重庆市育才中学2021-2022学年高二下学期第一次月考 数学试题含答案

2021-2022年高二下学期第一次月考数学文含答案考生注意：1、本试卷设试卷Ⅰ、Ⅱ卷和答题卡纸三部分，试卷所有答题都必须写在答题纸上。

2、答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时就特别注意，不能错位。

3、考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、如果，那么，下列不等式中正确的是（）（A）（B）（C）（D）2、不等式的解集为（）（A）（B）（C）（D）3、若关于x的不等式x2－px－q＜0的解集为(2，3)，则关于x的不等式qx2－px－1＞0的解集为( ) A.(2，3) B.（－3，－2） C.(13，12).. D.(－12，－13)4、若，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.5、甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（）A．0.95 B．0.35 C．0.6 D．0.46、命题p：若a、b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1∪[3，+∞.则（）A．“p或q”为假 B．“p且q”为真 C．p真q假D．p假q真7、设函数，则满足的x的取值范围是（A），2] （B）[0，2] （C）[1，+）（D）[0，+）8、设不等式组110330530x yx yx y9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]9、在区间[, 2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在[, 2]上的最大值为（A）（B）4 （C）8 （D）10、正方形的四个顶点分别是（2，2）、（－2，2）、（－2，－2）、（2，－2），P点在正方形内，且P点到各边的距离的平方和为20，并与直线的距离最短，则P点坐标是（）A. B.（1，1） C.D.(－12，)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、若复数i m m m m z )23(23222+-+--=是纯虚数，则实数的值为 12、已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝____________ 13、不等式|x+3|-|x-1|a-3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为14、若关于的方程有解，则实数的取值范围是15、已知α、β是实数，给出下列四个论断：① |α+β|=|α|+|β|；② |α－β|≤|α+β|；③ |α|≥2, |β|≥2；④ |α+β|>5，以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题 .三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，过程或步骤 ）16、（本题满分12分）设函数f(x)＝lg 的定义域为A ，且命题p ：3∈A 与q ：5∈A 满足“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数的取值范围．17、（本小题满分12分）某化工企业xx 年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；（2）问该企业几年后的年平均污水处理费用最低？18、（本小题满分12分）已知函数（）.（Ⅰ）若函数的图象在点P （1，）处的切线的倾斜角为，求的值； （Ⅱ）若存在，使，求的取值范围．19、（本小题满分12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的 直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，是的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.(Ⅰ)求出该几何体的体积。

重庆市育才中学校2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题 2021.10本试卷为第I 卷（选择题）和第II 试卷（非选择题）两部分， 共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

I 卷一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线30+-=的倾斜角为 A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．椭圆2214x y m+=的焦距是2，则m 的值是A ．8B ．5或3C ．5D ．33．已知直线l 的方向向量是()3,2,1a =，平面α的法向量是()1,2,1u =--，则l 与α的位置关系是 A ．l α⊥B ．//l αC ．l 与α相交但不垂直D ．//l α或l α⊂4．若点()3,1-是圆()22225x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 A ．40x y --= B ．270x y --= C ．20x y +-=D ．250x y +-=5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C 的面积为，1F 、2F 分别是C 的两个焦点，过1F 的直线交C 于A 、B 两点，若2ABF 的周长为8，则C 的离心率为A ．12B C D ．236．圆2241210++-+=x y x y 关于直线60(0,0)-+=>>ax by a b 对称，则26+a b的最小值是A ．