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【课题】 6．3 等比数列【教学目标】知识目标：理解等比数列前项和公式．n 能力目标：通过学习等比数列前项和公式,培养学生处理数据的能力．n 【教学重点】等比数列的前项和的公式．n 【教学难点】等比数列前项和公式的推导．n 【教学设计】本节的主要内容是等比数列的前项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前n 项和公式；难点是前项和公式的推导、求等比数列的项数的问题及知识的简单实际n n n 应用．等比数列前项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解n 并学会应用．等比数列的通项公式与前项和公式中共涉及五个量：n ，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.n n S a n q a 、、、、1教材中例6是已知求的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利n n S a a 、、1n q 、用指数相等来求解的方法是研究等比数列问题的常用方法.n 【教学备品】教学课件．【课时安排】3课时．(135分钟)【教学过程】教学 过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题6．3 等比数列．*创设情境 兴趣导入【趣味数学问题】从趣过 程行为行为意图间传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨•班•达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒．计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺．这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨•班•达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和．质疑引导分析思考参与分析味小故事出发使得学生自然的走向知识点10*动脑思考 探索新知下面来研究求等比数列前n 项和的方法．等比数列的前n 项和为{}n a (1).321n n a a a a S ++++= 由于故将(1)式的两边同时乘以q ，得1,n n a q a +⋅= (2) 2341+=+++++ n n n qS a a a a a ．用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得 (3)()()1111111+-=-=-⋅=-n n n n q S a a a a q a q ．当时，由(3)式得等到数列的前项和公式1≠q {}n a n 总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结问题得到等比数列通项公式过程行为行为意图间 (6.7)1111-=≠-nn a q S q q()()．知道了等比数列中的、n 和，利用公式{}n a 1a ),1(≠q q （6.7）可以直接计算．n S 由于,11q a a q a n n n ==+因此公式（6.7）还可以写成(6.8)111-=≠-n n a a q S q q ()．当时，等比数列的各项都相等，此时它的前项和1=q n 为．(6.9) 1na S n =【想一想】在等比数列中，知道了、q 、n 、、五个量{}n a 1a n a n S 中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？【注意】在求等比数列的前n 项和时，一定要判断公比q 是否为１．引导分析参与分析引导启发学生思考求解35*巩固知识 典型例题例5 写出等比数列,27,9,3,1--的前n 项和公式并求出数列的前8项的和．解 因为，所以等比数列的前n 项313,11-=-==q a 说明强调引领观察思考通过例题进一过程行为行为意图间和公式为，1[1(3)]1(3)1(3)4n nn S ⨯----==--故 ．881(3)16404S --==-*例6 一个等比数列的首项为，末项为，各项的和4994为，求数列的公比并判断数列是由几项组成．36211解 设该数列由n 项组成，其公比为q ，则，194a =，．49n a =21136n S =于是 9421149361q q-⋅=-,即，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-q q 944936)1(211解得 ．23q =所以数列的通项公式为 192,43n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭于是 ，1492943n -⎛⎫= ⎪⎝⎭即,323241⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 解得 ．5n =故数列的公比为，该数列共有5项．23【注意】讲解说明引领分析强调含义主动求解观察思考求解领会步领会注意观察学生是否理解知识点45过 程行为行为意图间例6中求项数n 时，将等号两边化成同底数幂的形式，利用指数相等来求解．这种方法是研究等比数列问题的常用方法．现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？