等比数列应用举例PPT

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等比数列课件

• 1、1.01，1.012, 1.013, ‥‥‥ 1.01365 • 2、0.99, 0.992, 0.993, ‥‥‥0.99365
将这张A4纸折叠，每折叠一次观察所得到的纸张层数：
• 1, 2, 22，23，24， ‥ ‥ ‥2n
探究一：
1、1.01，1.012, 1.013, ‥‥‥ 1.01365 2、0.99, 0.992, 0.993, ‥‥‥0.99365 3、1, 2，22，23，‥‥‥2n
an+1-an=d
等差或等比中项
2D=a+b
G2பைடு நூலகம்ab
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1·qn-1
实战考察
某单位到我校招聘员工，对象是高三毕业生，待遇：实习期1年，在这1年中，第1个月工资2元，以后每月工资比前一个月翻一番，实习期满，每月工资按实习期的第12个月的工资发放。作为即将毕业的高三毕业生，这样的工作你愿意应聘吗？
回想：我们是如何求出等差数列的通项公式的？
结合等比数列的定义，以小组为单位，探讨等比数列的通项公式：
设等比数列{an}的公比为q
则 a1= a1 a2=a1·q1 a3=a2·q=(a1·q) ·q=a1·q2 a4=a3·q=(a1·q2) ·q=a1·q3 a5=a4·q=(a1·q3) ·q=a1·q4 ………
观察上面三个数列,总结出其共同特点
共同特点：从第2项开始，每一项与前一项的比都等于同一个常数．
6.3 等比数列
孟州市职业教育中心谷冬梅
温故---知新，忆等差数列
等比数列:如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示，那么

等比数列课件PPT

股票和债券定价
在股票和债券定价模型中，等比数列用于预测未来的股价或债券收益率。
等比数列在物理领域的应用
放射性衰变
光学干涉
放射性衰变过程中，原子核的数目按照一定的比率减少，形成等比数列。
在光学干涉实验中，干涉条纹的形成与等比数列有关。
声音传播
在声音传播过程中，声波的振动次数按照一定的比率增加或减少，形成等比数列。
证明等比数列求和公式
通过数学归纳法，我们可以证明等比数列求和公式的正确性。
等比数列求和公式的应用
01
02
03
解决实际问题
等比数列求和公式可以应用于解决一些实际问题，如存款、贷款、投资等问题。
简化计算
等比数列求和公式可以用于简化一些复杂的数学计算，如组合数、阶乘数的计算等。
证明数学定理
等比数列的性质
总结词
等比数列具有一些特殊的性质，这些性质有助于理解和应用等比数列。
详细描述
等比数列的性质包括对称性、递增性、递减性、周期性和收敛性等。这些性质反映了等比数列的内在规律，有助于我们更好地理解和应用等比数列。
等比数列的表示方法
总结词
等比数列可以用多种方式表示，包括通项公式、求和公式和几何画板等。
等差数列的每一项与前一项的差是常数，而等比数列的每一项与前一项的比值是常数。
等差数列和等比数列在求和、求积等方面都有各自的方法和公式，可以相互转化。
等比数列与指数函数的联系
等比数列的通项公式可以转化为指数函数的形式，即$a_n = a_1 times q^{(n-1)}$。
指数函数具有一些特殊的性质，如指数函数的单调性、周期性等，这些性质在等比数列中也有体现。