B ．203C ．323D ．1637． 已知点P 在椭圆22193+=x y 上运动，点Q 在圆 225(1)8-+=x y 上运动，则PQ的最小值为A ．2B C ．2 D ．48． 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.(),A x y 与点(),B a b 之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数()f x =()f x 的最小值为A ．B ．C ．D ．2二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如果0AB <，0BC >，那么直线0Ax By C ++=经过 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设椭圆22:1(0)2x C y a b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是A ．12PF PF +=B ．离心率e =C ．12PF F △D ．以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E O 分别是11A B ，11A C 的中点，P 在正方体内部且满足1132243AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是A ．点1B 到直线BE B ．点O 到平面11ABC DC ．平面1A BD 与平面11B CD D ．点P 到直线AD 的距离为5612． P ，底面圆心为O ，2PO =.点Q 为PO （不含端点）上的动点，若光线从点Q 出发，依次经过圆锥的侧面与底面反射后重新回到点Q ，则光线经过路径长度的可能取值为A ．52B ．C ．D ．4 II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点P 是椭圆222+36=x y 上的点，则点P 到椭圆的一个焦点的最短距离为_____. 14．已知直线1:20+-=l mx y 与直线()2:240-+-=l m x my 垂直，则实数=m _____. 15.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点,A B 距离之比是常数()0,1λλλ>≠的点M 的轨迹是圆，若两定点,A B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为______________. 16．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 上存在点M 使三角形12MF F 2，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是______________.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆()22:24C x y +-=，直线():10l mx y m m R -+-=∈（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，且120ACB ∠=︒，求直线l 的方程.18．（12分）已知ABC ∆，()1,0A ,(B ，3ABC π∠=，x 轴为BC 边中线.（1）求AC 边所在直线方程；（2）求A ∠内角角平分线所在直线方程.19．（12分）已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其右焦点为)1F ，A 为椭圆（一象限部分）上一点，M 为1AF 中点，1OM AF ⊥，1MOF ∆面积为14. （1）求椭圆C 的方程；（2）过A 做圆222x y b +=两条切线，切点分别为,C D ，求AC AD ⋅的值.20.（12分） 在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 线段的中点为，点为上的点，且12MO AC =. （1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角B AM C --平面角的余弦值.21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,4P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴交点为Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同两点A 、B .（1）动圆过点P 且与圆O 外切，求动圆圆心M 的轨迹方程（只需求出轨迹方程，无需限制范围）；（2）设直线QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k +为定值. 22．（12分）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -底面是边长为2的正方形，侧棱长为23，有一圆柱以平面1111A B C D 、平面ABCD 分别为上下底面，且其侧面与长方体除开平面1111A B C D 、平面ABCD 后剩余的四面均相切. 点P 为平面11ABC D 截圆柱所得椭圆上的一动点.（1）求平面11ABC D 截圆柱所得椭圆的面积； （2）求PA PC ⋅的最大值.重庆育才中学高2023届2021-2022学年（上）第一次月考数学答案一、选择题1.A2.B3.D4.A5.A6.C7.D8.A9.ACD 10.AD 11.BCD 12.AC二、填空题14. 0或115. 4π16.12⎫⎪⎪⎣⎭ 三、解答题17、已知圆()22:24C x y +-=，直线():10l mx y m m R -+-=∈（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，且120ACB ∠=︒，求直线l 的方程.