数学建模讲义(标准版)

《数学模型》课程 标准教案数学模型课题组课程名称：《数学建模》 第 1 周，第 1讲次摘 要授课题目（章、节）第一章建立数学模型第一节从现实对象到数学模型；第二节数学建模的重要意义 第三节数学建模示例本讲目的要求及重点难点：【目的要求】初步认识什么是数学模型，及了解数学建模的全过程【重 点】了解数学建模的全过程【难 点】现实问题向数学问题的转化方法内 容【本讲课程的引入】玩具、照片、飞机、火箭模型——实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机——物理模型地图、电路图、分子结构图－—符号模型你碰到过的数学模型——“航行问题”甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?用x表示船速，y 表示水速，列出方程：75050)(75030)(=××−+yxyx x=20y =5求解答：船速每小时20千米.【本讲课程的内容】要学习数学建模，应该了解如下与数学建模有关的概念：z原型（Prototype）人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、管理的实际对象称为原形。

原型有研究对象、实际问题等。

z模型（Model)为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、提炼而构成的原型替代物称为模型。

模型有直观模型、物理模型、思维模型、计算模型、数学模型等。

一个原型可以有多个不同的模型。

z数学模型由数字、字母、或其他数学符号组成、描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法称为数学模型。

对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学建模的重要意义：•电子计算机的出现及飞速发展；•数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。

数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。

•在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；•在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；•数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。

实例：椅子的摆放问题椅子能在不平的地面上放稳吗？下面用数学建模的方法解决此问题。

模型准备仔细分析本问题的实质，发现本问题与椅子腿、地面及椅子腿和地面是否接触有关。

如果把椅子腿看成平面上的点，并引入椅子腿和地面距离的函数关系就可以将问题1与平面几何和连续函数联系起来，从而可以用几何知识和连续函数知识来进行数学建模。

为讨论问题方便，我们对问题进行简化，先做出如下3个假设： 模型假设1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形（对椅子的假设）2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断。

（对地面的假设）3、椅子放在地面上至少有三只脚同时着地，（对椅子和地面之间关系的假设）课程名称：《数学建模》 第 2 周，第 2 讲次摘 要授课题目（章、节）数学模型的基本概念、特点、问题举例数学建模的方法和步骤；数学模型的特点和分类；怎样学习数学建模【目的要求】了解数学建模的方法和步骤；数学模型的特点和分类；怎样学习数学建模【重 点】数学建模的方法和步骤【难 点】怎样学习数学建模内 容【本讲课程的引入】上节课我们讲了数学建模的一些基本知识，这节课我们了解一下数学建模的方法和步骤；数学模型的特点和分类以及怎样学习数学建模【本讲课程的内容】数学建模的基本方法根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律•机理分析将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型•测试分析用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数数学建模的一般步骤模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中用数学的语言、符号描述问题模型构成发挥想象力使用类比法尽量采用简单的数学工具模型求解各种数学方法、软件和计算机技术模型分析如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用表述选择适当的数学方法求得数学模型的解答求解将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象解释用现实对象的信息检验得到的解答验证 实践——理论——实践数学模型的特点模型的逼真性和可行性；模型的非预制性；模型的渐进性；模型的条理性；模型的强健性；模型的技艺性；模型的可转移性；模型的局限性数学模型的分类应用领域：人口、交通、经济、生态、…数学方法：初等数学、微分方程、规划、统计、…表现特性确定和随机静态和动态离散和连续线性和非线性建模目的：描述、优化、预报、决策、…了解程度：白箱灰箱黑箱怎样学习数学建模：数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则——想象力、洞察力、判断力•学习、分析、评价、改进别人作过的模型•亲自动手，认真作几个实际题目【本讲课程的小结】数学建模的方法和步骤；数学模型的特点和分类；怎样学习数学建模【本讲课程的作业】课程名称：《数学建模》 第 3 周，第 3 讲次摘 要授课题目（章、节）第二章：初等模型第一节公平的席位分配；第二节录像机计数器的用途；第三节双层玻璃窗的功效；第四节汽车刹车距离；第五节划艇比赛的成绩【目的要求】掌握初等模型的建模方法【重 点】建模过程中对问题的分析，并做出合理假设【难 点】建模过程对问题的拆解内 容【本讲课程的引入】第一章简单介绍简单初等模型的建立与求解以及建模的全过程，这一章我们来看一看比简单初等模型稍复杂的几个初等模型【本讲课程的内容】公平的席位分配问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。

