案例四数列的应用举例

日常生活具体数列的例子在我们的日常生活中，数列被广泛地应用于各种场合。

从购物、生物、运动到计算机科学，数列都被用来处理数据，辅助决策。

那么，日常生活中的具体数列有哪些呢？下面我将从不同角度为大家举出一些例子：一、购物中的数列我们在购物中经常遇到各种数列。

比如，我们买卫生纸时，店员告诉我们这款卫生纸一包有12卷，而一包又分为两层，每层有6卷。

那么，我们可以得到以下数列：12, 6, 6其中，第一项12表示一包卫生纸的总卷数，第二项6表示一层卫生纸的卷数，第三项6表示一包卫生纸的层数。

再比如，我们看到打折商品时，常常会看到“买3送1”的优惠条件。

这时，我们可以把这个优惠条件看作是一个等差数列，公差为1，首项为1，求n项和就是这个优惠条件的总价：S(n) = n∗a1 + n(n−1)2∗d其中，n表示买几件商品，a1表示第一件商品的价格，d表示优惠后每件商品的价格。

二、生物中的数列在生物学上，数列有非常重要的应用。

比如，DNA序列就是通过数列来描述的。

DNA不同的碱基可以用不同的数字代替，从而把DNA序列转化为数字序列。

这个数字序列就是数列。

除了DNA序列，还有一些其他生物现象也可以转化为数列。

比如，斐波那契数列是由兔子繁殖规律演化而来。

斐波那契数列中的每一项都是前两项之和。

当我们把兔子看做是生物现象时，这个数列就可以用来描述兔子的数量变化。

又比如，可以用格雷码来描述DNA中两个序列的差异。

格雷码是一个数列，在这个数列中，每一项与前一项只有一位不同。

通过比较两份DNA序列的格雷码，科学家可以找出这两份DNA序列的差异。

三、运动中的数列运动中也有很多数列应用。

比如，高中时我们学过的运动员跑圈问题。

题目大意是：两名运动员从同一起点同时起跑，一个运动员以每秒4米的速度匀速奔跑，另一个运动员以每秒5米的速度匀速奔跑。

如果要第一名运动员追上第二名运动员，需要跑多久？这道题的答案可以通过数列来解决。

定义第一个运动员跑了x秒，那么第一个运动员跑的路程就是4∗x，第二个运动员跑的路程就是5∗x。

数列、极限在物理中的应用举例江苏省邳州市宿羊山高级中学(221354)　耿道永　王　凯 随着课程改革的深入进行和“3+x ”考试方案的推广,数学在综合科尤其在物理中的应用问题越来越受到关注.由于数学和物理在其发展史上就交织在一起,相互促进,因此数学在物理上有广泛的应用.数列是高中数学的重要部分,其在物理中的应用具有一定的代表性,下面分类举例说明.一、在力学中的应用图1例1　如图1,斜面的倾角为30°,在斜面底端有一弹簧(其长度可忽略不计).若一小球从斜面50cm 高处自由滚下,与弹簧碰撞,再反弹后所能达到的高度是原来的45.求小球从开始到终止所通过的总路程.解析　第1次滚下的路程s 1=50sin30°=100cm ,第2次滚下的路程s 2=45s 1,第3次滚下的路程s 3=45s 2,…,第n 次滚下的路程s n =45s n -1,…,即小球每次滚下的路程组成一个以s 1=100c m 为首项,以45为公比的无穷等比数列,则小球从开始到终止所通过的总路程为s =s 1+2s 2+2s 3+…+2s n +…=2(s 1+s 2+s 3+…+s n +…)-s 1=2·1001-45-100=1000-100=900(cm )=9(m ).二、在电学中的应用(上接19页)老王每3个月应付款额为3×1901.40=5704.20元,共需付20次款.设老王第n 次付款折算成现值是a n ,则a 1[1+1.98%4×(1-20%)]　=a 1×1.00396=5704.20,a 2[1+1.98%4×(1-20%)]2　=a 2×1.003962=5704.20,a 20[1+1.98%4×(1-20%)]20　=a 20×1.0039620=5704.20,∴　老王各次付款折算成现值后的总额A 是:A =a 1+a 2+…+a 20=5704.20×(11.00396+11.003962+…+11.0039620)=109475(元).在这里分期付款方式相当于老王现在手上只要有109475元,就可以将这109475元钱存入银行,用“整存零取”的方式支付全部房款.因此,与一次性付清10万元房款相比,老王选择分期付款方式仅仅多付了109475-100000=9475元钱(考虑到问题已修改,实际结果要略大一些,但不会超过9908元,这个结果留给读者自己推导).显然,新的计算结果要大大少于原来的结果14084元.通过刚才的计算我们可以知道,与传统的一次性付款方式相比,采用分期付款方式多支付的钱比人们想象的要少得多.我们还可以设想,如果老王采用比银行收益更高的投资理财方式,那么老王现在手上的109475元除了支付全部房款外,还会有所节余.从刚才的研究中我们还可以认识到,分期付款这种新的消费方式确实利大于弊,它既有利于企业推销产品,及时回笼资金,促进再生产,也有利于个人尽快改善生活,当然更有利于国家加快经济发展的步伐.　◆(责审　张思明)20中学生数学 2003年2月上　例2　使一个原来带电的导体小球与一个带电量为Q 的导体大球接触,分开后小球获得电量q .