(完整版)八年级下平行四边形难题全面专题复习(最全面的平行四边形)

初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为n(n-3)/2.二、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法。

2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的。

1）角：平行四边形的对角相等，邻角互补；2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；4）面积：①S=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形。

3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形③方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑤方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形三、矩形1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.矩形性质①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）。

3.矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角。

②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等。

初二平行四边形全部知识点总结和常考题知识点：1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的对边相等；⑵平行四边形的对角相等：⑶平行四边形的对角线相互均分。

3 平行四边形的判断：⑴. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑵对角线相互均分的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

5、矩形的性质：⑴矩形的四个角都是直角；⑵矩形的对角线相等。

6、矩形判断定理：⑴有三个角是直角的四边形是矩形；⑵对角线相等的平行四边形是矩形。

7、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

）8、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。

9、菱形的性质：⑴菱形的四条边都相等；⑵菱形的两条对角线相互垂直，而且每一条对角线均分一组对角。

S菱形 =1/2 ×ab（a、b为两条对角线长）10、菱形的判断定理：⑴四条边相等的四边形是菱形。

⑵对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

11、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

12 正方形判断定理：⑴ 邻边相等的矩形是正方形。

⑵有一个角是直角的菱形是正方形。

（矩形 +菱形 =正方形）常考题：一．选择题（共14 小题）1．矩形拥有而菱形不拥有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线相互均分D．两组对角分别相等2．平行四边形ABCD中， AC、 BD是两条对角线，假如增添一个条件，即可推出平行四边形 ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥ BD D．AB⊥ BD3．如图，已知四边形 ABCD是平行四边形，以下结论中不正确的选项是（）A．当 AB=BC时，它是菱形B．当 AC⊥ BD时，它是菱形C．当∠ ABC=90°时，它是矩形 D．当 AC=BD时，它是正方形4．按序连结随意四边形四边中点所得的四边形必定是（）A．平行四边形 B ．矩形C．菱形D．正方形5．在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD的极点 A，B，D的坐标分别是（0，0），（ 5， 0），（2，3），则极点 C 的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）6．如图， ? ABCD的对角线 AC与 BD订交于点 O，AB⊥AC，若 AB=4，AC=6，则 BD 的长是（）A．8B．9C．10D．117．如图，把矩形 ABCD沿 EF翻折，点 B 恰巧落在 AD边的 B′处，若 AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形 ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．168．如图，在菱形 ABCD中，∠ BAD=80°， AB的垂直均分线交对角线A C于点 F，垂足为 E，连结 DF，则∠ CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°9．如图，在 ? ABCD中，用直尺和圆规作∠ BAD的均分线 AG交 BC于点 E．若 BF=6，AB=5，则 AE的长为（）A．4B．6C．8D．1010．如图，菱形 ABCD中，∠ B=60°， AB=4，则以 AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16D．1711．如图，在平行四边形 ABCD中， AB=4，∠ BAD的均分线与 BC的延伸线交于点E，与 DC交于点 F，且点 F 为边 DC的中点， DG⊥AE，垂足为 G，若 DG=1，则 AE的边长为（）A．2B．4C．4D．812．如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S2，则 S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18D．1913．如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E 在对角线 BD上，且∠ BAE=°，EF⊥ AB，垂足为 F，则 EF的长为（）A．1B． C．4﹣2D．3﹣414．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE 订交于点 F，则∠ BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°二．填空题（共13 小题）cm2．15．已知菱形的两对角线长分别为 6cm和 8cm，则菱形的面积为16．如图，在? ABCD中，BE均分∠ ABC，BC=6，DE=2，则 ? ABCD的周长等于．17．如图， ? ABCD的对角线 AC，BD订交于点 O，点 E，F 分别是线段 AO， BO 的中点，若 AC+BD=24厘米，△ OAB的周长是 18 厘米，则 EF=厘米．18．如图，矩形 ABCD的对角线 AC和 BD订交于点 O，过点 O的直线分别交 AD 和BC于点 E、F，AB=2， BC=3，则图中暗影部分的面积为．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形 ABCD的极点 A，B的坐标分别为（﹣3，0），（ 2， 0），点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是．20．如图，在正方形 ABCD中，点 F 为 CD上一点，BF与 AC交于点 E．若∠CBF=20°，则∠ AED等于度．21．如图， ? ABCD中，∠ ABC=60°，E、F 分别在 CD和 BC的延伸线上， AE∥BD，EF⊥BC， EF=，则 AB的长是．22．以下图，菱形 ABCD的边长为 4，且 AE⊥BC于 E，AF⊥ CD于 F，∠ B=60°，则菱形的面积为．23．如图， D 是△ ABC内一点， BD⊥ CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、 H 分别是AB、AC、 CD、BD的中点，则四边形 EFGH的周长是．24．如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，矩形OABC中， A（ 10，0），C（ 0，4），D 为 OA的中点， P 为 BC边上一点．若△ POD为等腰三角形，则全部满足条件的点 P 的坐标为．25．如图，已知△ ABC的三个极点的坐标分别为 A（﹣ 2，0），B（﹣ 1，2），C（2，0）．请直接写出以 A，B，C 为极点的平行四边形的第四个极点 D 的坐标．26．如图，在菱形 ABCD中，AB=4cm，∠ ADC=120°，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分别沿 AB、 CB方向向点 B 匀速挪动（到点 B 为止），点 E 的速度为 1cm/s，点 F 的速度为2cm/s，经过t 秒△ DEF为等边三角形，则t 的值为．27．如图，四边形ABCD中，∠ A=90°， AB=3，AD=3，点 M，N 分别为线段 BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点 B 重合），点 E，F 分别为 DM，MN的中点，则 EF 长度的最大值为．三．解答题（共13 小题）28．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点 E，CF⊥AD，垂足为点 F，而且 AE=DF．求证：四边形 BECF是平行四边形．29．已知：如图，在△ ABC中， AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN是△ ABC外角∠ CAM的均分线， CE⊥ AN，垂足为点 E，（1）求证：四边形 ADCE为矩形；（2）当△ ABC知足什么条件时，四边形 ADCE是一个正方形？并给出证明．30．如图，分别以 Rt △ABC的直角边 AC及斜边 AB 向外作等边△ ACD及等边△ABE．已知∠ BAC=30°， EF⊥ AB，垂足为 F，连结 DF．（1）试说明 AC=EF；（2）求证：四边形 ADFE是平行四边形．31．如图，矩形 ABCD中， AC与 BD交于点 O， BE⊥AC， CF⊥BD，垂足分别为 E，F．求证： BE=CF．32．如图，在△ ABC中，D 是 BC边上的一点， E 是 AD的中点，过 A 点作 BC的平行线交 CE的延伸线于点 F，且 AF=BD，连结 BF．（1）线段 BD与 CD有什么数目关系，并说明原因；（2）当△ ABC知足什么条件时，四边形 AFBD是矩形？并说明原因．33．如图，在△ ABC中， D、E 分别是 AB、AC的中点， BE=2DE，延伸 DE到点F，使得 EF=BE，连结 CF．（1）求证：四边形 BCFE是菱形；（2）若 CE=4，∠ BCF=120°，求菱形 BCFE的面积．34．如图，在正方形 ABCD中，E是 AB上一点， F 是 AD延伸线上一点，且 DF=BE．（1）求证： CE=CF；（2）若点 G在 AD上，且∠ GCE=45°，则 GE=BE+GD建立吗？为何？35．如图，在△ ABC中，点 O是 AC边上的一个动点，过点 O作直线 MN∥ BC，设MN交∠ BCA的角均分线于点 E，交∠ BCA的外角均分线于点 F．（1）求证： EO=FO；（2）当点 O运动到哪处时，四边形 AECF是矩形？并证明你的结论．36．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点 E、F、G、H分别在边 AB、BC、CD、DA上， AE=CG，AH=CF，且 EG均分∠ HEF．求证：（1）△ AEH≌△ CGF；（2）四边形 EFGH是菱形．37．如图，四边形 ABCD中， AD∥BC，BA⊥ AD，BC=DC， BE⊥CD于点 E．（1）求证：△ ABD≌△ EBD；（2）过点 E 作 EF∥ DA，交 BD于点 F，连结 AF．求证：四边形 AFED是菱形．38．如图①，在正方形 ABCD中， P 是对角线 AC上的一点，点 E 在 BC的延伸线上，且 PE=PB．（1）求证：△ BCP≌△ DCP；（2）求证：∠ DPE=∠ ABC；（3）把正方形 ABCD改为菱形，其余条件不变（如图②），若∠ ABC=58°，则∠DPE=度．39．在数学活动课中，小辉将边长为和 3 的两个正方形搁置在直线l 上，如图 1，他连结 AD、CF，经丈量发现AD=CF．（ 1）他将正方形 ODEF绕 O点逆时针旋转必定的角度，如图2，试判断 AD与 CF 还相等吗？说明你的原因；（2）他将正方形 ODEF绕 O点逆时针旋转，使点 E 旋转至直线 l 上，如图 3，请你求出 CF的长．40．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E 是边BC的中点．∠ AEF=90°，且 EF交正方形外角∠ DCG的均分线 CF于点 F，求证：AE=EF．经过思虑，小明展现了一种正确的解题思路：取 AB的中点 M，连结 ME，则AM=EC，易证△ AME≌△ ECF，因此 AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，假如把“点E 是边BC的中点”改为“点E 是边BC上（除B，C外）的随意一点”，其余条件不变，那么结论“AE=EF”仍旧建立，你以为小颖的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC的延伸线上（除 C点外）的随意一点，其余条件不变，结论“ AE=EF”仍旧建立．你以为小华的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因．初二平行四边形全部知识点总结和常考题提升难题压轴题练习 ( 含答案分析 )参照答案与试题分析一．选择题（共14 小题）1．（2013? 宜宾）矩形拥有而菱形不拥有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线相互均分 D．两组对角分别相等【剖析】依据矩形与菱形的性质对各选项剖析判断后利用清除法求解．【解答】解： A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都相互均分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．