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数值分析法相关知识在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y 间的函数关系()y f x =有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。
当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数()y x ϕ=，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数()y x ϕ=有很多方法。
根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。
（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
曲线拟合法已知离散点上的数据集1122{(,),(,),,(,)}n n x y x y x y ，即已知在点集12{,,,}n x x x 上的函数值12{,,,}n y y y ，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使()f x 在原离散点i x 上尽可能接近给定的i y 值，这一过程称为曲线拟合。
曲线拟合的一般步骤是先根据实验数据，结合相关定律，将要寻求的最恰当的拟合曲线方程形式预测出来，再用其他的数学方法确定经验公式中的参数。
对于事先给定的一组数据，确定经验公式一般可分为三步进行：(1)、确定经验公式的形式：根据系统和测定的数据的特点，并参照已知图形的特点确定经验公式的形式。
（2）、确定经验公式中的待定系数：计算待定系数的方法有许多常用的法有图示法、均值法、差分法、最小二乘法、插值法等。
（3）、检验：求出经验公式后，还要将测定的数据与用经验公式求出的理论数据作比较，验证经验公式的正确性，必要时还要修正经验公式。
关于确定经验公式的形式，可从以下几个方面入手：（1）、利用已知的结论确定经验公式形式，如由已知的胡克定律可以确定在一定条件下，弹性体的应变与应力呈线性关系等。
（2）、从分析实验数据的特点入手，将之与已知形式的函数图形相对照，确定经验公式的形式。
第六章 曲线拟合的最小二乘 /函数平方逼近初步
实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实
际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:
编 号拉伸倍数 强 度编 号拉伸倍数 强 度1 1.9 1.4
135 5.522 1.314 5.253 2.1 1.8156 5.54 2.5 2.516 6.3 6.45 2.7 2.817 6.566 2.7 2.5187.1 5.37 3.53198 6.58 3.5 2.72087944218.98.5104 3.5229811 4.5 4.2239.58.112 4.6
3.5
24
10
8.1
i i y x i
i y x 一.实例讲解
6.2 数据拟合(最小二乘法)
§
2
(())
m n
j j i i i j a x f ϕ===-∑∑2
(())m
i i i S x f ==-∑三、法方程组
22
δ
∑==n
j j j x a x S 0
)
()(ϕ由的函数为拟合系数),,1,0(n j a j =可知
因此可假设
01(,,,)n F a a a 2
(())
m
n
j j i i i j a x f ϕ===-∑∑因此求最小二乘解转化为
二次函数
四、加权最小二乘法
(,)(0,1,,)
i i x f i m = 对于一组给定的数据点(,)(0,1,,)i i x f i m = 在拟合的数据点中
各点的重要性可能是不一样的
()(,)0,1,,i i i i x x f i m
ρρ= 假设=表示数据点的权(或权重),权:
即权重或者密度，统称为权系数.
定义加权平方误差为
222
m i i i δ
ρδ==∑2
(())
m
i i i i S x f ρ==-∑-----(9)
6.3 连续函数的最佳平方逼近
§0102
**2
22
*
[,],{,,,}[,].
(),()();
()[()()]()[()()]()().min n n
i i i b a b a S f C a b span C a b S x S x a x f S x f x S x dx x f x S x dx S x f x ϕϕϕϕρρ=∈Φ∈Φ=⊂∀∈Φ=-=-=-∑⎰⎰ 设为的最佳平方逼近1. 最佳平方逼近问题
-----(14)
0(,)(,)(,)()()()(,)()()()0,1,,x n k i i k k i b k i k i a b k k k a a f d x x x dx d f x f x x dx
k n
G d
ϕϕϕϕϕρϕϕϕρϕ=⎧==⎪⎪⎪=⇒⎨⎪==⎪⎪=⎩⇒=∑⎰⎰ ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛),(),(),(01000n ϕϕϕϕϕϕ ),(),(),(11101n ϕϕϕϕϕϕ ),(),(),(10n n n n ϕϕϕϕϕϕ G =
最小二乘法方法评注
曲线拟和的最小二乘法是实验数据处理的常用方法。
最佳逼近可以在一个区间上比较均匀的逼近函数且具有方法简单易行，实效性大，应用广泛等特点。
但当法方程组阶数较高时，往往出现病态。
因此必须谨慎对待和加以巧妙处理。
有效方法之一是引入正交多项式以改善其病态性。
指数模型和双曲线模型-----线性化拟合
超定方程组的最小二乘解
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《应用数值分析》复习题：
例题 3.2.2；
习题 3.1、3.6、3.9。
