初中数学活动课之展开与折叠综述

数学第一单元展开与折叠
数学中的展开与折叠是指将一个复杂的数学表达式、算式或图形展开成简化的形式，或者将简化的数学表达式、算式或图形折叠成复杂的形式。

展开和折叠在数学中应用广泛，下面分别介绍它们在不同数学领域中的具体应用。

1. 代数中的展开与折叠：
在代数中，展开通常指将一个多项式或者一个函数通过分配律、乘法计算律等方法展开成简化形式。

例如，将一个二次多项式展开成三项的一次式的和，或者将一个三角函数展开成幂级数。

而折叠则是将这些简化形式的多项式或函数通过合并同类项的方式折叠成一个复杂的形式。

例如，将几个一次式的和折叠成一个二次多项式。

2. 几何中的展开与折叠：
在几何中，展开通常指将一个二维图形（例如一个矩形、正方形等）通过切割、折叠等方式展开成一个更复杂的二维或三维形状。

例如，将一个长方形通过剪切折叠成一个长方体。

而折叠则是将这些复杂的形状通过折叠、旋转等方式折叠成一个简化的二维或三维图形。

例如，将一个长方体通过折叠成一个长方形。

3. 概率与统计中的展开与折叠：
在概率与统计中，展开通常指将一个随机变量的概率分布展开成一系列离散点的概率值。

而折叠则是将这些离散点的概率值
通过求和、求积等方式折叠成一个概率分布函数。

例如，将一个二项分布展开成正态分布的近似分布，或者将一组离散的数据折叠成一个频率分布直方图。

总之，展开与折叠是数学中常用的方法，它们可以将复杂的数学表达式、算式或图形简化成易于理解和处理的形式，或者将简化的形式重新复杂化，以便进行更深入的分析和研究。

七年级数学教案展开与折叠9篇展开与折叠 1教学目标：1. 通过,感受立体图形与平面图形的关系;2. 学生通过动手动脚实验,发挥想象,开展讨论等方式,认识立体图形与它们的平面展开图的关系;3. 能正确判断平面展开图是哪个几何体的展开图.教学重点：将立体图形展成平面展开图;教学难点：按规定形状把正方体展成平面图形;教学过程：一、引入：出示生活中的立体图形,提出问题:如果把正方体沿某些棱剪开,平面展开图会是什么样子的?二.教学过程动手做一做活动1:把圆柱，圆锥的侧面沿虚线剪开，观察:它的侧面展开图是什么几何图形?请画出它的侧面展开图结论：圆柱的侧面展开图是长方形; 圆锥的侧面展开图是扇形。

活动2:把无盖的的正方体纸盒按图中的红线剪开,并画出展开后的平面图形,把你的展开图与同学交流,你发现了什么?结论:同一正方体按沿棱按同一方式剪开可以得到相同的平面展开图.活动3: 自由发挥,尽显风采将正方体图形沿某些棱按你喜欢的方式剪开成一个平面图形.在与同学交流对比,你有什么发现?结论:同一个正方体沿不同的棱剪开可以得到不同的图形.活动4:将正方体沿棱剪开成平面展开图,你能的到以下图形吗?请你试一试.想一想:要将一个正方体展开成平面展开图要剪开多少条棱?观察: 正方体的平面展开图有什么特点?活动4:将长方体沿棱剪开成平面展开图,与正方体的平面展开图比较,你发现他们有何异同?三.练一练四.小结: 畅所欲言1. 你学会了什么?2. 你最喜欢的一个环节是什么?3. 你收获了什么?五:布置作业小组合作探讨:将正方体沿棱展开成平面图形,到底回出现多少种不同的图形,剪一剪,试一试,把所得的图形在纸上画出展开与折叠 2展开与折叠教学目标：1. 通过展开与折叠,感受立体图形与平面图形的关系;2. 学生通过动手动脚实验,发挥想象,开展讨论等方式,认识立体图形与它们的平面展开图的关系;3. 能正确判断平面展开图是哪个几何体的展开图.教学重点：将立体图形展成平面展开图;教学难点：按规定形状把正方体展成平面图形;教学过程：一、引入：出示生活中的立体图形,提出问题:如果把正方体沿某些棱剪开,平面展开图会是什么样子的?二.教学过程动手做一做活动1:把圆柱，圆锥的侧面沿虚线剪开，观察:它的侧面展开图是什么几何图形?请画出它的侧面展开图结论：圆柱的侧面展开图是长方形; 圆锥的侧面展开图是扇形。

