数值分析(04)内积空间

内积空间第七章内积空间⼀、内容提要§7.1内积空间与简单性质1．定义(1). 内积空间设V 是实数域上的线性空间, ,V αβ?∈, V 上的内积是这样⼀个映射:(,)V V αβαβ×→×R a , 对,,V αβγ?∈和c ?∈R , 其有如下性质：1) (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαγβγ+=+; 3) (,)(,)c c αβαβ=;4) (,)0,αα≥ 且(,)0αα=当且仅当0α=.⼀个赋予上⾯内积的线性空间V 称为实内积空间. 有限维实内积空间称为Euclid 空间,简称为欧⽒空间.(2). 长度设V 是⼀个实内积空间, V α∈, 定义α的长度或范数为α=(3). 夹⾓设V 是欧⽒空间, 定义⾮零向量α、β的夹⾓的余弦为(,)cos αβθαβ=.(4). 正交设V 是欧⽒空间, ,V αβ∈, 若(,)0αβ=, 则称α与β正交或垂直.记为αβ⊥.2. 重要定理(1) (Cauchy-Schwarz 不等式)对空间V 中任意向量α,β, 有 (,)αβαβ≤.且当且仅当α与β线性相关时等号成⽴.(2) (三⾓不等式)对欧⽒空间V 中任意向量,αβ, 有αβαβ+≤+.§7.2 标准正交基1．定义（1）正交基设{}12,,,n αααL 是n 维内积空间V 的⼀组向量组, 如果集合中任意两个不同的向量都正交, 即,i j i j αα⊥≠, 则称这组向量组是V 的⼀组正交组.（2）标准正交基如果内积空间V 的⼀组基是正交的, 则称这组基为V 的正交基. 若正交基中每个向量的长度都等于1, 则称这组正交基为标准正交基.（3）正交补空间设W 是内积空间V 的⼦空间. 令 {}(,)0,WV w w W αα⊥=∈=?∈.容易验证W ⊥也是V 的⼦空间, 称为W 的正交补空间. 2．定理（1）内积空间中任意⼀组两两正交的⾮零向量组{}12,,,m αααL 必线性⽆关, 因此构成所⽣成⼦空间12(,,,)m L αααL 的⼀组基.（2）n 维欧⽒空间V 的每⼀个⼦空间W 都有唯⼀的正交补空间. (3) 设V 是n 维内积空间, W 是V 的任意⼀个⼦空间, 则有 1) V W W ⊥=⊕;2) W 的任意⼀组标准正交基均可扩张为V 的标准正交基.3. 标准正交基的求法利⽤Grame-Schmidt 正交化⽅法§7.3 正交变换与正交矩阵1．欧⽒空间同构设V 与W 都是实数域上的欧⽒空间, :V W ?→是线性映射, 如果对任意的,,V c αβ∈∈R , ?满⾜下列条件:(1) ()()();?αβ?α?β+=+ (2) ()();c c ?α?α=(3) ((),())(,),?α?βαβ=则我们称欧⽒空间V 与W 同构. 2. 欧⽒空间同构定理两个有限维欧⽒空间同构当且仅当它们的维数相同 3．正交变换欧⽒空间V 的线性变换?称为正交变换, 如果它保持向量的内积不变, 即对任意的向量V αβ∈、, 都有((),())(,)?α?βαβ=. 4. 正交矩阵(1) 定义设A 是n 阶⽅阵, TA 是A 的转置, 如果TTAA A A E ==, 则称A 为n 阶正交矩阵. (2) 性质1)若A 是正交矩阵, 则1TA A ?=也是正交矩阵. 2)若A 是正交矩阵, 则1A =±.3)正交矩阵的积仍是正交矩阵. 4) 标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵. 