第一章_行_列_式_(修改)

第一章 题型1.1利用行列式的性质和按行（列） 行列式展开定理计算行列式例1 （1996年，1, 2） 4阶行列式 (A) a 1a 2a 3a 4 — b 1b 2b 3b 4(C) aE-0b 2 a 3〉4 也屁 a 1 0 0 0 a2 b 2 0 b3 a 3 b4 0 0 (B) a 1a 2a 3a 4(D) (a 2a 3 -a 4 bi 0 0 b^bAb 2bs a 〔a 4 -bib4 答案：D 分析：考虑到行列式的零元素比较多，可根据行（列） 开计算 详解：按第一行展开得 展开定理直接按第一行展a 2b 2 0 原式=a 1 b 3 a 3 0 -b 〔 0 0 a 40 0 b 4 a 2 b 3 0 b 2 a 3 0 a 2 =a 〔a 4 b 3 b 2 a 3 - bma 2b 2b 3 a 3 题型1.2利用行列式和矩阵的运算性质计算行列式 例 1 （1988 年，1）设 4 阶矩阵 A=（a,「2,r 3,r 4 ）B =伊，「2,「3,「4）,其中 a,B,r 2,r 3,r 4均为四维歹0向量，且已知行列式|A=4, 答案：40 A + B=[a +、2?2,2?3,2*],于是仕+目= =8。

戏,匕,丫3尸4详解因为 =8(|「，2, 3, 4 评注1应当注意矩阵运算与行列式运算的差异, 评注2作为解题技巧，本题也可令A = 一4 〔0 0 _0 1 0 0 足题设条件，丁是同样可得到正确答案，即 I T ：, 2, 3, 4。

+0,2夺4| |) =8(| A + B|) = 40 般来说 #|A+|B 0 0 1 0 01 0 0 1 一1 I 。

0 -0 0 1 0 0 0 0 1 0 01 0 0 1 ，则A,B 满 5 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 00 2=40例2 （2005年，1）设«1«2«3均为三维列向量，记矩阵 1,・ 2, A = (%,C (2,C (3 ), B =(% +a 2 +0(3,% 十夕2 + 40(3,0(1 十四2+ 弘3),如果 A =1 ,一2 =a21、：1 ■ 322上2, a 2n 、：n , ：m =a m1：1 ' a m1： 2’a mn 「n ，A +B 彳=.答案：3 详解： A + B 「=A （B+A 」）B [ = |A|A 4 + B ||B"1=3题型1.3利用秩、特征值和相似矩阵等计算行列式例1 （1995年，1）设A 是n 阶矩阵，满足AA 「= E （E 是n 阶单位矩阵,A 是A 的转置矩阵），A <0 ,求A + E分析：已知矩阵等式 AA 「=E 求抽象矩阵A + E 的行列式，自然想到要利用此等那么B =答案：2 分析 即可 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算 详解 B =(：• 1 r 2 y 3, ； 1 • 2； 2- 4 3, 1 3 2 ' 9-3) 1 1 1 1 2 3 1 4 9_ 由题设，有 / 、（：1,： 2,： 3）丁是有B = A • =1 2 =2 详解 用行列式性质对列向量组化简得 B = ：、•「2 •「3,；1 2- 2 4「3,；1 3： 2 9 3 =E +c （2 +c （3,a 2 03,2^3 =2%,叫华 1本题相当丁矩阵B 的列向量组可由矩阵 股地，若 〜+为+幺户2+83*2+女=2评注 将其转化为用矩阵乘积形式表示。