若增加为21席，又如何分配？某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。

它的最初学生人数及学生代表席位为系名 甲 乙 丙 总数学生数 100 60 40 200学生人数比例 100/200 60/200 40/200席位分配 10 6 4 20后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为系名 甲 乙 丙 总数学生数 103 63 34 200学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配 10 6 4 20由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。

为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。

重新按惯例分配席位,有系名 甲 乙 丙 总数学生数 103 63 34 200学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。

这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。

录像机计数器的用途问题经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。

在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？思考计数器读数是均匀增长的吗？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。

双层玻璃的功效问题北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内保温目的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果。

模型准备本问题与热量的传播形式、温度有关。

检索有关的资料得到与热量传播有关的一个结果，它就是热传导物理定律:厚度为d的均匀介质,两侧温度差为ΔT,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与ΔT成正比,与d成反比,即:Q=k ΔT/d念着手去搜索有利于进行数学建模的结论来建模，此时建模中的假设要以相应有用结论成立的条件给出。

此外，本题对减少热量损失功效的处理给我指出了怎样处理没有极值的求极值问题的一个解决方法。

【本讲课程的小结】简介以下五个初等模型公平的席位分配；录像机计数器的用途；双层玻璃窗的功效；汽车刹车距离；划艇比赛的成绩【本讲课程的作业】课程名称：《数学建模》 第 4 周，第 4 讲次摘 要授课题目（章、节）数学建模、数学建模的过程、数学建模举例第六节实物交换；第七节核军备竞赛；第八节启帆远航；第九节量纲分析与无量纲化本讲目的要求及重点难点：【目的要求】掌握初等模型的建模方法【重 点】每个模型的特征与建模方法【难 点】建模过程中的如何分析问题内 容【本讲课程的引入】第二章我们上次课讲了五个初等模型，这节课继续往下学习 【本讲课程的内容】实物交换问题甲有玉米若干千克，乙有山羊若干只。

因为各自的需要，甲乙想交换彼此的东西，问怎样做才能完成交换活动？模型准备实物交换问题在个人之间或国家之间的各类贸易中经常遇到。

通常，交换的结果取决于交换双方对所交换物品的偏爱程度。

由于偏爱程度是一个模糊概念，较难给出一个确切的定量关系，此时，可以采用图形法建模的方式来描述双方如何交换物品才能完成交换活动。

模型假设1． 交换不涉及其他因素，只与交换双方对所交换物品的偏爱程度有关2． 交换按等价交换原则进行模型构成设交换前甲有玉米为X千克，乙有山羊Y只，交换后甲有玉米为x千克、山羊y只。

则在交换后乙有玉米为X - x千克、山羊Y - y只，于是可以用一个平面坐标中的二维点坐标（x, y）描述一种交换方案，而这些坐标 点满足0≤ x≤ X, 0≤ y≤ Y，即交换只在这个平面矩形区域内发生。

引入二维点坐标后，我们就把所考虑的范围限制在一个有限的平面区域中，从而使问题得到简化。

但这还不够，因为交换只是在其中的一个点发生。

为找到这个点，由假设1，引入如下衡量偏爱程度的无差别曲线概念。

注意到对甲方来说，交换后其占有不同数量的玉米和山羊具有的满意度是不同的，显然其满意度是x, y的函数f(x,y)。

由于交换后某方认为同样满意的情况一般不是一种，如对甲方来说，占有x1数量的玉米、y1数量的山羊与占有x2数量的玉米、y2数量的山羊可以达到同样的满足感c1，因此有f(x1,y1)=f(x2,y2)=c1，这说明对甲方来说交换结果在点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)是没有差别的，而所有与点P1(x1,y1)具有同样满意度的点组成一条对甲无差别的曲线f(x, y) = c1。

类似地，如果把甲在交换后的满足感c1修改为c2，就可以得到另一条对甲无差别的曲线f(x, y) = c2。

因此，甲有无数条无差别曲线，将所有这些无差别曲线表示为 f(x, y) = c，式中c称为在点(x, y)的满意度。