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第四章 线性判别函数

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模式识别(4-1)

模式识别(4-1)


§4.2 Fisher线性判别
Fisher线性判别函数是研究线性判别函数中最 有影响的方法之一。对线性判别函数的研究就 是从R.A.Fisher在1936年发表的论文开始的。
§4.2 Fisher线性判别
设计线性分类器： g(x) wT x + w0
➢首先要确定准则函数； ➢然后再利用训练样本集确定该分类器的参数，以求使所确 定的准则达到最佳。
w
x = xp + r w , g(x)= r w
x2
x p是x在H 上的投影向量 r是x到H的垂直距离
w 是w方向上的单位向量 w
w x
r
xp
x1
H: g=0
线性判别函数的几何意义
令 g(x) wT x w0 = r w
若x为原点，则g(x) w0
原点到超平面H的距离：r0
w0 w
w0 0 原点在H的正侧 w0 0 原点在H的负侧 w0 0 H通过原点
一些基本参量的定义
2.在一维Y空间
➢各类样本均值
1 mi Ni
y,
yYi
i 1, 2
➢ 样本类内离散度、总类内离散度和类间离散度
Si ( y mi )2, yYi
Sw S1 S2 Sb (m1 m2 )2
i 1, 2
§4.2 Fisher线性判别
根据Fisher选择投影方向w的原则：使原样本向量在该方向上 的投影能兼顾：
mi
1 Ni
yYi
y
1 Ni
xX i
wT x =
wT mi ,
i 1, 2
Sb (m1 m2 )2 (wT m1 - wT m2 )2 = wT (m1 - m2 )(m1 - m2 )T w = wT Sbw
线性判别函数的正负和数值大小的几何意义

线性判别函数的正负和数值大小的几何意义

1、线性判别函数的正负和数值大小的几何意义2、支持向量机的判别函数，adaboost的判别函数3、什么是聂曼-皮尔逊判决准，什么是最小最大判决准则4、感知器算法特点5、什么是特征，什么是特征提取，什么是特征选择？6、分类和聚类有何区别？分别说出2-3种代表性算法7、Fisher算法的特点？8、数据预处理主要有哪些工作？9、什么是大数据，大数据有何特点？10、聚类中距离度量的方式有哪些，连续性数据和和二值数据分别怎么度量9、什么是Gini指数，其作用是什么？10、马式距离较之于欧式距离的优点11、关联规则的经典算法有哪些，各自的优缺点？12、什么是分类，什么是回归？分类的过程或步骤13、分类评价标准，怎么评价分类的优劣14、什么是数据，样本、什么是抽样15、什么是机器学习以及机器学习的一般步骤16. 样本属性的主要类型17.人工神经网络的激活函数有哪些？18．信息增益，在ID3算法中怎么用，表示什么含义19．二维数据三个混合项的高斯模型的概率密度方程20、什么是聚类？聚类分析有哪些主要距离度量方法21、什么是频繁项集22、关联规则的2大指标，支持度，可信度，（名词解释）23、什么是关联规则？怎样通过频繁K项集产生关联规则24、什么是贝叶斯网络及作用25、ID3算法及步骤26、神经网络的优缺点，bp网络的优缺点27、分工神经网络主要是模拟人脑的哪些能力？单层感知器有什么缺点？28、什么是过拟合，怎么解决过拟合？29、衡量模式识别与机器学习算法优劣的标准30、什么是有监督学习、什么无监督学习31、基于最小错误率的贝叶斯决策及基于最小风险的贝叶斯决策解决实际问题。

32、贝叶斯决策算法，最小风险贝叶斯、感知器算法、Apriori 算法、、K-中心算法、k-均值算法，等算法，步骤及伪代码。

实际问题示例：1、支持度20%，置信度20%，用Apriori 算法找出所有关联规则（要求完整步骤，写出所有的候选集，k 项集，及所有关联规则）2、识别鲈鱼和鲑鱼，其先验概率分别为 P(w 1)=0.9，P(w 2)=0.1，现有一待识别的鱼，其观察值为x ，从类条件概率密度分布曲线上查得1()0.6P x w =，4.0)(2=w x P ，并且已知011=λ，123λ=，121=λ，022=λ，分别写出自小风险和最小错误率的贝叶斯决策过程。

模式识别习题及答案

模式识别习题及答案

模式识别习题及答案第⼀章绪论1.什么是模式具体事物所具有的信息。

模式所指的不是事物本⾝，⽽是我们从事物中获得的___信息__。

2.模式识别的定义让计算机来判断事物。

3.模式识别系统主要由哪些部分组成数据获取—预处理—特征提取与选择—分类器设计/ 分类决策。

第⼆章贝叶斯决策理论1.最⼩错误率贝叶斯决策过程答：已知先验概率，类条件概率。

利⽤贝叶斯公式得到后验概率。

根据后验概率⼤⼩进⾏决策分析。

2.最⼩错误率贝叶斯分类器设计过程答：根据训练数据求出先验概率类条件概率分布利⽤贝叶斯公式得到后验概率如果输⼊待测样本X ，计算X 的后验概率根据后验概率⼤⼩进⾏分类决策分析。