第一章 行 列 式I 考试大纲要求1、考试内容：行列式的概念和基本性质、行列式按行（列）展开定理。

2、考试要求：1）了解阶行列式的概念，掌握行列式的性质；2）会用行列式的性质和展开定理计算行列式。

II 重要知识点一、排列与逆序1、级排列：由个数组成的一个有序数组称为一个级排列或称元排列，级排列共有个。

2、逆序：在一个排列中，如果两个数的前后位置与它们的大小次序相反，即排在前面的数比后面的数大，就称这两个数构成一个逆序。

一个排列中逆序的个数称为此排列的逆序数．用表示排列的逆序数。

排列的逆序数由其中每一个数所引起的逆序个数相加而得到。

若排列的逆序数是奇数，则称该排列为奇排列；逆序数为偶数，则称之为偶排列。

3、对换：把一个排列的某两个数的位置相互调换，其余各数不动，得到一个新的排列，这种调换称为一次对换。

4、有关排列和逆序的几个重要结论1）对换改变排列的奇偶性。

2）在全部的级排列中，奇排列和偶排列各占一半，各为个。

3）任意一个级排列经过若干次对换可变为自然顺序排列，且所作的对换次数与排列的奇偶性相同。

二、阶行列式1．行列式的定义二阶行列式的定义：三阶行列式的定义：阶行列式的定义：这里，是对所有级排列求和．故行列式等于取自不同行、不同列的个元素的乘积的代数和．每一项的正负号取决于组成该项的个元素的列标的逆序数(当其行标按自然顺序排列时)．即当是偶排列时，取正号，当是奇排列时，取负号．由于级排列共有项，所以阶行列式共有项．2、行列式的性质性质1 行列式的行和列互换，其值不变。