应选 B．【评论】本题考察了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的重点．2．（2014? 河池）平行四边形ABCD中， AC、BD是两条对角线，假如增添一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥ BD D．AB⊥ BD【剖析】依据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解： A、是邻边相等，可获得平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线相互垂直，可获得平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、没法判断．应选 B．【评论】本题主要考察的是矩形的判断定理．但需要注意的是本题的知识点是对于各个图形的性质以及判断．3．（2008? 扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，以下结论中不正确的是（）A．当 AB=BC时，它是菱形B．当 AC⊥ BD时，它是菱形C．当∠ ABC=90°时，它是矩形D．当 AC=BD时，它是正方形【剖析】依据邻边相等的平行四边形是菱形；依据所给条件能够证出邻边相等；依占有一个角是直角的平行四边形是矩形；依据对角线相等的平行四边形是矩形．【解答】解：A、依据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形 ABCD是平行四边形，当 AB=BC时，它是菱形，故 A 选项正确；222222 B、∵四边形 ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵ AC⊥BD，∴ AB=BO+AO，AD=DO+AO，∴ AB=AD，∴四边形 ABCD是菱形，故 B 选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 C 选项正确；D、依据对角线相等的平行四边形是矩形可知当 AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故 D 选项错误；综上所述，切合题意是 D 选项；应选： D．【评论】本题主要考察学生对正方形的判断、平行四边形的性质、菱形的判断和矩形的判断的理解和掌握，本题波及到的知识点许多，学生答题时简单犯错．4．（2011? 张家界）按序连结随意四边形四边中点所得的四边形必定是（）A．平行四边形 B ．矩形C．菱形D．正方形【剖析】按序连结随意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行而且等于本来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．因此是平行四边形．【解答】解：连结 BD，已知随意四边形ABCD， E、 F、 G、 H 分别是各边中点．∵在△ ABD中， E、H 是 AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=BD．∵在△ BCD中， G、F 是 DC、BC中点，∴GF∥BD，GF=BD，∴EH=GF，EH∥GF，∴四边形 EFGH为平行四边形．应选： A．【评论】本题三角形的中位线的性质考察了平行四边形的判断：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．A，B，D的坐5．（2006? 南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的极点标分别是（ 0，0），（5，0），（2，3），则极点 C 的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）【剖析】因为 D 点坐标为（ 2，3），由平行四边形的性质，可知 C 点的纵坐标一定是 3，又由 D 点相对于 A 点横坐标挪动了2，故可得 C 点横坐标为 2+5=7，即极点 C 的坐标（ 7，3）．【解答】解：已知 A，B，D 三点的坐标分别是（ 0，0），（5，0），（2，3），∵ AB在 x 轴上，∴点 C 与点 D 的纵坐标相等，都为3，又∵ D点相对于 A点横坐标挪动了2﹣0=2，∴C点横坐标为 2+5=7，∴即极点 C 的坐标（ 7，3）．应选： C．【评论】本题主假如对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余（补）角的等知识的直接考察．同时考察了数形联合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依靠数也依靠形，表现了数形的密切联合，但本题对学生能力的要求其实不高．6．（ 2014? 河南）如图，? ABCD的对角线 AC与 BD订交于点 O，AB⊥AC，若 AB=4，AC=6，则 BD的长是（）A．8B．9C．10D．11【剖析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求 BO的长，从而可求出 BD的长．【解答】解：∵ ? ABCD的对角线 AC与 BD订交于点 O，∴BO=DO，AO=CO，∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴ BO==5，∴BD=2BO=10，应选： C．【评论】本题考察了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常有题型，比较简单．7．（2013? 南充）如图，把矩形ABCD沿 EF 翻折，点 B 恰巧落在 AD边的 B′处，若 AE=2，DE=6，∠ EFB=60°，则矩形 ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．16【剖析】在矩形 ABCD中依据 AD∥BC得出∠ DEF=∠EFB=60°，因为把矩形ABCD 沿 EF 翻折点 B 恰巧落在 AD边的 B′处，因此∠ EFB=∠DEF=60°，∠ B=∠A′B′F=90°，∠ A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△ EFB′中可知∠ DEF=∠EFB=∠EB′F=60°故△ EFB′是等边三角形，由此可得出∠ A′B′E=90°﹣ 60°=30°，依据直角三角形的性质得出 A′B′=AB=2，而后依据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：在矩形 ABCD中，∵AD∥BC，∴∠ DEF=∠EFB=60°，∵把矩形 ABCD沿 EF 翻折点 B 恰巧落在 AD边的 B′处，∴∠ DEF=∠EFB=60°，∠ B=∠A′B′F=90°，∠ A=∠A′=90°， AE=A′E=2，AB=A′B′，在△ EFB′中，∵∠ DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△ EFB′是等边三角形，Rt △A′EB′中，∵∠ A′B′E=90°﹣ 60°=30°，∴B′E=2A′E，而 A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即 AB=2，∵AE=2， DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形 ABCD的面积 =AB? AD=2× 8=16．应选 D．【评论】本题考察了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作协助线结构直角三角形并熟记性质是解题的重点．8．（2013? 扬州）如图，在菱形ABCD中，∠ BAD=80°， AB的垂直均分线交对角F，垂足为 E，连结DF，则∠ CDF等于（）线 AC于点A．50°B．60°C．70°D．80°【剖析】连结 BF，依据菱形的对角线均分一组对角求出∠ BAC，∠ BCF=∠DCF，四条边都相等可得 BC=DC，再依据菱形的邻角互补求出∠ ABC，而后依据线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等可得 AF=BF，依据等边平等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠ CBF，再利用“边角边”证明△ BCF和△ DCF全等，依据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠ CBF．【解答】解：如图，连结 BF，在菱形 ABCD中，∠ BAC=∠BAD=×80°=40°，∠ BCF=∠ DCF，BC=DC，∠ABC=180°﹣∠ BAD=180°﹣ 80°=100°，∵EF是线段AB的垂直均分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，∴∠ CBF=∠ABC﹣∠ ABF=100°﹣40°=60°，∵在△ BCF和△ DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠ CDF=∠CBF=60°．应选： B．【评论】本题考察了菱形的性质，全等三角形的判断与性质，线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的重点．9．（2015? 河南）如图，在 ? ABCD中，用直尺和圆规作∠ BAD的均分线 AG交 BC于点 E．若 BF=6，AB=5，则 AE的长为（）A．4B．6C．8D．10【剖析】由基本作图获得 AB=AF，加上 AO均分∠ BAD，则依据等腰三角形的性质获得 AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再依据平行四边形的性质得 AF∥BE，因此∠ 1=∠3，于是获得∠ 2=∠ 3，依据等腰三角形的判断得 AB=EB，而后再依据等腰三角形的性质获得 AO=OE，最后利用勾股定理计算出 AO，从而获得 AE的长．【解答】解：连结 EF， AE与 BF 交于点 O，如图，∵AB=AF，AO均分∠ BAD，∴ AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ AF∥BE，∴∠ 1=∠ 3，∴∠ 2=∠ 3，∴AB=EB，而 BO⊥ AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴ AE=2AO=8．应选 C．【评论】本题考察了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线相互均分．也考察了等腰三角形的判断与性质和基本作图．10．（ 2013? 凉山州）如图，菱形ABCD中，∠ B=60°， AB=4，则以 AC为边长的正方形 ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16D．17【剖析】依据菱形得出 AB=BC，得出等边三角形 ABC，求出 AC，长，依据正方形的性质得出 AF=EF=EC=AC=4，求出即可．【解答】解：∵四边形 ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ B=60°，∴△ ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，∴正方形 ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，应选 C．【评论】本题考察了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判断的应用，重点是求出 AC的长．11．（2013? 泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的均分线与BC 的延伸线交于点 E，与 DC交于点 F，且点 F 为边 DC的中点， DG⊥ AE，垂足为 G，若 DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4D．8【剖析】由 AE 为角均分线，获得一对角相等，再由ABCD为平行四边形，获得AD与 BE平行，利用两直线平行内错角相等获得一对角相等，等量代换及等角对等边获得 AD=DF，由 F 为 DC中点， AB=CD，求出 AD与 DF的长，得出三角形ADF 为等腰三角形，依据三线合一获得 G 为 AF 中点，在直角三角形 ADG中，由AD 与 DG的长，利用勾股定理求出 AG的长，从而求出 AF的长，再由三角形 ADF与三角形 ECF全等，得出 AF=EF，即可求出 AE的长．【解答】解：∵ AE为∠DAB的均分线，∴∠ DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F 为DC的中点，∴ DF=CF，∴ AD=DF=DC=AB=2，在 Rt△ ADG中，依据勾股定理得： AG=，则 AF=2AG=2，∵平行四边形 ABCD，∴AD∥BC，∴∠ DAF=∠E，∠ ADF=∠ECF，在△ ADF和△ ECF中，，∴△ ADF≌△ ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．应选： B【评论】本题考察了平行四边形的性质，全等三角形的判断与性质，勾股定理，等腰三角形的判断与性质，娴熟掌握平行四边形的判断与性质是解本题的重点．12．（ 2013? 菏泽）如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则 S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18D．19【剖析】由图可得， S1的边长为 3，由 AC=BC，BC=CE=CD，可得 AC=2CD，CD=2，EC=；而后，分别算出 S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形 S2的边长为 x，依据等腰直角三角形的性质知，AC=x， x=CD，∴AC=2CD，CD==2，222∴ EC=2 +2 ，即 EC=；2∴ S2的面积为 EC==8；∵S1的边长为 3，S1的面积为 3×3=9，∴ S1+S2=8+9=17．应选： B．【评论】本题考察了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考察了学生的读图能力．