3.最⼩错误率贝叶斯决策规则有哪⼏种常⽤的表⽰形式答：4.贝叶斯决策为什么称为最⼩错误率贝叶斯决策答：最⼩错误率Bayes 决策使得每个观测值下的条件错误率最⼩因⽽保证了（平均）错误率最⼩。

Bayes 决策是最优决策：即，能使决策错误率最⼩。

5.贝叶斯决策是由先验概率和（类条件概率）概率，推导（后验概率）概率，然后利⽤这个概率进⾏决策。

6.利⽤乘法法则和全概率公式证明贝叶斯公式答：∑====m j Aj p Aj B p B p A p A B p B p B A p AB p 1)()|()()()|()()|()(所以推出贝叶斯公式7.朴素贝叶斯⽅法的条件独⽴假设是（P(x| ωi) =P(x1, x2, …, xn | ωi)= P(x1| ωi) P(x2| ωi)… P(xn| ωi)）8.怎样利⽤朴素贝叶斯⽅法获得各个属性的类条件概率分布答：假设各属性独⽴，P(x| ωi) =P(x1, x2, …, xn | ωi) = P(x1| ωi) P(x2| ωi)… P(xn| ωi)后验概率：P(ωi|x) = P(ωi) P(x1| ωi) P(x2| ωi)… P(xn| ωi)类别清晰的直接分类算，如果是数据连续的，假设属性服从正态分布，算出每个类的均值⽅差，最后得到类条件概率分布。

模式识别第4章 线性判别函数

模式识别第4章 线性判别函数


w1。
44
4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 4.3.2 权空间、解矢量与解空间
(3) 解空间
w1
先看一个简
单的情况。设一
维数据1，2属于
w0
1, -1，-2属
于2 求将1和
2区分开的w0 ，
w1。
45
4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 4.3.2 权空间、解矢量与解空间
(3) 解空间
53
第四章 线性判别方法
4.1 用判别域界面方程分类的概念
有 4.2 线性判别函数 监 4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 督 4.4 Fisher线性判别 分 4.5 一次准则函数及梯度下降法 类 4.6 二次准则函数及其解法
4.7 广义线性判别函数
54
4.4 Fisher线性判别
这一工作是由R.A.Fisher在1936年的论文中 所提出的，因此称为Fisher线性判别方法。
0123456789
x1
d23(x)为正
d32(x)为正 d12(x)为正 d21(x)为正
i j两分法例题图示
24
25
3、第三种情况（续）
d1(xr) d2(xr)
1
2
d1(xr ) d3(xr )
3
d2 (xr ) d3(xr )
多类问题图例（第三种情况）
26
27
上述三种方法小结:
8
4.2 线性判别函数
9
10
11
d3(xr) 0
不确定区域
r
xr xrxr xr xr
x2
?
d1(x) 0
1
2
3
x1 d2(xr ) 0
模式识别总结

模式识别总结

13
模式识别压轴总结
另外，使用欧氏距离度量时，还要注意模式样本测量值的选取，应该是有效 反映类别属性特征（各类属性的代表应均衡） 。但马氏距离可解决不均衡（一个 多，一个少）的问题。例如，取 5 个样本，其中有 4 个反映对分类有意义的特征 A，只有 1 个对分类有意义的特征 B，欧氏距离的计算结果，则主要体现特征 A。
信息获取 预处理 特征提取与选择 聚类 结果解释
1.4 模式识别系统的构成 基于统计方法的模式识别系统是由数据获取， 预处理， 特征提取和选择， 分类决策构成
2
模式识别压轴总结
1.5 特征提取和特征选择 特征提取 (extraction)：用映射（或变换）的方法把原始特征变换为较少 的新特征。 特征选择(selection) ：从原始特征中挑选出一些最有代表性，分类性能最 好的特征 特征提取/选择的目的，就是要压缩模式的维数，使之便于处理。 特征提取往往以在分类中使用的某种判决规则为准则，所提取的特征使在 某种准则下的分类错误最小。为此，必须考虑特征之间的统计关系，选用 适当的变换，才能提取最有效的特征。 特征提取的分类准则：在该准则下，选择对分类贡献较大的特征，删除贡 献甚微的特征。 特征选择：从原始特征中挑选出一些最有代表性、分类性能最好的特征进 行分类。 从 D 个特征中选取 d 个,共 CdD 种组合。 － 典型的组合优化问题 特征选择的方法大体可分两大类： Filter 方法：根据独立于分类器的指标 J 来评价所选择的特征子集 S，然后 在所有可能的特征子集中搜索出使得 J 最大的特征子集作为最优特征子 集。不考虑所使用的学习算法。 Wrapper 方法：将特征选择和分类器结合在一起，即特征子集的好坏标准 是由分类器决定的，在学习过程中表现优异的的特征子集会被选中。
模式识别 线性分类器

