。

3、线性规划在生活中运用的实例——面条的加工销售计划某加工厂用小麦加工生产B1、B2两种面条，1桶小麦可以在老式面条机上经过10h可以加工成4kgB1,或者是在新式面条机上用是8h加工成5kgB2，由于市场湿面紧缺，生产的B1、B2被全部预定，可以完全售出，根据市场行情，1kgB1有25元的利润，1kgB2仅有16元的利润。

线性规划问题在经济生活中的应用线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料；二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源。

线性规划所研究的是在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最优。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

文章根据线性规划问题在现实生活中的意义进行相关讨论与探究，介绍了线性规划问题产生的背景、特点和实际运用情况，以及线性规划问题在经济生活中运用的意义。

关键词：线性规划问题数学模型运筹学线性规划问题是数学的一个重要分支，它们所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案是最优的、以及怎么找出这些最优方案。

在现实的生产活动中这类问题普遍存在，例如在生产计划安排中，选择什么样的生产方案才能提高产值、利润；在原料配给问题中，怎样确定各种成分的比例，才能使提高质量、降低成本的目标得以实现；在资源的分配问题中，怎样分配有限的资源，使得分配方案既能满足于各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；在农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产、稳定，以发挥地区优势；在经济管理中如何使产出率最大，即单位成本的产值最大，或者赢利率最大。

诸如此类问题不胜枚举，线性规划就是为了求解这类问题并为求解这些问题提供理论基础与方法而应运而生的、实用性强的学科。

线性规划问题的发展1947年美国数学家G.B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。

同年美国数学家J.von 诺伊曼提出对偶理论，开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。

线性规划模型在生活中的实际应用一、线性规划的基本概念线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺,使用新设备和新型原材料。

二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源。

线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。

二、线性规划模型在实际问题中的应用（1）线性规划在企业管理中的应用范围线性规划在企业管理中的应用广泛,主要有以下八种形式:1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是获利最大.2.劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要.3.运输问题 :如何制定运输方案，使总运费最少.4。

合理利用线材问题：如何下料，使用料最少。

5.配料问题 :在原料供应的限制下如何获得最大利润.6.投资问题：从投资项目中选取方案，是投资回报最大.7.库存问题：在市场需求和生产实际之间，如何控制库存量从而获得更高利益。

8。

最有经济计划问题 :在投资和生产计划中如何是风险最小。

（2）如何实现线性规划在企业管理中的应用在线性规划应用前要建立经济与金融体系的评价标准及企业的计量体系，摸清企业的资源。

首先通过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统的各有关部分的特征进行量化,建立数学模型，即把组成系统的有关因素与系统目标的关系,用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白较好的数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不同参数获取的不同结果与实际进行分析对比，进行定量,定性分析，最终作出决策。

附1：用LINGO求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2附1:用LINGO求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产A、A两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A，121或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A。

根据市场需求，生产的A、A能全部售出，且每公斤A获利212124元，每公斤A获利16元。

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为4802 小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A，设备乙的加工能力没有限制。

试为该厂制定一个生产计划，1使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题:1)若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资,若投资，每天最多购买多少桶牛奶,2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元,3)由于市场需求变化，每公斤A的获利增加到30元，应否改变生产计划, 1数学模型:设每天用x桶牛奶生产A1 ，用x桶牛奶生产A2 12目标函数:设每天获利为z元。

x桶牛奶可生产3x公斤A1，获利24*3x，x桶牛奶可生产4*x公11122斤A2，获利16*4x，故z=72x+64x212约束条件:原料供应:生产A、A的原料(牛奶)总量不超过每天的供应50桶，即 12x+x?50 12劳动时间:生产A、A的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时，即 1212x+8x?480 12设备能力:A的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时，即 13x?100 1非负约束:x、x均不能为负值，即x?0，x?0 2121综上所述可得max z=72x+64x 12s.t.x+x?50 1212x+8x?480 123x?100 1x?0，x?0 21显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划(LP)，求出的最优解将给出使净利润最大的生产计划，要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解和影响，一般称为敏感性(或灵敏度)分析。

摘要：本文利用规划模型对奶制品销售定价问题给予解决。

首先针对问题一，根据题意，利用需求关于价格的交叉伸缩性，以各奶制品的价格为自变量，销售量作为因变量，列出表达式。

同时，考虑到脂肪与奶粉产量有限，设置两个限制条件，又以销售总收入最大作为目标函数，建立线性规划模型并利用Lingo软件进行模型求解及灵敏度分析，得到5种奶制品所导致的需求，进而得到10.2⨯元471310销售总收入。