13．（ 2013? 连云港）如图，正方形ABCD的边长为 4，点 E 在对角线 BD上，且∠BAE=°， EF⊥ AB，垂足为 F，则 EF的长为（）A．1B． C．4﹣2D．3﹣4【剖析】依据正方形的对角线均分一组对角可得∠ ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE 的度数，依据三角形的内角和定理求∠ AED，从而获得∠ DAE=∠AED，再依据等角平等边的性质获得 AD=DE，而后求出正方形的对角线 BD，再求出 BE，最后依据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．【解答】解：在正方形 ABCD中，∠ ABD=∠ADB=45°，∵∠ BAE=°，∴∠ DAE=90°﹣∠ BAE=90°﹣° =°，在△ ADE中，∠ AED=180°﹣ 45°﹣° =°，∴∠ DAE=∠AED，∴AD=DE=4，∵正方形的边长为 4，∴BD=4，∴BE=BD﹣DE=4﹣4，∵ EF⊥AB，∠ ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BE=×（ 4﹣4）=4﹣ 2．应选： C．【评论】本题考察了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线均分一组对角，等角平等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判断与性质，依据角的度数的相等求出相等的角，再求出 DE=AD是解题的重点，也是本题的难点．14．（ 2014? 福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE， AC、BE 订交于点 F，则∠ BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【剖析】依据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠ BFC．【解答】解：∵四边形 ABCD是正方形，∴AB=AD，又∵△ ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠ DAE=60°，∴AB=AE，∴∠ ABE=∠AEB，∠ BAE=90° +60°=150°，∴∠ ABE=（180°﹣ 150°）÷ 2=15°，又∵∠ BAC=45°，∴∠ BFC=45° +15°=60°．应选： C．【评论】本题主假如考察正方形的性质和等边三角形的性质，本题的重点是求出∠ABE=15°．二．填空题（共13 小题）15．（ 2008? 恩施州）已知菱形的两对角线长分别为6cm 和8cm，则菱形的面积2为24cm．【剖析】依据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半2即： 6×8÷2=24cm．故答案为： 24．【评论】本题主要考察菱形的面积等于两条对角线的积的一半．16．（ 2015? 梅州）如图，在 ? ABCD中， BE均分∠ ABC， BC=6， DE=2，则 ? ABCD 的周长等于 20 ．【剖析】依据四边形 ABCD为平行四边形可得 AE∥ BC，依据平行线的性质和角均分线的性质可得出∠ ABE=∠AEB，既而可得 AB=AE，而后依据已知可求得结果．【解答】解：∵四边形 ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD，∴∠ AEB=∠EBC，∵ BE均分∠ ABC，∴∠ ABE=∠EBC，∴∠ ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴? ABCD的周长 =4+4+6+6=20，故答案为： 20．【评论】本题考察了平行四边形的性质，解答本题的重点是依据平行线的性质和角均分线的性质得出∠ ABE=∠AEB．17．（ 2013? 厦门）如图， ? ABCD的对角线 AC，BD订交于点 O，点 E， F 分别是线段 AO，BO的中点，若 AC+BD=24厘米，△OAB的周长是 18 厘米，则 EF= 3 厘米．【剖析】依据 AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，既而求出 AB，判断 EF是△OAB的中位线即可得出 EF的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴ OA+OB=12cm，∵△ OAB的周长是 18 厘米，∴AB=6cm，∵点 E，F 分别是线段 AO， BO的中点，∴EF是△ OAB的中位线，∴EF=AB=3cm．故答案为： 3．【评论】本题考察了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线相互均分，三角形中位线的判断定理及性质．18．（ 2007? 临夏州）如图，矩形 ABCD的对角线 AC和 BD订交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD和 BC于点 E、F，AB=2，BC=3，则图中暗影部分的面积为 3 ．【剖析】依据矩形是中心对称图形找寻思路：△AOE≌△ COF，图中暗影部分的面积就是△ BCD的面积．【解答】解：∵四边形 ABCD是矩形，∴OA=OC，∠ AEO=∠CFO；又∵∠ AOE=∠COF，在△ AOE和△ COF中，，∴△ AOE≌△ COF，∴S△AOE=S△COF，∴图中暗影部分的面积就是△BCD的面积．S△BCD=BC×CD=×2×3=3．故答案为： 3．【评论】本题主要考察了矩形的性质以及全等三角形的判断和性质，能够依据三角形全等，从而将暗影部分的面积转变为矩形面积的一半，是解决问题的重点．19．（2014? 宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD的极点A，B 的坐标分别为（﹣ 3，0），（2，0），点 D 在 y 轴上，则点 C的坐标是（5，4）．【剖析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，从而求出C 点坐标．【解答】解：∵菱形 ABCD的极点 A，B 的坐标分别为（﹣ 3，0），（ 2， 0），点 D 在 y 轴上，∴ AB=5，∴ DO=4，∴点 C 的坐标是：（5，4）．故答案为：（ 5， 4）．【评论】本题主要考察了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出题重点．DO的长是解20．（ 2015? 黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F 为CD上一点， BF与AC交于点 E．若∠ CBF=20°，则∠ AED等于 65 度．【剖析】依据正方形的性质得出∠ BAE=∠DAE，再利用 SAS 证明△ ABE 与△ADE 全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形 ABCD，∴AB=AD，∠ BAE=∠DAE，在△ ABE与△ ADE中，，∴△ ABE≌△ ADE（SAS），∴∠ AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠ CBF=20°，∴∠ ABE=70°，∴∠ AED=∠AEB=180°﹣ 45°﹣70°=65°，故答案为： 65【评论】本题考察正方形的性质，重点是依据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判断和性质解答．21．（2013? 十堰）如图， ? ABCD中，∠ ABC=60°， E、F 分别在 CD和 BC 的延伸线上， AE∥BD， EF⊥BC， EF=，则 AB的长是 1 ．【剖析】依据平行四边形性质推出 AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形 ABDE，推出DE=DC=AB，依据直角三角形性质求出 CE长，即可求出 AB的长．【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵ AE∥BD，∴四边形 ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D 为CE中点，∵ EF⊥BC，∴∠ EFC=90°，∵ AB∥CD，∴∠ DCF=∠ABC=60°，∴∠ CEF=30°，∵EF=，∴CE==2，∴AB=1，故答案为： 1．【评论】本题考察了平行四边形的性质和判断，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30 度角的直角三角形性质等知识点的应用，本题综合性比较强，是一道比较好的题目．22．（ 2013? 黔西南州）以下图，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥ CD于 F，∠ B=60°，则菱形的面积为．【剖析】依据已知条件解直角三角形 ABE可求出 AE的长，再由菱形的面积等于底×高计算即可．【解答】解：∵菱形 ABCD的边长为 4，∴AB=BC=4，∵AE⊥BC于 E，∠ B=60°，∴ sinB== ，∴ AE=2，∴菱形的面积 =4×2=8，故答案为 8．【评论】本题考察了菱形的性质：四边相等以及特别角的三角函数值和菱形面积公式的运用．23．（2013? 鞍山）如图， D 是△ ABC内一点， BD⊥ CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是 AB、AC、 CD、BD的中点，则四边形 EFGH的周长是 11 ．【剖析】利用勾股定理列式求出BC的长，再依据三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，而后辈入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵ BD⊥CD， BD=4， CD=3，∴BC===5，∵ E、 F、 G、 H分别是 AB、AC、CD、 BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四边形 EFGH的周长 =EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵ AD=6，∴四边形 EFGH的周长 =6+5=11．故答案为： 11．【评论】本题考察了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半是解题的重点．24．（2015? 攀枝花）如图，在平面直角坐标系中， O为坐标原点，矩形 OABC中，A（10，0），C（0，4），D为 OA的中点， P 为 BC边上一点．若△ POD为等腰三角形，则全部知足条件的点 P 的坐标为（， 4），或（ 3，4），或（ 2，4），或（ 8，4）．【剖析】由矩形的性质得出∠ OCB=90°， OC=4，BC=OA=10，求出 OD=AD=5，分情况议论：①当 PO=PD时；②当 OP=OD时；③当 DP=DO时；依据线段垂直均分线的性质或勾股定理即可求出点P 的坐标．【解答】解：∵四边形 OABC是矩形，∴∠ OCB=90°， OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴ OD=AD=5，①当 PO=PD时，点 P 在 OD得垂直均分线上，∴点 P 的坐标为：（， 4）；②当OP=OD时，如图1 所示：则 OP=OD=5，PC==3，∴点 P 的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠ PED=90°， DE==3；分两种状况：当 E 在 D 的左边时，如图 2 所示：OE=5﹣3=2，∴点 P 的坐标为：（2，4）；当 E 在 D 的右边时，如图 3 所示：OE=5+3=8，∴点 P 的坐标为：（8，4）；综上所述：点 P 的坐标为：（， 4），或（ 3，4），或（ 2，4），或（ 8，4）；故答案为：（， 4），或（ 3，4），或（ 2，4），或（ 8，4）．【评论】本题考察了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判断、勾股定理；本题有必定难度，需要进行分类议论才能得出结果．25．（ 2013? 阜新）如图，已知△ ABC 的三个极点的坐标分别为 A（﹣ 2，0），B （﹣ 1，2）， C（ 2，0）．请直接写出以 A，B，C 为极点的平行四边形的第四个极点 D 的坐标（ 3，2），（﹣ 5，2），（1，﹣ 2）．【剖析】第一依据题意画出图形，分别以BC，AB，AC为对角线作平行四边形，即可求得答案．【解答】解：如图：以 A，B，C 为极点的平行四边形的第四个极点 D 的坐标分别为：（3，2），（﹣5，2），（1，﹣ 2）．故答案为：（ 3， 2），（﹣ 5，2），（1，﹣ 2）．【评论】本题考察了平行四边形的性质．注意坐标与图形的关系．26．（2014? 丹东）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ ADC=120°，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分别沿 AB、CB方向向点 B 匀速挪动（到点 B 为止），点 E 的速度为 1cm/s，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒△ DEF为等边三角形，则 t 的值为．【剖析】延伸 AB至 M，使 BM=AE，连结 FM，证出△ DAE≌EMF，获得△ BMF 是等边三角形，再利用菱形的边长为 4 求出时间 t 的值．【解答】解：延伸 AB至 M，使 BM=AE，连结 FM，∵四边形 ABCD是菱形，∠ ADC=120°∴AB=AD，∠A=60°，∵ BM=AE，∴AD=ME，∵△ DEF为等边三角形，∴∠ DAE=∠DFE=60°， DE=EF=FD，∴∠ MEF+∠DEA═120°，∠ ADE+∠DEA=180°﹣∠ A=120°，∴∠ MEF=∠ADE，∴在△ DAE和△ EMF中，∴△ DAE≌EMF（ SAS），∴AE=MF，∠ M=∠A=60°，又∵ BM=AE，∴△ BMF是等边三角形，∴BF=AE，∵AE=t， CF=2t，∴BC=CF+BF=2t+t=3t，∵ BC=4，∴3t=4 ，∴t=。