模式识别 线性分类器

分开M类模式，共需M(M-1)/2个判决函数。对三类问题需要
3(3-1)/2=3个判决函数。即：每次从M类中取出两类的组合：
2
=
d 23 ( X ) 0
x2

-
3
-
1

O
2023/12/6
2!
d13 ( X ) 0

2
−
1
- d12 ( X ) 0
例3.4 已知dij(X)的位
region ，IR)。
d1 , d 2 0,
d3 0
d1 0,
d 2 , d3 0
2
1
d 2 0,
d1 , d 3 0
全部＜０
不属任何类
IR，可能
属于1 或 3
3
IR，可能
属于3 或 2

x
d 3 0,
d1 , d 2 0
-
d3 ( X ) 0
1
d ( X ) w1 x1 w2 x2 w3 0
2
x1
O
图3.2 两类二维模式的分布
2023/12/6
式中： x1 , x2 为坐标变量，
w1 , w2 , w3 为方程参数。
5
x2
d(X) 0
＋
－
将某一未知模式 X 代入：
1
d ( X ) w1 x1 w2 x2 w3
c) 找交集。
12
例3.2 已知di(X)的位置和正负侧，分析三类模式的分布区域 。
请同学们自己先分析一下。
d 3( X ) 0
+
—1ຫໍສະໝຸດ —d2 ( X) 0
+
模式识别课件第四章线性判别函数

模式识别课件第四章线性判别函数

线性判别函数在语音识别中用于将语音信号转换为文本或命令。
详细描述
语音识别系统使用线性判别函数来分析语音信号的特征，并将其映射到相应的 文本或命令。通过训练，线性判别函数能够学习将语音特征与对应的文本或命 令关联起来，从而实现语音识别。
自然语言处理
总结词
线性判别函数在自然语言处理中用于文本分类和情感分析。
偏置项。
线性判别函数具有线性性质 ，即输出与输入特征向量之 间是线性关系，可以通过权
重矩阵和偏置项来调整。
线性判别函数对于解决分类 问题具有高效性和简洁性， 尤其在特征之间线性可分的 情况下。
线性判别函数与分类问题
线性判别函数广泛应用于分类问题，如二分类、多分类等。
在分类问题中，线性判别函数将输入特征向量映射到类别标签上，通过设置阈值或使用优化算法来确定 分类边界。
THANKS
感谢观看
深度学习在模式识别中的应用
卷积神经网络
01
卷积神经网络特别适合处理图像数据，通过卷积层和池化层自
动提取图像中的特征。循环神网络02循环神经网络适合处理序列数据，如文本和语音，通过捕捉序
列中的时间依赖性关系来提高分类性能。
自编码器
03
自编码器是一种无监督的神经网络，通过学习数据的有效编码
来提高分类性能。
详细描述
自然语言处理任务中，线性判别函数被用于训练分类器，以将文本分类到不同的 主题或情感类别中。通过训练，线性判别函数能够学习将文本特征映射到相应的 类别上，从而实现对文本的分类和情感分析。
生物特征识别
总结词
线性判别函数在生物特征识别中用于身份验证和安全应用。
详细描述
生物特征识别技术利用个体的生物特征进行身份验证。线性判别函数在生物特征识别中用于分析和比较个体的生 物特征数据，以确定个体的身份。这种技术广泛应用于安全和隐私保护领域，如指纹识别、虹膜识别和人脸识别 等。
《多元统计分析讲义》第四章判别分析

《多元统计分析讲义》第四章判别分析


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§4.6 判别分析方法步骤及框 图 研究者首先应该关注被解释变量。被解释变量的组数可以是
两个或更多，但这些组必须具有相互排斥性和完全性。被解 释变量有时确实是定性的变量。然而也有一些情况，即使被 解释变量不是真的定性变量，判别分析也是适用的。我们可 能有一个被解释变量是顺序或者间隔尺度的变量，而要作为 定性变量使用。这种情况下我们可以创建一个定性变量。
*
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§4.1 判别分析的基本理
论
判别分析的假设之一，是每一个判别变量（解释变量）不 能是其他判别变量的线性组合。即不存在多重共线性问题。 判别分析的假设之二，是各组变量的协方差矩阵相等。判 别分析最简单和最常用的形式是采用线性判别函数，它们 是判别变量的简单线性组合。在各组协方差矩阵相等的假 设条件下，可以使用很简单的公式来计算判别函数和进行 显著性检验。 判别分析的假设之三，是各判别变量之间具有多元正态分 布，即每个变量对于所有其他变量的固定值有正态分布。 在这种条件下可以精确计算显著性检验值和分组归属的概 率。当违背该假设时，计算的概率将非常不准确。
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§4.3 Bayes判别
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XXX
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§4.4 Fisher判别
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§4.4 Fisher判别
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§4.4 Fisher判别
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§4.4 Fisher判别
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PR部分习题解答