针对问题二，由于政策不允许某种产品价格上升过快，我们根据题中现有的数据，即往年各奶制品的消费量和价格得到总的消费费用，以此作为新的限制条件。

同时保留第一问中的最终目标及其他约束条件不变，用Lingo软件进行求解。

再根据新的奶制品的价格及需求得到相对应的销售收入，将销售最大化下销售价格与费用构成的销售总收入作为对比，获得10.2⨯元的经济收益。

102436针对第三问，在添加约束条件h(-%hx/)≤的情况下，保留题一的最终10目标及其他约束条件，运用题一中的规划模型并进行Lingo求解，得到较优价格及相应的收益，并将价格、销量与往年对比，分析比较该条件对不同产品的价格及销量的变化。

本文采用目标最优的方法，针对奶制品定价问题，建立线性目标规划模型，用方法解决问题，将理论用于实践。

同时本文所建立的规划模型由于其交互作用，有相当的灵活性与实用性，具有推广的实际用途。

关键词：线性目标规划价格伸缩性交叉伸缩性最优目标函数1问题重述某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。

所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产。

原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种产品，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有80万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油1和奶油2两种奶油制品和奶酪1和奶酪2两种奶酪制品，供国内全年消费。

价格的变化会影响消费需求。

为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：E=需求降低百分数/价格提高百分数。

另外，两种奶油和两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代，这一规律可以用需求关于价格的交叉伸缩性EAB定义作：EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数。

河北大学《数学模型》实验实验报告一、实验目得学会利用LINGO进行实验,熟练掌握用LINGO求解简单得线性规划问题以及能够完成对其灵敏度得分析。

二、实验要求1、实验51 加工奶制品得生产计划按如下步骤操作:(1)打开lingo(2)修改“选项…”(Options…)LINGO/Options…在出现得选项框架中,选择General Solver(通用求解器)选项卡,修改2个参数: Dual putations(对偶计算)设置为:Prices and Ranges(计算对偶价格并分析敏感性) Model Regeneration(模型得重新生成)设置为:Always(每当有需要时) 点击OK退出。

(3)在模型窗口输入模型Model:max =72*x1+64*x2;[milk] x1+x2<50;[time] 12*x1+8*x2<480;[cpct] 3*x1<100;End保存为:sy41、lg4LINGO语法:1、程序以“model:”开始,每行最后加“;”,并以“end”结束;2、非负约束可以省略;3、乘号 * 不能省略;4、式中可有括号;5、右端可有数学符号。

(4)求解模型运行菜单LINGO/Solve。

选择LINGO/Solve求解结果得报告窗口检查输出结果与教材p89得标准答案就是否相同。

(5)灵敏性分析点击模型窗口。

选择LINGO/Ranges模型得灵敏性分析报告检查输出结果与教材p90得标准答案就是否相同。

结果分析可参阅教材p9091。

2.实验52 奶制品得生产销售计划按以下步骤操作:(1)打开菜单“File”/“New”,新建模型文件。

(2)在模型编辑窗口输入模型(利用Lingo编程语言完成):(3)将文件存储并命名为sy42、lg4(记住所在文件夹)。

(4)求解模型。

(5)灵敏性分析。

检查输出结果与教材p9294得标准答案就是否相同。

结果分析可参阅教材p94。

浅谈线性规划在生活中的应用摘要线性规划的研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案.文章涉及的是在两个限定条件下的最大利润问题，它是一种最简单的线性规划，解决的方法就是用图象法和消去法.关键词线性规划;松弛变量;最优解;目标函数中图分类号0122.1线性规划作为数学规划中最简单的一种问题.它的研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题，解决的主要问题是在给定条件下，按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。

