等比数列的应用举例

等比数列的基本性质与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列，它的前后两项的比值始终保持不变。

等比数列具有许多重要的性质和求和公式，本文将对这些性质和公式进行详细介绍与解析。

一、等比数列的基本性质等比数列的基本性质包括公比、通项公式以及前n项和的公式。

1. 公比公比是等比数列中相邻两项的比值，通常用字母q表示。

对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，公比q = a2/a1 = a3/a2 = ...。

公比q可以是正数、负数或零。

2. 通项公式等比数列的通项公式是指根据数列的首项和公比，可以得到任意项的数值表达式。

对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，通项公式为an = a1 *q^(n-1)，其中n表示项数，an表示第n项。

通项公式可以帮助我们方便地计算等比数列中任意一项的数值。

3. 前n项和公式等比数列的前n项和公式是指根据数列的首项、公比和项数，可以得到前n项之和的表达式。

前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和。

这个公式的推导涉及到对等比数列求和的方法，下文我们将介绍这个求和方法的详细步骤。

二、等比数列的求和公式的推导为了推导等比数列的求和公式，我们可以从以下几个步骤入手：Step 1: 假设等比数列的首项为a1，公比为q。

Step 2: 将等比数列的前n项和用Sn表示。

Step 3: 将等比数列的首项a1与公比q对齐。

Step 4: 将等比数列展开为a1, a1*q, a1*q^2, ..., a1*q^(n-1)。

Step 5: 将等比数列反向展开为a1*q^(n-1), a1*q^(n-2), ..., a1*q^2,a1*q, a1。

Step 6: 将两个等比数列按位相减，并观察相减结果的特点。

Step 7: 将相减结果与等比数列前n项和Sn相加，并观察相加结果的特点。

Step 8: 确定等比数列的前n项和公式Sn。

等比数列的前n项和的公式（原创版）目录1.等比数列的定义与性质2.等比数列前 n 项和的公式推导3.公式的应用与举例正文1.等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列，其中每一项与它前面的项的比相等。

这个比称为公比，用 r 表示。

等比数列的通项公式为 an=a1*r^(n-1)，其中 a1 是首项，an 是第 n 项。

2.等比数列前 n 项和的公式推导我们先来看一个等比数列的前几项和：S1 = a1S2 = a1 + a2 = a1 + a1*rS3 = a1 + a2 + a3 = a1 + a1*r + a1*r^2S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = a1 + a1*r + a1*r^2 + a1*r^3观察上述等式，我们可以发现：S2 = a1*(1 + r)S3 = a1*(1 + r + r^2)S4 = a1*(1 + r + r^2 + r^3)我们可以猜测等比数列前 n 项和的公式为：Sn = a1*(1 + r + r^2 +...+ r^(n-1))为了证明这个公式，我们可以利用数学归纳法。

当 n=1 时，S1 = a1 = a1*(1 + r + r^2 +...+ r^(n-1))，等式成立。

假设当 n=k 时，等式成立，即：Sk = a1*(1 + r + r^2 +...+ r^(k-1))当 n=k+1 时，有：Sk+1 = Sk + ak+1 = a1*(1 + r + r^2 +...+ r^(k-1)) + a1*r^k = a1*(1 + r + r^2 +...+ r^(k-1) + r^k)由等比数列的性质，我们知道：r^k = r^(k-1) * r将其代入上式，得：Sk+1 = a1*(1 + r + r^2 +...+ r^(k-1) + r^(k-1) * r)= a1*(1 + r + r^2 +...+ r^k)所以，当 n=k+1 时，等式也成立。

