【新学案】数学苏教版选修学案：求曲线的方程含解析

求曲线的方程一．学习目标1.通过具体实例的研究，掌握求曲线方程的一般步骤，会求简单的曲线方程2.掌握求动点的轨迹方程（曲线的方程）的常用方法。

二．重点、难点：求曲线的方程或轨迹三、知识链接1.曾用“建、设、限、代、化（证——非等价变形时要查漏补缺）”求出我们熟悉的曲线方程，如圆的方程，椭圆的方程，双曲线的方程，抛物线的方程等。

2.在本课中，对三种常用方法——直接法、转移法、参数法作如下表述：①直接法：根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式，或依据圆锥曲线的定 义直接确定曲线类型。

②转移法：根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系，用所求动点坐标 表示相关动点的坐标，并代人相关动点所在的曲线的方程，从而得 到所求动点的轨迹方程。

此法也称代人法。

③参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数（如角度、直线斜率等） 解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程。

四、学习过程（一）基础扫描以下各小体，是我们熟悉的，完成各题，并注明使用方法1. 已知ABC ∆中，B(-3,0),C(3,0),周长为16，求顶点A 的轨迹方程。

（使用方法： ）2. 将圆922=+y x 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线方程。

（使用方法： ）3. 已知点M 与椭圆112132222=+y x 的左焦点和右焦点的距离之比为2：3，求点M 的轨迹方程。

（使用方法： ）4. 直线032=+-y x 关于点P （1，1）对称的直线方程是 （使用方法： ）5. 动点P （x ，y ）到定点A （3，0）的距离比它到定直线x= -5的距离少2。

求：动点P 的轨迹方程。

（使用方法： ）（二）典例研究例1、设圆C ：1122=+-y x ）（，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。

求曲线的方程【学习目标】1．学会根据条件，选择适当的坐标系求轨迹方程；2．掌握求轨迹方程的基本方法．【学习重点】应用求轨迹方程的基本方法求轨迹方程．【学习难点】寻找等量关系并转化为方程．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材）1． 由上一节的学习得知曲线与方程之间的关系：通过曲线上的点的坐标建立起一一对应的关系，使方程成为曲线的代数表示．2．求曲线方程的一般步骤是：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意点的坐标；(2) 写出适合条件p 的点的集合{})(M P M P = ;(3) 用坐标表示条件)(M P ， 列出方程0),(=y x f ；(4) 化方程0),(=y x f 为最简式 ；(5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．两曲线有交点的充要条件是 ： 两曲线的方程构成的方程组有解．4．求曲线方程常用的方法有：直接法、代入法、参数法、定义法、相关点法、待定系数法、向量法等．【基础练习】1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB 的方程是( D )．(A)6x+y-17=0(B)6x+y-17=0(x ≥3)(C)6x+y-17=0(x≤3)(D)6x+y-17=0(2≤x≤3)2．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( C )． (A) 1=-y x (B) 1=-y x (C)1=-y x (D) 1=±y x ．3.设B A ,两点的坐标分别是()()7,3,1,1--,则线段AB 的垂直平分线的方程为：.072=-+y x4.已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是()())0,2(,0,2,3,0C B A -,中线)(为原点O AO 所在直线的方程是()300≤≤=y x ．5.已知方程222=+by ax 的曲线经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛35,0A 和点(),1,1B 求b a ,的值． 解：（待定系数法） 222=+by ax 的曲线经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛35,0A 和点(),1,1B ⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∴22352b a b 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==25322518a b ． 【典型例题】例1（直接法）已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条直线的方程．【分析】在建立坐标系时,一般应当充分利用已知条件中的定点定直线等,这样可使问题的几何性质得到更好的表示,从而使曲线方程的形式简单些．解：取直线l 为x 轴,过F 点且垂直于直线l 的直线为y 轴,建立坐标系xoy ． 设点),(y x M 是曲线上任意一点,作轴，x MB ⊥垂足为，B 那么点),(y x M 属于集合{}.2MB -MF M P ==由两点间距离公式,点),(y x M 适合条件为: (),2222=--+y y x 化简得: ()(),22222+=-+y y x 即.812x y = 因为曲线在直线l 的上方,所以.0>y 故曲线方程为().0812≠=x x y 【方法总结】（1）利用基本五步求曲线方程时,一般要书写、第3步、第4步；（2）第1步中坐标系的建立是否恰当影响着计算的难易；。