5. 定理设?是n 维欧⽒空间V 的⼀个线性变换, 则下列命题等价 (1) ?是正交变换.(2) ?把⼀组标准正交基变为⼀组标准正交基. (3) ?在任⼀组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.§7.4 实对称矩阵的标准型1．对称变换与对称矩阵(1)定义n R 上满⾜((),)(,())?αβα?β=的变换?称为对称变换.（2）性质1) 实对称矩阵的特征值都是实数.2) 设A 是对称矩阵, 则不同特征值对应的特征向量彼此正交. 2.正交对⾓化矩阵(1) 定义设A ⼀个矩阵, 如果存在⼀个正交矩阵P 和⼀个对⾓矩阵D , 使得1T P AP P AP D ?==, 则称A 为可正交对⾓化矩阵(2) 性质若A 是对称矩阵, 则A 是可正交对⾓化矩阵.§ 7.5 ⾣空间和⾣变换1．定义（1）复内积空间复数域上的线性空间V 上的内积是⼀个函数V V ×→C , 对每⼀对属于V 的向量α和β, 存在⼀个复数(,)αβ∈C 满⾜下⾯公理, 对任意,,V αβγ∈和c ∈C 有：1）(,)(,)αββα=2）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+ 3）(,)(,)c c αβαβ=4）(,)0,αα≥ 且(,)0αα=的充分必要条件是0α=.⼀个赋予上⾯内积的线性空间V 称为复内积空间. 有限维复内积空间称为⾣空间. (2) 正交设V 是⼀个⾣空间, 对于任意,V αβ∈,如果(,)0αβ=, 我们称α与β是正交的. (3) 标准正交基⾣空间V 的⼀组两两正交的基向量叫做V 的⼀个正交基. 如果⼀个正交基的每⼀个向量都是单位向量, 就称这个正交基是⼀个标准正交基.(4) ⾣矩阵⼀个n 阶复矩阵U 叫做⼀个⾣矩阵, 如果U 满⾜ HH UUU U E ==.(5) ⾣变换⾣空间V 的线性变换?称为⾣变换, 如果它保持向量的内积不变, 即对任意的向量V αβ∈、, 都有((),())(,)?α?βαβ=.(6) 对称变换⾣空间V 的线性变换?叫做⼀个对称变换, 如果对于任意V αβ∈、都有((),)(,())?αβα?β=.(7) Hermite 矩阵n 阶复矩阵H 叫做Hermite 矩阵, 如果H 满⾜ HH H =.2. 重要定理(1) 设V 是⼀个⾣空间, 对于任意,V αβ∈, 有(,)αβαβ≤?,当且仅当α与β线性相关时等号成⽴.(2) 设?是n 维欧⽒空间V 的⼀个线性变换, 则有下列命题等价1) ?是⾣变换.2) ?把⼀组标准正交基变为⼀组标准正交基. 3) ?在任⼀组标准正交基下的矩阵是⾣矩阵. (3) 设?是n 维⾣空间V 的⼀个对称变换,1) ?的特征值都是实数.2) ?的属于不同特征值的特征向量彼此正交. (4) 设H 是⼀个n 阶Hermite 矩阵, 则存在⼀个n 阶⾣矩阵U , 使得 1HU HU U HU D ?==是⼀个实对⾓矩阵.§ 7.6 正规矩阵1．正规矩阵(1) 正规矩阵设n nA ×∈C是矩阵, 若A 满⾜H HA A AA =, 则称A 为正规矩阵.(2) 伴随矩阵设?是有限维内积空间V 上的线性算⼦, 若存在V 上的算⼦*, 使得对任意,V αβ∈都有*((),)(,())?αβα?β=, 则称*?是?的伴随算⼦.(3) 正规算⼦设?是实有限维内积空间V 上的线性变换, *是其伴随, 若**=, 则称?