等比数列的性质及应用与等差数列一样，等比数列也有根据其概念或通项得出的一些重要性质，运用其性质可以使解题更为简便．一、若项数为3n 的等比数列(1)q ≠-前n 项和与前n 项积分别为nS '与n T '，次n 项和与次n 项积分别为2n S '与2n T '，最后n 项和与最后n 项积分别为3n S '与3n T '，则n S '，2n S '，3n S '成等比数列，n T '，2n T '，3n T '亦成等比数列．例1 已知一个等比数列的前n 项和为12，前2n 项和为48，求其前3n 项和．解：由题设，可知12n S '=，2481236n S '=-=， 22233610812n n n S S S ''∴==='． 故该数列前3n 项的和为10848156+=．例2 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10301070S S ==，，求40S ． 解：Q {}n a 成等比数列，10201030204030S S S S S S S ∴---，，，也成等比数列，即22010103020()()S S S S S -=-，解得2030S =或2020S =-（不合题意，舍去）．2302040302010()150S S S S S S +∴=+=-． 二、一般地，如果t k p m n r ，，，…，，，，…皆为自然数，且t k p m n r +++=+++……（两边的自然数个数相等），那么当{}n a 为等比数列时，有t kp m n r a a a a a a =···…···…． 例3 在等比数列{}n a 中，若99123992a a a a =···…·，求50a ． 解：19929849515050a a a a a a a a ====Q ··…··， 999912399502a a a a a ∴==···…·，502a ∴=．三、公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为mq （m 为等距离的项数之差）． 例4 在等比数列{}n a 中，若12341a a a a =···，131415168a a a a =···，求41424344a a a a ···． 解：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q ．设112341T a a a a ==···，4131415168T a a a a ==···， 34182T T q q ∴==⇒=．10101141424344121024T a a a a T q ∴====····．。

等比数列应用题等比数列在数学中有广泛的应用，常常用来解决各种实际问题。

下面将介绍几个等比数列应用题，通过实例分析来加深对等比数列的理解。

1. 一辆汽车从甲地出发，以每小时60公里的速度前进，到达目的地需要3小时。

如果汽车以同样的速度前进，但每小时增加10公里的速度，问汽车到达目的地需要多少小时？解析：设汽车到达目的地需要x小时，则根据等比数列的性质可得：60，60+10，60+2*10，...，60+(x-1)*10 是一个等比数列。

由等比数列的通项公式可得：an = a1 * q^(n-1)其中，an 为第n项，a1 为第1项，q 为公比。

因此，60 + (x-1)*10= 60 * 10^(x-1)，解得x=4。

所以汽车以每小时70公里的速度前进时，到达目的地需要4小时。

2. 有一条长为10米的绳子，现要将它分成若干段，使得每一段比前一段多1米，且这些段依次构成等比数列。

问这些段各有多少米？解析：设绳子被分成n段，则根据等比数列的性质可得：n，n+1，n+2，...，n+m 是一个等比数列。

根据等比数列的和公式可得：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)其中，Sn 为前n项和，a1 为第1项，q 为公比。

由题意可知，10 =n * (n+m) / 2，解得n=2，m=3。

所以这条绳子被分成2段，分别为2米和5米。

3. 一支生长在湖中的莲藕，每天长高10厘米，且每次长高的长度构成等比数列。

如果莲藕经过4天长高了60厘米，问这支莲藕的初始高度为多少？解析：设莲藕的初始高度为n厘米，根据等比数列的性质可得：n，nq，nq^2，nq^3 是一个等比数列。

根据等比数列的和公式可得：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn 为前n项和，a1 为第1项，q 为公比。

由题意可知，60 =n * (1 - q^4) / (1 - q)，解得n=10，q=1.5。

等比数列的性质与应用等比数列是数学中一种常见的数列形式，它具有一些独特的性质和广泛的应用。

在本文中，我们将介绍等比数列的性质，并讨论它在实际问题中的应用。

一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一个项与它前一项的比值都相等。

这个比值被称为公比，通常用字母q表示。

具体地，如果一个数列满足an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，则称该数列为等比数列。

二、等比数列的性质1. 公比的取值：公比q可以为正数、负数或零。

当q>1时，数列呈递增趋势；当0<q<1时，数列呈递减趋势；当q=1时，数列呈恒定趋势；当q<-1时，数列呈震荡趋势。

2. 通项公式：对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以推导出通项公式an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。

3. 求和公式：等比数列的前n项和可通过求和公式Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1) 来计算，其中Sn表示前n项和。