平行四边形专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.平行四边形的定义 (2)2.平行四边形的性质 (3)3.平行四边形的判定定理 (7)4.三角形中位线定理 (10)三、重难点题型 (14)1.平行四边形的共性 (14)2.平行四边形间距离的应用 (16)3.与平行四边形有关的计算 (17)4.与平行四边形有关的证明 (19)二、基础知识点1.平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形。

平行四边形ABCD记作“□ABCD”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形例1.如图，□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE=DF．答案：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥CB，AD=CB∵DE⊥AB，BF⊥CD∴∠DEA=∠CFB∴△ADE≌△CFB∴AE=CF∵DC=AB∴BE=DF例2.在平面直角坐标系中，有A（0,1），B（-1,0），C（1,0）三点，若点D与A，B，C构成平行四边形，求D的坐标。

（3解）答案：如下图，有三种情况，坐标分别为：（0，－1）；（2,1）；（－2,1）2.平行四边形的性质性质1（边）：平行四边形的对边相等（AB=CD，AC=BD）证明：∵∠CAD=∠ADB ∠DAB=∠ADC AD=AD ∴△ACD≌△DBA（ASA）∴AB=CD AC=BD性质2（角）：平行四边形对角相等，邻角互补（∠A=∠D，∠C=∠B；∠A+∠C=∠B+∠D=180°）证明：∵△ACD≌△DBA（ASA）又∵∠CAB=∠CAD+∠DAB ∠CDB=∠CDA+∠ADB∴∠CAB=∠CDB∵AB∥CD∴∠B+∠BDC=180°性质3（对角线）：平行四边形对角线互相平分（AO=OC；BO=OD）证明：∵AD=BC ∠OAD=∠OCB ∠ODA=∠OBC∴△AOD≌△COB（ASA）∴AO=OC OB=OD注1：平行四边形对角线互相平分，但两对角线不一定相等解析：假设平行四边形对角线相等∴∠OAD=∠ADO=∠OBC=∠OCB∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠CDO又∵∠DAB+∠CBA=180°∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°∴仅在平行四边形的四个角为直角时（即矩形），对角线相等注2：对角线不一定平分角解析：假设平行四边形对角线平分角，则∠ADB=∠BDC ∠ACD=∠ACB ∵∠DCB=∠BAD∴∠ACD=∠CAD又∵OD=OD∴△AOD≌△COD（AAS）∴AD=DC=BC=AB∴仅当平行四边形四条边相等时（即菱形），对角线平分角性质4：平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点。

【镭霆数学】平行四边形专题复习一、平行四边形与等腰三角形专题例题1已知：如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BE的延长线交CD的延长线于点F.(1)求证：CD=DF(2)若AD=2CD请写出图中所有的直角三角形和等腰三角形.训练一1 .如图，在？ABCD中，分别以AB AD为边向外作等边△ ABE △ ADF,延长CB交AE于点G 点G在点A E之间，连接CE CF, EF,则以下四个结论一定正确的是( )①厶CDF^A EBC②/ CDF=/ EAF;③厶ECF是等边三角形；④ CGL AEA.只有①② B •只有①②③ C •只有③④ D •①②③④2 .如图，四边形ABCD是平行四边形，△ AB C和厶ABC关于AC所在的直线对称，AD和B'C相交于点Q连接BB .(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母)；---------------- J—1 22 求证：△ AB Q^^ CDQ3. 如图，已知AD和BC交于点Q且厶QAB^D^ OCD均为等边三角形，以0D 和0B为边作平行四边形QDEB连接AC AE和CE, CE和AD相交于点F.求证：△ ACE为等边三角形.4. 如图，已知：平行四边形ABCD中, / BCD的平分线CE交边AD于E, / ABC的平分线BG交CE于F, 交AD于G.求证：AE=DG训练1.如图，过？ABCD 勺对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线 EF 与GH 那么图中的？AEMG的面积S i 与？HCFM 勺面积S 2的大小关系是（ ） A. S i > S 2B . Sv S 2C. S i =SaD. 2S i =S 22.农业技术员在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物，现需将该实验田划成四个平行四边形地块（如图），已知其中三块田的面积分别是14m 2，10m 2，36m i ，则第四块田的面积为 _______3 .如图，AE// BD BE// DF, AB// CD 下面给出四个结论： （1） AB=CD （2） BE=DF （ 3） S ABD =S BDF ;（4） S A ABE =S ^DCF.其中正确的有（ ）BC 于点E ,作AF 垂直于直线CD 于 点 F ,若 AB=5, BC=6,则 CE+CF 的值为（）A . 11 11 3B .2C .11 叩或 11 F A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4 .在面积为15的平行四边形 ABCD 中,过点A 作AE 垂直于直线5. 平行四边形ABCD的周长为20cm, AE± BC于点E, AF丄CD于点F,AE=2cm AF=3cm 求ABCD勺面积.CE6. 如图，四边形ABCD勺对角线AC BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F.若PE=PF 且AP+AE=CP+CF(1)求证：PA=PC(2)若BD=12 AB=15, / DBA=45，求四边形ABCD勺面积.7 .如图，平行四边形ABCD中, AB: BC=3 2，/ DAB=60 , E在AB上，且AE EB=1: 2, F 是BC 的中点，过D分别作DPIAF于P, DQLCE于Q贝U DP DQ等于（）A. 3: 4 B . .. 13 : . 5 C . 13 : 6 D . 13 : 5三、平行四边形与角度专题例题3 如图，在平行四边形ABCD中，/ BAD=32 .分别以BC C 为边向外作△ BCE^D^ DCF 使BE=BC DF=D(C Z EBC2 CDF 延长AB交边EC于点G,点G在E、C两点之间，连接AE AF.(1)求证：△ ABE^A FDA(2 )当AE± AF时，求/ EBG的度数.训练三1. 如图，将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E, B '，C'在同一直线上，则/ AEF= 度.£2. 如图，已知平行四边形ABCD DE是/ ADQ的角平分线，交BC于点E.(1) 求证：CD=CE(2) 若BE=CE / B=80°,求/ DAE的度数.3. 如图，E、F是？ABCD对角线AC上的两点，且求证：(ABE^A CDF(2)Z 仁/ 2.四、平行四边形与线段专题DE交AC的延长线于F点，交BE于E点. 例题4如图，ABCD为平行四边形，AD=2, BE// AC,(1)求证：EF=DF(2 )若AC=2CF / ADC=60 , ACL DC 求DE 的长.E F D训练四1. 如图，口ABCD勺对角线相交于点0,过点0任引直线交AD于E,交BC于F,贝U OE _OF(填“〉”“ =”“v ”)，并说明理由.2. 如图，在？ABCD中，对角线AC BD相交于点0,如果AC=14, BD=8, AB=x那么x的取值范围是.6. 已知：平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O , BD=2AD , E , F , G 分别是0C , 0D , AB 的中点.求证：(1) BE 丄 AC ; (2) EG=EF .3.已知：如图，在 ？ABCD K/ ADC / DAB 的平分线DF 、AE 分别与线段 BC 相交于点F 、E , DF 与 AE 相交于点G.(1)求证：AE! DF ; (2 )若 AD=10 AB=6, AE=4,求 DF 的长. 4.如图，已知△ ABC 是等边三角形，点(1)求证：四边形 EFCD 是平行四边形; (2 )若 BF=EF 求证：AE=AD 5. 占 八、、 D F 分别在线段 BC AB 上，/ EFB=60 , DC=EF如图，E 、F 分别是？ABCD 的边AD BC 上的点，且 AE=CF AF 和BE 相交于点G, DF 和CE 相交于H,求证：EF 和GH 互相平分.7. _________________________________________________________ 如图，？ABCD中，点E在边AD 上，以BE为折痕，将厶ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F点, 若厶FDE的周长为8 cm , △ FCB的周长为20 cm，贝U FC的长为 _____________________________________ cm.18.如图，已知：在△ ABC中，/ BAC=90，延长BA到点D,使AD—AB点G E、F分别为边AB2BC AC的中点.求证：DF=BE五、三角形中位线专题例题5如图，△ ABC的周长为26，点D, E都在边BC上, /ABC的平分线垂直于AE垂足为Q / ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=1Q则PQ的长为（）3 5A. — B . C . 3 D . 42 2训练五1.如图，AB// CD E , F分别为AC BD的中点，若AB=5 CD=3贝U EF的长是（）A. 4 B . 3 C . 2 D . 12 .如图，在四边形ABCD中 ,点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB CD的中点，AD=BC /H分别是AB AG CD BD的PEF=30 ,则/ PFE的度数是（）A. 15° B . 20°C . 25° D . 30°3 .如图，D是厶ABC内一点,BDL CD AD=6 BD=4, CD=3 E、F、G六、平行四边形综合探究专题例题6 如图所示，在□ABCD中, AB> BC, / A与/ D的平分线交于点E,/ B与/ C的平分线交于F 点，连接EF.(1)延长DE交AB于M点，则图中与线段EM—定相等的线段有哪几条？说明理由；(不再另外添加字母和辅助线)(2)EF、BC与AB之间有怎样的数量关系？为什么？(3)如果将条件“ AB> BC改为“ AB< BC , 图形并证明你的结论.其它条件不变，EF、BC与AB的关系又如何？请画出训练六1.如图，分别以Rt △ ABC的斜边AB直角边和厶ACE F为AB的中点，DE, AB相交于点AC为边向外作等边厶结论：①EF丄AC②四边形ADFE为平行四边形；③ AD=4AG④厶DB ◎ △ EFA其中正确结论的序号是2A浮F VB CG,若/ BAC=30，下列2 .如图所示，△ ABC为等边三角形，P是厶ABC内任一点，PD// AB,PE// BC PF/ AC 若厶ABC的周长为12,贝U PD+PE+PF ___________3.如图，?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E,/ AEB=45 , BD=2将厶ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B',贝U DB的长为HEA4 .点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点D有( )5.在平行四边形ABCD中, E是AD上一点，AE=AB过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得/ EGB/ EAB连接AG(1)如图①，当EF与AB相交时，若/ EAB=60，求证：EG=AG+B；(2)如图②，当EF与CD相交时，且/ EAB=90，请你写出线段EG AG BG之间的数量关系，并证明你的结论.6.在？ABCD中，对角线AG BD相交于点0,直线EF过点0,分别交AD BC于E、F,如图①(1)求证：AE=CF(2)将图①中？ABCD沿直线EF折叠，使得点A落在A处，点B落在B处，如图②设FB交CD于点G, AiBi分别交CD DE于点P、Q 求证：EQ=FG7. 如图1，在四边形ABCD中，AB=CD , E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD 的延长线交于点M、N，则/ BME= / CNE (不需证明).(温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而/ 1= / 2,再利用平行线性质，可证得/ BME= / CNE .)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点0, AB=CD , E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于点M、N,判断△ 0MN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ ABC中，AC >AB , D点在AC 上, AB=CD , E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若/ EFC=60，连接GD，判断△ AGD的形状并证明.£ F C圍②11。