是V 上的正规算⼦.2. 性质与定理(1) 若A 是实矩阵, 则对任意的正交矩阵P , TP AP 是实正规矩阵. 若A 是复正规矩阵, 则对任意的⾣矩阵U , HU AU 仍是复正规矩阵.(2) 设V 是n 维⾣空间, ?是V 上的线性算⼦, ⼜{}12,,n εεεL 是V 的标准正交基. 设?在这组基下的矩阵A 是⼀个上三⾓矩阵, 则?是正规算⼦当且仅当A 是对⾓矩阵.(3) 设V 是n 维⾣空间, ?是V 上的线性算⼦, 则存在V 的⼀组标准正交基, 使?在这组基下的矩阵为上三⾓矩阵.(4) 设?是n 维⾣空间V 上的正规算⼦, 则存在⼀组标准正交基{}12,,,n γγγL , 使得?在{}12,,,n γγγL 下的矩阵是对⾓矩阵, 且{}12,,,n γγγL 是?的n 个线性⽆关的特征向量.(5) ⼀个复矩阵相似于对⾓矩阵当且仅当它是⼀个正规矩阵. (6) 任⼀n 阶⾣矩阵相似于对⾓矩阵12n c c cO , 其中1(1,2,,)ic i n ==L⼆、训练题⼀、选择题1．如果235,213αβ=?=是使内积空间的两个向量, 则它们的内积为( )（a); 1 （b)-1; （c) 2; （d)-22. 设W 是n 维欧⽒空间V 的⼦空间, 则（）(a) W 的维数不⼩于n ; (b) W 的补空间不⼀定存在; (c) W ⾄少存在⼀个补空间; (d) W 存在唯⼀的补空间; 3．设,A B 是正交矩阵, 则（）(a)A B +是正交矩阵; (b) A B +不是正交矩阵; (c)AB 是正交矩阵; (d) kA 是正交矩阵 4．下列实矩阵没有特征值的是（）(a)实对称矩阵; (b)奇数阶实矩阵; (c)⼆阶⾮零反对称矩阵; (d)实上三⾓矩阵. 5. A 是正交阵，则（）（a）TA ⼀定不是正交阵；（b）TA ⼀定是正交阵; (c)1T A A ?≠；（d）TA 是对称矩阵. 6．下列命题正确的是（）（a）两个正交变换的线性组合仍是正交变换；（b）两个对称变换的线性组合仍是对称变换; (c) 对称变换将正交向量组变为正交向量组； (d）对称变换必是可逆变换.7. 下列关于矩阵相似的结论正确的是( ) （a）两个相似的实对称矩阵必相似；(b) 同阶正定阵必相似;(c) 特征值相同的同阶矩阵必相似； (d) 两个合同矩阵必相似.8. 设()1,2,2,0Tα=?, 则α的单位化向量是:(a) 1212,,,0333T ; (b) 122,,,0333T;(c) 121,,,0334T; (d)122,,,0333T.⼆、填空题1．设()1212,,,,(,,,)n n x x x y y y αβ==L L 是复内积空间中向量，则它们的标准内积(,)αβ=_____________.2．⼆次型2212121334f x x x x x x =+?+对应的对称矩阵为_____________. 3．实对称矩阵A 的特征多项式为2 56λλ?+, 它的正交相似标准型是 . 4．实对称矩阵是正定阵的充分必要条件是_____________. 5．已知0111101111011110A=, 则A 可以化为对⾓矩阵_____.三、计算、证明题 1．设()()(),2,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1321TTT===ααα求1）32132ααα?+；2）1α与2α的夹⾓以及3α与2α的夹⾓； 3）与321,,ααα都正交的单位向量。