它可以表示成求函数在满足约束条件下的极大或极小值问题.如果约束条件和目标函数都是呈线性关系的就叫线性规划.要解决线性规划问题，从理论上讲都要解线性方程组，而解线性方程组的常见方法是图象法和消去法.1 预备知识线性规划是数学规划中理论成熟,方法有效,应用最广泛的一个分支.它研究满足一组线性的等式或不等式约束条件,对一定的线性目标函数进行最优化处理的问题.它是由丹捷格(G.B.Dantzig)在1947年发表的成果.所解决的问题是美国制定空军军事规划时提出的,并提出了求解线性规划问题的方法.2 线性规划问题解的基本概念2.1 线性规划线性规划是在线性约束的有限集合上使一个仿射函数(仿射函数亦即线性函数)达到最大(或最小)的优化问题.2.2 松弛变量松弛变量表示一个决策过程中原料消耗的剩余量.2.3 可行解,可行域满足若干个约束条件的解称为线性规划问题的可行解,所有的可行解构成的集合叫它的可行域.2.4 最优解满足若干个约束条件和某个目标函数式的可性解称为线性规划问题的最优解.2.5 基本可行解满足若干个非负条件的基本解称为基本可行解.3 简单线性规划问题的解法将实际生活中的线性规划问题,抽象为数学形式,目的在于找到解决问题的方法.为此,我们作以下一些讨论.3.1 最大利润问题例1 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品,已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗.如表1所示:表1该厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元,每生产一件产品Ⅱ可获利3元.问应如何安排计划,使该工厂在限定条件下获利最多?显见,这个问题可以用以下的数学模型来描述:设21,x x 分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量.因为设备的有效台时是8,这是一个限制产量的条件,所以确定产品Ⅰ、Ⅱ的产量时,要考虑不超过设备的有效台时数,即可用不等式表示为:8221≤+x x .同理,因原材料的限量,可以得到两个不等式:1641≤x ,1242≤x .该厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下,如何确定产量21,x x 以得到最大的利润.用z 表示利润,这时2132x x z +=.综合上述,此计划问题可用数学模型表示为:目标函数: 1223z x x =+约束条件: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482212121x x x x x x 3.2 两个变量的线性规划问题的图解法现在我们用图解法来解上述的例1:在以21,x x 为坐标轴的直角坐标系中,非负条件0,021≥≥x x 是指第一象限.每一个约束条件都代表一个半平面,如约束条件8221≤+x x 是代表以直线8221=+x x 为边界的左下方的半平面.若同时满足:0,021≥≥x x ,8221≤+x x ,1641≤x 和1242≤x 的约束条件的点,必然落在21,x x 坐标轴和由这三个半平面交成的区域内(如右图).阴影区域中的每一个点(包括边界)都是这个线性规划问题的解,因而此区域是此线性规划问题的解集合,称它为可行域.再来分析目标函数2132x x z +=.在这个坐标平面上,它可表示以z 为参数,以32-为斜率的一族平行线:3)32(12z x x +-=.位于同一直线上的点,具有相同的目标函数值,因而称它为“等值线”.当z 值由小变大时,直线3)32(12z x x +-=沿其法线方向向右上方移动．当移动到2Q 点时， 使z 值在可行域边界上实现最大化（如下图）:这就得到了例１的最优解对应的点2Q ,2Q 点的坐标为)2,4(.于是可计算出满足所有约束条件的最大值14=z ． 这说明该厂的最优生产计划方案是：生产４件产品Ⅰ，生产２件产品Ⅱ，可得最大利润为14元．3.3 用消去法解两个变量的线性规划问题例２ 某车间生产甲、乙两种产品，已知制造一件甲产品需要Ａ种元件５个,Ｂ种元件３个；制造一件乙产品需要Ａ种元件２个，Ｂ种元件３个.现因某种条件限制,只有A 种元件180,B 种元件135个；每件甲种产品可获利20元, 每件乙种产品可获利15元.试问在这种条件下,应该生产甲、乙两种产品各多少件才能得到最大利润?解: 设应该生产甲产品1x 件,乙产品2x 件,才能得到最大利润S 元.根据题意,此问题可用数学模型表示为:目标函数 122015S x x =+满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1353318025212121x x x x x x即求解满足约束条件的21,x x ,使目标函数211520x x S +=的值最大.为此,引进松弛变量43,x x ,把线性规划问题化为标准形式:求21'1520x x S S --=-=的最小值,并且满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,135********321421321x x x x x x x x x x也就是求方程组 ⎩⎨⎧≤+≤+)2(13533)1(180252121x x x x的非负解,并且使目标函数21'1520x x S S --=-=的值最小．显然,有一个可行解是: 135,180,0,04321====x x x x .相应的目标函数值为: 0015020'=⨯-⨯-=S再从目标函数21'1520x x S S --=-=看出.如果1x 不取0,而增大1x 的值,目标函数的值可以减少.为此,把1x 换成3x .由)1(得 321515236x x x --= 这样,原方程组可改写成 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=--=)4(3)515236(3135)3(5152362324321x x x x x x x 相应的目标函数可改为: 232'15)515236(20x x x S S ----=-= 3247720x x +--=显然,又可得另一个可行解是: 27,0,0,364321====x x x x相应的目标函数值为: 0407720'⨯+⨯--=S720-=再从目标函数32'147720x x S S +--=-=看出．如果2x 不取0,而增大2x 的值,目标函数的值还可以减少.为此,把2x 换成4x ,并且化简)4(得 )5(953115432x x x -+=将)5(式代入)3(式得 343151)953115(5236x x x x --+-= 43923130x x +-= 因而方程组可改写成 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=)7(953115)6(923130432431x x x x x x相应的目标函数改为 343'24)953115(7720x x x S +-+--= 4393535825x x ++-= 显然,又可得另一个可行解是: 0,0,15,304321====x x x x相应的目标函数值为0935035825'2⨯+⨯+-=S 825-= 从目标函数41'293535825x x S ++-=可以看出,目标函数825'2-=S 已经是最小值,所以这一可行解是最优解.