解析：（1）直线l 过定点()11，，由于()221124+-<，故定点在圆的内部，则直线l 与圆C 相割.(2)由条件知，圆心(0,2)C 道直线l 的距离为110m =⇒=，所求直线方程为1y =.18、已知ABC ∆，()1,0A,(B ，3ABC π∠=，x 轴为BC 边中线.（1）求AC 边所在直线方程；（2）求A ∠内角角平分线所在直线方程.解析：（1）设BC 交x 轴于点M ，根据条件ABM ∆为等边三角形，则()3,0M ，M 为BC中点，则(4,C .故AC直线方程为10x +-=.（2）A ∠内角角平分线斜率为()tan 604523k =︒-︒=-，故()()231y x =--.（也可以通过方向向量来处理、角平分线定理也行）19、已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其右焦点为()13,0F ，A 为椭圆（一象限部分）上一点，M 为1AF 中点，1OM AF ⊥，1MOF ∆面积为14. （1）求椭圆C 的方程；（2）过A 做圆222x y b +=两条切线，切点分别为,C D ，求AC AD ⋅的值. 解析：（1）设椭圆左焦点为2F ，则2//OM AF ,1OM AF ⊥，则21AF AF ⊥,又12141AF F OMF S S ∆∆==，则221212122AF AF AF AF ⎧+=⎨⋅=⎩，则22121212224a AF AF AF AF AF AF =+=++⋅=，故2,3,1a c b ===，则椭圆方程为2214x y +=. （2）1211232AF F A S y ∆==⨯⨯，则33A y =，代入椭圆263A x =，故263,33A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3OA =，设OAC θ∠=，则26cos 33θ==.()()222cos 2312cos 13AC AD AC θθ⋅==--=20、在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 线段的中点为，点为上的点，且12MO AC =. （1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角B AM C --平面角的余弦值.【解析】（1）由于12MO AC=，则AM MC⊥，又由于平面，则CD PA⊥，又CD AD⊥，则CD⊥平面PAD，则AM CD⊥，故AM⊥平面，则平面⊥平面.（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A(2,0,0)B，(0,4,0)D，(0,0,4)P，,由（1）可知AM⊥平面，且M为PD的中点，故AM PD⊥，由于AB PD⊥，则PD⊥平面ABM，则(0,4,4)PD=-为平面ABM的法向量，则1(0,1,1)n=-为平面ABM的法向量，(0,2,2)M设平面AMC的法向量为(,,)n x y z=，由于,n AC n AM⊥⊥，(2,4,0),(0,2,2)AC AM==，则2402220x y x yn ACy z z yn AM⎧+==-⋅=⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎩⎩，令1y=，则2(2,1,1)n=--平面AMC的法向量，设平面ABM与平面AMC所成二面角的大小为θ，则12123cos3n nn nθ⋅==.21在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,4P，圆22:4O x y+=与x轴的正半轴交点为Q，过点P的直线l与圆O交于不同两点A、B.（1）动圆过点P且与圆O外切，求动圆圆心M的轨迹方程（只需求出轨迹方程，无需限制范围）；（2）设直线QA、QB的斜率分别为1k、2k，求证：12k k+为定值.解析：（1）设(),M x y，则2OM MP=+，2=+2=，两边平方：24x y+-=两边继续平方：234816160y xy x y+--+=.（2）设()11,A x y，()22,B x y，()2,0Q，设AB的直线方程为：()42y k x-=-.()()()()2222242124242404y k xk x k k x kx y⎧-=-⇒++-+--=⎨+=⎩()()122212222412441k k x x k k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩()()()()()121212121212121224244422211222224k x k x x x y yk k k k k x x x x x x x x -+-++-+=+=+=+=+--=------++ 22、如图，已知长方体1111ABCD A B C D -底面是边长为2的正方形，侧棱长为23，有一圆柱以平面1111A B C D 、平面ABCD 分别为上下底面，且其侧面与长方体除开平面1111A B C D 、平面ABCD 后剩余的四面均相切. 点P 为平面11ABC D 截圆柱所得椭圆上的一动点. （1）求平面11ABC D 截圆柱所得椭圆的面积； （2）求PA PC ⋅的最大值. 解析：（1）设平面11ABC D 与底面ABCD 所成二面角为θ 则()221cos 22232θ==+，由于所截椭圆在底面上的投影刚好是圆柱的底面，由面积射影的方法可知. 则1cos 22S S S S ππθ===⇒=圆椭圆椭圆椭圆 （2）过C 作1CE BC ⊥，由于AB CE ⊥，则CE ⊥平面11ABC D ，在直角1BCC ∆中，容易知道3CE BE ==.取平面11ABC D 建立如图所示的直角坐标系，椭圆方程为2214x y +=，()2,1A -，()32,1E --，设()2cos ,sin P θθ()()()22cos 2,sin 12cos 32,sin 13cos 823cos 423PA PC PA PE θθθθθθ⋅=⋅=+--++=+-+-其中[]cos 1,1θ∈-由于10-<<，故PA PC ⋅的最大值当且仅当cos 1θ=时取得.则()max15PA PC⋅=-。