《展开与折叠》教学反思《展开与折叠》这一部分内容，让学生在展开与折叠的活动中认识棱柱展开图的特征，初步发展学生空间观念；通过对正方体展开图的讨论，让学生进行图形的分析与推理活动。

让学生经历多种操作性、思考性的数学活动，获得相应的知识、技能与方法，以发展其初步的空间观念。

通过丰富数学学习的成功体验，激发学生对几何学习的好奇心、促进其观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展。

下面我根据自己上课的感受和听课老师给我的意见，重点从“亮点、不足、以及设想”三个方面对本节课进行反思：一、本节课的亮点：1、充分让学生动手操作并质疑思考本节课通过大量的教学实践活动，创设了一个能促进学生主动探索的动态教学情境。

学生通过展开与折叠两种操作活动，发展了空间观念，积累了数学活动经验，在动手实践制作的过程中学会与人合作，学会交流自己的思维与方法，感受数学来源于生活，数学应用于生活。

（这里是否可以把“展开”与“折叠”分别具体说，例如在××环节，让学生通过充分的思、剪、展、比等活动，为自己积累了丰富的数学活动经验……。

另外，你标题上的“质疑思考”在这段里没有体现，这个“质疑”指的是什么？）2、探索发现感受快乐引导学生对着剪开的正方体展开图，自主探索发现规律。

在这个过程中我把学习的主动权交给孩子们，在让学生充分地进行操作、观察、比较的基础上，学生自己到黑板讲解自己发现的规律，老师加以总结，在这个过程中让学生感受到自己探索发现规律的快乐。

3、“模块化”教学打造坚实课堂“模块化”教学，使我们数学组在教研活动中逐步探索实践的一种教学模式，就是根据教学目标将课堂活动恰当的分为几个模块，每个模块中都有探究、归纳、评价等环节，使每个模块都能成为一个相对独立的版块，而各个模块之间又相互联系、前后贯通，这样所有的模块又将整堂课串成一个有机的整体。

这种教学模式在落实教学目标的达成上层次分明，评价更加及时、更有针对性；同时，在设计每个模块时，教师又能及时审视教学目标的确定是否合理，课堂反馈更加有效，更有助于教师的二次备课。

