第2章 有限元理论基础

∂v ∂u ε x =, γ xy = ∂x + ∂y ∂w ∂v + ε y =, γ yz = ∂y ∂z ∂u ∂w + ε z =, γ zx = ∂z ∂x
一、弹性力学基本方程
4、物理方程 描述应力与应变关系的 方程，各向同性的均匀 体用广义虎克定律描述。
二、弹性力学平面问题
2）位移插值函数
位移插值函数与所分析对象的结构型式，单元 类型和求解精度等因素有关。 选择的位移插值函数应满足： 反映单元的刚体位移 反映常量应变 保证单元内及相邻单元间位移的连续性---变形协 调条件。
三、二维连续介质有限元分析步骤
划分单元、节点 ，选择适当的坐标系，写出 单元的位移和节点力向量。 选择适当的位移插值函数。用节点位移唯一地 表示单元内部任一点的位移。 求单元应变—单元位移—节点位移的关系，确 定几何矩阵。 求单元应力—应变—节点位移间的关系，确定 弹性矩阵。
1 ε x = σ x − µ (σ y + σ z ) E ε = 1 σ − µ (σ + σ ) z x y E y ε x = 1 σ z − µ (σ y + σ x ) E τ γ xy = xy = 2(1 + µ ) τ xy G E τ γ yz = yz = 2(1 + µ ) τ yz G E τ zx 2(1 + µ ) γ zx = = τ zx G E
第2章 有限元理论基础
弹性力学平面问题有限元方法
一、弹性力学基本方程
1、弹性力学假设 物体是连续的 完全弹性的 材料均匀 各向同性 微小变形 无初应力
一、弹性力学基本方程
2、平衡方程 一个三维弹性体有六个应力分量：
σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx
其中剪应力满足互等定理。 平衡方程如下：
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 研究等厚度均匀薄板，受力方向沿板面方向。 此时有：
σ z = 0,τ yz = τ zx = 0, ε z ≠平面应变问题 处理平面内受力，但在垂直于平面方向上不产生变 形的二维受力问题。 此时：
w = 0, ε z = γ yz = γ zx = 0, σ z ≠ 0
等参数坐标变换
整体笛卡尔坐标与局部坐标
单元矩阵变换 各个体积量和面积量都要变换为局部坐标的函 数。
二、弹性力学平面问题
3、平面问题的有限元模型
将一个弹性连续体离散为若干个由节点连接 的单元（单元划分）；在各单元相邻的边界上满 足变形协调条件，这一限制条件由位移插值函数 （位移模式）给出。
二、弹性力学平面问题
1）单元划分的规则 在满足求解精度的前提下，单元数量适宜即可，并非 越多越好。 划分单元时，针对不同的问题选择不同的单元类型， 如三节点三角形、六节点三角形、四节点矩形单元。 在有应力集中的地方单元划分得要密，在受力均匀的 区域单元要疏一些。 划分单元时尽量与外载荷匹配，集中力最好布置为节 点。
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + +X =0 ∂y ∂z ∂x ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + +Y = 0 ∂y ∂y ∂x ∂τ ∂τ yz ∂σ z xz + + +Z =0 ∂y ∂z ∂x
一、弹性力学基本方程
3、几何方程 用于描述弹性体内任一点的应变与位移间的关系
五、较精密 的单元
1、四节点矩形单元 单元的位移模式及形函数的确定。
u = a1 + a2 x + a3 y + a4 xy v = a5 + a6 x + a7 y + a8 xy
2、六节点三角形单元 单元的位移模式及形函数的确定。
u = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 xy + a6 y 2 2 2 v = a7 + a8 x + a9 y + a10 x + a11 xy + a12 y
五、较精密 的单元
3、等参数单元 为了克服规则单元无法满足任意边界处的 单元划分问题，可以采用等参数变换单元。将 整体坐标系下的实际单元变换为局部坐标系夏 的等参数单元。 等参数变换：坐标变换和单元内的场函数采用相 同数目的节点参数和位移插值函数。
等参数变换（等参数单元）
等参数单元的有限元方法
三、二维连续介质有限元分析步骤
求节点力与节点位移的关系。 求单元应力与节点位移的关系。
四、平面问题的三角形单元求解
1、单元的位移、节点力向量 2、 单元的位移模式与插值函数：一次多项式， 确定形函数。 3、求应变矩阵。 4、求解单元应力。 5、利用虚位移原理确定单元刚度矩阵。 6、求解等效结点载荷。 7、进行整体分析，建立总体刚度方程，引入边 界条件求解节点未知位移。