PR部分习题解答

第二章：贝叶斯决策理论 主要考点：1. 最小错误率贝叶斯分类器；2. 最小风险贝叶斯分类器；3. 多元正态分布时的最小错误率贝叶斯分类器。

典型例题：Ｐ４５，２.２３，２.２４。

例题1：在一个一维模式两类分类问题中，设12()1/3,()2/3p p ωω==，两类的类概率密度分别为2212(/)(1)),(/)(1))p x x p x x ωω=-+=--1）求最小错误率贝叶斯分类器的阈值。

2）设损失为0310L ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求最小风险贝叶斯分类器的阈值。

解：由于p(w1)=1/3, p(w2)=2/3，则最小错误率贝叶斯分类器的阈值θ=p(w2)/p(w1)=2其相应的决策规则为：,)1()2()2/()1/(w p w p w x p w x p >< 则21{w w x ∈2>< 即 12ln 24ln 24w x x w x ⎧<-⎪⎪∈⎨⎪>-⎪⎩ （2） 当L=0310时，122221113,01,0λλλλ====从而最小风险贝叶斯决策规则的阈值为：1222221111()()(30)*1/3.3/2()()(10)*2/3p w p w λλλλλ--===--判决规则为：12(/)(/)p x w p x w λ><,则21{w w x ∈23/2==>exp(4)3/2x -= 12ln(3/2)4ln(3/2)4w x x w x ⎧<-⎪⎪∈⎨⎪>-⎪⎩例２ｐ45,2.23解：这里两类协方差矩阵相等。

负对数似然比判别规则为111222(/)()lnln 0(/)()x p x p x p x p ωωωωωω∈<⎧--=⇒⎨∈>⎩ ()()()()11111/2112221/2111122112211exp(()())(/)2||2ln ln11(/)exp(()())2||2[()()(11())()]/21111exp ,222020T i i i i nT T T T ix x p x p x x x x x x x x x p x x x x x x μμωπωμμπωμμπμμμμ------⎡⎤=---⎢∑--∑-∑-=---∑-∑=-∑---∑-+⎛⎫=+-- ⎪-⎝⎭⎥⎣⎦∑∑=I.故()1111202021x x x x -⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=例３2.24 解：()()()112111211111/211122221/2221112/34/32/34/311exp(()())(11()exp ,22/)2||2ln ln11(/)exp(()())2||2[()(T T T i i i i nT ix x p x p x p x x x x x x x μμωπωμμπμωμμπ------⎛⎫⎛⎫∑∑ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭--∑-∑-=--⎡⎤=---⎢⎥-∑-∑=-⎣⎦∑-∑∑4/3-2/34/32/3=,=故()()1121221122)()()]/211111120112020202/34/32/34/381ln213/4ln234433/T x x x x x x x x x x x x x μμμ---∑-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+----+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-∑∑4/3-2/34/32/3例４：假设两类二维正态分布参数如下，试给出负对数似然比判别规则。

模式识别(4-2)

模式识别(4-2)


有样本之和与 k 的乘积。
梯度下降算法求增广权向量
迭代修正过程： 由于所有被a(k)错分类的样 本必然都在以a(k)为法线的超 平面的负侧，因而它们的总和 也必然处于该侧。 a(k+1)修正时，就会使a(k+1) 向错分类向量和趋近，有可能 使这些错分类向量之和穿过超 平面，或至少朝有利方向变动。
§4.4 多类问题
因此一个比较合适的作法是将特征空间确实划分为C个决策 域，共有C个判别函数 T
gi ( x) wi x wi 0 ,
i 1,..., c
每个决策域 Ri 按以下规则划分 如果 gi ( x) max g j ( x),
j
j 1, 2, c ,则x i
因此落在Ri区域内的样本被划分成ω i类，如果发生gi(x)＝ gj(x)，即处于决策域的边界上，则作出拒绝决策。这种分 类器被称为线性机器。

感知准则函数是五十年代由Rosenblatt提出的一种自学习 判别函数生成方法，由于Rosenblatt企图将其用于脑模型 感知器，因此被称为感知准则函数。其特点是随意确定的 判别函数初始值，在对样本分类训练过程中逐步修正直至 最终确定。
几个基本概念
1. 线性可分性
设样本d维特征空间中描述，则两类别问题中线性判别函数的一 T 般形式可表示成：
迭代次数1234直到在一个迭代过程中权向量相同，训练结束。
a=a6=(0,1,3,0)T
判别函数g(x)= aTy=-y2+3y3

感知器算法只对线性可分样本有收敛的解,对非 线性可分样本集会造成训练过程的振荡,这是它 的缺点.
本节总结
这一节对感知准则函数的讨论，只是很初步的，并且只 讨论了线性可分的情况。
[工学]模式识别 第4章 线性判别函数

