案例四数列的应用举例

日常生活具体数列的例子在我们的日常生活中，数列被广泛地应用于各种场合。

从购物、生物、运动到计算机科学，数列都被用来处理数据，辅助决策。

那么，日常生活中的具体数列有哪些呢？下面我将从不同角度为大家举出一些例子：一、购物中的数列我们在购物中经常遇到各种数列。

比如，我们买卫生纸时，店员告诉我们这款卫生纸一包有12卷，而一包又分为两层，每层有6卷。

那么，我们可以得到以下数列：12, 6, 6其中，第一项12表示一包卫生纸的总卷数，第二项6表示一层卫生纸的卷数，第三项6表示一包卫生纸的层数。

再比如，我们看到打折商品时，常常会看到“买3送1”的优惠条件。

这时，我们可以把这个优惠条件看作是一个等差数列，公差为1，首项为1，求n项和就是这个优惠条件的总价：S(n) = n∗a1 + n(n−1)2∗d其中，n表示买几件商品，a1表示第一件商品的价格，d表示优惠后每件商品的价格。

二、生物中的数列在生物学上，数列有非常重要的应用。

比如，DNA序列就是通过数列来描述的。

DNA不同的碱基可以用不同的数字代替，从而把DNA序列转化为数字序列。

这个数字序列就是数列。

除了DNA序列，还有一些其他生物现象也可以转化为数列。

比如，斐波那契数列是由兔子繁殖规律演化而来。

斐波那契数列中的每一项都是前两项之和。

当我们把兔子看做是生物现象时，这个数列就可以用来描述兔子的数量变化。

又比如，可以用格雷码来描述DNA中两个序列的差异。

格雷码是一个数列，在这个数列中，每一项与前一项只有一位不同。

通过比较两份DNA序列的格雷码，科学家可以找出这两份DNA序列的差异。

三、运动中的数列运动中也有很多数列应用。

比如，高中时我们学过的运动员跑圈问题。

题目大意是：两名运动员从同一起点同时起跑，一个运动员以每秒4米的速度匀速奔跑，另一个运动员以每秒5米的速度匀速奔跑。

如果要第一名运动员追上第二名运动员，需要跑多久？这道题的答案可以通过数列来解决。

定义第一个运动员跑了x秒，那么第一个运动员跑的路程就是4∗x，第二个运动员跑的路程就是5∗x。

数列、极限在物理中的应用举例江苏省邳州市宿羊山高级中学(221354)　耿道永　王　凯 随着课程改革的深入进行和“3+x ”考试方案的推广,数学在综合科尤其在物理中的应用问题越来越受到关注.由于数学和物理在其发展史上就交织在一起,相互促进,因此数学在物理上有广泛的应用.数列是高中数学的重要部分,其在物理中的应用具有一定的代表性,下面分类举例说明.一、在力学中的应用图1例1　如图1,斜面的倾角为30°,在斜面底端有一弹簧(其长度可忽略不计).若一小球从斜面50cm 高处自由滚下,与弹簧碰撞,再反弹后所能达到的高度是原来的45.求小球从开始到终止所通过的总路程.解析　第1次滚下的路程s 1=50sin30°=100cm ,第2次滚下的路程s 2=45s 1,第3次滚下的路程s 3=45s 2,…,第n 次滚下的路程s n =45s n -1,…,即小球每次滚下的路程组成一个以s 1=100c m 为首项,以45为公比的无穷等比数列,则小球从开始到终止所通过的总路程为s =s 1+2s 2+2s 3+…+2s n +…=2(s 1+s 2+s 3+…+s n +…)-s 1=2·1001-45-100=1000-100=900(cm )=9(m ).二、在电学中的应用(上接19页)老王每3个月应付款额为3×1901.40=5704.20元,共需付20次款.设老王第n 次付款折算成现值是a n ,则a 1[1+1.98%4×(1-20%)]　=a 1×1.00396=5704.20,a 2[1+1.98%4×(1-20%)]2　=a 2×1.003962=5704.20,a 20[1+1.98%4×(1-20%)]20　=a 20×1.0039620=5704.20,∴　老王各次付款折算成现值后的总额A 是:A =a 1+a 2+…+a 20=5704.20×(11.00396+11.003962+…+11.0039620)=109475(元).在这里分期付款方式相当于老王现在手上只要有109475元,就可以将这109475元钱存入银行,用“整存零取”的方式支付全部房款.因此,与一次性付清10万元房款相比,老王选择分期付款方式仅仅多付了109475-100000=9475元钱(考虑到问题已修改,实际结果要略大一些,但不会超过9908元,这个结果留给读者自己推导).显然,新的计算结果要大大少于原来的结果14084元.通过刚才的计算我们可以知道,与传统的一次性付款方式相比,采用分期付款方式多支付的钱比人们想象的要少得多.我们还可以设想,如果老王采用比银行收益更高的投资理财方式,那么老王现在手上的109475元除了支付全部房款外,还会有所节余.从刚才的研究中我们还可以认识到,分期付款这种新的消费方式确实利大于弊,它既有利于企业推销产品,及时回笼资金,促进再生产,也有利于个人尽快改善生活,当然更有利于国家加快经济发展的步伐.　◆(责审　张思明)20中学生数学 2003年2月上　例2　使一个原来带电的导体小球与一个带电量为Q 的导体大球接触,分开后小球获得电量q .