内积空间基本概念内积空间是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

本文将介绍内积空间的基本概念，包括内积的定义、内积空间的性质以及常见的内积空间。

一、内积的定义内积是定义在向量空间上的一种运算，用于度量向量之间的夹角和长度。

在内积空间中，向量的内积满足以下四个性质：1. 正定性：对于任意非零向量x，有(x, x) > 0，且只有当x=0时，有(x, x) = 0。

2. 对称性：对于任意向量x和y，有(x, y) = (y, x)。

3. 线性性：对于任意向量x、y和标量a，有(a*x, y) = a*(x, y)和(x+y, z) = (x, z) + (y, z)。

4. 共轭对称性：当内积空间为复数域时，对于任意向量x和y，有(x, y) = conj(y, x)，其中conj表示复共轭。

二、内积空间的性质在内积空间中，除了满足内积的定义性质外，还具有以下重要性质：1. 内积空间是一个实数或复数域上的向量空间。

它包含了一组向量以及定义在这组向量之间的内积运算。

2. 内积空间具有加法和数乘运算，满足向量空间的定义。

3. 内积空间中的向量可以进行正交和投影运算。

正交是指两个向量的内积为零，而投影则是将一个向量分解为另一个向量的线性组合，使得两向量正交。

4. 内积空间中的向量可以通过内积的概念定义长度和夹角。

长度定义为向量自身与自身的内积开方，夹角定义为向量之间的夹角的余弦值。

三、常见的内积空间1. 实数内积空间：在实数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。

常见的实数内积空间包括欧几里得空间和函数空间。

2. 复数内积空间：在复数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。

复数内积空间常用于量子力学和信号处理等领域。

3. 内积空间的子空间：内积空间中的子集也可以构成一个内积空间，称为内积空间的子空间。

子空间具有与内积空间相同的内积定义及性质。

四、总结内积空间是线性代数中的重要概念，它不仅能够度量向量的长度和夹角，还能够进行正交和投影运算，并在许多领域中发挥着重要作用。

内积空间及其性质与应用内积空间是线性代数中非常重要的一个概念。

它是指一个向量空间，其中每个向量都有一个与其它向量的内积，该内积遵循某些规则和性质，并能够为向量空间提供额外的结构和属性。

在这篇文章中，我们将探讨内积空间的一些性质、应用和重要性。

一、内积空间的定义和性质内积空间是向量空间的扩展，其中每个向量x和y之间有一个内积。

内积是将两个向量映射到一个标量或实数的函数，通常使用符号< x, y >表示。

内积是一个满足以下四个性质的函数：1.对称性： < x, y > = < y, x >2.线性性： < ax + by, z > = a< x, z > + b< y, z >3.正定性（或非负性）： < x, x > >= 0，且 < x, x > = 0 当且仅当 x = 04.非退化性：如果 < x, y > = 0 对于所有y，那么 x = 0这四个性质使得内积空间在很多方面都有用处。