4. 任意项与首项的关系：对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以推导出an和a1的关系为an = a(k) * q^(n-k)，其中a(k)是该数列的第k 项。

三、等比数列的应用等比数列在实际问题中有广泛的应用，下面我们将介绍其中的几个常见应用。

1. 财务领域：等比数列被广泛应用于财务计算中，特别是复利计算。

当某笔资金按照一定的利率复利计算时，投资者的收益往往呈现等比数列的形式。

2. 几何学：在几何学中，等比数列被用于描述一些几何图形的性质。

例如，等比数列可以用来计算等比比例图中的边长，或者描述螺旋线的形成过程。

3. 自然科学：等比数列在自然科学中也有一些应用。

例如，生物学中的细胞分裂过程和物理学中的波动传播过程都可以使用等比数列来描述。

4. 经济学：在经济学中，等比数列可以用来描述一些经济指标的增长或者下降趋势。

例如，人口增长、GDP增长等都可以看作是等比数列。

等比数列求和公式摘要：1.等比数列的定义与性质2.等比数列求和公式的推导3.等比数列求和公式的应用举例4.总结正文：1.等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列，其中每一项与它前面的项的比相等。

这个常量比称为公比，用符号r 表示。

等比数列的通项公式为：an=a1*r^(n-1)，其中a1 是首项，an 是第n 项。

等比数列具有以下性质：(1) 如果r=1，则该数列为等差数列。

(2) 如果r=-1，则该数列的奇数项和偶数项分别为等差数列。

(3) 如果r≠0 且r≠1，则该数列是无穷数列。

2.等比数列求和公式的推导等比数列求和公式是指求解等比数列前n 项和的公式。

设等比数列的首项为a1，公比为r，前n 项和为Sn，根据等比数列的通项公式，可以得到：Sn = a1 + a1*r + a1*r^2 +...+ a1*r^(n-1)利用等比数列的性质，将公式中的每一项都除以a1，得到：Sn/a1 = 1 + r + r^2 +...+ r^(n-1)这是一个等比数列求和的问题。

令r≠1，则根据等比数列求和公式，可以得到：Sn = a1*(1 - r^n)/(1 - r)3.等比数列求和公式的应用举例假设有一个等比数列，首项a1=1，公比r=2，求前10 项的和。

根据等比数列求和公式，可以得到：Sn = 1*(1 - 2^10)/(1 - 2) = 1 - 2^10 = -1023因此，该等比数列前10 项的和为-1023。