第16课时本章复习(2)教学过程一、数学运用【例1】已知F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点A,B在椭圆上.若=5,则点A的坐标是(0,±1).[1](见学生用书P46) [处理建议]引导学生将向量坐标化,再根据已知条件解题;或运用点到焦点的距离与点到准线的距离之间的转化来解题,最后让学生比较这两种方法.[规范板书]解法一由题意知F1(-,0),F2(,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由=5,得解得因为A(x1,y1),B(x2,y2)都在椭圆上,所以解得所以点A的坐标为(0,±1).解法二由题意知F 1(-,0),F2(,0),离心率e=,准线方程为x=±.设A(x1,y1),B(x2,y2).由=5,得||=5||且x 1+=5(x2-).又由圆锥曲线的统一定义可知||=,||=,则解得x1=0,所以点A的坐标为(0,±1).[题后反思]解法一,通过点在椭圆上,将点的坐标代入方程,建立方程组,求得A的坐标;解法二,根据圆锥曲线的统一定义,将圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离进行处理,从而建立方程组,求得A的坐标.变式在直角坐标系xOy中,中心在坐标原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点(2,1)到两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C交于A,B两点,其中点A在x轴的下方,且=3,求过O,A,B三点的圆的方程.(见学生用书P47)(变式)[规范板书]解(1)由题意设椭圆C:+=1(a>b>0),则2a=4,a=2.因为点(2,1)在椭圆+=1上,所以+=1,解得b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)解法一设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1<0,y2>0).由点F的坐标为(3,0),且=3,得即①又A,B在椭圆C上,所以解得所以B,代入①得点A的坐标为(2,-).由=,=(2,-),得·=0,所以OA⊥AB,所以过O,A,B三点的圆就是以OB为直径的圆,其方程为x2+y2-x-y=0.解法二设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1<0,y2>0).因为点F的坐标为F(3,0),椭圆的离心率为,且=3,所以AF=3FB且3-x1=3(x2-3).由圆锥曲线的统一定义可知AF=(4-x1),BF=(4-x2),则解得又A(x1,y1),B(x2,y2)(y1<0,y2>0)都在椭圆上,所以A(2,-),B.由=(2,-),=,得·=0,所以OA⊥AB,所以过O,A,B三点的圆就是以OB为直径的圆,其方程为x2+y2-x-y=0.【例2】已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.若椭圆上存在点P,使得=e,求该离心率e的取值范围.[2](见学生用书P47)[处理建议]以问题“以前的学习中求一个量的取值范围有哪些途径?由哪些途径可以建立离心率或基本量的不等关系?”为引导,通过师生共同讨论得到关于离心率的不等关系,从而将问题解决.[规范板书]解法一设P(x,y),则由圆锥曲线的统一定义可知PF1=e=a+ex,PF2=a-ex.又=e,所以a+ex=e(a-ex),解得x=(x<0).又≥-a,所以e2+2e-1≥0,解得e≥-1或e≤-1-.又0<e<1,所以-1≤e<1.解法二由椭圆的定义可知PF1+PF2=2a.又=e,所以a-c≤PF1<PF2≤a+c,PF2=,所以≤a+c,即e2+2e-1≥0,解得e≥-1或e≤-1-.又0<e<1,解得-1≤e<1.[题后反思](1)解法一,根据椭圆上点的横坐标的取值范围得到基本量的不等式,从而变形得到离心率的不等式,将问题解决;解法二,根据点到焦点的距离的取值范围得到基本量的不等式,从而变形得到离心率的不等式,将问题解决.(2)解法一、解法二分别用到椭圆的第二定义、第一定义.变式已知双曲线的左准线与两条渐近线分别交于A,B两点,左焦点在以AB为直径的圆内,求该双曲线的离心率的取值范围.(见学生用书P47)[规范板书]解设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则其渐近线方程为y=±x,左准线方程为x=-.将x=-代入渐近线方程得y=±·=±,所以圆的半径r=.易知左焦点到圆心(准线与x轴的交点)的距离d=c-.由条件知d<r,即c-<,所以c2-a2<ab,即b2<ab,故<1,于是离心率e==<,即e∈(1,).【例3】已知椭圆+y2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN分别交椭圆于M,N两点.当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.[3](见学生用书P48) [处理建议]通过类比联想等式恒成立问题得到定点的坐标(解法二);或通过特殊化的方法得到可能经过的定点,再进行证明(解法一).[规范板书]解法一当直线AM的斜率为1时,直线AM:y=x+2,直线AN:y=-x-2.由解得或所以M.根据椭圆的性质得N.所以若存在定点,则此点必为P.设直线AM的斜率为k,则AM:y=k(x+2).由化简得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.因为此方程有一根为-2,所以x M=.同理可得x N=.因为k MP===,k PN=,所以k MP=k NP.所以直线MN过x轴上的一定点P.解法二若存在定点,设此定点为P(m,0).设直线AM的斜率为k,则AM:y=k(x+2).由化简得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.因为此方程有一根为-2,所以x M=,所以k MP==.同理k NP=.因为k MP=k NP,所以=.由题意知2-m=8+4m,解得m=-.所以直线MN过x轴上的一定点P.[题后反思]此问题通过两种解法给出了曲线过定点问题的两种常用处理方法:(1)通过特殊的图形确定定点的坐标,再证明此定点在动曲线上;(2)设出定点从而将问题转化为等式恒成立问题.变式在平面直角坐标系xOy中,已知定点A(-4,0),B(4,0),动点P与A,B连线的斜率之积为-.(1)求点P的轨迹方程.(2)设点P的轨迹与y轴的负半轴交于点C,半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上,且在y轴的右侧,圆M被y轴截得的弦长为r.①求圆M的方程.②当r变化时,是否存在定直线l与动圆M均相切?如果存在,求出定直线l的方程;如果不存在,请说明理由.(见学生用书P48) [规范板书]解(1)设P(x,y),则直线PA,PB的斜率分别为k1=,k2=.由题意可知·=-,即+=1(x≠±4).所以点P的轨迹方程为+=1(x≠±4).(2)①C(0,-2),A(-4,0),AC的中垂线的方程为y=2x+3.设M(m,2m+3)(m>0),则m=,解得m=r,所以圆M的方程为+(y-r-3)2=r2.②若定直线的斜率不存在,则不符合题意.若定直线的斜率存在,设定直线的方程为y=kx+n,即kx-y+n=0,则=r,即r2+(k-2)(n-3)r+(n-3)2=(1+k2)r2,对任意r>0恒成立,所以解得所以存在这样的直线,这样的直线有两条,分别为y=3,y=-x+3.(例4)*【例4】如图,已知椭圆C1的中心在坐标原点O,长轴的两个端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e.直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1)设e=,求BC与AD的比值;(2)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.[规范板书]解(1)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设C1:+=1,C2:+=1(a>b>0).设直线l:x=t(|t|<a),分别与C1,C2的方程联立,求得A,B.当e=时,b=a,分别用y A,y B表示A,B的纵坐标,可知BC∶AD===.(2)当t=0时,l不符合题意.当t≠0时,BO∥AN当且仅当BO的斜率k BO与AN的斜率k AN 相等,即=,解得t=-=-·a.因为|t|<a,又0<e<1,所以<1,解得<e<1.所以当0<e≤时,不存在直线l,使得BO∥AN;当<e<1时,存在直线l,使得BO∥AN.[题后反思]此问题通过设直线l的方程为x=t,这样将几何问题(是否存在平行直线)转化为代数问题(方程在区间内是否有解问题),体现了数形结合的思想.(变式)变式如图,过点C(0,1)的椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆与x轴交于A(a,0),B(-a,0)两点,过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆的右焦点时,求线段CD的长;(2)当点P异于点B时,求证:·为定值.[规范板书]解(1)由已知得b=1,=,解得a=2,所以椭圆的方程为+y2=1.椭圆的右焦点为(,0),此时直线l的方程为y=-x+1,代入椭圆方程化简得7x2-8x=0,解得x1=0,x2=,代入直线l的方程得y1=1,y2=-,所以点D的坐标为.故CD==.(2)当直线l与x轴垂直时,与题意不符,故可设直线l的方程为y=kx+1(k≠0且k≠),代入椭圆方程化简得(4k2+1)x2+8kx=0,解得x1=0,x2=,代入直线l的方程得y1=1,y2=,所以点D的坐标为.又直线AC的方程为+y=1,直线BD的方程为y=(x+2),联立解得因此点Q的坐标为(-4k,2k+1).又点P的坐标为,所以·=·(-4k,2k+1)=4.故·为定值.二、补充练习1.如果双曲线-=1上一点P到右焦点的距离是4,那么点P到左准线的距离是16.提示根据双曲线的定义可知e==(d为P到右准线的距离),所以d=,所以P到左准线的距离为+d=+=16.2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交其准线于点C.若BC=2BF,且AF=3,则此抛物线的方程为y2=3x.(第2题)提示过点B作BD垂直于准线,且交准线于点D,则BD=BF,所以BC=2BD,故∠DCB=30°.又因为AF=3,所以点A到准线的距离d=3,所以AC=6,所以F为AC的中点,所以p==1.5.3.已知椭圆C:+=1的上顶点为B,过点B分别作斜率为k1,k2的直线l1,l2,与曲线C分别交于点R,S(不同于点B).若k1k2=-,则直线RS一定经过y轴上的一个定点,此定点的坐标为(0,0). 提示取特殊值法,分别取k1=,k2=-,得RS为x轴,故定点的坐标为(0,0).(第4题)4.如图,已知点Q(2,0)和☉C:x2+y2=1,过圆外一动点P引切线PT交圆于点T,且=2,求动点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解设点P(x,y),则PT==,PQ=.因为=2,所以=2,化简得3x2+3y2-16x+17=0,即+y2=.所以所求点P的轨迹方程为+y2=,它表示以点为圆心、为半径的圆.三、课堂小结1.进一步理解圆锥曲线的简单几何性质.2.掌握圆锥曲线的离心率或范围的处理方法.3.根据圆锥曲线的统一定义解决圆锥曲线上的点到焦点的距离有关的问题.4.体会定点或定直线问题等“定值”问题的处理方法.。