等比数列课件共33页PPT

而aa21＝p－p1p＝p－1. 故满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选 D.
第一章 1.1 第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[点评] (1)此题易得出错误的判断，排除错误的办法是熟悉数列{an}成等比数列的条件：an≠0(n∈N*)，还要注意对任意 n∈N*，n≥2，aan－n1都为同一常数．
等比数列课件
1、舟遥遥以轻飏，风飘飘而吹衣。 2、秋菊有佳色，裛露掇其英。 3、日月掷人去，有志不获骋。 4、未言心相醉，不再接杯酒。 5、黄发垂髫，并怡然自乐。
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5 第一章 1.1 第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
由②得 a1＝2q，代入①得 2q2－5q＋2＝0， ∴q＝2，或 q＝21. 当 q＝2 时，a1＝1，an＝2n－1；当 q＝12是，a1＝4，an＝23－n.
第一章 1.1 第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
解法 2：∵a1a3＝a22， ∴a1a2a3＝a32＝8，
已知数列{an}满足：lg an＝3n＋5，试用定义证明{an}是等比数列．
[证明] 由 lg an＝3n＋5，得 an＝103n＋5， an＋1 103n＋1＋5
则 an ＝ 103n＋5 ＝1 000， ∴数列{an}是公比为 1 000 的等比数列．
第一章 1.1 第1课时
课堂巩固训练
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
一、选择题
1．若{an}为等比数列，且 2a4＝a6－a5，则公比是( )
A．0
B．1 或－2
C．－1 或 2 D．－1 或－2

等比数列应用举例--说课课件

分期付款方案：
要求租房时缴纳首付款10万元，然后从第二年起连续十年，在每年的租房日向对方付款2.25万元
情景三扩建厂房
一一次次性性付付款款方方案案：：
解：租十厂年房后十本年的息优之惠和价是为：28.5 万元2，8.在5×此（期1间+银3%行存）款10的年利率≈为383%.3。万十元年后本息之和是
通过丰富的教
提炼出数学知识，
学活动，提高学
培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，
难点生竞的争
参意
与识
意，
识以
和及
提高学生分析问题
乐观向上的生活
和解决问题的能力。态度。
教法学法
激励教学
小组合作
启发引导
情境教学模式
教法学法
小组竞赛
学以致用
小组讨论法
参与竞争法
自主探究法
教法学法
解独：立设思每考年还款为X元，则：学生展示
师生总结
一年后欠款： 100000（1+ 8% ）-X= 100000×1.08-X 两年后欠款自：主(X解10题0000×1.08-X)（1+同8学%评）价-
= 100000×1.082-（1+1.08）X
三年后欠=款1：0口0[10头0000表0×0达10.0×能813力.-0（821-+（11.0+81+.018.0）8X2）]（X1+8%） - X 激… … … … 励教十年后欠款：自1我00表00现0×的1勇.08气10-（1+1.08+ … +1.089）X 学根即据：题10意00可0知0×101年.0后81欠0-款（数1+为10.08+巩…固+知1识.089）X=知0 识目标

等比数列PPT课件优质

1
1
248
2
2
等比数列，所以S10=
1 [1 (1 22
1 1
)10 ]
1 1
023 . 024
2
2.等比数列 3，3，3，…从第3项到第7项的和为
.
248
【解析】方法一：此等比数列的第3项到第7项仍然构成等比数
列，新等比数列的首项为，公比为，从第3项到第7项的和
3
1
8

为S=
3 8
[1 (1 2
2.5 等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和
1.理解并掌握等比数列前n项和公式及推导方法. 2.掌握等比数列前n项和性质，并能应用性质解决有关问题.
等比数列前n项和公式
已知量首项、公比与项数首项、末项、项数与公比
选用
__n_a_1 _ q 1
__n_a_1 _ q 1
公式
Sn
探究3：在推导Sn= a1(1－qn ) (q≠1)的过程中，限制了q≠1， 1－q
当q=1时，Sn等于多少呢？
提示：当q=1时，数列中的每一项都相等，所以其前n项和
Sn=na1.
【探究总结】等比数列前n项和公式的关注点 (1)q≠1时前n项和公式的推导采用的是错位相减法. (2)在等比数列的通项公式与前n项和公式中共含有5个量，若知道其中3个可求另2个. (3)求等比数列{an}的前n项和时，要注意公比是否为1，要分情况选取合适的公式求解.
探究2：若数列{an}为等比数列，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(其中Sk， S2k-Sk，S3k-S2k均不为零)成等比数列吗？若成等比数列，公比为多少？
提示：Sk=a1+a2+…+ak， S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=qk(a1+a2+…+ak)， S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=q2k(a1+a2+…+ak)，显然Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也成等比数列，且新等比数列首项为 Sk，公比为qk.