即行列式与它的转置行列式相等，。

性质2 用一个数乘以行列式的某一行(列)的各元素，等于该数乘以此行列式。

或者说行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式的前面。

推论 若行列式的某行(列)的元素全为零，则该行列式等于零。

性质3 如果行列式中某行(列)中各元素均为两项之和，则这个行列式等于两个行列式的和。

即：性质4 交换行列式中任意两行(列)的位置，行列式的正负号改变。

第一章 行列式习题答案二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案1.计算下列二阶行列式 （1）23112=； （2）cos sin 1sin cos θθθθ-=；（3）1111121221212222a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b 1221122112211221a a a b b a b b （4）1112111221222122a ab b a a b b +1122112212211221a a b b a a b b2.计算下列三阶行列式（1）10312126231-=--；(2)11121322233233a a a a a a a 112233112332a a a a a a 1122332332a a a a a（3）a c bba cc b a3333a b c abc3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235.123t 112217t（3）()()()12322524212n n n n ---当n 为偶数时，2nk ，排列为143425212221223412k k k k k kk k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 22(1)1313142n kkkkk kn其中11(1)(1)k k 为1434252122k k k k --+的逆序数；k 为21k与它前面数构成的逆序数；(1)(2)21k k为23,25,,2(21)k k kk 与它们前面数构成的逆序数的和；113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21nk ，排列为142345212223225412k k k k k kk k ++++++1122t k k(1)21k k 2213323432n kkkkk kn其中1122kk 为1423452122k k k k +++的逆序数；(1)21k k 为23,25,,2(21)kkkk 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22,,2k k与它们前面数构成的逆序数的和.4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5ij，()()23162431655t i j t ==为奇排列.5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a -6.按定义计算下列行列式：（1）0001002003004000(4321)(1)2424（2）00000000000a c db (1342)(1)abcd abcd7. 求1230312()123122xx f x xxx-=的展开式中4x 和3x 的系数.4x 的系数为6；含3x 的项只有(4231)(1)(3)3t x x x ，所以3x 的系数为(4231)(1)3(3)119t行列式的性质与展开部分习题答案 1.计算下列行列式：（1）200819861964200919871965201019881966；解：32212008198619641110111r r r r D(2)123123123111a a a a a a a a a +++；解：2312323231(1)1111a a D a a a a a a a 各列加到第一列后提取公因式21312312331(1)0101r r r r a a a a a a 123(1)a a a（3）41232013201116011601110111031023500r r D213314116116(1)111027350818r r r 20（4）21120111011161126111211221110100c c D3141101100(1)26126116221223c c .（5）00100101D αβαβαβαβαβαβαβ++=++.()401100101D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=++-+++ 32212D D D D D 4322342.证明：（1）011=++++=cb adb a dcd a c b d c b aD １１；证明：将D 的各列都加到最后一列再提出公因式有1111(1)01111a b c d a b b c a d b c Dabcd c d a b c d dabcda １１１１（2）33()ax by ay bzaz bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy ++++++=++++.证明：左式12axayazbybzbxay bzaz bx ax by ay bzaz bx ax by D D az bx ax by ay bzaz bx ax by ay bz=+++++++=+++++++311r br xy zx y z D a ay bzaz bx ax by a ay bz az bx ax byaz bx ax by ay bzazaxay-=+++=++++++23223r br x y z x y z x y z a ay bz az bx ax by a ay az ax a yz x zxyzxyzxy-=+++== 类似有1323322(1)r r r r yz x x y z D b zx y yz x xyzzxy ←−→←−→==-,所以33()ax by ay bzaz bxx y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy++++++=++++ 3.计算n 阶行列式（1）n D =ab b b b a bbb b a bb b b a...........................；各行加到第一行后提取公因式有：111...1...(1).....................nba b b D an b bba bb b b a211111 (10)0...0(1)00... 0...n r br r br ab an b ab a b1(1)n an b ab（2）12121212n na n a n D n a ++=+12(0)n a a a ≠.211212111212121211210012000nn nr r n r r r nr r a a nna na a a n a a aa a a a a a a -----+++++--==--1112221211n n n n i i a na ia a a a a a a a =⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 4.利用范德猛行列式计算：1111123414916182764D =.2222333311111234(21)(31)(41)(32)(42)(43)1212341234==------=克拉默法则部分习题答案1.用克拉默法则解线性方程组（1）122313223(0)0bx ax abcx bx bc abc cx ax ；解：002350ba D cb abc ca，212023500ab a D bc c ba bc a22200350b ab D bc b ab c c a ，220250ba ab Dc bc abc c123,,x a x b x c（2）123412341234123432125323348246642x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨-++-=⎪⎪--+=⎩.解：132125321734826164D --==----,1132135323444822164D --==----211212332034826264D --==---,3131125321734426124D ==---,132125338534846162D --==---12342,0,1,5x x x x =-===2.当λ为何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++0 00433221321x x x x x x x λλλ(1) 仅有零解；(2) 有非零解． 解：3410(1)(3)01D，（1）1且3时0D ，该齐次线性方程组只有零解。