专题18.1 平行四边形一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2019·厦门市湖里中学初二月考）一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°2．（2020·全国初二课时练习）下列说法不正确的是（）A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对边平行且相等D．平行四边形的对角互补，邻角相等3．（2019·贵州初二期末）如图，EF为△ABC的中位线，若AB=6，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．54．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）将平行四边形纸片沿过其对称中心的任一直线对折，下图不可能的是（）A．B．C．D．5．（2020·陕西西北工业大学附属中学初三月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A ．6B ．12C ．18D ．246．（2020·全国初二课时练习）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件： ①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种7．（2017·湖北初二期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③8．（2020·广东初三期末）如图，EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB=4，BC=6，OE=3，那么四边形EFCD 的周长是（ ）A ．16B ．13C ．11D ．109．（2019·河南初二期中）在ABCD 中，已知76A C ∠+∠=︒，则下列正确的是（ ）A ．28A ∠=︒B ．142B ∠=︒C ．48C ∠=︒D ．152D ∠=︒10．（2019·河北初二期末）如图，在▱ABCD 中，∠BAD ＝120°，连接BD ，作AE ∥BD 交CD 延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，且CF ＝1，则AB 的长是( )A ．2B ．1C D11．（2019·曲阜师范大学附属实验学校初二月考）如图所示，在长为5cm，宽为3cm的长方形内部有一平行四边形，则平行四边形的面积为（）．A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm212．（2019·浙江初二期末）下图入口处进入，最后到达的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁13．（2019·河北金华中学初三开学考试）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试了一种辅助线，如图1，图2所示，其中辅助线做法能够用来证明三角形中位线定理的是（）A．小丽和小亮的辅助线做法都可以B．小丽和小亮的辅助线做法都不可以C．小丽的辅助线做法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线做法可以，小丽的不可以14．（2020·山东省东营市河口区义和镇中心学校初二期末）如图，将一张平行四边形纸片撕开并向两边水平拉伸，若拉开的距离为l cm，AB＝2cm，∠B＝60°，则拉开部分的面积（即阴影面积）是（）A ．1cm 2B ．2cm 2C 2D ．2二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2019·民勤县新河乡中学初二月考）已知ABCD 中一条对角线分A ∠为35°和45°，则B ∠=________度．16．（2019·厦门市湖里中学初二月考）如图，在▱ABCD 中，∠DAB 的角平分线交CD 于E ，若DE ：EC=3：1，AB 的长为8，则BC 的长为______17．（2019·福建初三）如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝14CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F ，若BF ＝10，则AB 的长为____．18．（2020·全国初二课时练习）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=12，点E 是BC 的中点．点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的两点，其中点P 以每秒个1单位长度的速度从点A 运动到点D 后再返回点A ，同时点Q 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发向点B 运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t 为_____秒时，以点A 、P ，Q ，E 为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·全国初二课时练习）已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 中BD 上的点，且BE ＝DF ，试说明，四边形AECF是平行四边形。

平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的外角和定理：。

推论：多边形的内角和定理：多边形的外角和定理：。

2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n ，则多边形的对角线条数为___________。

二、平行四边形1．定义： 2．平行四边形的性质： 平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的．（1）角：（2）边：（3）对角线：（4）面积：①_________________； ②平行四边形的对角线将四边形分成_____个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法三、矩形1. 矩形定义：2. 矩形性质3. 矩形的判定：4. 矩形的面积四、菱形 1. 菱形定义：2. 菱形性质3. 菱形的判定：．4. 菱形的面积五、正方形1. 正方形定义：它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形。

2. 正方形性质3. 正方形的判定：4. 正方形的面积平行四边形练习2．一只因损坏而倾斜的椅子,从背后看到的形状如图,其中两组对边的平行关系没有发生变化,若∠1=75°,则∠2的大小是（ ）A ．75º B．115º C．65º D．105ºA BDO C C DB A O 12(第2题图) 第3题图 第4题图B (第7题图)3．如图3，在□ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC=2，▱ABCD 的周长是在14，则DM 等于）是（ ）6．过□ABCD 对角线交点O 作直线m ，分别交直线AB 于点E ，交直线CD 于点F ，若AB=4，AE=6，则DF 的长是 ．7. 如图7，□ABCD 中，∠ABC=60°，E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC ，DF=2，则EF= ．8. 在□ABCD 中，AD=BD ，BE 是AD 边上的高，∠EBD=20°，则∠A 的度数为 ．9. 在□ABCD 中，AB ＜BC ，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC 沿AC 翻折至△AB ′C ，使点B ′落在□ABCD 所在的平面内，连接B ′D ．若△AB ′D 是直角三角形，则BC 的长为．10．如图，已知：□ABCD 中，∠BCD 的平分线CE 交AD 于点E ，∠ABC 的平分线BG 交CE 于点F ，交AD 于点G ．求证：AE=DG ．11．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE=∠BAD ，AE ⊥AC ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长．C ． 36D ． 3613．如图，将矩形纸带ABCD ，沿EF 折叠后，C 、D 两点分别落在C ′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，第12题图 第14题图 第5题图 第13题图 第15题图A B C DEF G14．如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则的16．如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=2AD ，如果对角线AC 与BD 相交于点O ，△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作S 1、S 2、S 3、S 4，那么下列结论中，不正确的是（ ）A ．S 1=S 3B ．S 2=2S 4C ．S 2=2S 1 D．S 1•S 3=S 2•S 417．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE=1，F 为AB 上一点，AF=2，P 为AC 上一点，则PF+PE 的最小值为 ．18．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为 或 秒时．△ABP 和△DCE 全等．19．已知，如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，DF∥BE，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD 为菱形．20．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AB=CB ，AD=CD ．对角线AC ，BD 相交于点O ，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E ，F ．求证OE=OF ．21. 如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，第17题图 第16题图 第18题图然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．22. 如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．。

平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于•-)2(n 180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n ，则多边形的对角线条数为2)3(-n n 。