展開與折疊教學目標1．經歷展開與折疊、模型製作等活動過程，發展空間觀念，積累數學學習的經驗。

2．在操作活動中認識棱柱的某些特徵；瞭解棱柱、圓柱、圓錐的側面展開圖，能根據展開圖判斷和製作簡單的立體模型。

3．培養合作學習的能力。

教學重點：利用實物模型，發現並認識棱柱的一些特徵。

教學難點：對棱柱性質的理解和空間想像的驗證。

教學準備學生準備：預習本堂課內容；課紙板；本堂課所需的五棱柱、六棱柱、三棱柱、四棱柱的展開圖；剪刀、粘膠。

教師準備：標上號碼、上面可以活動的五棱柱及展開圖；一底面可以活動的六棱柱、三棱柱的展開圖；正方體、長方體模型。

教學過程一、創設問題情境，引導學生觀察。

1．多媒體演示一位元收購紙板、紙箱的老伯伯正彎著腰在整理收購來的紙箱，引導學生注意老伯伯是直接把紙箱疊起來還是拆開、壓平後捆在一起。

2．我家中有如圖1的紙板，誰能製作出原實物的形狀？引入課題：第3課時，展開與折疊（一）二、學生動手、動口、動腦，探求新知。

1．做一做。

（1）讓學生把準備好的五棱柱的平面展開圖拿出來，沿折痕進行折疊，看看能否折成如圖2的棱柱。

圖1圖2（2）問題的出現：由於事先老師故意不告訴學生怎樣制作圖1的紙板，使一些同學只能用“描紅”的方法，這樣的棱柱過小，不易製作；也有些同學剪出的紙板折不成五棱柱。

（教師給予鼓勵，並引導發現為何不能的原因。

）而一些愛動腦子的學生不僅製作成功，而且把圖1放大了。

（教師給予大力表揚）。

（3）問題的解決：讓製作成功的同學上臺講述如何制作圖1。

①先畫正五邊形，畫一個長方形，使長方形的長等於五邊形的周長，然後確定折痕，對應線段相等。

②先畫長方形，確定折痕，然後利用五條線段畫出五邊形。

③把紙片對折，畫出一個五邊形和半個長方形，再剪開。

（4）新問題的出現：教師拿出上底面活動的五棱柱模型，故意不小心把上底面掉在地上，撿回後錯放對應邊的位置，請求學生幫忙如何把上底面裝回去，讓學生分組討論解決的方法。