[工学]模式识别 第4章 线性判别函数


感知器 准则
• 梯度下降算法：对(迭代)向量沿某函数的负 梯度方向修正，可较快到达该函数极小值。
J
p (a)
J p (a)
a
yY k
(y)
a(k 1) a(k ) rkJ p (a)
a(k ) rk y yY k
2021/8/26
27
算法(step by step)
感知器 准则
1. 初值: 任意给定一向量初 始值a(1)
y
x 1
x1,...,
xd
,1T
a
w
1
w1,...,
wd
,
w0
T
2021/8/26
10
引言
广义线性判别函数(4)
• 线性判别函数的齐次简化：
g(x) wTx w0 aT y
增广样本向量使特征空间增加了一维，但保 持了样本间的欧氏距离不变，对于分类效果 也与原决策面相同，只是在Y空间中决策面 是通过坐标原点的，这在分析某些问题时具 有优点，因此经常用到。
wT Sbw wT Sww
令 wT Sww c 0
定义Lagrange函数: L(w,) wT Sbw (wT Sww c)
令:
L( w, )
w
Sbw
Sww
0
Sw1Sbw w
w Sw1Sbw Sw1(m1 m2 )(m1 m2 )T w
Sw1(m1 m2 )R
w*
R
S w 1 ( m1
选择最佳准则
训练样本集
决策规则： 判别函数
决策面方程
2021/8/26
4
引言
线性判别函数
• d维空间中的线性判别函数的一般形式：

模式识别_清华答案

j =1,...,c
先验概率和类条件概率相联系的形式，即 如果p(x|wi )P (wi ) = max p(x|wj )P (wj )，则x ∈ wi 。
j =1,...,c
• 2.6 对两类问题，证明最小风险贝叶斯决策规则可表示为，若 p(x|w1 ) (λ12 − λ22 )P (w2 ) > , p(x|w2 ) (λ21 − λ11 )P (w1 ) 则x ∈ w1 ，反之则属于w2 。 解 ：计算条件风险
第二章 贝叶斯决策理论
• 2.11 xj (j = 1, 2, ..., n)为n个独立随机变量，有E [xj |wi ] = ijη ，var[xj |wi ] = i2 j 2 σ 2 ，计算在λ11 = λ22 = 0 及λ12 = λ21 = 1的情况下，由贝叶斯决策引 起的错误率。（中心极限定理） 解 ： 在0 − 1损失下，最小风险贝叶斯决策与最小错误率贝叶斯决策等 价。 • 2.12 写出离散形式的贝叶斯公式。 解： P (wi |x) = P (x|wi )P (x) P (x|wi )P (wi )
– II –
第一章 绪论
第一章
略
绪论
–1–
第二章 贝叶斯决策理论
第二章
示？
贝叶斯决策理论
• 2.1 如果只知道各类的先验概率，最小错误率贝叶斯决策规则应如何表 解 ： 设一个有C 类，每一类的先验概率为P (wi )，i = 1, ..., C 。此时最小错 误率贝叶斯决策规则为：如果i∗ = max P (wi )，则x ∈ wi 。
2
R(α1 |x) =
j =1
λ1j P (wj |x)
= λ11 P (w1 |x) + λ12 P (w2 |x)

线性判别函数-Fisher

w和超平面H上任意向量正交，即w是H的法向量。
任意x，在H上投影 xp X与xp距离r
多类的情况：
将c类问题转化为c个两类问题，有c个判别函数。
把ωi作为一类，其余作为一类，构建c个超平面
更复杂一些，用C(C-1)/2个线性判别函数进行判别。
判别函数和决策面：
超平面Hij的法向量 决策规则：对一切i ≠ j有gi(x)>gj(x),则把x归为ωi类。
线性判别函数的齐次简化
令x0=1则：
增广特征向量
增广权向量
一个三维增广特征空间y和增广权向量a（在原点）
这是广义线性判别函数的一个特例。y与x相比， 虽然增加了一维，但保持了样本间的欧式距离不变。
变换得到的y向量仍然都在d维的子空间中，即原X 空间中，方程aTy=0在Y空间确定了一个通过原点 的超平面H’，它对d维子空间的划分与原决策面 wTx+w0=0对原X空间的划分完全相同。
映射y把一条直线映射为三维空间中的一条抛物线01122123321xcyayyaacxyac????????????????????????????????????????????22gxccxcx令
线性判别函数
已知条件
贝叶斯决策
实际问题
条件未知
利用样本集直接设计分类器，即给定某个判别函 数类，然后利用样本集确定出判别函数中的未知 参数。
N个d维样本x , x ,...x ,
1
2
N
其中： X : N 个属于 的样本集
1
1
1
X : N 个属于 的样本集
2
2
2
对xn的分量作线性组合：
y wT x , n 1,2,..., N
n