二、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法． 2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ； ②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形③方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ④方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ⑤方法4： 对角线互相平分的四边形是平行四边形三、矩形1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2. 矩形性质①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．3. 矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等识别矩形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角．4. 矩形的面积① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．四、菱形 1. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

第6讲 平行四边形单元整体分类总复习考点一 多边形的内角和、外角和知识点睛：1. n 边形的内角和为()()31802≥︒⨯-n n ，外角和为360°，反过来，已知一些内、外角的度数或数量关系也能确定多边形的边数2. 对角线公式从n 边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，将n 边形分成（n-2）个三角形，n 边形的对角线共有()23-n n 条 类题训练1．（2022•九龙坡区校级开学）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ）A ．十边形B ．十一边形C ．十二边形D ．十三边形【分析】设这个多边形为n 边形，根据多边形的内角和公式及外角和定理即可求解．【解答】解：设这个多边形为n 边形，它的外角分别为x 1，x 2，⋯，x n ，则对应的内角分别为4x 1+30°，4x 2+30°，⋯，4x n +30°，根据题意得，x 1+x 2+⋯+x n ＝360°，（4x 1+30°）+（4x 2+30°）+⋯+（4x n +30°）＝（n ﹣2）×180°，∴4×（x 1+x 2+⋯+x n ）+30°n ＝（n ﹣2）×180°，∴4×360°+30°n ＝（n ﹣2）×180°，∴1440°+30°n ＝180°n ﹣360°，∴150°n ＝1800°，∴n ＝12，故选：C ．2．（2021秋•黄冈期末）一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条【分析】首先计算出多边形的边数，再根据n 边形从一个顶点出发可引出（n ﹣3）条对角线可得答案．【解答】解：多边形的边数：360°÷40°＝9，从一个顶点出发可以引对角线的条数：9﹣3＝6（条），故选：D ．3．（2021秋•海阳市期末）小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角，得到的和为1350°，则这个多边形的边数是（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则（n﹣2）•180°＝1350°﹣α，∵0°＜α＜180°，∴（1350﹣180）÷180＜n﹣2＜1350÷180，∴6＜n−2＜7，∵n为正整数，∴n＝9，∴这个多边形的边数n的值是9．故选：C．4．（2021秋•丹东期末）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（）A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形【分析】根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为n﹣3计算即可．【解答】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，∴多边形的边数为5+3＝8，故选：B．5．（2021秋•天元区期末）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（）A．36°B．72°C．108°D．144°【分析】由l1∥l2，得∠2＝∠BMD．由∠1＝∠BMD﹣∠MBC，得∠BMD＝∠1﹣∠MBC，那么∠1﹣∠2＝∠MBC．欲求∠1﹣∠2，需求∠MBC．由正五边形的性质，得∠MBC＝72°，从而解决此题．【解答】解：如图，AB的延长线交l2于点M，∵五边形ABCDE是正五边形，∴正五边形ABCDE的每个外角相等．∴∠MBC＝＝72°．∵l1∥l2，∴∠2＝∠BMD，∵∠1＝∠BMD+∠MBC，∴∠BMD＝∠1﹣∠MBC，∴∠1﹣∠2＝∠MBC＝72°．故选：B．6．（2021春•浦江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝110°，与∠BAD，∠ABC相邻的外角都是110°，则∠ADC的外角α的度数是（）A．90°B．85°C．80°D．70°【分析】根据多边形外角和为360°，进行求解即可．【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠C＝110°，∴∠C相邻的外角度数为：180°﹣110°＝70°，∴∠α＝360°﹣70°﹣110°﹣110°＝70°．故选：D．考点二平行四边形的性质知识点睛：1.平行四边形的性质定理∶（1）平行四边形的对边平行且相等.（2）平行四边形的对角相等，邻角互补.（3）平行四边形的对角线互相平分.2.利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.类题训练1．（2021秋•任城区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列判断错误的是（）A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∠DAC＝∠ACD 【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，故A正确；∴AD∥BC，故B正确；∴AD＝BC，故C正确；故选：D．2．（2021秋•鄞州区校级期末）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD＝120°，则∠BCE的度数为（）A．30°B．20°C．40°D．35°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD＝180°，可得∠B的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；故选：A．3．（2022春•秀英区校级月考）如图，在▱ABCD中，AD＝8，AB＝5，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，则EF＝（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．【解答】解：在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝8，∴EF＝2；故选：A．4．（2021秋•绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）【分析】分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG＝2EF，AG＝2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C 点坐标．【解答】解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，∴EF∥CG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE＝CE，∴AG＝2AF，CG＝2EF，∵A（4，0），E（3，1），∴OA＝4，OF＝3，EF＝1，∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2，∴AG＝2，∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2，∴C（2，2）．故选：D．5．（2022•越秀区校级开学）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（）A．+1B．C．D．【分析】依据含30°角的直角三角形的性质可求解AO＝1，BO＝2，利用三角形的面积公式计算△ABO的面积，结合平行四边形的性质可得DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，即可得到OE+2EF的值．【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．6．（2021秋•九江期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，∠BAC＝30°，AB ＝5cm，则它的面积为．【分析】根据S▱ABCD＝2S△ABC，所以求S△ABC可得解．作BE⊥AC于E，在直角三角形ABE中求BE从而计算S△ABC．【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E．在直角三角形ABE中，∠BAC＝30°，AB＝5cm，∴BE＝AB•sin∠CAB＝5×＝2.5（cm），S△ABC＝AC•BE÷2＝10（cm2），∴S▱ABCD＝2S△ABC＝20cm2．故答案为：20cm2．7．（2021秋•鄞州区校级期末）平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝10，BD＝6，AB＝m，那么m的取值范围是．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA与OB的值，然后根据三角形三边关系，即可求得m的取值范围．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝×10＝5，OB＝OD＝BD＝×6＝3，∵OA﹣OB＜AB＜OA+OB，∴5﹣3＜m＜5+3，∴m的取值范围是：2＜m＜8．故答案为：2＜m＜8．8．（2021秋•桓台县期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是．【分析】作AM⊥BC于M，如图所示：根据直角三角形的性质得到BM＝AB＝×2＝1，根据勾股定理得到AM＝＝＝，得到S平行四边形ABCD＝BC•AM ＝3，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，BO＝DO，根据全等三角形的性质得到S＝S△DOF，于是得到结论．△BOE【解答】解：作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝×2＝1，在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，∴AM＝＝＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴S△BOE＝S△DOF，∴图中阴影部分的面积＝▱ABCD的面积＝，故答案为：．9．（2022•海曙区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．（1）求证：AF＝CE；（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；（2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥CF，又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE＝AD，CF＝BC，∴AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF＝CE；（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，∵AB＝2，∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．10．（2021秋•海曙区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF 并延长交BA的延长线于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，∴∠E＝∠DCF，∵点F是AD中点，∴AF＝DF，∵∠EF A＝∠CFD，∴△AFE≌△DFC（AAS），∴CD＝AE，∴AB＝AE；（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，∵BC＝2AE，∴AE＝AF，∵∠E＝31°，∴∠AFE＝∠E＝31°，∴∠DAB＝2∠E＝62°．11．（2021秋•桓台县期末）已知，如图在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，BO上，且OE＝OF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H．求证：AH＝CG．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，可证∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，然后通过SAS即可证得△ADE≌△CBF；（2）证出四边形AHCG是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，∴∠ADE＝∠CBF，∵OE＝OF，∴DE＝BF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BCA，∵△ADE≌△CBF，∴∠DAE＝∠BCF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AG∥HC，∵AH∥CG，∴四边形AHCG是平行四边形，∴AH＝CG．考点三平行四边形的判定知识点睛：1.平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