今使小球与大球反复接触,在每次分开后,都给大球补充电荷,使其带电量恢复为Q ,求小球能获得的最大电量.解析　小球与大球接触后,两球所带电量之比决定于两者的形状,是一个恒量.设q 1、q 2、…、q n 和Q 1、Q 2、…、Q n 分别为第1、2、…、n 次接触后小球与大球的带电量,则有q 1=q ,Q 1=Q -q ,k =qQ -q,第n 次接触后,q n Q n =q Q -q ,Q n =Q +q n -1-q n ,所以q n =Q n ·q Q -q =(Q +q n -1-q n )·q Q -q ,化简得　q n =qQ ·q n -1+q ,应用公式得　q n =q n ·1-(q Q )n1-q Q.∵　q Q<1,　∴　当n ※∞时,q n ※q max ,即　q m ax =lim n ※∞q n =QqQ -q .三、在光学中的应用图2例3　从A 点出发的一条光线在直线A D 与CD 之间反射了n 次后,垂直地射到B点(该点可能在A D 上,也可能在C D 上),然后按原路返回点A ,如图2是n =4时的光路图.若∠C DA =8°,则n 的最大值是( ).(A )9　(B )10　(C )11　(D )12图3解析　如图3,设∠1=α,则∠2=α,∠3=∠4=α+8°,同样的,∠5=∠4+8°=∠3+8°.一般的,∠(2n +1)=∠(2n -1)+8°.∴　∠(2n -1)是以α为首项,8°为公差的等差数列的通项.∠2n -1=α+(n -1)8°,当∠2n -1=90°时,n 最大,即α+(n -1)8°=90° n =90°-α8°+1≤90°8°+1.∴　n 的最大值为12,故选(D ).四、在热学上的应用例4　用真空泵抽出某容器中的空气,若某容器的容积为V ,真空泵一次抽出空气的体积为V 0,设抽气时气体温度不变,容器里原来的空气压强为p ,求抽出n 次空气后容器中空气的压强是多少?解析　设第1次抽气后容器内的压强为p 1,以整个气体为研究对象,因为抽气时气体温度不变,则由玻意耳定律得pV =p 1(V +V 0),　∴　P 1=VV +V 0p .以第1次抽气后容器内剩余气体为研究对象,设第2次抽气后容器内剩余气体压强为p 2,由玻意耳定律得p 1V =p 2(V +V 0),∴　p 2=V V +V 0p 1=(V V +V 0)2p .以第n -1次抽气后容器内剩余气体为研究对象,设第n 次抽气后容器内剩余气体压强为p n ,由玻意耳定律得p n -1V =p n (V +V 0),∴　p n =V V +V 0p n -1=(V V +V 0)np .故抽出n 次空气后容器中剩余空气的压强为(V V +V 0)np .当然,除了数列以外,数学其它知识在物理中也有广泛的应用.平常注重数学、物理综合问题的训练,一方面可以提高同学们综合分析、解决问题的能力,另一方面可以培养我们浓厚的学习兴趣.　◆(责审　余炯沛)212003年2月上 中学生数学 。

数列的应用1，零存整取模型银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取。

规定每次存入的钱不计复利（暂不考虑利息税）。

（1）若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取是本利和的公式；（2）若每月初存入500元，月利率为0.3%，到第36个月末整取时的本利和是多少？（3）若每月初存入一定的金额，月利率是0.3%，希望到第12个月末整取时取得本利和2000元，那么每月初应存入的金额是多少？2，定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存。

例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和。

则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和。

按照定期存款自动转存的储蓄业务（暂不考虑利息税），我们来讨论以下问题：（1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，试求出储户n年后所得本利和的公式；（2）如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为2.79%，那么5年后共得本利后多少万元（精确到0.001元）？3，分期付款模型小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清。

商场提出的付款方式为：购买后2个月第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。

求小华每期付的金额是多少？4，小杨2007年向银行贷款20万元用于购房，小杨住房贷款的年利率为7.11%，并按复利计息。

若双方协议自2008年元月起生效，每年底还银行相同金额的贷款，到2017年年底全部还清（即用10年时间等额还款），则小杨每年底还银行贷款的金额是多少元（结果精确到1元）？。