第04章_判别分析


X
G1,
X G2,
如果 如果
Wˆ (X) 0 Wˆ (X) 0
（4.7）
这里我们应该注意到：
（ 1 ） 当 p 1 ， G1 和 G2 的 分 布 分 别 为 N(1, 2 ) 和
N(2 , 2 ) 时， 1, 2 , 2 均为已知，且 1 2 ，则判别
系数为
1 2 2
0 ，判别函数为
把这类问题用数学语言来表达，可以叙述如下：设有n个样 本，对每个样本测得p项指标（变量）的数据，已知每个样 本属于k个类别（或总体）G1，G2， …，Gk中的某一类，且 它们的分布函数分别为F1(x)，F2(x)， …，Fk(x)。我们希望 利用这些数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种
最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来，
W (X) I X C ， 1,2,, k
相应的判别规则为
X Gi
如果
Wi
(X)
max
1 k
(I
X
C
)
（ 4.9）
针对实际问题，当 μ1,μ2 ,,μk 和 Σ 均未知时，可以通过相应的
样 本 值 来 替 代 。 设 X1() ,
,
X( n
)
是 来 自 总 体 G
中 的样 本
（ 1,2,, k ），则 μ （ 1,2,, k ）和 Σ 可估计为
P(好/做 人好事）
P好P 人 (做 P好 好 /好 P 人 事 )做 人 P(坏 好 /好 )P 人 事 (做 人好 /坏事 )人
0.50.9 0.82 0.50.90.50.2
P(坏/做 人好事）
P好P 人 (做 P坏 好 /好 P 人 事 )做 人 P(坏 好 /坏 )P 人 事 (做 人好 /坏事 )人

07 线性判别函数


J r ( w) || Xw b ||2 ( wt xi bi ) 2
i 1
n

这个误差最小的点就是它的梯度等于0的点。
J r 2 X t ( Xw b) 0 X t Xw X t b

w (X X ) X b X b 其中X+叫做X的伪逆。它通常是存在的，尤其 是如果将X+定义为如下形式：

说明wt与超平面上任意的向量都正交。

任意一点x到超平面的距离是：
| g ( x) | r || w ||

当x是原点的时候： | w0 | r || w ||
总结：线性判别函数对应着超平面。超平面的 方向由法向量w决定，超平面的位置由w0决定。

2. 多类问题

定义c个判别函数：
gi ( x) w x wi 0
t

此时，基本梯度下降训练算法中的更新 项变成了： w(k 1) w(k ) (k ) X t ( Xw b)
w(k 1) w(k ) (k )(b(k ) w (k ) x(k ))x(k )
t


LMS算法看似和松弛算法类似。但是松弛 算法是使用分类错误的样例进行训练； LMS是使用所有的样例训练。当样例不是 线性可分的时候，松弛算法是不收敛的。 MSE算法和LMS算法无论在样例是否线性 可分的时候都可以找到解。但是并不保 证正确的分割位置：

if w0 w1 x1 0 otherwise
其中x1>-w0/w1是一个点。

如果特征向量x仅仅包含两个特征x1和x2， 那么上面的判别就变成了：
1 x 2 if w0 w1 x1 w2 x2 0 otherwise

多元统计分析课后习题解答_第四章

第四章 判别分析4、1 简述欧几里得距离与马氏距离得区别与联系。

答: 设p 维欧几里得空间中得两点X =与Y =。

则欧几里得距离为。

欧几里得距离得局限有①在多元数据分析中,其度量不合理。

②会受到实际问题中量纲得影响。

设X,Y 就是来自均值向量为,协方差为得总体G 中得p 维样本。

则马氏距离为D(X,Y)=。

当即单位阵时,D(X,Y)==即欧几里得距离。

因此,在一定程度上,欧几里得距离就是马氏距离得特殊情况,马氏距离就是欧几里得距离得推广。

4、2 试述判别分析得实质。

答:判别分析就就是希望利用已经测得得变量数据,找出一种判别函数,使得这一函数具有某种最优性质,能把属于不同类别得样本点尽可能地区别开来。

设R1,R2,…,Rk 就是p 维空间R p 得k 个子集,如果它们互不相交,且它们得与集为,则称为得一个划分。

判别分析问题实质上就就是在某种意义上,以最优得性质对p 维空间构造一个“划分”,这个“划分”就构成了一个判别规则。

4、3 简述距离判别法得基本思想与方法。

答:距离判别问题分为①两个总体得距离判别问题与②多个总体得判别问题。

其基本思想都就是分别计算样本与各个总体得距离(马氏距离),将距离近得判别为一类。

①两个总体得距离判别问题设有协方差矩阵∑相等得两个总体G 1与G 2,其均值分别就是μ1与μ 2,对于一个新得样品X ,要判断它来自哪个总体。

计算新样品X 到两个总体得马氏距离D 2(X,G 1)与D 2(X,G 2),则X ,D 2(X ,G 1)D 2(X ,G 2)X ,D 2(X ,G 1)> D 2(X ,G 2, 具体分析,111122111111111222111211122()()()()2(2)2()-----------''=-----''''''=-+--+'''=-+-X μΣX μX μΣX μX ΣX X ΣμμΣμX ΣX X ΣμμΣμX ΣμμμΣμμΣμ记 则判别规则为X ,W(X) X ,W(X)<0②多个总体得判别问题。