专题18.1 平行四边形一、知识点1、平行四边形的性质1）. ；2）. ；3）. ；2、三角形中位线定理3、平行四边形的判定1）.边的判定；；；2）. 从角的判定；；3）.从对角线判定二、考点点拨与训练考点1：应用平行四边形的性质进行计算求解典例：（2019·陕西初三）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上的一点，F在线段DE上，且∠AFE ＝∠ADC．（1）若∠AFE ＝70°，∠DEC ＝40°，求∠DAF 的大小；（2）若DE ＝AD ，求证：△AFD ≌△DCE方法或规律点拨此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和及全等三角形的判定定理. 巩固练习1．（2020·山东初二期末）如图，在▱ABCD 中，已知AD=5cm ，AB=3cm ，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则EC 等于 （ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm2．（2020·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，若AB ＝6，EF ＝2，则BC 的长为( )A ．8B ．10C ．12D ．143．（2020·广东初三期末）如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AB AD ≠，过点O 作OE BD ⊥交BC 于点E ，若CDE V 的周长为10，则▱ABCD 的周长为( )A ．14B ．16C ．20D ．184．（2018·山东初二期末）如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ．（1）求证：CD=BE ；（2）若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．5．（2019·河北初二期中）已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC 分别相交于点E，F．（1）求证：OE=OF；（2）连接BE，DF，求证：BE=DF．考点2：平行四边形的判定典例：（2020·湖南初三期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，（1）求证：AE＝CE；（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为．方法或规律点拨本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．巩固练习1．（2018·广东初二期中）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A ．AB//CD ，AD=BCB ．A BCD ∠∠∠∠==， C ．AO=OC ，DO=OB D ．AB=AD ，CB=CD2．（2020·全国初二课时练习）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AB ＝DC ，AD ＝BCB ．AD ∥BC ，AD ＝BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BC D ．OA ＝OC ，OD ＝OB3．（2019·商南县富水初级中学初三）如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S ▱AEPH ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2019·江阴市敔山湾实验学校初三期中）在下列给出的条件中，不能．．判定四边形ABCD 一定是平行四边形的是（ ）A ．AB=CD ，AD=BCB ．AB//CD ，AD=BC C ．AB//CD ，AB=CD D ．AB//CD ，AD//BC 5．（2020·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD 中，G 是边CD 上一点，BG 的延长线交AD 的延长线于点E ，AF ＝CG ．（1）求证：四边形DFBG 是平行四边形．（2）若∠DGE ＝105°，求∠AFD 的度数．考点3：平行四边形存在性判定典例：．（2019·温州市第八中学初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点A （4，2），B （-1，-3），P 是x轴上的一点，Q 是y 轴上的一点，若以点A ，B ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．方法或规律点拨此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，结合AB 的长分别确定P ，Q 的位置是解决问题的关键．巩固练习1．（2020·山东初三期末）点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2019·武胜县乐善镇二中初二期中）平行四边形的一条边长为6cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）A ．8cm 和3cmB ．8cm 和4cmC ．8cm 和5cmD ．8cm 和20cm3．（2019·河北初二期末）平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）A ．8和16B ．10和16C ．8和14D ．8和124．（2019·广东省英德市英城街中学初二期末）如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(﹣2，3)、B(﹣6，0)、C(﹣1，0).(1)画出把△ABC 向下平移4个单位后的图形．(2)画出将△ABC 绕原点O 按顺时针方向旋转90°后的图形．(3)写出符合条件的以A 、B 、C 、D 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．考点4：三角形中位线性质典例：．（2020·南通市启秀中学初二期末）()1如图，在已知ABC V 中，D E 、分别是AB AC 、的中点，求证12DE BC =.()2利用第()1题的结论，解决下列问题:如图，在四边形ABCD 中，90,3A AB AD ∠===o ，点,M N 分别在,AB BC 上，点,E F 分别为,MN DN 的中点，连接EF ，求EF 长度的最大值.方法或规律点拨本题考查中位线有关的三角形性质、勾股定理的应用,关键在于根据题意构造三角形中位线.巩固练习1．（2020·山东初二期末）如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是（ ）A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒2．（2018·山东初二期末）如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．33．（2018·广东初二期中）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是 ．4．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为_____．考点5：平行四边形与折叠问题典例：．（2018·浙江初二期末）如图，在ABCD Y 中，点E 是BC 边上的动点，已知4AB =，6BC =，60B ∠=︒，现将ABE ∆沿AE 折叠，点'B 是点B 的对应点，设CE 长为x .（1）如图1，当点'B 恰好落在AD 边上时，x =______；（2）如图2，若点'B 落在ADE ∆内（包括边界），则x 的取值范围是______.方法或规律点拨 本题考查翻折变换、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．巩固练习1（2019·广西初三）如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=o ，CFD 40∠=o ，则E ∠为( )A ．102oB ．112oC ．122oD ．92o2．（2019·郑州枫杨外国语学校中考模拟）如图，在▱ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝8，AD ＝6，点 E 、F 分别是边 AB 、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．3．（2020·山东初二期末）已知，如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在'C 处，'BC 与AD 相交于点E .（1）求证：EB ED =；（2）连接'AC ，求证：'//AC BD .专题18.1 平行四边形一、知识点1、平行四边形的性质1）.平行四边形的边：对边平行且相等；2）.平行四边形的角：对角相等、邻角互补；3）.平行四边形的对角线互相平分；2、三角形中位线定理三角形的中位线平行且等于第三边的一半；3、平行四边形的判定1）.边的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2）. 从角的判定邻角互补的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；3）.从对角线判定对角线互相平分的四边形是平行四边形；二、考点点拨与训练考点1：应用平行四边形的性质进行计算求解典例：（2019·陕西初三）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上的一点，F在线段DE上，且∠AFE＝∠ADC．（1）若∠AFE＝70°，∠DEC＝40°，求∠DAF的大小；（2）若DE＝AD，求证：△AFD≌△DCE【答案】（1）∠DAF＝30°；（2）见解析．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC＝40°．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFE＝110°，∴∠DAF＝180°﹣∠AD F﹣∠AFD＝30°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠ADC，∴∠AFD＝∠C，在△AFD和△DEC中，ADF DECAFD CAD DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AFD≌△DCE（AAS）．方法或规律点拨此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和及全等三角形的判定定理.巩固练习1．（2020·山东初二期末）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【解析】解：如图，∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠EAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴EC=BC-BE=5-3=2．故选B．2．（2020·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD 于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为()A．8B．10C．12D．14【答案】B【解析】根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.故选B.3．（2020·广东初三期末）如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AB AD ≠，过点O 作OE BD ⊥交BC 于点E ，若CDE V 的周长为10，则▱ABCD 的周长为( )A ．14B ．16C ．20D ．18【答案】C【解析】 解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，BC AD =，OB OD =，OE BD ⊥Q ，BE DE ∴=，CDE QV 的周长为10，DE CE CD BE CE CD BC CD 10∴++=++=+=，∴平行四边形ABCD 的周长()2BC CD 20=+=；故选：C ．4．（2018·山东初二期末）如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ．（1）求证：CD=BE ；（2）若AB=4，点F 为DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，且DG=1，求AE 的长．【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD//AB ，∴∠DAE=∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠EAB，∴∠EAB=∠E，∴CD=BE.（2）∵CD//AB.∴∠BAF=∠DFA.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAF=∠DFA.∴DA=DF.∵F为DC中点，AB=4，∴DF=CF=AD=2，∵DG⊥AE，DG=1，∴AG=GF=，∵∠DAF=∠E，∠ADF=∠FCE，DF=CF.∴△ADF≌△ECF.∴AF=EF.∴AE=2AF=4.5．（2019·河北初二期中）已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC 分别相交于点E，F．（1）求证：OE=OF；（2）连接BE，DF，求证：BE=DF．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，AD ∥BC ，∴∠OAF=∠OCE ，在△OAF 和△OCE 中，OAF OCE OA OCAOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴OE=OF ；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD ，∵OE=OF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴BE=DF ．考点2：平行四边形的判定典例：（2020·湖南初三期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点E ，点E 是BD 的中点，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AF ，（1）求证：AE ＝CE ；（2）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（3）若AB ＝2，AF ＝4，∠F ＝30°，则四边形ABCF 的面积为 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6【解析】解：（1）证明：∵点E 是BD 的中点，∴BE ＝DE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBE ，在△ADE 和△CBE 中ADE CBE DE BEAED CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CBE （ASA ），∴AE ＝CE ；（2）证明：∵AE ＝CE ，BE ＝DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∵DF ＝CD ，∴DF ＝AB ，即DF ＝AB ，DF ∥AB ，∴四边形ABDF 是平行四边形；（3）解：过C 作CH ⊥BD 于H ，过D 作DQ ⊥AF 于Q ，∵四边形ABCD 和四边形ABDF 是平行四边形，AB ＝2，AF ＝4，∠F ＝30°，∴DF ＝AB ＝2，CD ＝AB ＝2，BD ＝AF ＝4，BD ∥AF ，∴∠BDC ＝∠F ＝30°，∴DQ ＝12DF ＝122⨯＝1，CH ＝12DC ＝122⨯＝1， ∴四边形ABCF 的面积S ＝S 平行四边形BDFA +S △BDC ＝AF×DQ+1BD CH 2⨯⨯＝4×1+1412⨯⨯＝6， 故答案为：6．