国王承诺奖赏的麦粒数为，646419641(12)21 1.841012S -==-≈⨯-据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×g ，约合7360多亿吨．我国2000年小麦1710的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！说明思考反复强调50*运用知识 强化练习练习6.3.31．求等比数列，，，，…的前10项的和．919294982．已知等比数列｛｝的公比为2，＝１，求．n a 4S 8S 启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳60*巩固知识 典型例题【趣味问题】设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后的厚度是多少？能否对折50次，为什么？【小知识】复利计息法：将前一期的本金与利息的和（简称本利和）作为后一期的本金来计算利息的方法．俗称“利滚利”．例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%， 说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会注意观察学生是否过 程行为行为意图间如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万元）解 货款第一年后的本利和为2020 5.76%20(10.0576) 1.057620,+⨯=+=⨯第二年后的本利和为21.057620 1.057620 5.76% 1.057620,⨯+⨯⨯=⨯依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列…231.057620,1.057620,1.057620,⨯⨯⨯其通项公式为11.057620 1.0576 1.057620-=⨯⨯=⨯n n n a 故．55 1.05762026.462886=⨯=a 答 小王应偿还银行26.462886万元．引领分析强调含义说明观察思考求解领会思考求解理解知识点反复强调4550*运用知识 强化练习张明计划贷款购买一部家用汽车，贷款15万元，贷款期为5年，年利率为5.76%，5年后应偿还银行多少钱?质疑求解强化60*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：等比数列的前n 项和公式是什么？结论：).1(1)1(1≠--=q qq a S n n 质疑归纳回答理解及时了解学生知识掌握情况70过程行为行为意图间).1(11≠--=q qq a a S n n 强调强化*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1．已知等比数列｛｝中，求n a 13226==a S ，，3q a 与．2．等比数列｛｝的首项是6，第6项是，这个数列n a 316-的前多少项之和是？25564提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果培养学生总结反思学习过程的能力80*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．3A 组（必做）；教材习题6．3B 组（选做）(3)实践调查：运用等比数列求和公式解决现实生活中的实际问题．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；−辈子时光在匆忙中流逝，谁都无法挽留。
数学思维大挑战等比数列的应用实例数学思维大挑战：等比数列的应用实例在数学学科中，等比数列是相邻两项之间的比值保持恒定的数列。
这个概念可能让人们感到有些抽象，但实际上，等比数列在日常生活中的应用非常广泛。
本篇文章将为您介绍一些等比数列的实际应用实例，帮助您更好地理解和运用这一数学概念。
一、金融领域中的等比数列应用在金融领域中，等比数列经常被用来计算复利。
复利是指在原有本金的基础上，利息按照一定的比率重新投入并产生新的利息。
假设某个银行的年利率为5%，如果我们将1000元存入该银行，并且每年将利息重新投入，那么按照等比数列的概念，我们可以得到以下数列：1000，1050，1102.5，1157.63，1215.51，......这个数列中的每一项都是前一项乘以1.05得到的，其中1.05是1加上5%的小数形式。
通过计算等比数列的和，我们可以得知在多年后，我们的存款将会成长到多少。
二、物理学中的等比数列应用在物理学中，等比数列经常被用来描述某些自然现象的性质。
例如，在光学中，我们知道光的能量在经过障碍物传播后会衰减。
这种衰减的规律可以通过等比数列来描述。
假设某束光的初始强度为I，经过每一次传播，其强度都会减少到原来的一半。
我们可以得到以下等比数列：I，I/2，I/4，I/8，......通过计算等比数列的和，我们可以计算出在经过多次传播后，光的强度将会减少到多少。
三、生态学中的等比数列应用在生态学中，等比数列常用于描述生物种群的增长或衰减规律。
由于资源的限制，种群数量通常无法无限制地增长。
以某种虫子的繁殖为例，假设初始时有100只虫子，每年繁殖的数量是前一年数量的两倍。
我们可以得到以下等比数列：100，200，400，800，......通过计算等比数列的和，我们可以预测多年后虫子的数量将会是多少。
这种应用可以帮助生态学家们更好地了解和管理生物群落中的种群数量。
