数值分析(21)离散数据最小二乘拟合

最小二乘拟合的概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述最小二乘拟合是一种常用的数据分析方法，通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来求取最优拟合曲线或平面，从而描述数据的模式和趋势。

该方法被广泛应用于统计建模、机器学习、信号处理、金融分析等领域。

最小二乘法的核心思想是寻找一条曲线或平面，使得该曲线或平面与数据点的残差之和最小。

通过最小二乘法，我们可以得到最佳拟合曲线或平面，从而对数据进行更准确的描述和预测。

因此，最小二乘拟合在数据分析中具有重要的意义。

本文将详细介绍最小二乘拟合的定义、原理和应用，从而帮助读者更好地理解和运用这一重要的数据分析方法。

1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构部分将介绍整篇文章的组织结构和主要内容安排，以便读者对文章的整体框架有一个清晰的认识。

在本文中，主要分为引言、正文和结论三个部分。

- 引言部分包括对最小二乘拟合的概念进行简要介绍，阐述本文撰写的目的和重要性。

- 正文部分将详细讨论最小二乘拟合的定义、原理和应用，以便读者全面了解这一重要的数据分析方法。

- 结论部分将对最小二乘拟合的重要性进行总结，探讨最小二乘法在数据分析中的价值，并展望最小二乘拟合在未来的发展趋势。

通过这样的结构安排，读者可以清晰地了解本文的主要内容和章节布局，有助于他们更好地理解和掌握最小二乘拟合的相关知识。

1.3 目的本文的主要目的是介绍最小二乘拟合这一重要的数学方法。

通过对最小二乘拟合的定义、原理和应用进行详细讨论，希望读者能够深入了解这一方法在数据分析和模型拟合中的重要性。

此外，本文还将探讨最小二乘法在实际问题中的应用，以及展望未来最小二乘拟合在数据分析领域的发展趋势。

通过阐述这些内容，旨在让读者更加深入地理解和应用最小二乘拟合方法，为其在数据分析和模型拟合中提供有效的工具和思路。

2.正文2.1 最小二乘拟合的定义最小二乘拟合是一种常用的数学方法，用于通过调整参数来拟合一个数学模型以最小化观测数据和模型之间的残差平方和。

数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学第一章测试1.算法效率就是指算法的快慢（）答案:错2.数值分析的任务就是：根据要求解的数学问题去设计算法（）答案:错3.用3.14近似π的有效数字位数是( )答案:34.真值经‘四舍五入’得到的近似数一定是有效数 ( )答案:对5.自然底数e=2.718281828的近似数2.7，2.71，2.718，2.7182中，有效数有（）个答案:2第二章测试1.n+1个互异节点，能够构造多少个拉格朗日插值基函数？（）答案:n+12.插值条件越多，拉格朗日插值多项式和原函数之间的误差越小（）答案:错3.通过牛顿插值法构造插值多项式时，首先需要建立什么？（）答案:差商表4.相同插值条件下，牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式的次数是一样的（）答案:对5.埃尔米特插值相比于拉格朗日插值的区别在哪？（）答案:多了一些与导数相关的插值条件6.分段插值主要解决了什么问题？（）答案:插值次数过高7.分段插值的本质就是在多个区间上做了多次的拉格朗日插值（）答案:对第三章测试1.在C[a, b]中，是范数（）答案:对2.在C[a,b]中，内积诱导范数与函数的2-范数相等（）答案:对3.可以利用相邻三项的关系确定一个正交多项式系，且结果唯一（）答案:错4.连续函数最佳平方逼近法中涉及的范数是连续函数空间中哪种范数（）答案:2-范数5.内积空间中线性无关元素确定的Gram矩阵是实对称正定矩阵（）答案:对6.函数，则 ( )答案:7.连续函数最佳平方逼近法中，平方误差一定是一个（）答案:非负数8.在对一组离散数据进行函数近似时，可以选用的方法有（）答案:曲线拟合;Lagrange插值;Newton插值9.在离散数据最小二乘曲线拟合问题中，所涉及的范数是（）答案:实向量空间2-范数10.线性矛盾方程组的最小二乘解是存在且唯一的 ( )答案:错11.下面是Newton-Cotes公式中Cotes系数特点的是（）答案:全为正（时）;和为1;对称性第四章测试1.含有n+1个互异求积节点，代数精确度至少为n的数值求积公式是（）答案:存在且唯一2.具有n次代数精确度的数值求积公式是插值型求积公式 ( )答案:对3.含有n+1个求积节点的插值型求积公式至少具有n次代数精确度 ( )答案:对4.Simpson公式的代数精确度为（）答案:3次5.积分区间为[a, b]，Simpson公式的Cotes系数为（）答案:1/6 4/6 1/66.用相同的求积节点对同一定积分进行近似求解，通常复化Simpson比复化梯形公式更准确 ( )答案:对7.被积函数足够光滑，复化Simpson公式的收敛阶数是 ( )答案:错8.被积函数足够光滑，复化梯形公式的收敛阶数是 ( )答案:对9.被积函数足够光滑，复化Simpson公式的收敛阶数是（）答案:第五章测试1.为什么在消元前要选择主元？（）答案:增强算法稳定性2.当线性方程组Ax=b的系数矩阵A是（）时，可用回代法求解.答案:上三角矩阵3.用高斯顺序消去法解线性方程组时，消元能进行到底的充分必要条件是（）.答案:系数矩阵A的前n-1阶顺序主子式非零4.矩阵A的哪种分解对应着高斯顺序消去法？（）答案:Doolittle5.n阶三对角矩阵A能够进行三角分解的充要条件为（）.答案:A的前n-1阶顺序主子式都非零第六章测试1.向量序列还是矩阵序列，也不管是定义中的按范数收敛还是按分量收敛，不可转化为数列的收敛。