等比数列-课件ppt

(4an1 4an ) 2an1 2an1 4an 2
an1 2an
an1 2an
∴数列{bn}是公比为2的等比数列,首项为a2-2a1. ∵S2=a1+a2=4a1+2, ∴a2=5.∴b1=a2-2a1=3.
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(2)由(1)知bn=3·2n-1=an+1-2an,
∴
an1 2n1
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1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它
的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常
用字母 q(q≠0) 表示.
其数学表达式为：
an+1 an
= q（q为常数）或
an = q a n-1
（q为常数）（n≥2）,常用定义判断或证明一个数列是等
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设等比数列{an}的公比q＜1,前n项和为Sn.已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
【解析】由题设知a1≠0,Sn=
,
则
a1q2=2,
①
a1(1- q4 ) 5 a1(1- q 2 )
②
1-q
1-q
由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0,
a1(1- qn ) 1- q
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1 1 1
1
n2
2
2
1 1 n1 1 2
1 1 2
1
2
1
1
n1
3 2
5
2
1
n1
3 3 2
当n=1时，
5 3
2 3
1 2
n1
=1=a1,

等比数列完整ppt

变：等差数列首项为-5，前11项的平均值为5，若从中抽取一项，余下10项的平均值为4.6,则抽取的是第几项。
谢谢观看
3、{an}成A.P, {bn}成 G.P,a1=b1,a2n+1=b2n+1
比较an+1与bn+1的大小。
综合
1、{an}的前n项的和为bn,数列{bn} 的前n项和为cn,且bn+cn=n，nN* (1)证明：数列{1-bn}为等比数列 (2)求{cn}的前n项的和 (3)比较1/an-1与(bn+cn+1)2的大小
2、已知数列{an}中，Sn是它的前n 项和， Sn+1=4an+2,a1=1,设 bn=an+1-2an,
求证：{bn}是等比数列，并求它的通项公式。
3、正项等比数列｛an｝的首项a1 ＝2-5，其前11项的几何平均数为 25，若前11项中抽取一项后的几何平均数仍是25，则抽去一项的项数————
(2)a =18,a =8,求a ,q 求和公式：Sn=kqn-k (q≠1)
2 3、m+n=s+t → am.
通项公式：an=kqn-1
4
1
(2)求{cn}的前n项的和
2: a1<0,q>1
10{kan} 20{an2} 30{an.
(3)a5=4,a7=6,求a9 (2){an}是等比数列，{bn}是等比数列
4、若方程x2-5x+m=0与x210x+n=0的四个根，适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m:n=?
性质：
看清下标用性质
1、b是a, c的等比中项
a b b2 ac bc
2、m+n=2s →am.an=as2 3、m+n=s+t → am.an=as.at

等比数列性质ppt课件

7
规律技巧本例主要考查等比数列的性质及解方程组的能力，当然若将条件化为a1，q的形式，亦可求解，只不过麻烦一些罢了，因此，在解题时，要灵活运用性质解题.
8
变式训练 1 (1)在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，求 a8a9a10a11. (2){an}为等比数列，且 a1a9＝64，a3＋a7＝20，求 a11.
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解设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设，得 a－d＋a＋a＋d＝15， a＋32＝a－d＋1a＋d＋9，解此方程组得ad＝＝52，，或ad＝＝5－，10. (舍去) ∴所求三数为3,5,7.
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规律技巧此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列知识建立等式求解.另外，对本题若设所求三数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将很复杂.因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少.
若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{anbn}是公比为 qq′的等比数列；
数列{a1n}是公比为1q的等比数列；数列{|an|}是公比为|q|的等比数列．
3
(3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.
(4)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan} 是公差为lgq的等差数列．
1
等比数列还有如下性质等比数列{an}的首项为a1，公比为q. (1)当q>1，a1>0，或0<q<1，a1<0时，数列为递增数列；当q>1，a1<0，或0<q<1，a1>0时，数列为递减数列；当q＝1时，数列为常数列；当q<0时，数列为摆动数列．
2