它们确保了内积的对称性、线性组合的性质以及长度的概念。

除此之外，内积空间还有其他有用的性质，例如加权Cauchy-Schwarz不等式和向量正交的概念等。

二、内积空间的应用内积空间的应用非常广泛，许多重要的数学和物理学概念都可以表示为内积空间。

以下是一些内积空间的应用：1.傅里叶分析：傅里叶分析是一种分解周期信号的方法，它使用内积来定义信号中的频率和幅度。

傅里叶变换可以看作是内积空间中的一种变换。

2.量子力学：量子力学的基础是量子态空间，它是一个内积空间。

这个空间中的向量表示量子态，而它们之间的内积表示量子态之间的相似性。

3.最小二乘法：最小二乘法是一种用来拟合数据的方法。

在内积空间中，最小二乘法可以看成是找出一个向量在一个子空间上的最佳逼近。

4.图像处理：图像处理中的许多算法可以看成使用内积来度量像素之间的相似性。

欧几里得空间与内积空间欧几里得空间是数学上一个重要的概念，它是指具有欧几里得度量的空间。

欧几里得度量是指通过直线距离来衡量空间中两个点之间的距离的一种度量方式。

而内积空间则是另一种数学概念，它是指一个向量空间上定义了内积运算的空间。

欧几里得空间的概念最早由古希腊数学家欧几里得提出，他将空间中的点用坐标表示，并利用坐标上的距离概念来研究几何性质。

欧几里得空间的特征是具有三角不等式、正向可加性、线性可加性以及满足直线距离公式等性质。

在欧几里得空间中，我们可以定义向量、向量的长度、向量的夹角等概念，并通过这些概念来研究几何中的问题。

而内积空间则是在向量空间的基础上引入了内积的概念。

内积是一种将两个向量映射为一个实数的运算，它具有线性性、对称性和正定性等性质。

通过内积的定义，我们可以引入向量的长度、向量的夹角以及正交等概念，并进一步研究向量空间中的性质和问题。

内积空间是线性代数中一个重要的概念，在物理学、工程学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。

虽然欧几里得空间和内积空间都是数学上的概念，但它们有着不同的定义和性质。

欧几里得空间主要关注点在于距离和长度的概念，而内积空间则更加注重向量的夹角和正交性质。

在欧几里得空间中，我们可以通过距离公式来计算两个点之间的距离，而在内积空间中，我们可以通过内积的定义来计算向量的夹角和长度。

此外，欧几里得空间和内积空间还有一些重要的定理和性质。

比如在欧几里得空间中，我们有三角不等式定理、柯西-施瓦茨不等式等；在内积空间中，我们有勾股定理、平行四边形法则等。

这些定理和性质为我们解决具体问题提供了数学工具和方法。

综上所述，欧几里得空间和内积空间是数学中重要的概念，它们在几何学、线性代数以及其他相关领域都有广泛的应用。

通过对这两个概念的研究和理解，我们可以更好地理解空间中的几何性质，并能够运用数学工具解决实际问题。

欧几里得空间和内积空间的研究不仅在基础学科中有重要地位，也对于应用科学和工程技术的发展起着重要的推动作用。

泛函分析第4章内积空间第四章介绍的是内积空间，是泛函分析中非常重要的一个概念。

内积空间是在向量空间上赋予了内积运算的结构，它将几何空间的概念引入到向量空间中，从而使得我们能够定义向量的长度、角度等几何概念。

在内积空间中，我们首先需要定义内积的概念。

内积是一个数学结构，它将两个向量映射到一个实数上。

在内积空间中，内积满足一系列性质，如线性性、对称性和正定性等，这些性质保证了内积的合理性和实用性。

比如，线性性保证了内积对于向量的加法和标量乘法是线性的，对称性保证了内积的对换性质。

通过内积，我们能够定义向量的长度和角度。

向量的长度可以通过内积定义一个标准，即向量与自身的内积的平方根。

这个定义与我们熟悉的欧氏几何空间中的向量长度一致。

而向量的角度可以通过内积定义出余弦值，从而表示两个向量之间的夹角。

这个定义使得我们能够对向量的方向进行描述。

内积空间还引入了正交的概念。

在内积空间中，两个向量相互垂直时称为正交。

正交向量在几何空间中有很重要的应用，比如可以作为一组基底，并且正交向量之间的内积为零，这使得我们能够对向量进行分解和投影等操作。

内积空间还引入了内积的连续性概念。

通过内积的连续性，我们可以定义向量的极限、收敛等概念。

这使得内积空间成为了一个完备的空间，即任何一个柯西序列都存在一个极限。

内积空间是泛函分析中非常有用的一个概念。

它不仅能够将几何概念应用到向量空间中，还能够定义向量的长度和角度等概念，从而使得向量空间具有了更强的几何性质。

在泛函分析中，内积空间是研究函数空间、傅里叶变换等问题的基础。

因此，对于内积空间的理解和掌握是非常重要的。

总之，第四章介绍的内积空间是泛函分析中非常重要的一个概念。

它通过引入内积的概念，使得向量空间具有了几何性质，定义了向量的长度、角度等几何概念。

内积空间是泛函分析中非常有用的一个工具，对于研究函数空间、傅里叶变换等问题具有重要的意义。

因此，对于内积空间的理解和掌握是泛函分析学习的重点。

内积空间⼀向量空间与内积空间向量空间也称作线性空间，向量空间对向量线性组合封闭。

如果为向量空间 V 的⼀组基，则仍在向量空间 V 中。

在向量空间中，仅定义了数乘与向量加法运算。

在此基础上，定义内积运算，通过内积运算，可以求解向量长度，向量间⾓度等概念，这就定义了内积空间。

设向量为X, Y，X 长度定义为， X,Y 间⾓度定义为。

⼆内积定义在空间上，有如下⽮量和，在⼏何中，⽮量长度表⽰原点到其端点的距离，根据 Pythagorean 定理，有。

定义内积，则⽮量 X 长度等于，这样建⽴其内积与长度关系。

在复⽮量空间中，有如下⽮量和，定义内积。