2.6.2　求曲线的方程1．了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．(重点)2．掌握求动点轨迹方程的常用方法．(难点)3．对动点轨迹方程的限制与检验．(易错点)[基础·初探]教材整理　求曲线的方程阅读教材P63例1以上的部分，完成下列问题．1．求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：建立适当的坐标系↓设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)↓列出符合条件p(M)的方程f(x，y)＝0↓化方程f(x，y)＝0为最简形式↓证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上求曲线方程的流程图可以简记为：建系设点列式化简证明→→→→2．求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．( )(2)化简方程“|x |＝|y |”为“y ＝x ”是恒等变形．( )(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．( )(4)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系．( )【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M 的轨迹方程是________．【解析】　由圆的定义知，点M 的轨迹是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆，则其方程为x 2＋y 2＝4.【答案】　x 2＋y 2＝43．设P 为曲线＋y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，x 24则动点M 的轨迹方程是________．【解析】　设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 0＝2x ，y 0＝2y ，∵＋y ＝1，∴x 2＋4y 2＝1.x 20420【答案】　x 2＋4y 2＝14．到A (－3,0)，B (5，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________.【导学号：09390058】【解析】　设P (x ，y )，PA ＝PB ，即＝，即(x ＋3)2＋y 2(x －5)2＋(y ＋1)2(x ＋3)2＋y 2＝(x －5)2＋(y ＋1)2，化简得16x －2y －17＝0.【答案】　16x －2y －17＝0[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]直接法求轨迹方程　在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a >c >b ，且a ，c ，b 成等差数列，AB ＝2，求顶点C 的轨迹方程．【精彩点拨】　由a ，c ，b 成等差数列可得a ＋b ＝2c ；由a >c >b 可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB ＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解．【自主解答】　以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C 点坐标为(x ，y )，由已知得AC ＋BC ＝2AB .＋＝4，(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y 2整理化简得3x 2＋4y 2－12＝0，即＋＝1.x 24y 23又∵a >c >b ，∴x <0且x ≠－2.所以顶点C 的轨迹方程为＋＝1(x <0且x ≠－2)．x 24y 23直接法求动点轨迹的关键及方法1．关键(1)建立恰当的平面直角坐标系；(2)找出所求动点满足的几何条件．2．方法求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：①建系、设点；②根据动点满足的几何条件列方程；③对所求的方程化简、说明．[再练一题]1．若将本例已知条件“a >c >b 且a ，c ，b 成等差数列”改为“△ABC 的周长为6且AB ＝2”，求顶点C 的轨迹方程．【解】　以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，由已知得AC ＋BC ＋AB ＝6.＋＝4.(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y 2化简整理得3x 2＋4y 2－12＝0，即＋＝1.x 24y 23∵A ，B ，C 三点不能共线，∴x ≠±2.综上，点C 的轨迹方程为＋＝1(x ≠±2).x 24y 23定义法求曲线方程　已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．【精彩点拨】　利用平面几何的知识，分析点P 满足的条件为抛物线，可用定义法求解．【自主解答】　如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则KQ ＝1，所以PQ ＝r ＋1，又AP ＝r ＋1，所以AP ＝PQ ，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线．∴＝2，∴p ＝4，p2∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征.[再练一题]2．点P 与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【解】　设d 是点P 到直线x ＝8的距离，根据题意，得＝.PFd 12由圆锥曲线的统一定义可知，点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，x ＝8为准线的椭圆，则Error!解得Error!∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.故点P 的轨迹方程为＋＝1.x 216y 212代入法求动点的轨迹方程　已知P 在抛物线y ＝x 2上运动，另有一点Q (4,2)，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．【精彩点拨】　设M (x ，y )，由M 为线段PQ 的中点，可表示出在已知抛物线上运动的点P 的坐标，代入到已知抛物线，进而得到所求动点的轨迹方程．【自主解答】　设M (x ，y )，P (x 0，y 0)．由M 为线段PQ 的中点，得＝x ，＝y ，x 0＋42y 0＋22则x 0＝2x －4，y 0＝2y －2.因为P (x 0，y 0)在抛物线y ＝x 2上，即y 0＝x ，得2y －2＝(2x －4)2，20化简得y ＝2x 2－8x ＋9.即线段PQ 的中点M 的轨迹方程为y ＝2x 2－8x ＋9.1．动点满足的条件不方便用等式求出，但动点随着另一个动点(相关点)而运动时，可以用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关动点法，也称代入法．2．代入法求动点轨迹，要设从动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 0，y 0)，用x ，y 表示x 0，y 0，不要弄反代入而导致错误．[再练一题]3．在例3中，若点M 满足＝3，则点M 的轨迹方程是什么？PQ → MQ→【解】　设P (x 0，y 0)，则y 0＝x ，设M (x ，y )，则＝(4－x 0,2－y 0)，20PQ → ＝(4－x,2－y )，由＝3，得Error!即Error!又y 0＝x ，∴3y －4＝(3x －8)MQ → PQ → MQ →202，化简得y ＝3x 2－16x ＋，即点M 的轨迹方程为y ＝3x 2－16x ＋.683683[探究共研型]曲线方程的特征探究1　在解决曲线的方程问题时，怎样建立“适当的”坐标系？【提示】　建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征，例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．同一曲线，坐标系建立的不同，方程也不相同．所以要遵循垂直性和对称性的原则建系．一方面让尽可能多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷．探究2　“轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？【提示】　(1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适合的方程f(x，y)＝0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形，故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．探究3　在求动点的轨迹方程时，如何确定变量的取值范围？【提示】　在求动点的轨迹方程时，注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出变量的适当范围．探究4　如何利用参数法求轨迹方程，利用参数法求轨迹方程时要注意什么？【提示】　(1)当动点坐标x，y满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作为参数，间接地表示出关于x，y的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式．在具体问题中，往往以直线的斜率k，倾斜角α，截矩b，时间t等作为参数．(2)利用参数法求轨迹方程时，应注意参数的取值范围．同时，参数法求动点轨迹方程的一个难点就是消参数，应选用适当的方法消去参数．例如代入法、加减法、恒等式法等．　设椭圆方程为x 2＋＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，y 24O 为坐标原点，点P 满足＝(＋)，当直线l 绕点M 旋转时，求动点P OP → 12OA → OB→ 的轨迹方程．【精彩点拨】　设出直线的方程，其斜率为k ，运用所给条件，用k 表示点P 的纵、横坐标，消去k ，得x ，y 的关系式，即动点P 的轨迹方程．【自主解答】　直线l 过定点M (0,1)，当其斜率存在时设为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A ，B 满足方程组Error!消去y ，得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0，∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.2k4＋k 2－34＋k 2P (x ，y )是AB 的中点，则由Error!消去k ，得4x 2＋y 2－y ＝0；当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.[再练一题]4．过原点作直线l 和抛物线y ＝x 2－4x ＋9交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】　由已知，直线l 的斜率一定存在，设l 的方程为y ＝kx ，把它代入抛物线方程中，得x 2－(4＋k )x ＋9＝0.由Δ＝(4＋k )2－36>0，得k >2或k <－10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4＋k ，则x ＝＝，y ＝kx ＝，x 1＋x 22k ＋42k 2＋4k 2由Error!消去参数k，得y＝2x2－4x.由k>2或k<－10，知x>3或x<－3，即所求的轨迹方程为y＝2x2－4x(x>3或x<－3)．[构建·体系]1．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是________．【解析】　设P(x，y)到两坐标轴的距离相等，则|x|＝|y|，即y＝±x.【答案】　y＝±x2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是________．【解析】　由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.【答案】　2x－y＋5＝03．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________. 【导学号：09390059】【解析】　设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，＝2，(x＋2)2＋y2(x－1)2＋y2∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.∴P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，即轨迹所包围的面积等于4π.【答案】　4π4．过椭圆＋＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线x 2a 2y 2b 2段MN 中点的轨迹方程是________．【解析】　设MN 的中点P (x ，y )，则点M (x,2y )在椭圆上，∴＋ x 2a 2＝1，即＋＝1.(2y )2b 2x 2a 24y 2b 2【答案】　＋＝1x 2a 24y 2b 25．已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，边AC ，BC所在直线的斜率之积为－，求顶点C 的轨迹方程．14【解】　设顶点C 的坐标为(x ，y )，则k CA ＝(x ≠－3)，k BC ＝(x ≠3)．y x ＋3y x －3∵k CA ·k BC ＝－，∴·＝－.14yx ＋3yx －314化简得＋＝1(x ≠±3)．x 294y 29当x ＝±3时，A ，B ，C 三点共线，则不能构成三角形，故x ≠±3.∴所求顶点C 的轨迹方程为＋＝1(x ≠±3)．x 294y 29我还有这些不足：(1)　(2)　我的课下提升方案：(1)　(2)　学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足·＝x 2－6，则点P 的轨PA → PB → 迹方程是________．【解析】　＝(3－x ，－y )，＝(－2－x ，－y )，PB → PA→ ∴·＝(3－x )·(－2－x )＋y 2＝x 2－x －6＋y 2＝x 2－6，∴y 2＝x .PA → PB→ 【答案】　y 2＝x2．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的__________条件．【解析】　“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】　必要不充分3．平面内有两定点A ，B ，且AB ＝4，动点P 满足|＋|＝4，则点P 的PA → PB→轨迹方程是________．【解析】　以AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设A (－2,0)，B (2,0)．∵|＋|＝|2|＝4，PA → PB → PO→ ∴||＝2.PO →设P (x ，y )，∴＝2，即x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2∴点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4.【答案】　x 2＋y 2＝44．已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且·＝0，延长MP 到点N ，使得||＝||，则点N 的轨迹方程是PM → PF → PM → PN→ __________________．【解析】　由于||＝||，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，PM → PN→ P，由·＝0，得·＝0，所以(0，y2)PM → PF → (－x ，－y 2)(1，－y2)(－x )·1＋·＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .(－y 2)(－y2)【答案】　y 2＝4x5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是________．【解析】　由两点式，得直线AB 的方程是＝，即y －04－0x ＋12＋14x －3y ＋4＝0，AB ＝＝5.设C 点的坐标为(x ，y )，则×5×(2＋1)2＋4212＝10，|4x －3y ＋4|5即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.【答案】　4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝06．(2016·沈阳高二检测)已知AB ＝3，A ，B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O 为坐标原点，＝＋，则动点P 的轨迹方程是________. 【导学号：OP → 23OA → 13OB→ 09390060】【解析】　设P (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)．∵AB ＝3，∴x ＋y ＝9，＝(x ，y )＝＋＝(x 0,0)＋(0，y 0)2020OP → 23OA → 13OB →2313＝.(23x 0，13y 0)所以Error!即Error!又x ＋y ＝9，所以x 2＋9y 2＝9，即＋y 2＝1.202094x 24【答案】　＋y 2＝1x 247．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．【解析】　如图，AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF，所以CA －CB ＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x >3)．x 29y 216【答案】　－＝1(x >3)x 29y 2168．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若＝，则点P 的轨迹方程是________．RA → AP→【解析】　∵＝，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设RA → AP→ P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由＝，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则Error!即RA → AP→ x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x ，∴点P 的轨迹方程为y ＝2x .【答案】　y ＝2x 二、解答题9．已知点Q 在椭圆C ：＋＝1上，点P 满足＝(＋)(其中x 216y 210OP → 12OF 1→ OQ→ O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，求点P 的轨迹方程．【解】　因为点P 满足＝(＋)，所以P 是线段 QF 1的中点，设OP → 12OF 1→ OQ→ P (x ，y )，由于F 1为椭圆C ：＋＝1的左焦点，则F 1(－，0)，故Qx 216y 2106，由点Q 在椭圆C ：＋＝1上，则点P 的轨迹方程为(2x ＋6，2y )x 216y 210＋＝1，故点P 的轨迹方程为＋＝1.(2x ＋6)216(2y )210(2x ＋3)282y 2510．如图2­6­4，过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．图2­6­4【解】　法一：设点M 的坐标为(x ，y )．∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)，∴PA ⊥PB ，k PA ·k PB ＝－1.而k PA ＝(x ≠1)，k PB ＝，∴·＝－1(x ≠1)．4－02－2x 4－2y2－021－x 2－y1整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2PM ＝AB .而PM ＝，(x －2)2＋(y －4)2AB ＝，(2x )2＋(2y )2∴2＝，(x －2)2＋(y －4)24x 2＋4y 2化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求轨迹方程．法三：∵l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，∴O ，A ，P ，B 四点共圆，且该圆的圆心为M ，∴MP ＝MO ，∴点M 的轨迹为线段OP 的垂直平分线．∵k OP ＝＝2，OP 的中点坐标为(1,2)，4－02－0∴点M 的轨迹方程是y －2＝－(x －1)，12即x ＋2y －5＝0.[能力提升]1．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________．【解析】　设P (x ，y )，∵△MPN 为直角三角形，∴MP 2＋NP 2＝MN 2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得x 2＋y 2＝4.∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2，∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．【答案】　x 2＋y 2＝4(x ≠±2)2．P 是椭圆＋＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标x 2a 2y 2b 2原点，＝1＋2，则动点Q 的轨迹方程是________．OQ → PF → PF→ 【解析】　由＝1＋2，又1＋2＝＝2OQ → PF → PF → PF → PF → PM→ ＝－2，PO → OP → 设Q (x ，y )，则＝－OP → 12OQ→＝－(x ，y )＝，12(－x 2，－y2)即P 点坐标为，又P 在椭圆上，(－x2，－y 2)则有＋＝1，即＋＝1.(－x2)2a 2(－y2)2b 2x 24a 2y 24b 2【答案】　＋＝1x 24a 2y 24b 23．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，P 是l 上满足·＝1的点，则点P 的轨迹方程是________．PA → PB→【解析】　如图，设P 点的坐标为(x ，y )，则由方程x 2＋2y 2＝4得2y 2＝4－x 2，∴y ＝±，4－x 22∴A ，B 两点的坐标分别为，.(x ，4－x 22)(x，－4－x 22)又·＝1，PA → PB→ ∴·＝1，(0，4－x 22－y )(0，－4－x 22－y)即y 2－＝1，4－x 22∴＋＝1.x 26y 23又直线l 与椭圆交于两点，∴－2<x <2，∴点P 的轨迹方程为＋＝1(－2<x <2)．x 26y 23【答案】　＋＝1(－2<x <2)x 26y 234．过点A (2,1)的直线l 与椭圆＋y 2＝1相交，求l 被截得的弦的中点的轨x 22迹方程．【解】　法一：设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x －2)，设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，则把l 方程代入椭圆方程消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(1－2k )2－2＝0，Δ＝16k 2(1－2k )2－8(1＋2k 2)[(1－2k )2－1]>0，得－2k 2＋4k >0，∴0<k <2，x ＝＝－.x 1＋x 222k (1－2k )1＋2k 2∵中点满足Error!消去k 得轨迹方程x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)．法二：设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，由Error!得＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＝0，∴＝－×，又∵k PQ ＝k AM ，∴＝－×，∴2y (y －1)y 1－y 2x 2－x 112x 1＋x 2y 1＋y 2y －1x －212xy ＝－x (x －2)，即x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)．。