数值分析实验之最⼩⼆乘拟合含有噪声扰动（python实现）⼀、实验⽬的掌握最⼩⼆乘法拟合离散数据，多项式函数形式拟合曲线以及可以其他可以通过变量变换转化为多项式的拟合曲线⽬前待实现功能：1. 最⼩⼆乘法的基本实现。

2. ⽤不同数据量，不同参数，不同的多项式阶数，⽐较实验效果。

3. 语⾔python。

⼆、实验原理最⼩⼆乘法（⼜称最⼩平⽅法）是⼀种数学优化技术。

它通过最⼩化误差的平⽅和寻找数据的最佳函数匹配。

利⽤最⼩⼆乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平⽅和为最⼩。

最⼩⼆乘法还可⽤于曲线拟合。

其他⼀些优化问题也可通过最⼩化能量或最⼤化熵⽤最⼩⼆乘法来表达。

三、实验内容求y=f(x)=sin(x)+h(x)在区间[0,10]上按101等距节点确定的离散数据点组(x i,y i)的直线拟合以及曲线拟合，其中是服从h(x)标准正态分布的噪声扰动四、程序实现• ⼀次拟合：1import numpy as np2import matplotlib.pyplot as plt3import math4#定义x、y散点坐标5 x = np.arange(0.0, 10.0,0.1)6 x = np.array(x)7print('x is :\n',x)8 num = np.sin(x)+np.random.randn(100)9 y = np.array(num)10print('y is :\n',y)11 f1 = np.polyfit(x, y, 1)#⽤1次多项式拟合，若要多次拟合，相应的改变这个常数即可12print('f1 is :\n',f1)1314 p1 = np.poly1d(f1)15print('p1 is :\n',p1)1617#也可使⽤yvals=np.polyval(f1, x)18 yvals = p1(x) #拟合y值19print('yvals is :\n',yvals)20#绘图21 plot1 = plt.plot(x, y, 's',label='original values',color="blue")22 plot2 = plt.plot(x, yvals, 'r',label='polyfit values',color="red")23 plt.xlabel('x')24 plt.ylabel('y')25 plt.legend(loc=4) #指定legend的位置右下⾓26 plt.title('polyfitting')27 plt.show()运⾏结果：所得图形：• 曲线拟合（⽤a*sin(x)+b拟合）：1import numpy as np2import matplotlib.pyplot as plt3import math4from scipy.optimize import curve_fit56#⾃定义函数7def func(x, a, b):8return a*np.sin(x)+b910#定义x、y散点坐标11 x = np.arange(0.0, 10.0,0.1)12 x = np.array(x)13 num = np.sin(x)+np.random.randn(100)14 y = np.array(num)1516#⾮线性最⼩⼆乘法拟合17 popt, pcov = curve_fit(func, x, y)18#获取popt⾥⾯是拟合系数19print(popt)20 a = popt[0]21 b = popt[1]22#c = popt[2]23#d = popt[3]24#e = popt[4]25 yvals = func(x,a,b) #拟合y值26print('popt:', popt)27print('系数a:', a)28print('系数b:', b)29#print('系数c:', c)30#print('系数d:', d)31#print('系数e:', e)32print('系数pcov:', pcov)#⽅差33print('系数yvals:', yvals)#x代⼊拟合出的函数得到的函数值34#绘图35 plot1 = plt.plot(x, y, 's',label='original values',color="purple")36 x_test = np.arange(0.0, 10.0, 0.01)37 y_test = func(x_test,a,b)38 plot2 = plt.plot(x_test, y_test, 'r',label='polyfit values',color="red")39 plt.xlabel('x')40 plt.ylabel('y')41 plt.legend(loc=4) #指定legend的位置右下⾓42 plt.title('curve_fit')43 plt.show()运⾏结果所得图形：•曲线拟合（⽤a*np.sin(b*x+c)+d拟合）：1import numpy as np2import matplotlib.pyplot as plt3import math4from scipy.optimize import curve_fit56#⾃定义函数7def func(x, a, b, c, d):8return a*np.sin(b*x+c)+d910#定义x、y散点坐标11 x = np.arange(0.0, 10.0,0.1)12 x = np.array(x)13 num = np.sin(x)+np.random.randn(100)14 y = np.array(num)1516#⾮线性最⼩⼆乘法拟合17 popt, pcov = curve_fit(func, x, y)18#获取popt⾥⾯是拟合系数19print(popt)20 a = popt[0]21 b = popt[1]22 