宁夏育才中学2021～2022学年第一学期高二班级第一次月考 数学（文科）试卷(试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟) 命题人：马海荣一、选择题（每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为（ ）A.)43()1(--=n a n nB.)43()1(1--=-n a n nC.43-=n a nD.43+-=n a n2、已知数列{}na 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+=-581151a a a n n )2,(≥∈+n N n ，则3a 的值为( )A.58 B.35 C.23 D.813 3、====∆︒B A b a ABC 则中，在,30,34,4（ ）A.︒60B.︒︒12060或C.︒30 D.︒︒15030或 4、在等差数列}{n a 中，若35065432=++++a a a a a ，则71a a +等于（ ） A.35 B.70 C.140 D.1805、若三实数33,22,++x x x 成等比数列，则x 的值为（ ）A.4-=xB.1-=xC.1-=x 或4-=xD.R x ∈ 6、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2462,10,S S S ==则等于 A.42B.24C.18D.127、在等比数列{}n a 中，若39141==a a ，，则该数列前五项的积为（ ） A.3 B.3±C.1D.1±8、为那么这个三角形的形状中，如果在,cos cos B b A a ABC =∆（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形9、已知数列}{n a ，}{n b 都是等比数列，那么（ ） A.}{},{n n n n b a b a +都不肯定是等比数列 B.}{},{n n n n b a b a +都肯定是等比数列C.}{n n b a +肯定是等比数列，但}{n n b a 不肯定是等比数列D.}{n n b a +不肯定是等比数列，但}{n n b a 肯定是等比数列 10、设等比数列{}n a 的公比3=q ，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A.340B.4C.152D.311、已知数列}{n a 为等差数列，1010=a ，其前10项和7010=S ，则其公差d 为（ ）A.32-B. 31-C. 31D. 3212、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58,012211==-+-+-k k k k S a a a ，则=k （ ）A.10B.15C.58D.29二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知,231,231-=+=b a 则b a ,的等差中项为14、在等比数列{}n a 中，2412a a =,则2135a a a =_________. 15、==∆==∆C S ABC CA CB ABC 2cos ,12,5,8则的面积中，已知在16、的通项公式为则数列项和为的前已知数列}{,1}{2n n n a n n S n a ++=三、解答题（共70分，要求写出解答或证明过程）17、（本小题10分）已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值．18、（本小题12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =．(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．19、（本小题12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列. （1）求}{n a 的公比q 的值； （2）若1a －3a ＝3，求n S .20、（本小题12分）海中有岛A,已知岛A 四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东︒75方向上，航行220海里后，观察海岛在北偏东︒30方向上，若货轮不转变航向连续前进，问有无触礁的危急？(449.26732.13414.12≈≈≈，，)21.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，28a =，前6项的和666=S .（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设122,...(1)n n n nb T b b b n a ==++++，求n T .22（本小题12分）已知数列{}n a 满足23,211+==+n n a a a . （1）求证：数列{}1+n a 是等比数列； （2）设n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .宁夏育才中学2021～2022学年第一学期高二班级 第一次月考数学（文科）试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）ACBCA BCDDA DB二、填空题（每小题5分，共20分）13、3; 14、41; 15、257; 16、⎩⎨⎧≥==.2,2,1,3n n n a n三、解答证明题（共70分）17.解：(1)32+-=n a n ； (2)7=k . 18.解：(1)10; (2)863. 19.解：(1)21-=q ; (2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=n n S )21(138.20.解：21.解：22.解：则13233)1(32313+⋅+⋅-+⋅+⋅=n n n n n Q两式相减，得由.2)1(3)412(433)412(433)31(23331)31(333332111112+-⋅-+=∴⋅-+=∴⋅---=⋅---=⋅-++=-+++++n n n T n Q n n n Q n n n n n n n n n n n。