第一章 行 列 式【课题】 第1 讲 排列及其逆序数、n 阶行列式的定义【学时数】 2【教学目的】1.理解排列及其逆序数的概念；2.熟练掌握二、三阶行列式的计算【教学重点】 二、三阶行列式的计算 【教学难点】 三阶行列式的展开式 【教学过程】§1.1 排列及其逆序数一、 排列与逆序的概念1、排列问：现在给 4,3,2,1，四个数字，能够组成多少个没有重复数字的四位数？42!4=个，4231就是一个，且是一个排列，1234称为标准排列．下面一般的给出定义定义 1.1.1 由,,2,1 n 这n 个数组成的一个有序数组称为一个n 阶排列，记为n p p p 21，其中排列n 12称为标准排列.n ,,, 21的n 阶排列共有 ()()1221!n n n n --⋅= 个.2、逆序数 定义1.1.2逆序 在一个n 阶排列中，当某二个数，较大的排在较小的前面，则称这两个数有一个逆序，逆序数 这个n 阶排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数.排列n p p p 21的逆序数记为()n p p p 21τ偶排列 当逆序数为偶数时，称这个排列为偶排列，奇排列 当逆序数为奇数时，称这个排列为奇排列.若()n i p i ,,3,2 =的前面有i t 个比它大的数，就说i p 的逆序数是i t . 则排列n p p p 21的逆序数为： ∑==+++ni i n t t t t 232 .例1 ()5031142315=+++=τ， 是奇排列； ()8331153412=+++=τ， 是偶排列； 问：()123450τ= ， 是偶排列.()012=n τ 是偶排列. 标准排列的逆序数为0.二、 对换及性质对换 在排列中, 对调任意两个元素, 其余元素位置不变, 而得到新排列的做法叫做对换，相邻两个元素的对换, 叫做相邻对换.现看 ()5031142315=+++=τ→()4021141325=+++=τ 为偶排列()8331153412=+++=τ→()9332154312=+++=τ 为奇排列性质1 一个排列中，任意对换两数，则排列改变奇偶性. 证 （见书 略）性质2偶排列变成标准排列的对换次数为偶数， 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数.例如 32154−−−→−对换3,112354−−−→−对换，4512345 证 （可略） 因为标准排列的逆序数为0，是偶数，再由定理1.1.1知对换一次，奇偶性改变一次，从而偶排列变为偶排列，其对换次数应为偶数，奇排列变为偶排列，其对换次数为奇数.§1.2 n 阶行列式的定义一、 二阶与三阶行列式1、二阶行列式用消元法解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+.,22221211212111b x a x a b x a x a （1）为消去未知数2x ,以第一个方程乘以22a 减去第二个方程乘以12a ,得()122221*********a b a b x a a a a -=-，类似地可消去1x ,得 ()211112*********a b a b x a a a a -=-， 当021122211≠-a a a a 时,求得.a a a a a b a b x ,a a a a ab a b x 211222112111122211222111222211--=--=(2)为了便于记忆,引入下面定义.定义1.2.1 由四个数22211211a ,a ,a ,a ,排成二行二列 (横排为行,竖排为列) 的数表22211211a a a a 所确定的表达式 21122211a a a a - 称为二阶行列式,记为2112221122211211a a a a a a a a D -==. (3)其中数()2,1;2,1==j i a ij 称为行列式(3)的元素,第一个下标i 称为行标, 第二个下标j 称为列标, 数ij a 表示是位于行列式的第i ,第j 列的元素.如图1.1中11a 至22a 的实联线称为主对角线, 12a 至21a 虚联线称为副对角线,于是二阶行列式的值等于主对角线上两个元素的乘积减去副对角线上二个元素的乘积, 这种计算方法称为二阶行列式的对角线法则.图1.1例1 计算二阶行列式 ()194155223＝＝＝---D .利用行列式的定义, (2)式中的分子也可写成二阶行列式,即.,221111211112222121212221b a b a a b a b a b a b b a a b =-=-若记 2211112222121122211211a ,,b a b D a b a b D a a a a D ===, 则(2)式, 即方程组(1)的解可写成.a a a a b a b a DDx ,a a a a ab a b DDx 22211211221111222221121122212111====注意, 这里的分母D 是方程组(1)中的未知数的系数按原次序排列而成的二阶行列式,1D 是用常数项21b ,b 替换D 中1x 的相应系数2111a ,a 而得到的二阶行列式, 2D 是用常数项21b ,b 替换D 中2x 的相应系数2212a ,a 而得到的二阶行列式.例2 解二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+.x x ,x x 642532121 解 由于31122140;24D ==--=-≠-()15120614;64D ==---=---235181028;26D ==--=--所以 ==D D x 1111414=--, 2142822=--==D D x . 下面类似的定义三阶行列式. 