结语通过以上的实际应用实例，我们可以看到等比数列在金融、物理学和生态学等领域中的重要性。
如何应用等比数列解决问题等比数列在数学中有着广泛的应用，它能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将讨论如何应用等比数列解决问题，希望能对读者有所启迪。
一、等比数列的定义和性质在开始讨论问题之前，我们先来了解一下等比数列的定义和性质。
等比数列是指一个数列中的每个元素与它前面的元素的比值都相等，这个比值称为公比。
等比数列的通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1)，其中an表示第n个元素，a1表示首项，r表示公比。
等比数列的性质包括等比中项公式、等比数列前n项和公式以及等比数列的求和公式等等。
二、等比数列在实际问题中的应用2.1 货币的贬值问题假设某国货币每年贬值20%，现在有一笔10000元的存款，问经过5年后，这笔存款贬值了多少？我们可以通过等比数列来解决这个问题。
首先确定首项a1为10000，公比r为1-20%=0.8。
则第5年后的存款金额为an=a1×r^(n-1)=10000×(0.8)^(5-1)=10000×0.8^4，计算得到结果为4096元。
所以，经过5年后，这笔存款贬值了10000-4096=5904元。
2.2 美术品的价值评估某个艺术家的作品每年的估值增长率为15%，现在有一幅作品估值为5000元，问经过4年后，这幅作品的估值是多少？我们可以利用等比数列来求解。
首先确定首项a1为5000，公比r为1+15%=1.15。
则第4年后的作品估值为an=a1×r^(n-1)=5000×(1.15)^(4-1)=5000×1.15^3，计算得到结果为7268.75元。
所以，经过4年后，这幅作品的估值为7268.75元。
2.3 人口增长问题某一城市的人口每年以5%的速度增长，现在这个城市的人口为10000人，问经过多少年后，这个城市的人口将增长至20000人？我们可以借助等比数列来求解。
首先确定首项a1为10000，公比r为1+5%=1.05。
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：-a ^ = q q=0” n_2,且n- N , q 称为公比 a n A.2、通项公式:nAa.an- a .qqq3、等比中项:(1) 如果a,A,b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2=ab 或A = ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个( (2) 数列：a n f 是等比数列=a n 2二a nd a n.1 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1) 当 q =1 时，S n =na .(2) 当q 胡时，看^_二=口31 -q 1 -q鱼= A-A B n =A'B n -A'( A,B,A',B'为常数)1 -q 1 -q5、等比数列的判定方法：数列(2)等比中项：a n 2 =a n 何4佃何」=0)二｛a n ｝为等比数列 (3)通项公式：a^ A B n A B- o = g ｝为等比数列 6、等比数列的证明方法:依据定义：若 五二qq=0 n —2,且n N *或a .1二qa 「=｛a n ｝为等比数列 a n 4 7、等比数列的性质：a .;公比:q推广: (1)用定义：对任意的都有a n 1二qa n 或□二q(q 为常数,a na n = 0）二｛a n ｝为等比nn=A Baiq = 0, A = 0 ］，首项:(2)对任何m“ N*，在等比数列｛a n｝中，有a n二a m q®。
注： a i a n 二 a 2 'an J = a3a n _2 …等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1 .等比数列｛a .｝中，a i a ? =64, a 3 ' a ? =20,求 a^ .思路点拨：由等比数列的通项公式， 通过已知条件可列出关于a i 和q 的二元 方程组，解出a i 和q ，可得an ；或注意到下标1 ^3 ?，可以利用性质可求 出a 3、a ?，再求an . 解析：8法一：设此数列公比为q ，则a1 a ^ a1 a 2q =64⑴Ia3+a ?=a 1q +ag =20(2)由(2) 得: ag 2(1 q 4) =20 (3)2an"am二ak…a-i 0.-2q 4 一5q 2 2=0,解得 q 2 = 2或 q 2 =£ 当 q 2 =2 时，a - =2 , a -- =a- q10 =64 ;当心时，a -=32 , a —qJ .'/法——:• a - a ? = a 3 已7 = 64, ^又 a 3 ' a^ = 20 , 二a 3、a 7为方程x 2 —20x • 64 =0的两实数根,2…a^ = = 1 ^或 a ii = 64 .a 3总结升华:① 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算 量；② 解题过程中具体求解时， 要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的, 故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三:【变式1】｛an ｝为等比数列，a 仁3, a9=768,求a6。