2019-2020学年重庆育才中学高二第一次月考数学试题一、单选题1．两直线a 与b 是异面直线，//b c ，则a 、c 的位置关系是（ ） A ．平行或相交 B ．异面或平行C ．异面或相交D ．平行或异面或相交 【答案】C【解析】直观想象分析即可. 【详解】由题可得, a 、c 的位置关系可以是异面或相交. 故选：C 【点睛】本题主要考查了空间直线中的位置关系,属于基础题型. 2．下列说法正确的是（ ） ①任意三点确定一个平面； ②圆上的三点确定一个平面； ③任意四点确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面. A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【解析】考虑特殊情况，三点共线无法确定平面，当三点不共线时可以确定平面，而若四点中的任意三点不共线，则可以确定四个平面，易得答案 【详解】①中，若三点在一条直线上，则不能确定一个平面；③中，若四点中的任意三点不共线，则可以确定四个平面；易知②④正确. 【点睛】本题考查共线问题和共面问题，属于基础题3．若抛物线22y px =的焦点为()1,0，则p 的值为（ ） A ．2- B ．4-C ．2D ．4【答案】C【解析】利用抛物线22y px =的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出p 的值.【详解】因为抛物线22y px =的焦点为()1,0，所以12p=， 2p ∴=，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 4．已知平面α，β及直线a ，b ，下列说法正确的是（ ） A ．//a b ，b α⊂，则//a αB ．a α⊥，b α⊂，则a b ⊥r rC ．//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a bD ．αβ⊥，a α⊂，则a β⊥【答案】B【解析】根据线面平行、垂直的性质与判定逐个判断即可. 【详解】对A, //a b ,b α⊂,也有可能a α⊂,故A 错误.对B,根据线面垂直的性质,若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥r r.故B 正确.对C, 若//αβ，a α⊂，b β⊂，但,a b 也可能异面,故C 错误.对D,若αβ⊥，a α⊂,根据面面垂直的性质,则需要a 垂直,αβ交线才有a β⊥.故D 错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查了空间线面、平行垂直的性质与判定,属于基础题型. 5．等比数列{}n a 中，32a =-，118a =-，则7a =（ ） A ．4- B ．4 C ．4±D ．5-【答案】A【解析】由等比数列性质得223117716a a a a =∴=因为等比数列中3a ，，117a a ，同号，所以7-4a =，选A.6．对任意实数θ，则方程22sin 4x y θ+=所表示的曲线不可能是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】C【解析】思路分析：用Ax 2+By 2=c 所表示的圆锥曲线，对于k=0,1及k ＞0且k≠1，或k ＜0，分别讨论可知：方程x 2+ky 2=1不可能表示抛物线7．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23πB ．43π C ．53π D ．2π【答案】C 【解析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.【考点】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.8．若椭圆()222210x y a b a b +=>>3则双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为（ ） A ．54B 5C ．32D ．54【答案】B【解析】由题意首先确定a ,b 的关系，然后求解双曲线的离心率即可. 【详解】由椭圆()222210x y a b a b +=>>32a =,得a 2=4b 2，所以a =2b .所以双曲线的离心率22e a b ===.故选B . 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，双曲线的离心率等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．下列说法正确的是（ ）A ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B ．若直线a 与平面α、平面β所成角相等，则//αβC ．若平面α内不共线三点到平面β的距离相等，则//αβD ．已知二面角l αβ--的平面角为120°，P 是l 上一定点，则一定存在过点P 的平面γ，使γ与α，γ与β所成锐二面角都为60°【答案】D【解析】根据线空间中线面的位置关系方法逐个证明或举出反例即可. 【详解】对A, 若直线a ,b 与平面α所成角都是30°,则直线a ,b 也可能异面.故A 错误. 对B, 若直线a 与平面α、平面β所成角相等,易得反例如αβ⊥, 且直线a 与平面α、平面β所成角均为45︒时//αβ不成立,故B 错误.