6.4数列的实际应用举例实例一：用分期付款方式购买电脑，价格每台11500元，可以用以下方式付款，购买当天先付1500元，以后每月交付500元，并先加付欠款利息，月利率1℅（即欠款1℅利息不计入欠款），在交付1500元后第一个月开始为分期付款的第一个月．问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这台电脑实际花了多少钱？ 分析：第一个月付款：500(115001500)1+-⨯ ℅第二个月付款：50095000.01+⨯……第十个月付款：500(100005009)0.01+-⨯⨯．解：由题意可知每月的付款数是500元和一个等比数列．1500100000.01a =+⨯，250095000.01a =+⨯，…10500(100005009)0.01a =+-⨯⨯； 1232050020(100009500500)0.01S a a a a =+++=⨯++++⨯ =(50010000)10100000.0110000105000.1100001050110502+⨯+⨯=+⨯=+=元． 买这台电脑实际花了11050+1500=12550元．实例二：某制糖厂今年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从今年起，几年内可以使总产量达到30万吨（保留到个位）.解：由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万吨）组成一个等比数列．15,10.1 1.1,30n a q S ==+==于是得到5(1 1.1)301 1.1n -=- 整理后，得1.1 1.6n =lg1.60.20415lg1.10.0414n ==≈ 答：5年内可以使总产量达到30万吨．实例三：某长跑运动员 7 天里每天的训练量（单位：m ）是： 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 求这位长跑运动员 7 天共跑了多少米？。

1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）一、例述数列在生活中的应用数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。

以生活中的一个常见问题为例：例1：1．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n=）.次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是n a毫克，（即1a mm=，求2a､3a；(1)已知12(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.举一反三：1．顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％.按复利计算，该顾客每月应付款多少元（精确到1元）？二、银行储蓄与分期付款中的数列应用储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。

在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一种金融计算方式。

下面将以某一常见模式为例，进行数列在储蓄领域应用的解析。

（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款（2）银行存款计息方式：①单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息=本金×利率×存期以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有②复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是（3）零存整取模型例1：1．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（）(参考数据：1.01512≈1.2)A．0B．1200C．1030D．9002.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少?举一反三：1．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（）A．()()1010111M mm++-B．()101Mmm+C．()()1010111Mm mm++-D．()()1010111Mm mm+++2.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到期扣除20﹪的利息税(应纳税额=应纳税利息额×税率).(1)若每月存入金额为x 元,月利率r 保持不变,存期为n 个月,试推导出到期整取时本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?三、 环境资源利用中的数列应用进入21世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问题，更是人类社会进一步发展需要解决的首要问题。

教育·现场基于数学文化的高中数学教学案例———以“数列”为例文|王洋洋一、背景数学文化涵盖了数学知识、思想、方法，以及它们在社会历史进程中的应用和影响，这包含了数学在历史、科学、艺术和哲学等领域的应用和影响。

因此，高中数学教学的重心不再只是解题技巧和公式定理的灌输，而是要让学生在掌握数学知识之余，能够深度理解并体验到数学的历史沿革和文化内涵，从而激发他们的创新思维。

在这个背景下，这套教学案例设计独特而新颖。

案例不再是一道道简单的数学题目，而是具有真实性、历史性和文化性的问题，如金字塔的建造问题、哥德巴赫猜想等，这些都是数学历史上的重大问题，是数学文化的重要组成部分。

二、教学过程（一）引入数列概念在初步接触数列概念的阶段，教师会通过举例来引入数列的定义和特性。

在数学的领域里，数列是一项基本且关键的概念，特别是对高中生来说。

为了让学生掌握这一概念，教学过程中教师应结合实际例子帮助学生感受数列的实用性。

例如，可以用人口增长、金融投资收益等现实情境来说明数列如何在社会和经济领域内发挥作用。

数列的定义涵盖一组按照一定顺序排列的数，这些数称为项，它们按照位置排列形成第一项、第二项等序列。

探索数列时，会发现它们可能遵循某种规律，像等差数列中项与项之间的差是恒定的，等比数列中每一项都是其前一项的固定倍数。

这些规律反映了数列的结构特点，为深入数学研究提供了线索。

教师：同学们知道数列是什么吗？学生1：数列就是按照一定规律排列的一串数字。

教师：非常好，这是数列的基本理解。

数列确实是一系列按照特定规律排列的数字。

谁能说出一个生活中的例子呢？学生2：我们考试成绩表上的成绩由高到低排列，可以看作是一个数列。

教师：很好的例子，每次考试的成绩确实可以形成一个数列。

大家知道人口增长怎么算吗？学生3：人口增长，是不是每年的人口数量会有变化，这个变化可以用数字表示出来。

教师：正是如此。

想象一下，如果我们有一个城市从2000年到2020年每年人口的数据，这些数据会形成怎样的数列呢？学生4：这应该是一个时间序列的数列，可能是递增的，因为人口一般会增长。