2、三阶行列式定义1.2.2 由932=个数排成三行三列的数表333231232221131211a a a a a a a a a (4)并记 111213212223313233a a a D a a a a a a =112233132132122331132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- (5)则(5)式称为数表(4)所确定的三阶行列式.三阶行列式所含6项的元素及符号可按图1.2记忆，即三阶行列式的值等于各实线上三个元素乘积之和减去各虚线上三个元素乘积之和. 这种计算方法称为三阶行列式的对角线法则.图1.2例3 计算三阶行列式2600)12(0)10(24601540321=----+-+=-=D从三阶行列式的展开式中，我们看出有如下的规律（现只用三阶行列式说明）： （1）三阶行列式是一个数，它为3！=6项的代数和.（2）每一项都是三个元素的乘积，这三个元素是取自不同行及不同列的元素，且每行每列只能有一个元素.（3）对于项321321p p p a a a ，其中321p p p 为数321,,的一个全排列，当()321p p p τ为偶数时321321p p p a a a 前面取正号；当()123p p p τ为奇数时321321p p p a a a 前面取负号；这样三阶行列式的每一项可以写成()321321321)(1p p p p p p a a a τ-.所以, 三阶行列式可写成()()3213213213332312322211312111p p p p p p a a a a a a a a a a a a τ∑-=.二、 n 阶行列式的定义定义1.2.3 由2n 个数, 排成n 行n 列的数表nnn n nn a a a a a a a a a212222111211并记()121211121()2212212121n n n p p p n p p np n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑. (6)称此式为上述n 行n 列的数表所确定的n 阶行列式.其中n p p p 21为n ,,, 21的一个排列，∑表示对一切n 阶排列求和；(6)式右边的和式称为n 阶行列式D 的展开式；显然D 的展开式中共有!n 项，其中每一项都是取自D 的不同行、不同列的n 个元素的乘积，而且每个乘积项前面所带符号的规律为：当逆序数()n p p p 21τ为偶数时取正号，而当逆序数()n p p p 21τ为奇数时取负号.行列式有时简记为()ij a D det =, ()n ,,,j ;n ,,,i a ij 2121==表示行列式D 中第i 行第j 列的元素.特别的, 当1=n 时，1111a a =称为一阶行列式，注意不要与绝对值记号相混淆. 主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角行列式. 例4 证明下三角行列式nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a D2211321333231222111000000==. 证 由行列式定义，其展开式的一般项为 n np p p a a a 2121,在D 中，第一行只有11a 可能不为0，则取11=p ；第二行中，只有2122,a a 可能不为0，而11a 已经取了，所以21a 不能取(与11a 同列)，故只能取22a ，即22=p ；这样继续下去，D 中可能不为0的项只有一项 ()()n 121τ-nn a a a 2211.又由于()012=n τ为偶数，符号取正，所以得nn a a a D 2211=.例如D =12053425102032100430002=•••=同理有上三角行列式nn nnnna a a a a a a a a a a D22112232211312110==.类似可推得nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a D 1,2,321,11,12,13,12,131,32,321,210000000000000------------=.a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n 1231212)1(1211112232221111131211)1(00000000 --------==主对角线以上和以下的元素都为0的行列式叫做对角行列式. 由上(下)三角行列式计算方法,可直接得n nλλλλλλ2121=；()()n n n nλλλλλλ2121211--=.从n 阶行列式定义知，其任一项由n 个元素相乘构成，而乘积有交换律. 如果把该项的列标的排列n p p p 21经过k 次对换变成标准排列n 12.这时其相应的行标排列n 12也经过k 次的对换后变成n s s s 21，即有n np p p a a a 2121=n s s s n a a a 2121.又由定理1.1.2知()n p p p 21τ与()n s s s 21τ有着相同的奇偶性，则有n n np p p p p p a a a 212121)()1(τ-n s s s s s s n n a a a 21)(2121)1(τ-=.这样，可以给出n 阶行列式的另一个定义.定义1.2.3′ n 阶行列式定义为∑-==n s s s s s s nnn n n n n n a a a a a a a a a a a a D 21)(2122221112112121)1(τ.小结：本次课我们学习了排列及其逆序数的概念及的定义，重点要掌握二阶和三阶行列式的计算。