4.总结等比数列求和公式是求解等比数列前n 项和的公式，它可以帮助我们快速计算等比数列的和。

等比数列的应用等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比值相等。

在数学中，等比数列具有广泛的应用，涵盖了各个领域。

本文将探讨等比数列在几个具体的应用场景中的运用。

一、金融领域1. 存款利息在银行存款中，利息通常按照等比数列的方式计算。

假设你存款的利率是r，第一个月存入的金额是a，那么第二个月的存款金额就是a*r，第三个月的存款金额就是a*r^2，依次类推。

这里，存款金额就是等比数列的项，r就是比值。

2. 投资收益等比数列也可以用于投资收益的计算。

假设你投资的某项理财产品每个月的回报率是r，初始投资金额为a，那么随着时间的增长，每个月的投资收益将以等比数列的方式增加。

二、物理学等比数列在物理学中也有着广泛的应用。

以下是其中的两个例子：1. 自由落体在自由落体的过程中，物体每次跳跃的高度都是前一次跳跃高度的某个比值，这个比值就是等比数列的比值。

通过分析等比数列的性质，我们可以计算出物体在每一次跳跃后的高度。

2. 光的反射与折射当光线从一种介质进入另一种介质时，其入射角和折射角之间的关系可以用等比数列来表示。

根据斯涅尔定律，入射角和折射角的正弦值成等比数列关系。

三、经济学等比数列在经济学中也有着重要的应用，以下是其中的两个例子：1. GDP增长国家的GDP增长率通常可以用等比数列来描述。

假设一个国家的GDP在初始时期是a，年度的增长率是r，那么经过n年，该国的GDP 可以通过等比数列的公式来计算。

2. 人口增长人口的增长也常常以等比数列的形式呈现。

假设一个地区的初始人口是a，年度的增长率是r，那么经过n年，该地区的人口可以用等比数列的方式来计算。

四、生物学生物学中的一些现象也可以通过等比数列进行描述，以下是其中的两个例子：1. 繁殖规律某些生物的繁殖规律可以用等比数列来表示。

例如，某种昆虫的繁殖率是100只/年，每年的增长率是0.5，那么经过n年后，该种昆虫的数量可以用等比数列来计算。

2. 细胞分裂细胞分裂是生物学中常见的现象，其中细胞数量的增长可以用等比数列来描述。

等比数列的性质及应用主干知识归纳 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *，q 为公比)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n． (4)若等比数列{a n }共有2n 项，则S 偶：S 奇=q ；若有2n+1项，则S 奇——S 偶=（a 1+a 2n+1q ）/(1+q)（q ≠1且q ≠－1）． 方法规律总结1.在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n 项和公式建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量．2.等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如等比数列中S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．【指点迷津】【类型一】等比数列的性质【例1】：(1) 设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________．(2) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 5＋S 10＋S 15S 10－S 5＝( )A.72 B ．－92 C.92 D ．－72[解析]： [解析] (1)由题意可得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，解得a 5a 6＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10. 答案：10(2) 因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 10＝12S 5，所以S 10－S 5＝－12S 5.由等比数列的性质得，S 5，－12S 5，S 15－12S 5成等比数列，所以14S 52＝S 5S 15－12S 5，得S 15＝34S 5，所以S 5＋S 10＋S 15S 10－S 5＝S 5＋12S 5＋34S 5－12S 5＝－92.答案：B【例2】：)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝72，S 6＝352，则S 9＝________．【解析】： (1)因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝a 1a 2a 3·a 7a 8a 9＝5×10＝5 2.答案：A(2)由S 3＝72，S 6＝352得，公比q ≠1，且⎩⎨⎧a 1（1－q 3）1－q ＝72，a 1（1－q 6）1－q ＝352，两式相除，得1＋q 3＝5，即q 3＝4， 则a 11－q ＝－76， 故S 9＝a 1（1－q 9）1－q ＝a 11－q [1－(q 3)3]＝－76×(1－43)＝1472.答案：1472【类型二】等比数列性质的应用【例1】：若等比数列{a n }的前n 项、前2n 项、前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )．【解析】：方法一：设此数列的公比为q ，首项为a 1.当q ＝1时，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1， ∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )； 当q ≠1时，则S n ＝a 11－q(1－q n)，S 2n ＝a 11－q(1－q 2n)，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n)，∴S n 2＋S 2n 2＝a 11－q2[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝a 11－q2(1－q n )2(2＋2q n＋q 2n)，又S n (S 2n ＋S 3n )＝a 11－q2(1－q n )2(2＋2q n ＋q 2n)，∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二：根据等比数列的性质，有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2nS n ， ∴S n 2＋S 2n 2＝S n 2＋[S n (1＋q n )]2＝S n 2(2＋2q n ＋q 2n)，S n (S 2n ＋S 3n )＝S n 2(2＋2q n ＋q 2n )，∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n ).【例2】：已知数列{a n }的首项为a (a ≠0)，前n 项和为S n ，且有S n ＋1＝tS n ＋a (t ≠0)，b n ＝S n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当t ＝1时，若对任意n ∈N *，都有|b n |≥|b 5|，求a 的取值范围；(3)当t ≠1时，若c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求能够使数列{c n }为等比数列的所有数对(a ，t )． 