《数学实验》课程综合实验奶制品加工问题
一、问题重述
一奶制品加工厂用牛奶生产A
1, A
2
两种初级奶制品，它们可以直接出售，也
可以分别深加工成B
1, B
2
两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成
2公斤A
1和3公斤A
2
,每桶牛奶的买入价为10元，加工费为 5元，加工时间为
15小时。每公斤A
1可深加工成0.8公斤B
1
，加工费为4元，加工时间为12小时；
每公斤A
2可深加工成0.7公斤B
2
，加工费为3元，加工时间为10小时；初级奶
制品A
1, A
2
的售价分别为每公斤10元和9元，高级奶制品B
1
, B
2
的售价分别为
每公斤30元和20元，工厂现有的加工能力每周总共2000小时，根据市场状况，高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的20%至40%。试在供需平衡条件下为该厂制订（一周的）生产计划，使利润最大，并进一步讨论如下问题：1）拨一笔资金用于技术革新，据估计可实现下列革新中的某一项：总加工
能力提高10%，各项加工费用均减少10%。初级奶制品A
1，A
2
的产量提高10%；
高级奶制品B
1，B
2
的产量提高10%。问应将资金用于哪一项革新，这笔资金的上
限（对于一周而言）应为多少？
2）该厂的技术人员又提出一项技术革新，将原来的每桶牛奶可加工成2公斤
A 1和3公斤A
2
，变为每桶牛奶可加工成4公斤A
1
或者6公斤A
2
。设原题目给的其
它条件都不变，问应否采用这项革新，若采用，生产计划如何。
二、问题分析
在生产的过程中，往往会产生不同的生产方案，由此引起的生产费用成本也是不相同的，而且，同种原料也会产生很多不同种类、不同价格的最终产品，因此，本题以成本控制和目标利润为主导，对实际生产计划经过简化的加工方案优化设计, 这是一个可以转化的数学问题，我们可以利用线性和非线性规划并结合回归分析方法来研究。
首先我们可以将奶制品的加工和销售过程转化成以下简单而又易懂的图形：
由题意可知:
A1, B1, A2, B2 的售价分别为p1= 10, p2= 30, p3 = 9, p4= 20( 元/ 公斤) 。牛奶的购入和加工费用为q1= 10+ 5= 15( 元/ 桶) , 深加工A1, A2 的费用分别为q2 = 4, q3= 3( 元/ 公斤) 。
每桶牛奶可加工成a= 2 公斤A1 和b= 3 公斤A2, 每公斤A1 可深加工成c= 0. 8 公斤B1, 每公斤A2 可深加工成d = 0. 7 公斤B2。
每桶牛奶的加工时间为15 小时, 每公斤A1, A2 的深加工时间分别为12, 10( 小时) , 工厂的总加工能力为S= 2000 小时。
B1, B2 的销售量( 即产量) 占全部奶制品的比例为20% ~ 40%。
记出售A1, B1 的数量分别为x1, x2( 公斤) , 出售A2, B2 的数量分别为x3, x4( 公斤) , 生产的A1,A2 的数量分别为x5, x6( 公斤) , 购入和加工牛奶的数量为x7 桶, 深加工的A1, A2 的数量分别为x8,x9( 公斤) 。
三、符号说明与名词定义
变量设定：
记出售A1, B1 的数量分别为x1, x2( 公斤) , 出售A2, B2 的数量分别为x3, x4( 公斤) , 生产的A1,A2 的数量分别为x5, x6( 公斤) , 购入和加工牛奶的数量为x7 桶, 深加工的A1, A2 的数量分别为x8,x9( 公斤) 。
四、模型建立与求解
根据上面的分析, 在供需平衡的条件下, 使得利润最大的生产计划应满足下面的线性规划模型:
maxz= 10x1+ 30x2+ 9x3+ 20x4- 15x7- 4x8- 3x9
x5= 2x7, x 6= 3x7, x2= 0. 8x 8, x4= 0. 7x9,
x5= x 1+ x8, x6= x 3+ x9,
15x7+ 12x 8+ 10x 9≤2000, ( 1)
0. 2( x 1+ x2+ x3+ x 4)≤x 2+ x4≤0. 4( x 1+ x2+ x3+ x4),
x1, x 2, x3, x4, x 5, x6, x7, x 8, x9 ≥0
利用MATLAB 求解, 并作Lagrange( 下记Lag) 分析可得:
X= ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) =( 5511846, 6510407, 20418780, 0, 13615854,20418780, 6812927, 8113008, 0)
Lag= ( 8. 0976, 7. 0976, - 37. 6098, - 35.8420, 8. 0976, 7. 0976, 1. 4992, 9. 5122, 0, 0, 0, 0,8. 2323, 0, 0, 0, 0)
z= 299814
对所解得的X 值作适当的取整处理可以得到( 一周的) 生产计划为: 购入、加工68 桶牛奶, 加工成136 公斤A1, 204 公斤A2, 其中55 公斤A1 直接出售, 81 公斤A1 再加工成才4. 8 公斤B1 出售, 而204 公斤A2 则全部直接出售, 这样可获得利润为2986 元。
由Lag 值可知, 加工能力2000 小时已用足, 且每增加工1 小时可获利1. 4992 元; 高级奶制品的产量占全部奶制品产量达到下限20% 。而按上面给出的计划实施可算出加工能力为1992 小时, 高级奶制品的产量比例为20. 01% , 因此, 此计划是可行的。
如果在建模时就要求购入和加工牛奶的桶数x7 为整数, 那么线性规划模型( 1) 将变为混合整数规划模型, 可用LINDO 软件求解得:
X= ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) =( 54. 3333, 65. 3333, 204, 0, 136, 204, 68, 81. 6667, 0)
z= 2992. 7
与上面的结果稍有差别。
四、进一步讨论
1、确定革新项目
总加工能力提高10%, 即S= 2200 小时, 由( 1) 式求解得最大利润为z= 3298.
2 元。
各项加工费用均减少10%, 即q1= 14. 5 元/桶, q2= 3. 6, q3= 2. 7( 元/ 公斤) , 由( 1) 式得最大利润为z= 3065 元。
初级奶制品A1, A2 的产量提高10%, 即a= 2. 2, b= 3. 3( 公斤) , 由( 1) 式得最大利润为z=3242. 5 元。