等比数列的应用等比数列是数学中的一种常见数列，它是由首项和公比决定的一列数值。
在实际问题中，等比数列的应用非常广泛，可以用于描述许多与比例、比率相关的情况。
本文将介绍等比数列在各种不同领域中的应用，包括金融、自然科学和工程等。
一、金融领域中的应用等比数列在金融领域中有着重要的应用。
以复利计算为例，假设某笔资金以固定的年利率进行复利计算，每年产生的利息会被重新投资。
这种情况下，资金的增长可以用等比数列来描述，其中首项为本金，公比为1加上年利率。
通过这个等比数列，我们可以计算出多年后资金的总额，帮助人们做出理性的投资决策。
此外，在贷款和信用卡利息计算中也可以利用等比数列的概念。
当利率确定时，每期所还款项构成了一个等比数列，根据等比数列的性质，可以计算出总共需要偿还的本金和利息，以及每期的还款金额。
这对于借贷者来说，可以帮助他们合理规划还款计划，避免财务压力过大。
二、自然科学中的应用在自然科学研究中，等比数列也有广泛的应用。
生物学中，物种的繁殖和扩散往往可以用等比数列来描述。
例如，某种昆虫在每个世代中的数量都是上一世代数量的固定倍数，这个倍数就是公比。
通过研究等比数列的性质，我们可以预测未来几代中物种数量的变化趋势，帮助生态保护和农业种植。
物理学中，等比数列也有应用，例如光线的传播和衰减。
光线在不同材料中的传播速度和衰减程度可以用等比数列来描述。
公比小于1的等比数列表示光线经过多次反射或折射后逐渐衰减，而公比大于1的等比数列则表示光线逐渐增强。
这些等比数列的性质在光学设计和光纤通信等领域中有着重要的应用。
三、工程中的应用在工程领域中，等比数列可以应用于设计和优化工作。
以建筑设计为例，等比数列可以用来计算房间内灯光照度的分布。
当灯光从一个中心点发散时，通过等比数列的性质，我们可以确定在不同距离上的照度变化情况，从而设计出合理的照明方案。
此外，等比数列在电路设计中也有重要的应用。
例如，在电阻与电流关系的研究中，可以通过等比数列来描述电阻和电流的变化规律。
等比数列的应用等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比值相等。
在数学中，等比数列具有广泛的应用，涵盖了各个领域。
本文将探讨等比数列在几个具体的应用场景中的运用。
一、金融领域1. 存款利息在银行存款中，利息通常按照等比数列的方式计算。
假设你存款的利率是r，第一个月存入的金额是a，那么第二个月的存款金额就是a*r，第三个月的存款金额就是a*r^2，依次类推。
这里，存款金额就是等比数列的项，r就是比值。
2. 投资收益等比数列也可以用于投资收益的计算。
假设你投资的某项理财产品每个月的回报率是r，初始投资金额为a，那么随着时间的增长，每个月的投资收益将以等比数列的方式增加。
二、物理学等比数列在物理学中也有着广泛的应用。
以下是其中的两个例子：1. 自由落体在自由落体的过程中，物体每次跳跃的高度都是前一次跳跃高度的某个比值，这个比值就是等比数列的比值。
通过分析等比数列的性质，我们可以计算出物体在每一次跳跃后的高度。
2. 光的反射与折射当光线从一种介质进入另一种介质时，其入射角和折射角之间的关系可以用等比数列来表示。
根据斯涅尔定律，入射角和折射角的正弦值成等比数列关系。
三、经济学等比数列在经济学中也有着重要的应用，以下是其中的两个例子：1. GDP增长国家的GDP增长率通常可以用等比数列来描述。
假设一个国家的GDP在初始时期是a，年度的增长率是r，那么经过n年，该国的GDP 可以通过等比数列的公式来计算。
2. 人口增长人口的增长也常常以等比数列的形式呈现。
假设一个地区的初始人口是a，年度的增长率是r，那么经过n年，该地区的人口可以用等比数列的方式来计算。
四、生物学生物学中的一些现象也可以通过等比数列进行描述，以下是其中的两个例子：1. 繁殖规律某些生物的繁殖规律可以用等比数列来表示。
例如，某种昆虫的繁殖率是100只/年，每年的增长率是0.5，那么经过n年后，该种昆虫的数量可以用等比数列来计算。
2. 细胞分裂细胞分裂是生物学中常见的现象，其中细胞数量的增长可以用等比数列来描述。
等比数列求和方法在储蓄和贷款中的应用等比数列是数学中的一个重要概念，其求和方法在储蓄和贷款中有着广泛的应用。
在储蓄方面，等比数列的求和方法可以用来计算定期储蓄的本息和；而在贷款方面，等比数列的求和方法可以用来计算等额本息还款的金额。
首先，让我们来看看等比数列的求和公式。
如果一个等比数列的首项是a，公比是r，那么它的前n项和可以表示为：
Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中，Sn表示前n项的和。
在储蓄方面，人们常常选择进行定期储蓄，以积累财富或满足一定的消费需求。
当我们每个月往银行储蓄一定金额，并以一定的年利率计算利息时，等比数列的求和方法可以帮助我们计算出定期储蓄的本息和。
假设我们每个月往银行储蓄1000元，年利率为5%，期限为10年。
根据利息计算的原理，每个月的利息为本金乘以年利率除以12个月。
因此，我们可以得到等比数列的首项a为1000，公比r为1+0.05/12，共有n=10*12个月。
将这些值代入等比数列的求和公式，即可计算出定期储蓄的本息和。
另一方面，在贷款中，人们常常选择等额本息还款方式。
这意味着每个月偿还相同金额的贷款，包括本金和利息。
当我们需要计算等额本息还款的金额时，同样可以利用等比数列的求和方法。
总结起来，等比数列的求和方法在储蓄和贷款中都有着重要的应用。
通过利用等比数列的公式，我们可以方便地计算出定期储蓄的本息和和等额本息还款的金额。
这为我们在储蓄和贷款中做出正确的决策提供了有力的工具。