《线性判别函数》课件


模型训练
训练集包含特征向量和类别标签，用于确定线性函数的权重和偏差。训练过程核心是通过优化算法调整权重和 偏差，以最大化模型的分类准确性。
模型应用
线性判别函数广泛应用于模式识别、数据挖掘、图像处理等领域。它们可以用于分类问题、聚类分析、特征选 择等任务。
总结
线性判别函数是一种重要的分类器，具有广泛的应用前景。通过深入理解线 性判别函数的模型原理和应用方法，我们可以更好地利用它们解决么是线性判别函数？
线性判别函数是一种分类器，用于将数据点分组在不同的类别中。它是一个 由一组权重和偏差（截距）确定的线性函数。
模型基本原理
线性判别函数将数据点映射到一个标量值，然后使用阈值函数将其转换为类别标签。模型训练的目的是找到一 组权重和偏差，将数据点映射到正确的类别。
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xp
x1 H: g=0
广义线性判别函数
线性判别函数是形式最为简单的判别函数，但是它不能用 于稍复杂一些的情况。 欲设计这样一个一维样本的分类器，使其性能为
x b或x a 决策x w1 b x a 决策x w2
针对这种情况，如果设计这 样一个判别函数: g(x)＝(x-a)(x-b) 相应的决策规则 :
x2
w x r
xp
x1 H: g=0
线性判别函数的几何意义
T 令 g( x) w x w0 = r w
若x为原点，则g ( x) w0 原点到超平面H的距离：r0 w0 w
w0 0 原点在H的正侧 w0 0 原点在H的负侧 w0 0 H 通过原点
x2
w x r
线性分类器的设计任务

在给定样本集 条件下 ， 确定线性判别函数的各项系数 ，以 期对待测样本进行分类时，能满足相应的准则 函数J为最优的要求。 权向量 阈值权 或 增广权向量 此技术的关键问题是确定所需的准则函数，然 后用最优化技术确定准则函数的极值点 及 ，或增广权向量 。

线性分类器的设计步骤：
模式识别
第四章线性判别函数
回顾：
贝叶斯分类器 : 已知： 判别函数 分类 类条件概率密度p( x | j )
需要大量样本？
先验概率P( j )
参数估计与非参数估计 利用样本集直接设计分类器？
§4.1 引言

利用样本集直接设计分类器的基本思想：



给定某个判别函数类，且假定判别函数的参数形式 已知 用训练的方法来估计判别函数的参数值 分类决策
T
g ( x) aT y ˆ ˆ Y空间任意一点y到H的距离为：r a a
线性判别函数的齐次简化使特征空间增加了一维，但保持 了样本间的欧氏距离不变，对于分类效果也与原决策面相同， 只是在Y空间中决策面是通过坐标原点的，这在分析某些问题 时具有优点，因此经常用到。
广义线性判别函数
例如一个一维特征空间的分类器，其决策面方程为 x - c=0 在一维空间中为一个点。经齐次简化后可得：
T
其中
x = x1 , x2 ,...xd
w= w1 , w2 ,...wd
T
w0是一个常数，称为阈值权。相应的决策规则可表示成
g(x)>0, 则决策x 1 如果 g(x)<0, 则决策x 2 g(x)=0, 可将其任意分类或拒绝
g(x)＝0就是相应的决策面方程，在线性判别函数条件下它对 应d维空间的一个超平面。

g ( x) = wT x+w0 给定样本集X，确定线性判别函数 的各项系数w和w0。步骤：

收集一组具有类别标志的样本X={x1,x2,…,xN} 按需要确定一准则函数J，其值反映分类器的性能，其极 值解对应于“最好”的决策。 用最优化技术求准则函数J的极值解w*和w0* ，从而确定 判别函数，完成分类器设计。
如果我们只考虑各分量的线性加权和，则它是各样本向 量与向量y的向量点积。
§4.2 Fisher线性判别
现在讨论通过映 射投影来降低维 数的方法。
w x2 ω1
y1
y2
ω2 x1
w(y)
把X空间各点投影到Y空间得一直线上，维数由2 维降为一维。若适当选择w的方向，可以使二类 分开。下面我们从数学上寻找最好的投影方向， 即寻找最好的变换向量w的问题。
线性判别函数的几何意义
令

g ( x) wT x w0
决策面(decision boundary)H方程：g(x)=0 向量w是决策面H的法向量 g(x)是点x到决策面H的距离的一种代数度量
w x = xp + r , g(x)= r w w x p是x在H 上的投影向量 r是x到H的垂直距离 w 是w方向上的单位向量 w


广义线性判别函数
一种特殊映射方法：增广样本向量y与增广权向量a
1 T y 1, x1 ,..., xd x

1 T a w0 , w1 ,..., wd w
线性判别函数的齐次简化：
g ( x) = w x+w0 = a y
T
这个函数称为Fisher准则函数。应该寻找使分子尽可能大， 分母尽可能小的w作为投影向量。
§4.2 Fisher线性判别
Sb (m1 m2 )2 J F (w) S1 S2 S1 S2
1 mi Ni
1 y wT x = wT mi , N x yYi i X i