等比数列求和公式及性质课件PPT

的符号相反。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比数列退化为等差数列，各项相等。
公比为1的等比数列具有特殊的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的等比数列求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一定的波动规律，利用等比数列求和公式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公式可以评估投资回报的长期收益，为投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n，那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概率幅之和。

等比数列的概念及基本运算ppt课件

篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
点评：(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项 a1 和公比 q，求解时，要注意方程思想的运用．
(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时，直接利用前 n 项和的意义展开，不仅可避开公比 q 的讨论，还可使求解过程简捷．
q3＝－2，所以a1＝1，
或q3＝－12， a1＝－8.
所以 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
a111－－qq10＝10， (2)(方法一)设公比为 q，则a111－－qq20＝30，得 1＋q10＝3，所以 q10＝2. 所以 S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10(1＋2＋22)＝70. (方法二)因为 S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列，又 S10＝10，S20＝30，所以 S30－30＝30－10102＝40，所以 S30＝70. 答案：(1)D (2)70
A．8
B．9
C．10
D．11
解：因为 a5a7＝a62，a7a9＝a82，所以 a5a7＋2a6a8＋a7a9＝a62＋2a6a8＋a28＝(a6＋a8)2＝100.又 an＞ 0，所以 a6＋a8＝10.
答案：C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3

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运用知识强化练习
张明计划贷款购买一部家用汽车，贷款15万元，贷款期为5年，年利率为5.76%，5年后应偿还银行多少钱?
小结
用数列知识解决实际问题时，关键是审清题意，将实际转化成数列模型，把实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
本节结束
第二年后的本利和为
1.0576 20 1.0576 20 5.76% 1.05762 20,
依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列
1.0576 20, 1.05762 20, 1.05763 20,L 通项公式为 an 1.0576 20 1.0576n1 1.0576n 20
L/O/G/O
等比数列应用举例
创设情境兴趣导入
设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后的厚度是多少？能否对折50次，为什么？
探究新知
例银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%。（1）如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万元）（2）如果每年一期，分5期等额本息还款（每期以相等的额度平均偿还本息）。那么小王每年偿还银行多少钱？
a[1-(15.76%)5] =
1 (1 5.76%)
= a[(15.76%)5 1] (万元） 5.76%
由于第5次将款还清，所以 a[(15.76%)5 1] 26.462886 5.7% （1+5.76%）5-1

4.71697（ 1 万元）
复利计息法：将前一期的本金与利息的和（简称本利和）作为后一期的本金来计算利息的方法．俗称“利滚利”．
合作探究
（1）如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱? （精确到0.000001万元）
解货款第一年后的本利和为
20 20 5.76% 20(1 0.0576) 1.0576 20,
a5 1.05765 20 26.462886
合作探究
（2）如果每年一期，分5期等额本息还款（每期以相等的额度平均偿还本息）。那么小王每年偿还银行多少钱？
设小王每次应偿还银行a万元，则
第1次还款a万元，已还款数为 a 万元；
第2次还款a万元，已还款数为a+a(1+5.76%) 万元；
第3次还款a万元，已还款数为a+a(1+5.76%)+a(1+5.76%)2 万元；
第4次还款a万元，已还款数为a+a(1+5.76%)+a(1+5.76%)2+a(1+5.76%)3 万元；
第5次还款a万元，已还款数为 a+a(1+5.76%)+a(1+5.76%)2+a(1+5.76%)3 +a(1+5.76%)4万元；
合作探究
这类问题为等额本息分期付款模型。计算每期偿还本息的公式为
a= Agi g(1i )n （1+i）n -1
其中，A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率。
可以看到，本例中一次性付款数为26.462886万元，而采用分5期付款的方式总共付款数为4.716971×5=23.584855（万元），分期付款比到期一次性付款节省了约2.878031万元。