对C, 若平面α内不共线三点到平面β的距离相等,且三点在平面β的两侧时//αβ不成立,故C 错误.对D,易得当平面γ过l 且经过二面角l αβ--的平面角的角平分线时成立.故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系,属于基础题型.10．如果P 是等边ABC V 所在平面外一点，且23PA PB PC ===，ABC V 边长为1，那么PA 与底面ABC 所成的角是（ ）．【解析】【详解】如图，易知P ABC -为正三棱锥，PO ⊥面ABC ，PA 与底面ABC 所成的角，即为APO ∠，33AO AB ==，23PA =， ∴3cos AO PAO PA ∠==， 故30PAO ∠=︒． 故选A ．点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小 二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可11．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（ ）．（1）AC BD ⊥ （2）AC P 截面PQMN （3）AC BD = （4）异面直线PM 与BD 所成的角为45︒【解析】//,//QM PN QM ∴Q 面ABD ,因此//QM BD ,同理可得//AC MN ，//,//,QM BD AC MN MN QM AC BD ⊥∴⊥Q ;（1）正确；//AC MN ∴Q AC P 截面PQMN ;（2）正确；//,//,1MN QMQM BD AC MN AC BD∴+=Q ,(3)不一定正确； //,QM BD ∴Q 异面直线PM 与BD 所成的角为045,PMQ ∠= (4)正确，选C.点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小.12．已知P ABC -是正四面体(所有棱长都相等的四面体)，E 是PA 中点，F 是BC 上靠近B 的三等分点，设EF 与PA PB PC 、、所成角分别为αβγ、、，则（ ）．A ．βγα>>B ．γβα>>C ．αβγ>>D ．αγβ>>【答案】D【解析】分别取AB 中点G ，AC 中点H ，连结GE ，GF ，EH ，FH ，AF ，如图所示，则FEA α=∠，FEG β=∠，FEH γ=∠，2a EH =，2a EG =，2aFH =由P ABC -是正四面体（所有棱长都相等的四面体），设正面体的棱长为a∴根据余弦定理可得2279AF a =，22736GF a = ∴22222719494cos 22a a EF a EF a EF a EF α+--==⋅，22222743618cos 22a a EF a EF a EF a EF β+-+==⋅，222244cos 22a a EF EF a EF a EF γ+-==⋅ ∴cos cos cos αγβ<<，且βγ，为锐角 ∴αγβ>> 故选D二、填空题13．直线:30l x y ++=被圆22:(1)(2)16C x y ++-=截得的弦长为_________.【答案】【解析】利用垂径定理求解即可. 【详解】圆心()1,2-到直线:30l x y ++=的距离d ==又半径为4r =.故弦长为==故答案为：【点睛】本题主要考查了垂径定理求解圆的弦长问题,属于基础题型.14．自空间一点分别向70°二面角的两个平面引垂线，这两条直线所成的角的大小是_______. 【答案】70°【解析】画图分析求解即可. 【详解】由图可得, 自空间一点分别向70°二面角的两个平面引垂线,两条直线所成的角的大小是70︒.当该点在其他位置时也成立.故答案为：70︒ 【点睛】本题主要考查了空间中的角度问题.属于基础题型.15．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为60°的直线交抛物线于A ，B 两点（点A 在第一象限），过点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，则AFM ∆的面积为______. 【答案】43【解析】根据抛物线的焦半径公式与三角形面积公式求解即可. 【详解】由题, 先推导焦半径公式,如图设22,(0)y px p =>中有PF t =,PFx θ∠=,过P 引准线的切线,则有cos t p t θ=+,cos t t p θ-=化简得1cos pt θ=-.根据抛物线焦半径公式得241cos60FM FA ===-︒.又60FAM ∠=︒故144sin 60432AFM S ∆=⨯⨯⨯︒=故答案为：43【点睛】本题主要考查了抛物线焦半径公式与面积公式等,属于基础题型.16．正四面体ABCD 的棱长为2，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的最小值是______，最大值是______．， 2【解析】当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影图形的一边始终是AB 的投影，长度为2，而发生变化的是投影的高，找出高的变化，得到答案. 【详解】因为正四面体的对角线互相垂直，且棱//AB 平面α，当//CD 平面α，这时的投影面是对角线为2的正方形，此时面积最大，为121222⨯⨯⨯=；当CD ⊥平面α，射影面的面积最小，此时构成的三角形底边2，高是直线CD 到AB，射影面积为122⨯=正四面体上的所有点在平面α，最大值是2 【点睛】本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题，注意解题过程中的投影图的变化情况，属于中档题.三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+. （1）求A ；（2）若a=8c =，D 是BC 上的点，AD =ABD ∆的面积.