即原问题的最优解为 15,3021==x x相应的目标函数值 825'=-=S S所以在这种条件下,生产甲、乙产品各30件、15件,使得最大利润为825元.以上是用两种不同的方法解决了我们生产生活中常遇到的最大利润问题.消去法作为数学中常见的一个解方程组的方法,在解线性规划的问题中起到了很重要的作用.下面,我们再看一例,如何用消去法解线性规划中的问题.例3 求21,x x 的值,使它们满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,8234212121x x x x x x并使目标函数 2152x x S +=的最大值. 解: 引进松弛变量543,,x x x ,把题目对应的线性规划问题化为标准形式:求21'52x x S S --=-=的最小值,并且满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=+0,,,,8234543215214231x x x x x x x x x x x x也就是求方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)3(28)2(3)1(42152413x x x x x x x 的非负解,并且使目标函数21'52x x S S --=-=的值最小．显然,有一个可行解是: 8,3,4,0,054321=====x x x x x .相应的目标函数值为: 0502'1⨯-⨯-=S再从目标函数21'152x x S --=看出．如果1x 不取0,而增大1x 的值,目标函数的值可以减少.为此,把1x 换成3x .由)1()3(-得23524x x x -+=这样,原方程组可改写成 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-=-=)6(24)5(3)4(42352431x x x x x x x 相应的目标函数可改为: 23'25)4(2x x S ---= 23528x x -+-=显然,又可得另一个可行解是: 4,3,0,0,454321=====x x x x x相应的目标函数值为: 05028'2⨯-⨯+-=S从而 8'1'2-=-S S再从目标函数23'2528x x S -+-=看出．如果2x 不取0,而增大2x 的值,目标函数的值还可以减少.为此,把2x 换成5x , 由)6(21)5(⨯-得 35421125x x x -=-即 53421211x x x +-= 由)6(21⨯得 53221212x x x -+=因而方程组可改写成 132354354(7)112(8)22111(9)22x x x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩ 相应的目标函数改为 )21212(5)4(2533'3x x x S -+--= 53252118x x +--= 显然,又可得另一个可行解是: 0,1,0,2,454321=====x x x x x对应的目标函数值为02502118'3⨯+⨯--=S 从而 10'2'3-=-S S 再从目标函数53'3252118x x S +--=可以看出,如果3x 不取0,而增大3x 的值,目标函数的值还可以减少.为此,把3x 换成4x由)9(2)7(⨯-并化简整理得54122x x x -+=由)9()8(+并化简整理得423x x -=由)9(2⨯并化简整理得54322x x x +-=因而方程组可改写成 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-+=5434254122322x x x x x x x x相应的目标函数改为 )3(5)22(2454'4x x x S ---+=54219x x ++-=显然,此时的可行解为: 0,0,2,3,254321=====x x x x x对应的目标函数值为02019'4⨯++-=S从而 1'3'4-=-S S从目标函数 54'4219x x S ++-=看出,目标函数19'4-=S 已经是最小值,所以这一可行解是原方程组的最优解.即当3,221==x x 时满足给定的约束条件,并且使目标函数有最大值为19.众所周知,在生产生活中人们经常遇到一些要求对现有资源、设备进行统一分配,全面安排,合理调度或最优设计等问题.从而提高经济效益,创造更多的价值.而提高经济效益的途径,一方面是靠技术的改革,另一方面要改进生产组织和计划,也就是作到合理安排人力、物力资源,合理组织生产过程,在条件不变的情况下统筹安排.在众多可能的方案中,选取出最经济、最合理的一个可行方案,从而进行最优决策.致谢 在此,衷心的感谢周老师在本文写作过程中给予了悉心的指导！参 考 文 献[1]/[M].(数学规划协会)[2]运筹学(三版)[M].《运筹学》教材编写组.清华大学出版社[3]线性规划导论[M].谢金星,姜启源,张立平等译[4]不等式与线性规划初步[M].吴德风.科学普及出版社[5]最优化模型与实验[M].米德通[6]顾基发,唐锡晋.软系统工程方法论与软运筹学.系统研究[M].浙江人民出版社Disscussion on the usage of linear programming in practiceHe Tonglei instructor: Zhou Jun(Student Number 3 Class 5 of 2007, Specialty of Mathematics and AppliedMathematics Departement of Mathematics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000,China)Abstract The targets of the linear programming research are some problems concerned about the arrangements and evaluations in the works of plan and management,and the problems the linear programming going to solve is to find the best scheme according to a certain evaluating criterion under a given situation.This article is about the biggest profits question in two restricted reguirements.This is the simplest linear programming.Graph and elimination are the solutions to it.Key word The Linear Programming,Slack Variable,Best Solution,targeting function以下是附加文档，不需要的朋友下载后删除，谢谢顶岗实习总结专题13篇第一篇:顶岗实习总结为了进一步巩固理论知识，将理论与实践有机地结合起来，按照学校的计划要求，本人进行了为期个月的顶岗实习。