2．6.2求曲线的方程(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能能叙述求曲线方程的一般步骤，并能根据所给条件选择适当的坐标系，求出曲线的方程．2．过程与方法经过求曲线的方程的过程，培养学生发散思维和转化，归纳数形结合等数学思想方法，提高分析问题，解决问题的能力．3．情感、态度与价值观在问题解决过程中，培养学生积极探索和团结协作的科学精神．在民主，和谐的教学气氛中，充分的促进师生间的情感交流，形成学习数学的积极态度．激发学生热爱数学，学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神．●重点难点重点：求曲线方程的基本方法和步骤．难点：由已知条件求曲线方程．教学时，应通过基本例子，总结求曲线方程的基本方法和步骤，强调方程的得法及来源，通过不同的例子，体会求轨迹方程的各种方法：代入法、参数法、定义法等．(教师用书独具)●教学建议求曲线的方程是上节课内容曲线与方程的拓展与深化，也是解析几何两大基本问题之一，同时也是高考重点内容之一．它把高中数学中的解析几何和代数紧紧连在一起，容纳了高中数学教学中很多的数学思想，如函数与方程思想，数形结合思想，等价转换思想及运动变换思想，这正是高考中重点所要考察的数学思想，本节课宜采取启发式的教学方法，积极鼓励学生的行为参与和思维参与，给学生独立的思考空间，让学生经历知识形成的全过程，鼓励学生自主探索，发现解决问题的途径．在教学中，适当的对他们的数学学习过程进行评价，适当的评价他们的学习态度、在回答和思考中表现出来的自信、合作交流的意识，更进一步的激发了学生学习数学的兴趣，让他们体验成功的喜悦．在教学手段方面，利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，对于教学中遇到的一些复杂的轨迹问题，几何画板更以形象直观的形式给学生以充分的理解和掌握．改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念．让学生主体参与，主题参与，让学生动手，动脑，通过观察，联想，猜测，归纳等合情推理，鼓励学生多向思维，积极活动，勇于探索．在学生的活动中，教师谨慎驾驭，肯定学生的正确，指出学生的错误，引导学生，揭示内涵，不断培养和训练学生的逻辑思维能力．●教学流程回顾曲线与方程的概念，强调两个条件．展示实例：在南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角，你能否为军舰巡逻的路线写一个方程？首先通过学生讨论，猜测军舰巡逻的路线，在用电脑演示军舰巡逻的动画效果，导入新课．⇒例谈直接法求动点轨迹方程的五步骤．由于学生已经学习直线与圆一个模块，教师引导学生解决例1并不困难，但重要的是引导学生总结求动点轨迹方程的五步骤，并且对每一步骤要强调注意问题，如坐标系的恰当与否，化简过程是否同解变形，特殊点的检验等．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握代入法求动点轨迹方程的方法．当一点随另一点运动时，求从动点轨迹方程一般利用代入法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握参数法求动点轨迹方程的方法．当动点坐标满足的方程不易直接求出时，可选择设出参与运动变化的变量即参数，找出动点坐标满足的方程组，然后消去参数，得出方程．⇒通过易错易误辨析，体会曲线与方程定义的严谨性，曲线上的点与方程的解必须一一对应，对方程必须注意是否需要限制范围．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.1．怎样建立坐标系较为适当？【提示】建立适当的坐标系应遵从垂直性和对称性原则，常见的建系方法有：①以已知定点为原点；②以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴)；③以已知线段所在的直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段的中点为原点；④以已知互相垂直的两定直线为坐标轴；⑤让尽量多的已知点在坐标轴上．2．怎样检验取舍特殊点？【提示】对动点轨迹(方程)的检验，一般都是对特殊点进行检验，如三角形三顶点不共线，利用斜率列方程，动点必须保证斜率存在等．求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：建立适当的坐标系↓设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)↓列出符合条件p(M)的方程f(x，y)＝0↓化方程f(x，y)＝0为最简形式↓证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上求曲线方程的流程图可以简记为：建系→设点→列式→化简→证明求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法.已知△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是(－3,0)、(3,0)，边AC 、BC 所在直线的斜率之积为－14，求顶点C 的轨迹方程．【思路探究】 设顶点C (x ，y )，把直线AC 、BC 的斜率之积为－14用坐标形式表示出来，化简后，即得到一个关于x ，y 的二元方程，注意形成三角形的条件．【自主解答】 设顶点C 的坐标为(x ，y )，则k CA ＝y x ＋3(x ≠－3)，k BC ＝yx －3(x ≠3)．∵k CA ·k BC ＝－14，∴y x ＋3·y x －3＝－14.化简得x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)．当x ＝±3时，A 、B 、C 三点共线，则不能构成三角形，故x ≠±3. ∴所求顶点C 的轨迹方程为：x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)．1．由于三角形三顶点，不共线，故应去掉两顶点．2．如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x、y的等式就得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法．其步骤是：①寻求动点满足的几何条件；②用坐标表示几何条件并化简可得方程；③剔除不合题意的点并下结论．设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a＝(mx，y＋1)，向量b＝(x，y－1)，a⊥b，动点M(x，y)的轨迹为E.求轨迹E的方程，并说明当m＝0,1时该方程所表示的曲线的形状．【解】∵a⊥b，∴a·b＝0，即(mx，y＋1)·(x，y－1)＝0，得mx2＋y2－1＝0，于是，轨迹E 的方程为mx 2＋y 2＝1.当m ＝0时，轨迹方程为y 2－1＝0，即y ＝1或y ＝－1， ∴原方程表示直线y ＝1和直线y ＝－1； 当m ＝1时，轨迹方程为x 2＋y 2＝1， ∴原方程表示圆x 2＋y 2＝1.已知△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．【思路探究】 设重心坐标(x ，y )，C (x 0，y 0)，用x ，y 表示x 0，y 0，代入到y 0＝3x 20－1中．【自主解答】 设重心坐标为(x ，y )，顶点C (x 0，y 0)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋0＋x03，y ＝0－2＋y 03，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2. ①因为C 在y ＝3x 2－1上移动，所以y 0＝3x 20－1.②将①代入②，得y ＝9x 2＋12x ＋3，即为重心的轨迹方程．1．根据重心坐标公式用重心坐标(x，y)来表示顶点C的坐标(x0，y0)是解答本题的关键．2．利用一个动点是定曲线上的动点，而另一动点依赖于它，那么，可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，得到原动点的轨迹的方法，叫做代入法或相关点法．其用法思路是：当互相联系着的两动点P、Q中的动点Q(x′，y′)在给定曲线上运动，求动点P(x，y)的轨迹方程时，先建立(x，y)与(x′，y′)的关系式，用x、y表示x′，y′，而后将x′、y′代入定曲线方程即得P(x，y)的轨迹方程．已知抛物线y2＝x＋1，定点A(3,1)，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶P A＝1∶2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．【解】 设P (x ，y )，B (x 1，y 1)，由题设，P 分线段AB 的比λ＝APPB ＝2，∴x ＝3＋2x 11＋2，y＝1＋2y 11＋2. 解得x 1＝32x －32，y 1＝32y －12.又点B 在抛物线y 2＝x ＋1上，其坐标适合抛物线方程， ∴(32y －12)2＝(32x －32)＋1. 整理得点P 的轨迹方程为(y －13)2＝23(x －13)，其轨迹为抛物线.过点A (2,1)的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，求l 被截得的弦的中点的轨迹方程．【思路探究】 思路一：设出直线l 方程y －1＝k (x －2)，运用方程思想，用k 表示中点坐标x ，y ，消去k 得x ，y 满足方程；思路二：设弦端点坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，运用点差法，用x 1，y 1，x 2，y 2表示x ，y ，然后消去x 1，y 1，x 2，y 2.【自主解答】 法一 设直线l 斜率为k ，则l 方程为y －1＝k (x －2)，设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，则把l 方程代入椭圆方程消去y 得： (1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(1－2k )2－2＝0，Δ＝16k 2(1－2k )2－8(1＋2k 2)[(1－2k )2－1]>0得－2k 2＋4k >0， ∴0<k <2，x ＝x 1＋x 22＝－2k (1－2k )1＋2k 2，∴中点满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －2)x ＝2k (2k －1)1＋2k2，消去k 得轨迹方程x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以，弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)． 法二 设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1①x222＋y 22＝1②，由①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∴y 1－y 2x 2－x 1＝－12×x 1＋x 2y 1＋y 2，又∵k PQ ＝k AM ，∴y －1x －2＝－12×x y ，∴2y (y －1)＝－x (x －2)，即x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以，弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)．1．本例中，法一是引进了动直线的斜率k 作为参数，法二是引进了弦的端点坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)作为参数，目的是为了间接地找到x ，y 满足的等式关系．2．当动点坐标x ，y 满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作为参数，间接地表示出关于x ，y 的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式．设椭圆的方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若O 是坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．【解】 当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k4＋k2，y 1＋y 2＝84＋k 2.设P (x ，y )，则有x ＝－k 4＋k 2，y ＝44＋k 2，消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0. 经检验，当直线l 的斜率不存在时，点P 的坐标满足上述方程． 所以P 的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.忽略变量范围而致错等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹表示的是什么．【错解】 设另一个端点C 的坐标为(x ，y )， 则点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10.点C 的轨迹是以A (4,2)为圆心，以10为半径的圆．【错因分析】 错误的原因是没有认真考虑题中所给的几何条件． 【防范措施】 根据动点满足的几何条件对动点坐标加以限制． 【正解】 设另一个端点C 的坐标为(x ，y )． 由题意得AC ＝AB ， 再由两点间的距离公式得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，化简得(x －4)2＋(y －2)2＝10. ∵A ，B ，C 为三角形的三个顶点， ∴A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合，且B ，C 不能为圆A (圆A 是以A 为圆心，10为半径的圆)的一条直径的两个端点．∵点B ，C 不重合， ∴点C 的横坐标x ≠3，∵点B ，C 不能为圆A 的一条直径的两个端点， ∴x ＋32≠4，即点C 的横坐标x ≠5， 故点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10(x ≠3且x ≠5)．点C 的轨迹是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆除去(3,5)和(5，－1)两点．1．求曲线的方程常用的方法有直接法、代入法、定义法、参数法、几何法等．2．求曲线的方程，其步骤严格来说有五步，即建系，设点，列式，化简，证明．建立坐标系要恰当，证明一般要省略，即使检验也是对特殊点进行检验．3．求动点轨迹方程一定要注意解题的严谨性，当动点的轨迹不是整条曲线时，要去掉某些特殊点，即对变量x，y进行限制.1．到A(2，－2)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________．【解析】到A、B距离相等的点的轨迹为线段AB的垂直平分线，设其斜率为k，∵k AB ＝－1＋24－2＝12，∴k ＝－2.设AB 中点为(x 1，y 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2＋42＝3，y 1＝－2－12＝－32.∴其方程为y ＋32＝－2(x －3)，即4x ＋2y －9＝0.【答案】 4x ＋2y －9＝02．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________． 【解析】 ∵AM ⊥MB ，∴M 的轨迹是以AB 为直径的圆x 2＋y 2＝1. 【答案】 x 2＋y 2＝13．设P 为曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，则点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 0＝2x ，y 0＝2y ， ∵x 204－y 20＝1， ∴x 2－4y 2＝1.【答案】 x 2－4y 2＝14．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足P A ＝3PO ，求点P 的轨迹方程． 【解】 设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x －1)2＋(y －2)2＝3x 2＋y 2，化简得8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0.∴点P 的轨迹方程为8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0.一、填空题1．已知点A (－5,0)，B (5,0)，动点P 到A ，B 距离的平方和为122，则动点P 满足的方程是________．【解析】 依题意，设动点P (x ，y )．由P A 2＋PB 2＝122，得(x ＋5)2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝122，即x 2＋y 2＝36. 故所求动点P 满足的方程为x 2＋y 2＝36. 【答案】 x 2＋y 2＝362．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．【解析】 设A (x ，y )，D (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋02，y 0＝y ＋02，即x 0＝x 2，y 0＝y2，又(x 0－5)2＋(y 0－0)2＝9，∴(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)为所求A 点的轨迹方程． 【答案】 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)3．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且OP →·MN →＝4，则动点P 的轨迹方程为________．【解析】 由已知M (0，y )，N (x ，－y )，则OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2＝4， 即x 24－y 22＝1. 【答案】 x 24－y 22＝14．已知A (1,0)，B (－1,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程为________． 【解析】 由题意知，AB ＝2，则点M 的轨迹方程为射线y ＝0(x ≤－1)． 【答案】 y ＝0(x ≤－1)5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足条件P A ＝2PB ，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积等于________．【解析】 设P (x ，y )，由P A ＝2PB ，知(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简整理，得(x －2)2＋y 2＝4，所以，动点P 的轨迹是圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π.【答案】 4π6．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________．【解析】 由BP →＝2P A →及A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，知A (32x,0)，B (0,3y )，所以AB →＝(－32x,3y )．由点Q 与点P 关于y 轴对称，知Q (－x ，y )， 所以OQ →＝(－x ，y )，则由OQ →·AB →＝1，得(－32x,3y )·(－x ，y )＝32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 的轨迹方程．【答案】 32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)7．设点A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1长轴的两个端点，点P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为________．【解析】 由题意，不妨设A 1(－3,0)，A 2(3,0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)，直线A 1P 1与A 2P 2的交点P (x ，y )．∵点A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.①∵点A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.②由①②得x 0＝9x ，y 0＝3y x ，代入已知椭圆方程得x 29－y 24＝1.【答案】 x 29－y 24＝18．下列四个命题中不正确的是________(填序号)．①若动点P 与定点A (－4,0)，B (4,0)连线P A ，PB 的斜率之积为定值49，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分；②设m ，n ∈R ，常数a >0，定义运算“*”：m *n ＝(m ＋n )2－(m －n )2，若x ≥0，则动点P (x ，x *a )的轨迹是抛物线的一部分；③已知圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝1和圆B ：(x －1)2＋y 2＝25，动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切，则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆；④已知A (7,0)，B (－7,0)，C (2，－12)，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线．【解析】 ①正确，轨迹是双曲线去掉两个顶点；②正确，P (x ，x *a )即为P (x ，4ax )，设y ＝4ax ，则此方程表示抛物线的一部分；③正确，设动圆的半径为r ，因为MA ＝r ＋1，MB ＝5－r ，所以MA ＋MB ＝6>2，满足椭圆的定义；④不正确，设另一个焦点为F ，则AC ＋AF ＝BC ＋BF ，即AF －BF ＝BC －AC ＝15－13＝2，又0<2<AB ＝14，故F 点的轨迹为双曲线的一支．【答案】 ④ 二、解答题9．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为P A 、PB 、PC ，且满足P A 2＝PB 2＋PC 2，求P 点的轨迹方程．【解】 以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，设点P (x ，y )，B (－a,0)，C (a,0)，A (0，3a )， 用点的坐标表示等式P A 2＝PB 2＋PC 2， 有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2，即所求的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)．10．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，求点C 的轨迹方程．【解】 设C (x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ，y ＝m ＋3n ，∴x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1， ∴x ＋2y ＝5，即x ＋2y －5＝0.11．(2013·南京高二检测)将圆x 2＋y 2＝4上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线设为E .(1)求曲线E 的方程；(2)若曲线E 与x 轴、y 轴分别交于点A (a,0)，B (－a,0)，C (0，b )，其中a >0，b >0.过点C 的直线l 与曲线E 交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．【解】 (1)设曲线E 上任一点为M (x ，y )，相应圆上点为N (x 0，y 0)， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝xy 0＝2yx 2＋y 20＝4消去x 0，y 0得x 24＋y 2＝1.(2)显然A (2,0)，B (－2,0)，C (0,1)．根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1.可得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x ＝0或x ＝－8k4k 2＋1，代入直线l 方程得D 点坐标为(－8k4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1)．又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k(x ＋2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y ＝1，y ＝1＋2k 2－4k(x ＋2). 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1. 因此Q (－4k,2k ＋1)，又P (－1k ，0)， 所以OP →·OQ →＝(－1k，0)·(－4k,2k ＋1)＝4. 故OP →·OQ →为定值．(教师用书独具)已知点B′为圆A：(x－1)2＋y2＝8上任意一点，点B(－1，0)，线段BB′的垂直平分线和线段AB′相交于点M.求点M的轨迹E的方程．【思路探究】利用线段的垂直平分线的性质，得出MA＋MB＝22，从而利用椭圆的定义求出轨迹方程．【自主解答】连结MB，由题意得：MB＝MB′，MA＋MB′＝AB′＝22，故MA＋MB＝22，而AB＝2，故点M的轨迹是以A，B为焦点且长轴长为22的椭圆，＋y2＝1.所以点M的轨迹E的方程为x221．本例中，先分析动点M满足的几何条件，根据椭圆定义得出轨迹的曲线类型是椭圆，从而利用待定系数法求其方程．2．利用圆锥曲线定义求动点轨迹方程的步骤是：(1)找出动点满足的几何条件，由圆锥曲线定义判定曲线类型；(2)利用待定系数法求曲线方程．如图所示，已知抛物线过定点R(1,2)，准线l的方程为x＝－1.(1)求抛物线顶点O′的轨迹方程；(2)求焦点弦RQ的另一端点Q的轨迹方程．【解】(1)设抛物线的顶点O′(x，y)，则由定义知顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离x＋1，∴焦点坐标F (2x ＋1，y )．由题意知R 到焦点的距离与R 到准线的距离相等， ∴(2x ＋1－1)2＋(y －2)2＝1＋1，即x 2＋(y －2)24＝1(x >－1)．故动点O ′的轨迹方程为x 2＋(y －2)24＝1(x >－1)． (2)设点Q 的坐标为(x ′，y ′)，过R 作RR ′⊥l 于R ′，过Q 作QP ⊥l 于P ， 则RQ ＝RF ＋QF ＝RR ′＋QP ， ∴(x ′－1)2＋(y ′－2)2＝x ′＋1＋2，即(y ′－2)2＝8(x ′＋1)(x ′>－1)．故焦点弦RQ 的另一端点Q 的轨迹方程是(y ′－2)2＝8(x ′＋1)(x ′>－1)．。