【答案】（1）3A π=（2）【解析】(1)利用余弦定理求解即可. (2)利用正弦定理可得2C π=,再计算出BD 利用三角形面积公式求解即可.【详解】解：（1）222122b c a bc +-=Q ,即1cos 2A =，又(0,)A π∈,故3A π=；（2）由正弦定理sin sin a cA C =得：sin 1C =， (0,)2C C ππ∈∴=Q ,6B π=,142b c ==，在ACD ∆中：CD ==3BD BC CD ∴=-=，1sin 232ABD S AB BD B ∆∴=⋅⋅= 【点睛】本题主要考查了正余弦定理与三角形的面积公式解三角形的方法,属于中等题型. 18．如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===.（1）求证：//BE 平面PDA ； （2）求PA 与平面PBD 所成角的大小. 【答案】（1）见解析（2）6π【解析】（1）由//BC AD ，//EC PD ，结合面面平行判定定理可证得平面//BEC 平面PDA ，根据面面平行的性质证得结论；（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，利用线面垂直的判定定理可证得AO ⊥平面PBD ，从而可知所求角为APO ∠，在Rt APO ∆中利用正弦求得结果.【详解】（1）Q 四边形ABCD 为正方形 //BC AD ∴ 又AD ⊂平面PDA //BC ∴平面PDA又//EC PD ，PD ⊂平面PDA //EC ∴平面PDA,EC BC ⊂Q 平面BEC ，EC BC C =I ∴平面//BEC 平面PDABE ⊂Q 平面BEC //BE ∴平面PDA（2）连接AC 交BD 于点O ，连接POPD ⊥Q 平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD AO PD ∴⊥又四边形ABCD 为正方形 AO BD ∴⊥,BD PD ⊂Q 平面PBD ，BD PD D =I AO ∴⊥平面PBDAPO ∴∠即为PA 与平面PBD 所成角2PD AD ==Q 且PD AD ⊥ PA ∴=又1122AO AC ===1sin 2AO APO PA ∴∠== 6APO π∴∠=即PA 与平面PBD 所成角为：6π 【点睛】本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解.19．已知等比数列{}n a 的前n 项和12n n S λ+=+，其中λ为常数.（1）求λ；（2）设2log n n b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】（1）2λ=- （2）()11222n n n n T ++=+-【解析】（1）利用1n n n a S S -=-求出当2n ≥时{}n a 的通项，根据{}n a 为等比数列得到1a 的值后可得2λ=- .（2）利用分组求和法可求{}n n a b +的前n 项和n T . 【详解】（1）因为12n n S λ+=+，当1n =时，114a S λ==+，当2n ≥时，12nn S λ-=+， 所以11222n n nn n n a S S +-=-=-=，因为数列{}n a 是等比数列，所以2nn a =对1n =也成立，所以42λ+=，即2λ=-.（2）由（1）可得2nn a =，因为2log n n b a =，所以2log 2nn b n ==，所以n T ()()()()2321212222123122n n n n n -+=++++++++⋅⋅⋅+=+-L ，即()11222n n n n T ++=+-.【点睛】（1）数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系是11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现n a 与n S 之间的相互转化.（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20．已知F 为抛物线2:2C y px =的焦点，点(2,)A m 在抛物线C 上，且||4AF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作斜率为2的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，求APQ ∆的面积.【答案】（1）28y x = （2）APQ S =【解析】(1)利用焦半径公式求解即可；(2)根据(1)中算得的方程,设直线:2(2)PQ y x =-,再联立方程求解对应的二次方程,再根据韦达定理与弦长公式计算||PQ 与(2,4)A ±到直线PQ 的距离,进而求得面积即可. 【详解】解：（1）||242pAF =+=Q 4p ∴=,即C 的方程为28y x =； （2）将点A 代入方程：216m =,即4m =±，(2,4)A ∴±.又直线:2(2)PQ y x =-，联立方程22(2)8y x y x=-⎧⎨=⎩,消y 得：2640x x -+=， 设()11,P x y ,()22,Q x y ，则126x x +=,124x x =，12||10PQ x ∴=-==，又点(2,4)A ±到直线PQ 的距离24512d ==+，APQ 1||452S PQ d ∴=⋅=.【点睛】本题主要考查了抛物线方程的焦半径公式与联立直线与抛物线方程求解三角形面积的方法,属于中等题型.21．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.（1）求证：平面BAE ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BA A --的余弦值；（3）在线段1B B （含端点）上是否存在点M ，使点M 到平面1A BD 25，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（215；（3）存在，理由见解析. 