（5）引導學生概括：只要對應邊相連，都能把上底面裝回去。

教学知识点立体形的展开和折叠在数学教学中，立体形的展开和折叠是一个重要的概念。

通过展开和折叠，我们可以更好地理解和操作各种立体形。

本文将介绍立体形的展开和折叠的基本概念、方法和应用。

一、立体形的展开立体形的展开是指将一个立体形体上的各个面展开成一个平面上的图形。

展开后的图形称为展开图。

通过展开，我们可以更好地观察和理解立体形的各个面和边。

以长方体为例，我们可以将长方体展开成由6个矩形面组成的平面图形。

展开后的图形中，每个顶点对应一个角，每个边对应一条线段。

展开后的图形能够清晰地展示出相邻面、共边顶点等信息，便于进行计算和分析。

二、立体形的折叠立体形的折叠是指将展开图重新折叠成原立体形的过程。

通过折叠，我们可以将展开图还原成原本的立体形状，并可以进行实际的操作和制作。

折叠的基本原则是通过将展开图上的各个面按照对应的边进行折叠，使得各个面相互重合，还原成立体形状。

在折叠的过程中，要注意保持角的大小和边的对齐，以保证折叠后的立体形与原始立体形相同。

折叠有助于锻炼学生的空间想象力和手工操作能力。

通过折叠，学生可以更深入地理解立体形的形状和结构，并从中发现一些规律和性质。

三、立体形展开和折叠的应用立体形的展开和折叠在实际生活中有广泛的应用。

以下是一些例子：1. 制作模型：通过将展开图打印出来、剪下并折叠，我们可以制作各种立体模型，如建筑物、动物等。

这有助于培养学生的动手能力和创造力。

2. 产品包装设计：在设计产品的包装盒时，我们常常需要将一个立体形折叠为一个面积较小的展开图，以方便储存、运输和销售。

同时，展开和折叠的技巧也会影响到包装盒的结构和美观度。

3. 制作立体图案：在纸艺、贺卡制作等手工活动中，我们经常需要进行立体图案的制作。

通过展开和折叠，我们可以将平面图案转化为立体结构，给作品增添立体感。

4. 空间几何推理：在数学的几何推理中，我们常常需要通过观察和分析立体形的展开图来解决问题。

通过合理地利用展开图的信息，我们可以推断出立体形的各个面和边的性质，从而得到解题的线索。

七年级展开与折叠的知识点随着时代的发展，人们对于空间方面的需求也越来越大。

但在现实中造型丰富、结构复杂的物体并不是一件容易的事情。

因此，属于七年级内容范畴的展开与折叠知识点就成了一种较好地触及这方面问题的教育资源。

1. 折痕的类型折痕类型取决于所折纸张的边角。

分别有直边、锐角、钝角、对折线这四种情况。

直边折痕的意义是把直线向两侧折叠；相似地，锐角和钝角折痕分别为了折叠一个角度非直的边角和边角度数超过实际需求一次以上的边角。

至于对折线折痕，它需要折成一个对称形状，因此很多时候可以被理解为特殊的类型。

值得注意的是，锐角和直边折痕被使用得较为普遍。

2. 折痕精度的重要性在实现某些空间模型时，折痕的精度决定了这个构造是否正常工作。

因此，在保证折痕样式正确的前提下，精度范围是十分重要的。

在七年级展开和折痕教材中，我们常常会使用约为1或2毫米的折矩，精度范围则在这个基础上进行微调。

精度受到材料特性、技术难度等因素影响。

3. 裁切的重要性除了折痕制作以外，正确的裁切同样对构造和展开有很重要的意义。

对于有对称多边形的展开图，相同的边长和角度是建立这种复制结构的关键。

当然，在设计的时候需要考虑实际可行性与定制性的问题。

4. 展开方法的种类不同的形状由于其自身特点的不同，需要不同的展开方法。

在七年级展开折痕教程中，常见的方法包括普通组合、对称展开、切角、切线、扣卡等等。

针对不同的形状，采用合适的方法是制作非常重要的步骤。

当然，方法灵活运用也是一个制作好展品的重要手段。

综上所述，学习展开与折叠的知识点是现代教育体系下的重要组成部分，也是我们切实提高空间建模能力所必须掌握的技术。

通过了解不同类型、精度、策略和展开方法的知识点，我们可以更好地完成具体的空间建模任务，并在实际应用场景中获得一定的好处。

七年级展开与折叠知识点在我们的生活中，展开与折叠是极其常见的动作，无论是纸张、衣物、草稿、家具等等，而这些物品的展开与折叠都有其固定的规律和方法。

在七年级学生的数学课程中，也有许多展开与折叠的知识点，下面我们一一来了解。

1. 立体图形的展开立体图形的展开即是将一个三维的立体图形展开成一个平面图形，在展开的过程中，需要知道每个面之间的连接方式以及正确的摆放位置。

这一知识点在计算表面积和体积时尤为重要。

以正方体为例，正方体由六个正方形构成，我们可以将它们一一展开拼接起来，得到一个十字形的平面图形，这就是正方体的展开图形。

同样的，我们也可以将任意一个立体图形按照其构成面的组合关系展开成一个平面图形。

2. 折纸构图折纸构图是以折纸为工具，通过折叠和展开的方式构造图形。