求曲线的方程曹艳红教学目标：1．教学知识点．根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤2．能力训练要求．（1）会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程（2）会判断曲线和方程的关系3．德育渗透目标．（1）提高学生的分析问题能力（2）提高学生的解决问题能力（3）培养学生的数学修养（4）增强学生的数学素质教学重点：求曲线方程的步骤：（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；（2）用M（，表示所求曲线上任意一点的坐标；（3）用坐标表示条件，列出方程F，＝0；（4）化方程F，＝0为最简形式；（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点教学难点：依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性教学方法：启发引导法．启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（，所满足的方程f，＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质教具准备：a 2a AB B A 、AB M 的坐标,因为三角形AOB 是直角三角形，M 为斜边AB 的中点，所以OM==a, 即a y x =+22两边平方得222a y x =+所以，动点M 的轨迹是以两条直线的交点为圆心，a 为半径的圆师生共同评价总结，求曲线的一般步骤：建设现（限）代化 变式：线段AB 的长为10，两个端点A,B 分别在X 轴正半轴上和Y 轴正半轴上滑动，求线段AB 的中点M 的轨迹B A 、2的轨迹方程变式：求平面内到两个定点B A 、的距离之比等于2的动点B A ,6M 26M M )0,2(A 1-=x 2M 的坐标；（2）写出适合条件的集合｜}；（3）用坐标表示条件），列出方程f ，=0；（4）化方程f ，＝0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明另外，根据情况，也可省略步骤（2），直接列出曲线方程五、课后作业为斜边中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，接下来再采用直接法求M 点轨迹方程。