c = popt[2]23 d = popt[3]24 yvals = func(x,a,b,c,d) #拟合y值25print('popt:', popt)26print('系数a:', a)27print('系数b:', b)28print('系数c:', c)29print('系数d:', d)30print('系数pcov:', pcov)#⽅差31print('系数yvals:', yvals)#x代⼊拟合出的函数得到的函数值32#绘图33 plot1 = plt.plot(x, y, 's',label='original values',color='orange')34 x_test = np.arange(0.0, 10.0, 0.01)35 y_test = func(x_test,a,b,c,d)36 plot2 = plt.plot(x_test, y_test, 'r',label='polyfit values',color='brown')37 plt.xlabel('x')38 plt.ylabel('y')39 plt.legend(loc=4) #指定legend的位置右下⾓40 plt.title('curve_fit')41 plt.show()运⾏结果：所得图形：•⾃定义函数实现：1import numpy as np2import matplotlib.pyplot as plt3import math4from scipy.optimize import curve_fit56#⾃定义函数7def func(x, a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,w):8return a0 + a1*np.cos(x*w) + b1*np.sin(x*w) + \9 a2*np.cos(2*x*w) + b2*np.sin(2*x*w) + a3*np.cos(3*x*w) + b3*np.sin(3*x*w) + \10 a4*np.cos(4*x*w) + b4*np.sin(4*x*w) + a5*np.cos(5*x*w) + b5*np.sin(5*x*w) + \11 a6*np.cos(6*x*w) + b6*np.sin(6*x*w) + a7*np.cos(7*x*w) + b7*np.sin(7*x*w) + \12 a8*np.cos(8*x*w) + b8*np.sin(8*x*w)1314#定义x、y散点坐标15 x = np.arange(0.0, 10.0,0.1)16 x = np.array(x)17 num = np.sin(x)+np.random.randn(100)18 y = np.array(num)1920#⾮线性最⼩⼆乘法拟合21 popt, pcov = curve_fit(func, x, y)22#获取popt⾥⾯是拟合系数23print(popt)24 a0 = popt[0]25 a1 = popt[1]26 a2 = popt[2]27 a3 = popt[3]28 a4 = popt[4]29 a5 = popt[5]30 a6 = popt[6]31 a7 = popt[7]32 a8 = popt[8]33 b1 = popt[9]34 b2 = popt[10]35 b3 = popt[11]36 b4 = popt[12]37 b5 = popt[13]38 b6 = popt[14]39 b7 = popt[15]40 b8 = popt[16]41 w = popt[17]42 yvals = func(x,a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,w) #拟合y值43print('popt:', popt)44print('系数a0:', a0)45print('系数a1:', a1)46print('系数a2:', a2)47print('系数a3:', a3)48print('系数a4:', a4)49print('系数a5:', a5)50print('系数a6:', a6)51print('系数a7:', a7)52print('系数a8:', a8)53print('系数b1:', b1)54print('系数b2:', b2)55print('系数b3:', b3)56print('系数b4:', b4)57print('系数b5:', b5)58print('系数b6:', b6)59print('系数b7:', b7)60print('系数b8:', b8)61print('系数w:', w)62print('系数pcov:', pcov)#⽅差63print('系数yvals:', yvals)#x代⼊拟合出的函数得到的函数值64#绘图65 plot1 = plt.plot(x, y, 's',label='original values',color='yellow')66 x_test = np.arange(0.0, 10.0, 0.01)67 y_test = func(x_test,a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,w)68 plot2 = plt.plot(x_test, y_test, 'r',label='polyfit values',color='blue')69 plt.xlabel('x')70 plt.ylabel('y')71 plt.legend(loc=4) #指定legend的位置右下⾓72 plt.title('curve_fit')73 plt.show()所得图形：⼼得体会通过本次实验，我对MATLAB的操作更加熟悉，也对本学期正在学习的Python有了更深层次的认识，对着两种编程软件更加熟悉。