这一知识点不仅能锻炼学生的空间想象能力，还能培养学生的耐心和动手能力。

以折纸构造长方形为例，将一张正方形的纸沿着对角线对折，再将其中一条边向内折叠即可得到一个长方形。

又如，若想构造一个正五边形，则需要将一张正方形的纸折成四个等分，再进行特定的折叠，最终得到正五边形。

3. 平面图形的折叠平面图形的折叠一般是指将一个平面图形折叠成另一个平面图形的过程，在折叠的过程中，也需要根据平面图形之间的连接方式进行正确的折叠。

这一知识点在计算平面几何问题时很有用，例如对称图形的判定等问题。

以正方形为例，我们可以将它沿着中心折成两个半正方形，再将其中一个半正方形沿着中心对称折叠，就能构造出一个正方形的对称图形。

综上所述，展开与折叠作为一种重要的数学思维工具，应在教育中得到重视。

熟练掌握这些知识点，不仅可以提高学生的计算能力，还可以培养学生的空间想象能力和动手能力，为今后的学习和生活打下坚实的基础。

初二数学上册立体几何体的展开与折叠立体几何体是我们在初二数学课程中经常会遇到的内容。

它们是由面、边和顶点组成的，如正方体、长方体、圆柱体等等。

本文将重点讨论立体几何体的展开与折叠，以帮助读者更好地理解这一概念。

1. 展开与折叠的概念在初步接触立体几何体之前，我们通常只关注二维图形，如正方形、长方形等。

这些二维图形可以简单地用纸张剪下来，保持平整。

而立体几何体则是由若干个二维图形组成的，它们是立体的，无法保持平整。

因此，为了更好地研究立体几何体，我们需要将其展开与折叠。

展开指的是将一个立体几何体的各个面分别剪开，并将它们平放在同一个平面上。

这样做的目的是为了更好地观察和研究这个立体几何体，以便更好地理解它的特性。

通过展开，我们可以看清各个面的形状和位置，便于进一步的计算和分析。

折叠则是与展开相反的过程，即将展开的各个面按一定的顺序和方向折叠，重新组合成原来的立体几何体。

这种方法可以帮助我们从平面上的图像恢复出原来的立体几何体，更加形象地理解它的结构和特性。

2. 展开与折叠的实际应用展开与折叠不仅是数学理论的一部分，还具有实际应用价值。

比如，展开与折叠在包装设计、模型制作、建筑设计等领域中有着广泛的应用。

在包装设计中，产品在运输和售卖过程中需要进行包装，而包装形式往往需要根据产品的形状进行设计。

展开与折叠的方法可以帮助包装设计师更好地计算出合适的包装形状和尺寸，以实现最佳的包装效果。

在模型制作领域，展开与折叠可以帮助制作模型时更好地掌握每个零件的形状和位置。

通过合理的展开与折叠，制作人员可以更加准确地制作出所需的模型，并且减少误差。

在建筑设计中，立体几何体的展开与折叠有助于建筑师更好地理解和计算建筑结构。

通过将复杂的建筑结构展开，并在平面上进行计算和研究，可以帮助建筑师更好地规划建筑的布局和结构，提高建筑的质量和安全性。

3. 具体案例分析让我们以正方体为例，来具体分析展开与折叠的过程。

正方体有六个面，每个面都是一个正方形。

七年级上册展开和折叠 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第五课时一、课题§展开和折叠二、教学目标1、体会从古至今数学始终伴随着人类的进步与发展，增进学习数学的兴趣。

2、通过具体实例体会数学的存在及数学的美，发展应用意识。

三、教学重点和难点四、教学手段现代课堂教学手段教学准备教师准备录音机、投影仪、剪刀、长方形纸片。

学生准备预习、剪刀、长方形纸片五、教学方法启发式教学六、教学过程设计一、导入二、导学1．自然界中的数学——数学的存在2．人们身边的数学——数学的应用3．群芳斗妍曲径幽——数学的美（本节属增加内容，可根据时间自行调节）课堂基础练习1、计算：1–2+3–4+5–6+…–100+101= .答案：–502、计算：1+2+3+…+2003+2004+2003+…+3+2+1= ．答案：40160163、如图1-1-7：这块拼花由哪些图组成答案：正三角形、正方形、正六边形课后延伸练习1、今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案．（只需画简图）① ②答案：2、下面有一张某地区的公路分布图，请你找出从A 至D 的一条最短路线（图中所标最短路线为里程）答案：A →B 1→C 2→D能力提高训练1．已知等式（1）a ＋a ＋b=23，（2）b ＋a ＋b=25。

如果a 和b 分别代表一个数，那么a ＋b 是（ ）（A ）2 （B ）16 （C ）18 （D ）142、用如图所示，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形请你画出拼成的图形．答案：如图：A B 1 B 2 B 3 3 10 10 12 2 D3 C 2 C 3 6 8 1145 7 9 C 1 3 1九、教学后记。