【解析】：(1)当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，得a 2＝at .当n ≥2时，有S n ＝tS n －1＋a ，∴(S n ＋1－S n )＝t (S n －S n －1)，即a n ＋1＝ta n .又a 1＝a ≠0，∴a n ＋1a n＝t (n ∈N *)，即数列{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，∴a n ＝at n －1. (2)当t ＝1时，S n ＝an ，b n ＝an ＋1.当a >0时，数列{b n }递增，且b n >0，不合题意；当a <0时，数列{b n }递减，由题意知b 4>0，b 6<0，且⎩⎨⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围为【－29，－211】.(3)∵t ≠1，∴b n ＝1＋a －atn1－t，∴c n ＝2＋1＋a1－t n －a1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋1＋a1－t n －at （1－t n ）（1－t ）2＝2－at （1－t ）2＋1＋a1－tn ＋at n ＋1（1－t ）2.由题设知，{c n }为等比数列，所以有⎩⎨⎧2－at （1－t ）2＝0，1－t ＋a 1－t＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1，2)．【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1．已知等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】：设等比数列的公比为q .由a 1<a 4得a 1<a 1q 3，因为a 1>0，所以q 3>1，即q >1，故a 3<a 5成立；由a 3<a 5得a 1q 2<a 1q 4，因为a 1>0，所以q 2>1，即q <－1或q >1.所以“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的充分不必要条件． 答案：A2．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1 ＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A.n (2n －1)B.(n ＋1)2C.n 2D.(n －1)2【解析】： 由题知a n ＝2n ，log 2a 2n －1＝2n －1， log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2. 答案：C.3．已知{a n }为等比数列，且a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．5 B ．－5 C ．7 D ．－7【解析】：设等比数列的公比为q .∵a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8， ∴a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，∴a 1＝－8，a 10＝1，∴a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，∴a 10＝－8，a 1＝1，∴a 1＋a 10＝－7.综上可得，a 1＋a 10＝－7. 答案：D4．等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为( )A.7B.8C.9D.10【解析】：由于a n ＝317×(－12)n －1，易知a 9＝317×1256＞1，a 10＜0,0＜a 11＜1，又a 1a 2…a 9＞0，故f (9)＝a 1a 2…a 9值最大，此时n ＝9.答案：C5．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n ).若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n 等于( )A.－12n －2B.12n －2C.－12n －1D.12n －1【解析】：∵n ＜m ，∴m ≥n ＋1.又S (n )＝2(1－12n )1－12＝4－12n －2，∴S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1. 答案：C 二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为 ．【解析】：由a 4＝a 1q 3，a 6＝a 3q 3得a 4＋a 6a 1＋a 3＝q 3＝54×110＝18，∴q ＝12，又a 1(1＋q 2)＝10， ∴a 1＝8.∴a n ＝a 1q n －1＝8×(12)n －1＝24－n.答案：a n ＝24－n7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝12，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝________． 【解析】：由S 8≠2S 4可知，公比q ≠1，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等比数列，公比为S 8－S 4S 4＝12， 故a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝S 16－S 12＝S 4123＝1.答案：18．设数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N *)，关于数列{a n }有下列四个结论：①若a n ＋1＝a n (n ∈N *)，则{a n }既是等差数列又是等比数列；②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，则{a n }是等差数列；③若S n ＝1－(－1)n，则{a n }是等比数列；④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N *)也成等比数列． 其中正确的结论是________．(填上所有正确结论的序号)【解析】：若a n ＋1＝a n ＝0，则{a n }不是等比数列，①错误；②正确；③中{a n }是公比为－1的摆动数列，如2，－2，2，－2，2，－2，…，③正确；如对于等比数列2，－2，2，－2，2，－2，…，有S 2＝0，S 4＝0，S 6＝0，显然S 2，S 4－S 2，S 6－S 4不成等比数列，④错误． 答案：②③ 三、解答题9．已知等比数列{a n }的首项为a 1＝13，公比q 满足q ＞0且q ≠1.又已知a 1,5a 3,9a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝log 31a n，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1的值．