最小二乘法数据拟合基本理论和方法1. 数据拟合: 从给出的一大堆数据中找出规律，即设法构造一条曲线(拟合曲线)反映数据点总的趋势，以消除其局部波动。

2. 作数据拟合的一般步骤:a. 观察给出数据的散点图。

b. 选择合适的拟合函数。

c. 求出拟合函数的待定系数，绘制拟合曲线。

d. 将拟合曲线与散点图比较,必要时重新选择拟合函数。

3. 最小二乘法基本原理: 要求误差平方和最小的拟合。

在试验过程中试验数据一般不可能精确获得，往往有一定程度的误差，为了尽可能减少误差，就希望用一个拟合函数)(x f ,使拟合函数)(x f 在i x 处的函数值)(i x f 与对应的试验实测数据值i y （i=1,2,….,N ）形成误差平方和最小，即()∑=-Ni i iy xf 12))(min(这就是最小二乘法。

4. 直线拟合若已知数据点),(i i y x (N i ,...,2,1=)分布大致为一条直线。

作拟合直线x a a x f 10)(+=，该直线不是通过所有的数据点),(i i y x ，而是使残差平方和最小。

即使∑=-+=Ni i i y x a aJ 1210])[( （1）值最小。

式（1）中未知量为10,a a ,所以J 可以看作是关于10,a a 的多元函数。

根据多元函数求极值的基本条件，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0010a J a J（2）即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-+=∂∂=⋅-+=∂∂∑∑==Ni ii i Ni i i x y x a a a J y x a a a J110111000])[(201])[(2 （3）整理（3）式，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑ii i ii y x x a x a y x a N a i 21010 （4） 解式（4），可得到直线方程参数10,a a ，回代入x a a x f 10)(+=，即获得反应数据分布规律的拟合函数（数学模型）。

任意点函数值的获得：只要将该点的x 坐标代入拟合函数中，所得y 值即为该点函数值。

曲线拟合的最小二乘法姓名：学号：专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。

根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。

这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。

后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。

在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是y的误差。

设 x 和 y 的函数关系由理论公式y＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-1）给出，其中 c1，c2，……cm 是 m 个要通过实验确定的参数。

对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。

都对应于xy 平面上一个点。

若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。

只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi ＝ f （x ；c1 ，c2 ，……cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，……，m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。

显然N<m 时，参数不能确定。

y 2 y 在 N>m 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。

设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则 y 的观测值 yi 围绕着期望值 <f （x ；c1，c2，……cm）> 摆 动，其分布为正态分布，则 yi 的概率密度为p y i1 exp,式中i是分布的标准误差。

为简便起见，下面用 C 代表（c1，c2，……cm ）。

最小二乘法拟合原理最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的线性回归分析方法，用于拟合数据点到一个理论模型的直线或曲线的原理。

它的目标是通过最小化实际数据点与拟合曲线之间的垂直距离（也称为残差）的平方和来找到最佳的拟合曲线。

假设我们有一个包含n个数据点的数据集，其中每个数据点的坐标可以表示为（xi，yi）。

我们希望找到一个模型y=f(x,θ)，其中x是自变量，θ是模型的参数，使得对于每个数据点，模型预测的y值与实际的观测值之间的差异最小化。

yi = yi_true + ei以线性回归为例，模型可以表示为y=θ0+θ1x，其中θ0和θ1是要估计的参数。

我们的目标是找到最佳的θ0和θ1，使得所有数据点的残差平方和最小。

残差可以定义为：ei = yi - (θ0 + θ1xi)为了最小化残差平方和，我们需要对残差平方和进行求导，并令导数等于零。

这样一来，我们就能得到使得残差平方和最小的参数估计值。

对于线性回归而言，最小二乘法的公式可以写为：θ1 = (sum(xi - x_mean)(yi - y_mean))/(sum(xi - x_mean)^2)θ0 = y_mea n - θ1x_mean其中，x_mean和y_mean分别是自变量和因变量的均值。

需要注意的是，最小二乘法只是一种估计参数的方法，它没有办法告诉我们模型是否真实有效。

为了评估拟合效果，我们还需要使用一些指标，如决定系数（coefficient of determination），来评估拟合曲线与数据之间的拟合程度。

总结起来，最小二乘法是一种通过最小化实际数据点与拟合曲线之间的垂直距离的平方和来找到最佳的拟合曲线的方法。

它的原理建立在数据具有随机误差，且服从独立同分布的正态分布的假设上。

通过最小二乘法，我们可以估计出模型的参数，以及评估拟合程度，从而对数据进行分析、预测与优化。