直线、平面垂直的判定与性质教案
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直线、平面垂直的判定与性质
1．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是__________．
2. △ABC中，∠ABC＝90°，P A⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是________．
3．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；
②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认
为正确的一个命题____________________________．
4．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是()
A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α5．(2011·辽宁)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，
则下列结论中不正
．．确的是()
A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
题型一直线与平面垂直的判定与性质
例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，
AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
例2(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，
E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为
B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面P AD.
题型三 线面、面面垂直的综合应用
例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，
AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.
(1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ；
(2)求四棱锥P —ABCD 的体积．
变式训练：如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，E 为线段AD 1的
中点，F 为线段BD 1的中点，
(1)求证：EF ∥平面ABCD ；
(2)设M 为线段C 1C 的中点，当D
1D AD 的比值为多少时，DF ⊥平面D 1MB ？并说明理由．
题型四 线面角、二面角的求法
例4 如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，
∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．
(1)求PB 和平面P AD 所成的角的大小；
(2)证明AE ⊥平面PCD ；
(3)求二面角A —PD —C 的正弦值．
正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 ( ) A.2
3 B.3
3 C.2
3 D.6
3
A 组 专项基础训练
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
3．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是
()
A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α
4．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()
A．A′C′ B．BD C．A′D′ D．AA′
二、填空题(每小题5分，共15分)
5. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在
的直线中：与PC垂直的直线有______________；与AP垂直的直
线有________．
6. 如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、
PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
7．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)
三、解答题(共22分)
8．(10分)如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，A1B1＝A1C1，侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.
(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB
C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面
BB1C1C.
9．(12分)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1
的中点．
(1)求证：AB1⊥BF；
(2)求证：AE⊥BF；
(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．
B组专项能力提升
一、选择题(每小题5分，共15分)
1．已知l，m是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l∥βB．若l∥α，α⊥β，则l∥β
C．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥αD．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m
2．(2012·浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
3．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()
A.
3
4 B.
5
4 C.
7
4 D.
3
4
二、填空题(每小题5分，共15分)
4．已知P为△ABC所在平面外一点，且P A、PB、PC两两垂直，则下列命题：
①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.
其中正确的个数是________．
5．在正四棱锥P—ABCD中，P A＝
3
2AB，M是BC的中点，G是△P AD的重心，则在平面P AD中经过G点且与
直线PM垂直的直线有________条．
6．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：
①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
7．(13分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.
(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；
(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.。