线性规划问题在经济生活中的应用线性规划理论广泛应用于军事、经济、工业、农业等国民经济的各个部门，除了这种方法能解决各个部门提出的生产力布局、作业计划、原料配制、产品搭配等实际问题外，还因为线性规划模型本身，以及它们的解题方法和应用分析，能够比较容易地为一般没有较深数学基础的经营管理人员所理解和掌握，特别是借助于电子计算机的专用程序，不仅能加快运算速度，而且能解决上百.上千个变量的复杂模型;线性规划不仅能求得问题的最优解，而且还可以提供经济分析的数据资料。

在线性规划的应用分析中所涉及到的一个重要概念是影子价格，它是数学规划理论与经济分析相结合的产物。

影子价格通常反映资源最佳利用状况，是对资源的边际收益或衣品的边际成本的一种估价。

利用线性规划和影子价格可以为区域经济规划提供有用的数量信息。

本文试图用数学语言来说明线性规划和影子价格，并讨论它们的经济意义以及在区域经济规划中的应用。

线性规划模型的一般形式是:在约束为:（式略）这是一对具有特殊性的配对的规划模型，我们可以把一个问题称为“原问题”，另一个问题称为“对偶问题”。

下表总结出了从一个已知的原问题转换为对偶问题的规律，这些规律是假设已经有了一般模型的方程式，然后根据这些规律建立它的对偶模型(见表)。

对偶问题与原问题是一个问题的两个方面，对偶问题可以从不同角度提供观察问题的另一种方法，有时还可以简化运算。

在利用单纯形法解原问题时，同时就可以得到其对偶问题的解。

反之，求得对偶问题的解，同时也就可得到原问题的解。

它们之间的一个重要关系即是:若原问题与对偶问题均属可解，且原问题最优解为（式略）即:刘.偶问题与原问题的目标函数最优值相等。

所谓影子价格，就是指由于线性规划模型中约束条件右端项B的某一分量(比如bi，i二l，2，…，n)增加一个单位而引起的目条件下，’原问题与对偶问题的目标函数最优值是相等的，即:（式略）如果bi增加一单位，则目标函数最优值就会相应增加y，’单位，而yj件即为对偶问题最优解Y’的第i个分量。

线性规划在经济生活中的应用（奶制品的生产和销售问题）[问题的提出]一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。

根据市场需求，生产的A1、A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。

试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大？[问题的分析]该问题的决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力。

设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2，并设每天获利为z元。

则：x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24⨯3x1元，x2桶牛奶可生产4x2公斤A2，获利16⨯4x2元，目标函数为：Max z=72x1+64x2。

由题设可以得到如下约束条件：原料供应： x1+x2≤50桶；劳动时间：12x1+8x2≤480小时；设备能力： 3x1≤100；非负约束：即x1≥0，x2≥0．综上可得该问题的数学模型为：Max z=72x1+64x2 ；s.t.x1+x2≤50；12x1+8x2≤480；3x1≤100；x1≥0；x2≥0；[问题的求解]1、图解法：这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规划的基本性质。

如下图所示：可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD ．容易算出，5个顶点的坐标为：O(0，0)，A(0，50)，B(20，30)，C(100/3，10)，D(100/3，0)。

目标函数中的z 取不同数值时，在图中表示一组平行直线(虚线)，可以看出，当这族平行线向右上方移动到过B 点时，z=3360，达到最大值，所以B 点的坐标(20，30)即为最优解：1x =20，2x =30。

2、图解法只能求解只有两个变量的LP 模型，如果遇到多个变量时，就要考虑用其他方法，最常用的是用MAtlab 或者Lingo 软件进行求解，下面简单的用lingo 软件来求解本题的答案。