《椭圆中常见图形面积问题的探究》教学设计本节课是在高三二轮复习到圆锥曲线大专题过程中，根据近两年江苏高考中解析几何的热点问题以及学生的学习状况而穿插的一个微专题。

一、教学目标1、教材分析《课标》在“平面解析几何初步”中指出：本单元的学习，可以帮助学生在直角坐标系中，认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，建立它们的代数方程，运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。

在圆锥曲线中研究图形的面积、面积的最值或面积的范围，就江苏高考而言，主要是以椭圆为载体来研究常见图形的面积问题，不仅考查学生对图形的分析能力，分析出选用哪种面积的求法、选用设点参数或设线参、选用何种方法求最值，更是对学生运算能力的考查，甚至对知识点的交汇处进行考查。

在有限的时间内，对学生的能力、定力、内心等提出挑战。

2、学情分析高三学生经过了一轮复习，在知识的掌握、思维的习惯、学习的方法和技能、运算的能力等方向上都有了很高的提升，在二轮复习中穿插热点微专题《椭圆中常见图形面积问题的探究》，学生是有能力挑战并做出突破的。

因此，本节内容主要采取先做后讲的教学模式。

3、教学目标1熟记常见图形面积公式，并能根据条件选择确当的公式求椭圆中常见图形的面积；2掌握分、补形法求椭圆中常见图形的面积；3培养对图形的分析能力以及计算能力。

4、教学重、难点重点：图形面积方法的选择、参数的设制、（若求面积最值）最值技巧的选择。

难点：学生对图形的分析能力以及计算能力。

二、课程资源多媒体、PPT三、教学方法与手段教学方法：启发式、自主探究、交流与合作教学手段：PPT展示四、教学内容与过程（一）热身练习，引入课题教学意图：由于学生已完成这3个小题，故在此环节通过投影学生课前完成的解答过程，让对应学生讲述解题思路。

特别在第3题中给出了学生的一个解题片段，从学生的角度探讨问题，引发学生的思考，使学生影响深刻。

小结：通过课前小题热身，我们会发现：研究圆锥曲线中图形面积问题，需要从三个方向上寻求突破：①求图形面积的方法；②参数的设制；③（若求图形面积的最值）面积最值的求法。