【解析】(1)证明AE ⊥面1A BD 即可证明平面BAE ⊥平面1A BD ；(2) 设1A D 交AE 于点O ,过点A 作1AF A B ⊥,连OF ,证明OFA ∠即为所求二面角再计算即可；(3) 取11A C 中点1D ,连接11B D ,1DD ,再证明当点M 与点1B 重合时,点M 到平面1A BD 的25即可. 【详解】（1）证明：1AA ⊥Q 面ABC ,BD ⊂面ABC ，1AA BD ∴⊥,又BD AC ⊥，1AA AC A =I ，BD ∴⊥面11AAC C ,AE ⊂面11AC C ，BD AE ∴⊥①，190ACE A AD ∠=∠=o Q ，1A A AC =，AD CE =，1A AD CAE ∴∆≅∆，则1AA D CAE ∠=∠，1AE A D ∴⊥②，又1A D BD D Q ⋂=，结合①②可得AE ⊥面1A BD ， 又AE ⊂Q 平面BAE ，∴面BAE ⊥面l A BD ； （2）设1A D 交AE 于点O ,过点A 作1AF A B ⊥,连OF ，AE ^Q 面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，1AE A B ∴⊥，1AF A B ⊥Q ，AE AF A ⋂=，1A B ∴⊥面AEF ，Q OF ⊂面AEF ，1A B OF ∴⊥，OFA ∴∠即为所求二面角，在1Rt AA B ∆中：2AF =，在1AA D ∆中：11AA AD A D AO ⋅=⋅,255AO ∴=， Rt AOF ∴∆中：22305OF AF AO =-=，15cos 5OF OFA AF ∴∠==， 因此，二面角1D BA A --的余弦值为155；（3）当点M 与点1B 重合时,点M 到平面1A BD 25. 取11A C 中点1D ,连接11B D ,1DD ，Q 四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =，D Q 、1D 分别为AC 、11A C 的中点，11//AD A D ∴且11AD A D =，∴四边形11AA D D 为平行四边形，11//AA DD ∴且11AA DD =，在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，11//DD BB ∴，∴B ,1B ,D ,1D 四点共面，1DD ⊥Q 面111A B C ，11A C ⊂平面111A B C ，故111DD AC ⊥，又1111B D A C ⊥，1111DD B D D =I ，11A C ∴⊥平面11BDD B ， 设点1B 到平面1A BD 的距离为h ，由1111B A BD A BB D V V --=， 即11111133A BD B BD h S A D S ∆∆⋅=⋅，即11111113232h A D BD BD BB ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅， 25h ∴=.故当点M 与点1B 重合时,点M 到平面1A BD 25. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明与性质,同时也考查了二面角的计算、利用等体积法计算点到平面的距离.属于中等题型.22．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的25. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于M 点，若12,MA AF MB BF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，求证12λλ+为定值．【答案】(1)2215x y +=；(2)证明见解析.【解析】(1)分析题意可得b ＝1，再根据离心率的表达式和a ,b ,c 之间的系数关系可求得标准方程(2)将直线与椭圆方程进行联立，利用韦达定理，再结合题意即可 【详解】(1)设椭圆的标准方程为为22221(0)x y a b a b+=>>，由题b ＝1，22225a b a -∴=22125155a a -=∴=,∴椭圆C 的方程为2215x y +=.(2)方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)．易知F 点的坐标为(2,0)．1MA AF λ=u u u v Q u u u v，∴(x 1，y 1－y 0)＝λ1(2－x 1，－y 1)，0111112,11y x y λλλ∴==++， 将A 点坐代入到椭圆方程中，得220111211511y λλλ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，去分母整理得2211010550y λλ++-=.同理，由2MB BF λ=u u u r u u u r，可得2222010550y λλ++-=，∴λ1，λ2是方程22010550x x y ++-=的两个根，∴λ1＋λ2＝－10.故λ1＋λ2为定值．方法二:设A 、B 、M 点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)．又易知F 点的坐标为(2,0)．显然直线l 存在斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是y ＝k (x －2)．将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0.2212122220205,1515k k x x x x k k-∴+==++. 又12,MA AF MB BF λλ==u u u v u u u v u u u v Q u u u v,将各点坐标代入得121212,22x x x x λλ==--, ()()1212121212121222102242x x x x x x x x x x x x λλ+-∴+=+==----++,故λ1＋λ2为定值．。