【解析】： (1)∵2×5a 3＝a 1＋9a 5，∴10a 1q 2＝a 1＋9a 1q 4，∴9q 4－10q 2＋1＝0， ∵q ＞0且q ≠1，∴q ＝13，∴a n ＝a 1q n －1＝3－n.(2)∵b n ＝log 31a n＝log 33n＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.10.等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n nS ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上． （1）求r 的值； （2）当b=2时，记1()4nnn b n N a ++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】：(1)因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n nS b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n nn n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222nn n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-【二级目标】能力提升题组一、选择题1．设x ，y ，z 均是实数，若3x ，4y ，5z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z ＋zx的值是( )A.327B.358C.3312D.3415【解析】：因为3x ，4y ，5z 成等比数列，所以16y 2＝15xz ，又因为1x ，1y ，1z 成等差数列，所以y ＝2xz x ＋z .联立可得16×4x 2z 2＝15xz (x ＋z )2，因为xz ≠0，所以（x ＋z ）2xz＝6415，所以x z ＋z x ＝3415. 答案：D2．函数y ＝9－（x －5）2的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则下列不可能是该等比数列的公比的是( ) A.34B. 2C. 3D. 5 【解析】：函数y ＝9－（x －5）2等价于⎩⎨⎧（x －5）2＋y 2＝9，y ≥0，其图像为圆心在(5，0)，半径为3的上半圆．半圆上的点到原点的最小距离为2(点(2，0)处)，最大距离为8(点(8，0)处)，则最大的公比q 应满足8＝2q 2，即q 2＝4，解得q ＝2，最小的公比q 应满足2＝8q 2，即q 2＝14，解得q ＝12.又不同的三点到原点的距离不相等，故q ≠1，故公比q 的取值范围为12≤q ≤2，且q ≠1，故选D.答案：D二、填空题3．在数列{a n }中，a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，S n 为数列{a n }的前n 项和．记R n ＝82S n －S 2na n ＋1，则数列{R n }的最大项为第________项．【解析】：∵a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是等比数列，∴R n ＝82a 11－3n2－a 1（1－3n）（1－3）a 1·3n2＝3n 22－823n2＋813n2（1－3）＝11－3×3n 2＋813n 2－82≤11－3×(2 81－82)＝643－1，当且仅当3n 2＝813n 2，即3n＝81，即n ＝4时等号成立，∴数列{R n }的最大项为第4项．答案：4 三、解答题4.已知数列{a n }中，a 1＝2，对任意n ∈N *，恒有a n ·a n ＋1＝2×4n成立． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设b n ＝a 6n －5＋a 6n －3＋a 6n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】：(1)证明：由a 1＝2，a 1·a 2＝2×4＝8，得a 2＝4.由a n ·a n ＋1＝2×4n，得a n ＋1·a n ＋2＝2×4n ＋1，两式相除，得a n ＋2a n＝4， 则数列{a n }的奇数项成等比数列，首项a 1＝2，公比q ＝4，故当n 为奇数时，a n ＝a 1×4n －12＝2n.当n 为奇数时，则n ＋1为偶数，由a n ·a n ＋1＝2×4n ，得2n ·a n ＋1＝2×4n ，则a n ＋1＝2n ＋1.故对任意n ∈N *，恒有a n ＝2n，a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2，故数列{a n }是等比数列．(2)易知S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(a 1＋a 3＋a 5)＋(a 7＋a 9＋a 11)＋…＋(a 6n －5＋a 6n －3＋a 6n －1)， 则数列{b n }的前n 项和S n 即数列{a n }的奇数项和(共3n 项)， 则S n ＝2（1－43n）1－4＝23(26n－1)．【高考链接】1.（2015年新课标全国卷Ⅱ）已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84[解析]：由a 1＝3，得a 1＋a 3＋a 5＝3(1＋q 2＋q 4)＝21，所以1＋q 2＋q 4＝7，即(q 2＋3)(q 2－2)＝0，解得q2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42. [答案]：B2．（2015年高考安徽卷）已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．[解析]：设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 3＝a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9知a 1，a 4是一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，解此方程得x ＝1或x ＝8.又数列{a n }递增，因此a 1＝1，a 4＝a 1q 3＝8，解得q ＝2，故数列{a n }的前n 项和S n ＝1×（1－2n）1－2＝2n－1.[答案]：2n－13．（2015年高考四川卷）设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．[解析]： (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12×1－12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|<11000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11000，即2n>1000.因为29＝512<1000<1024＝210， 所以n ≥10，所以使|T n －1|<11000成立的n 的最小值为10.。