2.6.2 求曲线的方程课时目标1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．1．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的____________；(2)设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y)； (3)列出符合条件p(M)的方程f(x ，y)＝0； (4)化方程f(x ，y)＝0为____________；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．2．求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有直接法、代入法、定义法、参数法、待定系数法．一、填空题1．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是______________． 2．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是______________．3．与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是____________________．4．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的方程为____________．5.设过点P （x,y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交与A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是________________________．6．到直线x －y ＝0与2x ＋y ＝0距离相等的动点轨迹方程是________________． 7．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是____________________________．8.直角坐标平面xOy 中，若定点A （1,2）与动点P （x,y ）满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是__________________________．二、解答题9．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆C 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．10．已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A(0,0)，B(6，0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．能力提升11.如图，已知点F （1,0），直线l ：x=-1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．12.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点，使得PM＝2PN.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．1．求轨迹方程的五个步骤：建系、设点、列式、化简、证明． 2．明确求轨迹和求轨迹方程的不同．3．求出轨迹方程时，易忽视对变量的限制条件，在化简变形的过程中若出现了非等价变形，在最后应把遗漏的点补上，把多余的点删去．2．6.2 求曲线的方程知识梳理1．(1)坐标系 (4)最简形式作业设计1．x ＝0(0≤y≤3)解析 直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线． 2．x 2＋y 2＝1(x≠±1) 解析 设P(x ，y)，则k PA ＝y x ＋1，k PB ＝y x －1，所以k PA ·k PB ＝y x ＋1·y x －1＝－1. 整理得x 2＋y 2＝1，又k PA 、k PB 存在，所以x≠±1. 故所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1 (x≠±1)． 3．y 2＝8x(x>0)和y ＝0 (x<0)解析 设动圆圆心为M(x ，y)，动圆半径为r ，则定圆圆心为C(2,0)，半径r ＝2. 由题设得MC ＝2＋r ，又r ＝|x|. ∴MC ＝2＋|x|，故x －22＋y 2＝2＋|x|，化简得y 2＝4x ＋4|x|，当x>0时，y 2＝8x ； 当x<0时，y ＝0，当x ＝0时，不符合题意． ∴所求轨迹方程为y 2＝8x (x>0)和y ＝0 (x<0)． 4．y 2＝12x 或y 2＝－12x 解析 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax(a≠0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为3， 则有|a4|＝3，∴|a|＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x. 5.32x 2＋3y 2＝1(x>0，y>0)解析 如图所示，若P(x ，y)，设A(x 1,0)，B(0，y 2)， 因为BP →＝2PA →， 所以(x ，y －y 2) ＝2(x 1－x ，－y)，即 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1－2x ；y －y 2＝－2y. ∴x 1＝32x ，y 2＝3y.因此有A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，B(0,3y)，AB →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ， OQ ＝(－x ，y)，OQ AB •＝1，∴32x 2＋3y 2＝1(x>0，y>0)，即为点P 的轨迹方程．6．x 2＋6xy －y 2＝0解析 设该动点坐标为(x ，y)， 则|x －y|2＝|2x ＋y|5， 化简得x 2＋6xy －y 2＝0.7．射线x ＋y －1＝0(x≥1)与直线x ＝1 解析 由(x ＋y －1)x －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0，或⎩⎨⎧x －1≥0，x －1＝0.即x ＋y －1＝0(x≥1)，或x ＝1.所以，方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x≥1)和直线x ＝1. 8．x ＋2y －4＝0解析 由OP OA •＝4知，x ＋2y ＝4， 即x ＋2y －4＝0，∴点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0. 9．解 方法一 直接法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，则CP ⊥OQ.设OC 中点为M(12，0)， 则MP ＝12OC ＝12，由两点间距离公式得方程x －122＋y 2＝12，考虑轨迹的范围知0<x≤1.所以弦的中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x≤1)．方法二 定义法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，则CP ⊥OQ ，即∠OPC ＝90°，设OC 中点为M(12，0)，所以PM ＝12OC ＝12，所以动点P 在以M(12，0)为圆心，OC 为直径的圆上，圆的方程为(x －12)2＋y 2＝14.因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x≤1)．方法三 代入法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，设Q(x 1，y 1)，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，又因为点Q(x 1，y 1)在⊙C 上， 所以(x 1－1)2＋y 21＝1.将⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，代入上式得(2x －1)2＋(2y)2＝1， 即(x －12)2＋y 2＝14，又因为OQ 为过O 的一条弦， 所以0<x 1≤2，所以0<x≤1，因此所求轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x≤1)．方法四 参数法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，动弦OQ 所在直线的方程为y ＝kx ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1，即(1＋k 2)x 2－2x ＝0.设方程(1＋k 2)x 2－2x ＝0的两根为x 1，x 2， 所以x ＝x 1＋x 22＝11＋k 2，y ＝kx ＝k1＋k 2.消去参数k 得：x 2－x ＋y 2＝0，所以，所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14 (0<x≤1)． 10．解 设G(x ，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得⎩⎨⎧x＝0＋6＋x′3，y＝0＋0＋y′3∴⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x－6，y′＝3y.∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1，故所求的轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.11．解设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由QP→·QF→＝FP→·FQ→得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得C：y2＝4x.所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.12.解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1 (－2,0)，O2(2,0)．由已知PM＝2PN，∴PM2＝2PN2.又∵两圆的半径均为1，∴PO21－1＝2(PO22－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2，即(x－6)2＋y2＝33.∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33 (或x2＋y2－12x＋3＝0)．。

第13课时曲线与方程教学过程一、问题情境在解析几何中,为了研究曲线的性质,我们首先建立了直线、圆及圆锥曲线的方程,那么对于一般的曲线,曲线的方程的含义是什么?二、学生活动问题1我们知道以原点O为圆心、半径为5的圆O的方程为x2+y2=25,那么为什么圆O的方程不是y=呢?解因为圆O上的点的坐标不都是方程的解,如圆O上的点(4,-3)不是方程y=的解,所以圆O的方程不是y=.问题2已知A(4,0),B(0,2),O为坐标原点,D为Rt△AOB的斜边AB的中点,那么线段OD的方程是否为y=x呢?解因为满足方程y=x的点(-2,-1)不在线段OD上,所以线段OD的方程不是y=x.问题3由上面两个问题,请同学们思考,曲线C与方程f(x,y)=0之间需要满足什么样的条件才能说“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”呢?解一般地,如果曲线C上的点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解;以方程f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上,那么,这个方程f(x,y)=0叫做曲线C的方程,这条曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线.三、数学运用【例1】判断点A(1,-2),B(2,-3)是否在曲线x2-xy+2y+1=0上.[1](见学生用书P39) [处理建议]根据曲线与方程的关系,要判定点是否在曲线上,看点的坐标是否满足曲线的方程.[规范板书]解因为12+2-4+1=0,故点A满足曲线的方程,所以点A在曲线上.又因为22-2×(-3)+2×(-3)+1=5≠0,故点B不满足曲线的方程,所以点B不在曲线上.[题后反思]解决此问题的依据是曲线方程的定义.依据定义可知,点P(x,y)在曲线C上⇔(x,y)是方程f(x,y)=0的解.变式已知方程x2+y2=20表示的曲线F经过点A(2,m),求m的值.[规范板书]解因为方程x2+y2=20表示的曲线F经过点A(2,m),所以22+m2=20,解得m=±4.(例2)【例2】(教材第60页例2)已知一座圆拱桥的跨度是36 m,圆拱高为6 m,以圆拱所对的弦AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图),求圆拱的方程.[2](见学生用书P40) [处理建议]先让学生根据圆的相关知识自行解答,再引导学生利用曲线方程的定义进一步完善解题过程.[规范板书]解法一由题意可知,圆拱所在的圆O1的圆心在y轴的负半轴上,所以可设O1(0,b).设圆O1的半径为r,则解得因为圆拱只是它所在的圆位于x轴上方的一部分(包括x轴上的点),所以圆拱的方程是x2+(y+24)2=900(0≤y≤6).解法二由题意可知,圆拱所在的圆O1的圆心在y轴的负半轴上,所以可设O1(0,b).设圆O1的半径为r,则圆O1的方程为x2+(y-b)2=r2.又由题意可知,B(18,0),C(0,6),所以解得因为圆拱只是它所在的圆位于x轴上方的一部分(包括x轴上的点),所以圆拱的方程是x2+(y+24)2=900(0≤y≤6).[题后反思]解决此类问题的依据是曲线方程的定义,因此必须在圆的方程的基础上加限制条件,使得方程为曲线的方程.不能将所求曲线的方程写为x2+(y+24)2=900(-18≤x≤18),因为此时方程的曲线为两段圆弧.变式已知△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(2,-1),C(5,7),则边AB上的中线的方程为3x-2y-1=0(-1≤x≤5).提示AB的中点D的坐标为(-1,-2),所以直线CD的方程为y-7=(x-5),即3x-2y-1=0.所以边AB上的中线的方程为3x-2y-1=0(-1≤x≤5).【例3】求曲线9x2+y2=9与曲线y2=-4(x-1)的交点坐标.[3](见学生用书P40) [处理建议]求曲线的交点坐标,等价于求由两曲线方程联立的方程组的解.[规范板书]解联立方程得消去y得9x2-4x-5=0,解得x=1或x=-,代入②得y=0或y=±.因此,交点坐标为(1,0)或.[题后反思]求曲线交点问题可转化为联立曲线方程求解问题,方程组有几解,两条曲线就有几个交点.变式已知直线y=x+m与曲线y=x2-x+2有两个公共点,求实数m的取值范围.[规范板书]解由消去y整理得x2-2x+2-m=0,所以Δ=4-4(2-m)>0,得m>1.所以实数m的取值范围是(1,+∞).[题后反思]此题方程组的解的个数与一元二次方程的解得个数相同,因此可以利用判别式来研究解的个数.*【例4】(教材第67页习题第7题)已知直线y=x+b与抛物线x2=2y交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求实数b的值.[规范板书]解设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1,y1),=(x2,y2).因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0.又y1=x1+b,y2=x2+b,所以y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2,所以2x1x2+b(x1+x2)+b2=0.由消去y整理得x2-2x-2b=0,所以x1x2=-2b,x1+x2=2,所以-4b+2b+b2=0,解得b=0(舍去)或b=2.所以实数b的值为2.[题后反思]由向量知识可知,OA⊥OB⇔x1x2+y1y2=0,再利用一元二次方程根与系数的关系来解决问题.变式已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过坐标原点O,求实数a的值.[规范板书]解设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1,y1),=(x2,y2).因为以AB为直径的圆经过坐标原点O,所以·=0,所以x1x2+y1y2=0.又y1=ax1+1,y2=ax2+1,所以y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,所以(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0.由消去y整理得(3-a2)x2-2ax-2=0.因为直线与双曲线有两个交点,所以解得a2<6且a2≠3.由根与系数的关系可知x1+x2=,x1x2=,所以(a2+1)·+a·+1=0,解得a2=1,满足a2<6且a2≠3,所以a=±1.所以实数a的值为±1.四、课堂练习1.椭圆x2+4y2=13与圆x2+y2=4的交点的个数为4.2.若点M(m,)与点N在方程x2(x2-1)=y2(y2-1)所表示的曲线上,则实数m=±,n=±或±.提示因为点M(m,),N在曲线上,所以它们的坐标都是方程的解,即m2(m2-1)=2,且×=n2(n2-1),解得m=±,n=±或±.3.若直线2x-y+k=0与直线x-y-2=0的交点在曲线x2+y2=4上,则k的值为-4或-2.4.已知直线l:y=k(x-)与双曲线x2-y2=1的右支相交于A,B两点,则直线l的倾斜角的取值范围是∪.提示由得(1-k2)x2+2k2x-2k2-1=0,所以解得k>1或k<-1.所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.五、课堂小结1.体会曲线的方程的定义(两个方面的含义).2.会判断点是否在曲线上.3.掌握利用方程研究曲线的交点坐标的方法.。