今使小球与大球反复接触,在每次分开后,都给大球补充电荷,使其带电量恢复为Q ,求小球能获得的最大电量.解析　小球与大球接触后,两球所带电量之比决定于两者的形状,是一个恒量.设q 1、q 2、…、q n 和Q 1、Q 2、…、Q n 分别为第1、2、…、n 次接触后小球与大球的带电量,则有q 1=q ,Q 1=Q -q ,k =qQ -q,第n 次接触后,q n Q n =q Q -q ,Q n =Q +q n -1-q n ,所以q n =Q n ·q Q -q =(Q +q n -1-q n )·q Q -q ,化简得　q n =qQ ·q n -1+q ,应用公式得　q n =q n ·1-(q Q )n1-q Q.∵　q Q<1,　∴　当n ※∞时,q n ※q max ,即　q m ax =lim n ※∞q n =QqQ -q .三、在光学中的应用图2例3　从A 点出发的一条光线在直线A D 与CD 之间反射了n 次后,垂直地射到B点(该点可能在A D 上,也可能在C D 上),然后按原路返回点A ,如图2是n =4时的光路图.若∠C DA =8°,则n 的最大值是( ).(A )9　(B )10　(C )11　(D )12图3解析　如图3,设∠1=α,则∠2=α,∠3=∠4=α+8°,同样的,∠5=∠4+8°=∠3+8°.一般的,∠(2n +1)=∠(2n -1)+8°.∴　∠(2n -1)是以α为首项,8°为公差的等差数列的通项.∠2n -1=α+(n -1)8°,当∠2n -1=90°时,n 最大,即α+(n -1)8°=90° n =90°-α8°+1≤90°8°+1.∴　n 的最大值为12,故选(D ).四、在热学上的应用例4　用真空泵抽出某容器中的空气,若某容器的容积为V ,真空泵一次抽出空气的体积为V 0,设抽气时气体温度不变,容器里原来的空气压强为p ,求抽出n 次空气后容器中空气的压强是多少?解析　设第1次抽气后容器内的压强为p 1,以整个气体为研究对象,因为抽气时气体温度不变,则由玻意耳定律得pV =p 1(V +V 0),　∴　P 1=VV +V 0p .以第1次抽气后容器内剩余气体为研究对象,设第2次抽气后容器内剩余气体压强为p 2,由玻意耳定律得p 1V =p 2(V +V 0),∴　p 2=V V +V 0p 1=(V V +V 0)2p .以第n -1次抽气后容器内剩余气体为研究对象,设第n 次抽气后容器内剩余气体压强为p n ,由玻意耳定律得p n -1V =p n (V +V 0),∴　p n =V V +V 0p n -1=(V V +V 0)np .故抽出n 次空气后容器中剩余空气的压强为(V V +V 0)np .当然,除了数列以外,数学其它知识在物理中也有广泛的应用.平常注重数学、物理综合问题的训练,一方面可以提高同学们综合分析、解决问题的能力,另一方面可以培养我们浓厚的学习兴趣.　◆(责审　余炯沛)212003年2月上 中学生数学 。

数列的应用1，零存整取模型银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取。

规定每次存入的钱不计复利（暂不考虑利息税）。

（1）若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取是本利和的公式；（2）若每月初存入500元，月利率为0.3%，到第36个月末整取时的本利和是多少？（3）若每月初存入一定的金额，月利率是0.3%，希望到第12个月末整取时取得本利和2000元，那么每月初应存入的金额是多少？2，定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存。

例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和。

则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和。

按照定期存款自动转存的储蓄业务（暂不考虑利息税），我们来讨论以下问题：（1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，试求出储户n年后所得本利和的公式；（2）如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为2.79%，那么5年后共得本利后多少万元（精确到0.001元）？3，分期付款模型小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清。

商场提出的付款方式为：购买后2个月第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。

求小华每期付的金额是多少？4，小杨2007年向银行贷款20万元用于购房，小杨住房贷款的年利率为7.11%，并按复利计息。

若双方协议自2008年元月起生效，每年底还银行相同金额的贷款，到2017年年底全部还清（即用10年时间等额还款），则小杨每年底还银行贷款的金额是多少元（结果精确到1元）？。