如何理解复⽮量内积？⾸先，针对单个复数，有，使⽤共轭乘法可求解复数长度。

当两个不同复数共轭乘法时，，其结果仍然为⼀个复数，可分解为实数分类与虚数分量。

复⽮量内积就是对所得复数相加得到⼀个结果，最终结果⼀般包括实数分量与虚数分量部分，即⼀般结果为形式。

内积满⾜如下性质：1）正性：如果 v 为⾮零向量， <v, v> > 0，该性质对实⽮量与复⽮量均成⽴；2）共轭对称性：，针对复⽮量，该等式成⽴，针对实⽮量，共轭运算等于本⾝，则内积运算对称；3）均匀性：，针对复⽮量时 c 为复数，实⽮量时 c 为实数；4）线性：<u + v, w> = <u, w> + <v, w>, <u, v + w> = <u, v> + <u, w>, 针对复⽮量与实⽮量均成⽴。

三空间与空间⼀个信号可表⽰为 f(t) 的函数，在区间上，空间表⽰所有平⽅可积函数组成的空间，即函数 f(t) 可以存在⽆穷多个间断点，使⽤ Lebesgue 观点，即不考虑测度为零的集合时，在区间上的积分和有限。

在 N 维向量空间中，空间维度为 N，向量长度也为 N。

类⽐ N 维向量空间，空间是⽆限维的（即⽆限个 f(t) 满⾜以上条件），区间可以被⽆限细分，类似向量长度可以⽆限长。

内积空间(2012-06-17 20:13:58)▼内积空间内积的几何解释在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。

这个额外的结构叫做内积或标量积。

这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。

内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。

关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。

在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。

定义下文中的数量域F是实数域或复数域。

域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：满足以下公理：∙共轭对称；这个设定蕴含着对于所有, 因为.(共轭也写成加星号：，如同共轭转置。

)∙对第一个元素是线性算子；由前两条可以得到：因此实际上是一个半双线性形式。

∙非负性：(这样就定义了对于所有。

说明内积是从点积抽象而来。

)∙非退化：从V到对偶空间V*的映射：是同构映射。

在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。

当且仅当。

因此，内积空间是一个Hermitian形式。

V满足可加性：对所有的，，如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。

共轭双线性变成了一般的双线性。

备注。

多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。

很多物理学家接受相反的约定。

这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。

某些作者接受约定< , > 在第一个分量是线性的而< | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。

内积空间(2012-06-17 20:13:58)▼内积空间内积的几何解释在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。

这个额外的结构叫做内积或标量积。

这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。

内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。

关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。

在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。

定义下文中的数量域F是实数域或复数域。

域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：满足以下公理：•共轭对称；这个设定蕴含着对于所有, 因为.(共轭也写成加星号：，如同共轭转置。

)•对第一个元素是线性算子；由前两条可以得到：因此实际上是一个半双线性形式。

•非负性：(这样就定义了对于所有。

说明内积是从点积抽象而来。

)•非退化：从V到对偶空间V*的映射：是同构映射。

在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。

当且仅当。

因此，内积空间是一个Hermitian形式。

V满足可加性：对所有的，，如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。

共轭双线性变成了一般的双线性。

备注。

多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。

很多物理学家接受相反的约定。

这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。

某些作者接受约定< , > 在第一个分量是线性的而< | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。