不需要有关的概率密度函数的确切的参数形式， 属于非参数估计方法。
§4.1 引言

问题描述：

假设对一模式X已抽取n个特征，表示为：
X ( x1 , x2 , x3 ,...,xn )T X是n维空间的一个向量

根据模式X的n个特征来判别模式属于 ω1 ,ω2 , … , ωm 类中的那一类?
g ( x) 0 决策x w1 g ( x) 0 决策x w2
此时,g(x)不再是x的线性函数，而是一个二次函数
广义线性判别函数
由于线性判别函数具有形式简单，计算方便 的优点，并且已被充分研究，因此人们希望 能将其用适当方式扩展至原本适宜非线性判 别函数的领域。 一种方法是选择一种映射x→y，即将原样本 特征向量x映射成另一向量y，从而可以采用 线性判别函数的方法。
Sb =(m1 - m2 )(m1 - m2 )
T
一些基本参量的定义
2.在一维Y空间
各类样本均值 mi 1 Ni
y,
yYi
i 1, 2
样本类内离散度、总类内离散度和类间离散度
Si ( y mi ) 2 ,
yYi
i 1, 2
Sw S1 S2 S (m m )2
§4.1 引言

寻找线性判别函数的问题被形式化为极小化准 则函数的问题。以分类为目的的准则函数可以 是样本风险，也可以是训练误差。
目标：能够正确地对新的样本进行分类

线性判别函数的基本概念
设样本d维特征空间中描述，则两类别问题中线性判别函数的 一般形式可表示成 T
g ( x) w x w0
线性判别函数的基本概念
为了说明向量w的意义，我们假设在该决策平面上有两个特 征向量x1与x2，则应有
w x1 w0 w x2 w0 w ( x1 x2 ) 0
T T T
其中(x1-x2)也是一个向量
上式表明向量w与该平面上任两点组成的向量(x1-x2)正交，因 此w就是该超平面的法向量。这就是向量w的几何意义。 而g(x)也就是d维空间中任一点x到该决策面距离的代数度量，该 决策平面将这两类样本按其到该面距离的正负号确定其类别。 至于w0则体现该决策面在特征空间中的位置，当w0=0时，该 决策面过特征空间坐标系原点，而 时，则 表示了坐 标原点到该决策面的距离。
§4.1 引言

线性判别函数：x的各个分量的线性函数 或以x为自变量的某些函数的线性函数。 g ( x) wT x w0 对于c类问题： gi ( x) wi x wi 0
T

利用样本集估计参数wi和wi0，并把未知样 本x归到具有最大判别函数值的类别中去。

优点：

最优？次优？ 计算简单；容易实现；需要的计算量和存储量小
思考一下，如果在两维空间存在一条不过原点的直线， ax1+bx2+c=0 (A)，采用增广向量形式：
那么，它在增加一维的三维空间中，aTY=0表示的是什么呢？ 答：一个过原点的平面，方程为ay1+by2+cy3=0 (B)。 (A)式与(B)式形式上略有不同，但当y3=1时两者就一样了。 也就是说(B)式表示的平面与y3=1子空间(一平面)的交线就是(A) 式中表示的直线，这样的方法在后面感知准则函数中用到。

w* max J
w

对于未知样本x，计算g(x)，判断其类别。
换一个方式说：
设计线性分类器，是指所用的判别函数、分界面方程 的类型已选定为线性类型，因此主要的设计任务是确 定线性方程的两个参数，一个是权向量w，另一个是 阈值w0。 为了使所设计的线性分类器在性能上要满足一定的要 求，这种要求通过一种准则来体现，并且要表示成一 种准则函数，以便能通过将准则函数值优化的方法确 定w与w0 。
i 1, 2
(m m )2 (wT m - wT m )2 1 2 Sb 1 2
= w (m1 - m2 )(m1 - m2 ) w= w Sb w
则判别函数g(x)又可表示成
g ( x) aT y ai yi
i 1
3
此时g(x)被称为广义线性判别函数，a称为广义权向量。
广义线性判别函数

按照上述原理，任何非线性函数g(x)用级数展开成高次 多项式后，都可转化成广义线性判别函数来处理。 aTy=0在Y空间确定了一个通过原点的超平面。这样我们 就可以利用线性判别函数的简单性来解决复杂的问题。 经过这种变换，维数大大增加了，这将使问题很快陷入 所谓的“维数灾难”。怎么解决？
§4.2 Fisher线性判别

Fisher线性判别函数是研究线性判别函数中最 有影响的方法之一。对线性判别函数的研究就 是从R.A.Fisher在1936年发表的论文开始的。
§4.2 Fisher线性判别
g ( x) wT x+w0 设计线性分类器：
首先要确定准则函数； 然后再利用训练样本集确定该分类器的参数，以求使所确 定的准则达到最佳。 在使用线性分类器时，样本的分类由其判别函数值决定， 而每个样本的判别函数值是其各分量的线性加权和再加上 一阈值w0。