2. 6.2求曲线的方程［对应学生用书P40］摘象问険情境化，新知无师自通*4 n舂算在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(2, - 3), (4, - 1).问题1:求平面上任一点M(x, y)到A点的距离.提示：MA =寸径-2『+(y+ 3 2.问题2:试列出到点A、B距离相等的点满足的方程.提示：MA = MB ,即寸(x— 2 f +(y+ 32=.x—4 2+ y+12.求曲线方程的一般步骤——彳建直适当的坐标系(M)——｛设盼线上任意一点何的坐标为乔0势------ ｛列出符合条件卩曲的点程沪o——｛化方程寸)=Q为堆简形式,£為_一［证明厲化简后的方程的解为坐标的点勢都在曲线上［归纳・升华-领悟J ------------------------正确认识求曲线方程的一般步骤：⑴“建立适当的坐标系”所谓“适当”是指若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称轴为坐标轴；其次，可以选曲线上的特殊点作为原点.(2) “设曲线上任意一点M的坐标为(x, y)” .这一步实际上是在挖掘形成曲线的条件中所含的等量关系.(3) “列出符合p(M)的方程f(x, y) = 0.”这里就是等量关系的坐标化，完成这一步需要使用解析几何的基本公式及平面几何、三角等基础知识.(4) “化方程f(x, y)= 0为最简形式” •化简时需要使用代数中的恒等变形的方法.(5) “说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上”•这一步的证明是必要的•从教高中数学LESI遽駅::亠总茁沙-W总总[P41][1] ABC a b c a>c>bABAB 2a b 2c a>c>bABA(AB 1,0)B(1,0)2 x_4AC(x y)BC 2AB.A/(X 1 2 y27(x 12 ya>c>b3x2 4y212x<0 2.23 1(x<0 x 2)a>c>bAB AB2£ y_4 321.ABC 6 AB则A(-1,0), B(1,0)，设C(x, y), 由已知得AC + BC + AB= 6. 即寸(x+ 1 $+ y2(X—1 2 + y2= 4.2 2化简整理得3x2+ 4y2- 12= 0,即-+ = 1.4 3T A、B、C三点不能共线,±..综上,2点C的轨迹方程为x + y = 1(x H ±2).4 3T T2.已知三点0(0,0), A(-2,1), B(2,1)，曲线C 上任意一点M(x, y)满足| MA + MB =oM( O A + OB) + 2.求曲线C的方程.=(-2-x,1 - y), MB = (2 —x,1 —y)，得解：由MA| MA又OM (OA + OB )= (x, y)(0,2)= 2y,由已知得，一2x 2+ 2-2y 2= 2y+ 2, 化简得曲线C的方程是x2= 4y.定义法求曲线方程［例2］已知圆A: (x+ 2)2+ y2= 1与定直线I: x= 1,且动圆P和圆A外切并与直线I 相切，求动圆的圆心P的轨迹方程.［思路点拨］利用平面几何的知识，分析点P满足的条件为抛物线，可用定义法求解.［精解详析］如图，作PK垂直于直线x= 1 ,垂足为K, PQ垂直于直线x= 2,垂足为Q,则KQ = 1,所以PQ = r + 1,又AP= r + 1,所以AP = PQ,故点P到圆心A( —2,0)的距离和到定直线x= 2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，i N y A2u KI12 工A( —2,0)为焦点，直线x= 2为准线.…2=2,…p=4,•••点P的轨迹方程为y2=- 8x.［一点通］若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征.+2X2+2- 2y2,高中数学2 2・L 1.16 12[3] M|£ZM |PPx 2 y 2 1M B(3,0)[ ] P M MP MP] P(x y) M(x o y o )iCb 2 a 2 F(2,0)PF 12'16c 2.c 2 16 412.F(2,0)4.(x 何 CP(x 何 y 2 4C( 2 0)AP 2 AMMQ APMAPQMAQ,AQ QP|QC QA| QC QP| CPr 2.|AC| 2 羽 2Q2c 羽a 1b 2 1Qx 2 y 21.C( <2 0) A (羽 0)A(,2MQ •AP高中数学了x p = 2x — 3, 即y o = 2y.又••• M 在曲线x 2+ y 2= 1上， •••(2x — 3)2 + (2y)2= 1.••• P 点的轨迹方程为(2x — 3)2 + 4y 2= 1.［一点通］代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动 点转换为已知动点.具体地说，就是用所求动点的坐标(x , y)来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线方程，由此即可求得所求动点坐标的轨迹方程.解：设点Q 的坐标为(x , y),点M 的坐标为(x p , y p )(y p M 0)，则点N 的坐标为(0, y °). 因为即(x , y) = (X o , y o ) + (0, y o ) = (x o,2y o ),贝y X p = x , y o = 2 又因为点M 在圆C 上，所以x 2 + y 2= 4.2 即 x 2+ 七=4(y M 0).2 2所以动点Q 的轨迹方程是 今+ 土 = 1(y ^ 0).4 166.已知曲线C : y 2 = x + 1 ,定点A(3,1), B 为曲线C 上的任意一点，点P 在线段AB 上, 且有BP : PA = 1 : 2,当B 点在曲线C 上运动时，求点 P 的轨迹方程.解：设P 点坐标为(x , y), B 点坐标为(x 0, y °),由 BP : PA = 1 : 2,得 PA = 2 BP , 即(3 — x,1 — y)= 2(x — X 0, y — y °).〔3 - x = 2x - 2x 0, 1 — y = 2y — 2y 0,3x — 3••• P 为MB 的中点,5•已知圆C 的方程为x 2 + y 2= 4，过圆C 上的一动点 线m 与y 轴的交点为N ，若OQ =OM + ON ，求动点M 作平行于x 轴的直线m ,设直 Q 的轨迹方程.x o + 3 2 y p 2，X0 =3y —1 22T 点B(x o , y o )在曲线y = x + 1上,3y — 1 2 3x — 3 丁 = 丁 即点P 的轨迹方程为y —1 2=彳x — .［方法-规律・小结］一1 •求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称 性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系.一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷.2. 求曲线的方程常用的方法. (1) 直接法； (2) 定义法； ⑶相关点代入法； (4)待定系数法等.1 .至俩坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ___________ .解析：设动点M(x , y)，到两坐标轴的距离为 xi, |y|. 则|x|= |y|,「. x 2= y 2. 答案：x 2 = y 22.等腰三角形底边的两个顶点是B(2,1), C(0，— 3)，则另一顶点A 的轨迹方程是解析：设点A 的坐标为(x , y). 由已知得AB = AC ,即・ x — 2 2+ y — 1 2=・ x 2 + y + 3 2. 化简得x + 2y + 1= 0.•••点A 不能在直线 BC 上，X M 1,•••顶点A 的轨迹方程为 x + 2y + 1 = O(X M 1). 答案：x + 2y + 1 = O(X M 1)FA 13. ________________________________________________________________________ 已知两定点A(— 1,0), B(2,0)，动点P 满足pB =-，则P 点的轨迹方程是 ______________________化简得：卜-9=討9课下训练经典化.贵在紬类旁通［对应课时跟踪训练什六)］+ 1.高中数学P(x y)J (x 1 \ y 2 1 ©T 2$ y 2 2x 2 4x y 20.(X 2)2 y 2 4.(x 2)2 y 24Q2x 4y 1 0.2x 4y 1 06P y 2x 21P Q(01)P (X 0 y °)M(x y)F1F 22・PF 1 PF 26>F 1F 2 2PF 1 F 27 2x 2 2y 2 1F 1 F 2 PPE22x_ 乂 11 12 2A( 2,0)B(1,0)P PA 2PBPP(x y)(x2)2 y 2 (x 〜2 22) y 4445 l 2x 4y3 0Pl2QoP 3 oQP(xx3xP(xy )2xy3y2 (3x) 4 (3y) 30 2x 4y4[(x 1)2 y 2] x 2 4x y 2 0O Q OP 1y ) Q(x y) 4y 3 01 0x o 02y ° 1 2X 0 2x y 。