方法或规律点拨 本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 巩固练习1．（2018·广东初二期中）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A ．AB//CD ，AD=BCB ．A BCD ∠∠∠∠==， C ．AO=OC ，DO=OBD ．AB=AD ，CB=CD【答案】C【解析】 解：A 、由AB ∥CD ，AD=BC 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；B 、由∠A=∠B ，∠C=∠D 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；C 、由OA=OC ，OD=OB 能判定四边形ABCD 为平行四边形；D 、AB=AD ，BC=CD 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；故选：C ．2．（2020·全国初二课时练习）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AB ＝DC ，AD ＝BCB ．AD ∥BC ，AD ＝BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BCD ．OA ＝OC ，OD ＝OB【答案】C【解析】A. AB ＝DC ，AD ＝BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD 是平行四边形，故不符合题意；B. AD ∥BC ，AD ＝BC ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD 是平行四边形，故不符合题意；C. AB ∥DC ，AD ＝BC ，一组对边平行，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故符合题意；D. OA ＝OC ，OD ＝OB ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD 是平行四边形，故不符合题意，故选C.3．（2019·商南县富水初级中学初三）如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S ▱AEPH ＝（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，∴S△PEB＝S△BGP，同理可得S△PHD＝S△DFP，S△ABD＝S△CDB，∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD＝S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP，即S四边形AEPH＝S四边形PFCG．∵CG＝2BG，S△BPG＝1，∴S四边形AEPH＝S四边形PFCG＝4×1＝4，故选：B．4．（2019·江阴市敔山湾实验学校初三期中）在下列给出的条件中，不能．．判定四边形ABCD一定是平行四边形的是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB//CD，AD=BC C．AB//CD，AB=CD D．AB//CD，AD//BC【答案】B【解析】A、AB=CD，AD=BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；B、AD=CB，AB∥DC不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项符合题意；C、AB=CD，AB∥CD能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、AB∥CD，AD∥BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：B．5．（2020·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD中，G是边CD上一点，BG的延长线交AD的延长线于点E，AF＝CG．（1）求证：四边形DFBG是平行四边形．（2）若∠DGE＝105°，求∠AFD的度数．【答案】（1）见解析;（2）105°.【解析】证明：（1）∵ABCD 是平行四边形，∴//,AB CD AB CD =又AF ＝CG ，∴BF DG =∴四边形DFBG 是平行四边形（2）∵四边形DFBG 是平行四边形//,//DE BG BF DG ∴∴∠AFD ＝∠ABE ＝∠DGE ＝105°考点3：平行四边形存在性判定典例：．（2019·温州市第八中学初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点A （4，2），B （-1，-3），P 是x 轴上的一点，Q 是y 轴上的一点，若以点A ，B ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．【答案】符合题意的点Q 的坐标为：（0，-5）或（0，-1）或（0，5）．【解析】如图所示，当AB为边，①即当四边形ABQ2P2是平行四边形，所以AB=P2Q2，AP2=BQ2，∵点A（4，2），B（-1，-3），∴，则OP2=OQ2=5，∴Q2点的坐标是：（0，-5），②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB=PQ，QA=PB，∴Q点的坐标是：（0，5），③当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1=Q1B，AQ1=BP1，∴Q1点的坐标是：（0，-1）．综上所述：符合题意的点Q的坐标为：（0，-5）或（0，-1）或（0，5）．方法或规律点拨此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，结合AB的长分别确定P，Q的位置是解决问题的关键．巩固练习1．（2020·山东初三期末）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．故选C．2．（2019·武胜县乐善镇二中初二期中）平行四边形的一条边长为6cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A．8cm和3cm B．8cm和4cm C．8cm和5cm D．8cm和20cm【答案】C【解析】如图：四边形ABCD是平行四边形，AB=6cm，A、∵AC=8cm，BD=3cm，∴OA=12AC=4cm，OB=1.5cm，∵4+1.5=5.5＜6，∴不能组成三角形，故本选项错误；B、∵AC=8cm，BD=4cm，∴OA=12AC=4cm，OB=2cm，∵4+2=6，∴不能组成三角形，故本选项错误；C、∵AC=8cm，BD=5cm，∴OA=12AC=4cm，OB=2.5cm，∵4+2.5=6.5＞6，∴能组成三角形，故本选项正确；D、∵BD=8cm，AC=20cm，∴OB=12BD=4cm，OA=10cm，∵4+6=10∴不能组成三角形，故本选项错误．故选C．3．（2019·河北初二期末）平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（）A．8和16B．10和16C．8和14D．8和12【答案】B【解析】A、两对角线的一半分别为4、8，∵4+8=12，∴不能组成三角形，故本选项错误；B、两对角线的一半分别为5、8，∵5+8>12，∴能组成三角形，故本选项正确；C、两对角线的一半分别为4、7，∵4+7=11<12，∴不能组成三角形，故本选项错误；D、两对角线的一半分别为4、6，∵4+6=10<12，∴不能组成三角形，故本选项错误，故选B．4．（2019·广东省英德市英城街中学初二期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2，3)、B(﹣6，0)、C(﹣1，0).(1)画出把△ABC向下平移4个单位后的图形．(2)画出将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后的图形．(3)写出符合条件的以A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)D 1(3，3)、D 2(-7，3)、D 3(-5，-3).【解析】（1）如图所示，△A B C '''即为所求作；（2）如图所示，△DEF 即为所求作；（3）D 1(3，3)、D 2(-7，3)、D 3(-5，-3).考点4：三角形中位线性质典例：．（2020·南通市启秀中学初二期末）()1如图，在已知ABC V 中，D E 、分别是AB AC 、的中点，求证12DE BC =.()2利用第()1题的结论，解决下列问题:如图，在四边形ABCD 中，90,3A AB AD ∠===o ，点,M N 分别在,AB BC 上，点,E F 分别为,MN DN 的中点，连接EF ，求EF 长度的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】(1)延长DE 到F,使得EF=DE,连接CF.∵D 、E 是AB 、AC 的中点,∴AD=BD,AE=CE.∵∠AED=∠CEF,EF=DE,∴△ADE ≌△CFE(SAS)∴CF=AD,∠DAE=∠FCE∴BD=CD,AB ∥CF,∴四边形DBCF 为平行四边形,∴DF=BC, ∵12DE DF =∴12DE BC =. (2)连接DM,∵点E,F 分别为MN,DN 的中点,∴EF=12DM, ∴DM 最大时,EF 最大,∵M 与B 重合时DM 最大,此时6=,∴EF 的最大值为3.方法或规律点拨本题考查中位线有关的三角形性质、勾股定理的应用,关键在于根据题意构造三角形中位线.巩固练习1．（2020·山东初二期末）如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是（ ）A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒【答案】C【解析】∵P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴PF=12BC ，PE=12AD ， ∵AD BC =，∴PF=PE ，∵136EPF ∠=︒，∴∠EFP=∠PFE=180136222︒-︒=︒ ． 故选C ．2．（2018·山东初二期末）如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【解析】∵BN 平分∠ABC ，BN ⊥AE ，∴∠NBA=∠NBE ，∠BNA=∠BNE ，在△BNA 和△BNE 中，ABN EBN BN BNANB ENB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BNA ≌△BNE ，∴BA=BE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），∴MN 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，∴DE=BE+CD﹣BC=5，∴MN=12DE=52．故选：C．3．（2018·广东初二期中）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．【答案】11．【解析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=1 2AD，EF=GH=12BC，然后代入数据进行计算即可得解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC5===．∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=12AD，EF=GH=12BC．∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6＋5=11．4．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为_____．【答案】1【解析】在△AGF和△ACF中，{GAF CAFAF AF AFG AFC∠=∠=∠=∠，∴△AGF ≌△ACF ，∴AG=AC=4，GF=CF ，则BG=AB−AG=6−4=2.又∵BE=CE ，∴EF 是△BCG 的中位线，∴EF=12BG=1. 故答案是：1考点5：平行四边形与折叠问题典例：．（2018·浙江初二期末）如图，在ABCD Y 中，点E 是BC 边上的动点，已知4AB =，6BC =，60B ∠=︒，现将ABE ∆沿AE 折叠，点'B 是点B 的对应点，设CE 长为x .（1）如图1，当点'B 恰好落在AD 边上时，x =______；（2）如图2，若点'B 落在ADE ∆内（包括边界），则x 的取值范围是______.【答案】（1）2；（2）22x ≤≤【解析】解：（1）∵折叠，∴'BAE B AE ∠=∠.∵AD BC ∥，∴'B AE AEB ∠=∠，∴BAE AEB ∠=∠，∴4AB BE ==，∴2CE BC BE =-=.（2）当'B 落在DE 上时，过点A 作AH DE ⊥于点H .∵'60AB H B ∠=∠=︒，'4==AB AB ， ∴1''22HB AB ==，∴AH =在Rt ADH ∆中，DH =，∴''2DB DH HB =-=.∵AD BC ∥，∴DAE AEB AED ∠=∠=∠，∴6DE AD ==.∴()'628EB BE ==-=-，∴(682EC BC BE =-=--=，∴22x ≤≤.方法或规律点拨本题考查翻折变换、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．巩固练习1（2019·广西初三）如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=o ，CFD 40∠=o ，则E ∠为( )A ．102oB ．112oC ．122oD ．92o【答案】B【解析】AD //BC Q ，ADB DBC ∠∠∴=，由折叠可得ADB BDF ∠∠=，DBC BDF ∠∠∴=，又DFC 40∠=o Q ，DBC BDF ADB 20∠∠∠∴===o ，又ABD 48∠=o Q ，ABD ∴V 中，A 1802048112∠=--=o o o o ，E A 112∠∠∴==o ，故选B ．2．（2019·郑州枫杨外国语学校中考模拟）如图，在▱ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝8，AD ＝6，点 E 、F 分别是边 AB 、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．【答案】143或285【解析】设点A 落在BC 边上的A′点．①如图1，当A′C=13BC=2时，A′B=4，设AE=x ，则A′E=x ，BE=8-x ．过A′点作A′M 垂直于AB ，交AB 延长线于M 点，在Rt △A′BM 中，∠A′BM=60°，∴BM=2，在Rt △A′EM 中，利用勾股定理可得：x 2=（10-x ）2+12，解得x=285． 即AE=285； ②如图2，当A′B=13BC=2时， 设AE=x ，则A′E=x ，BE=8-x ．过A′点作A′N 垂直于AB ，交AB 延长线于N 点，在Rt △A′BN 中，∠A′BN=60°，∴BN=1，．在Rt △A′EN 中，利用勾股定理可得：x 2=（9-x ）2+3，解得x=143． 即AE=143； 所以AE 的长为5.6或143． 故答案为5.6或143． 3．（2020·山东初二期末）已知，如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在'C 处，'BC 与AD 相交于点E .（1）求证：EB ED =；（2）连接'AC ，求证：'//AC BD .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】证明：（1）由折叠可知：CBD EBD ∠=∠∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC∴CBD EDB ∠=∠∴EBD EDB ∠=∠∴EB ED（2）如图，由（1）知BE=DE，∴AE=C'E，∴∠DAC'=12（180°-∠AEC'）=90°-12∠AEC'，同理：∠ADB=90°-12∠BED，∵∠AEC'=∠BED，∴∠DAC'=∠ADB，∴AC'∥BD.31/ 31。

教师：学生：时间：_ 2016 _年_ _月日段第__ 次课
ABCD中，延长
随堂练习三：
．若平行四边形的两邻边的长分别为
17在ABCD中，AB比AD大2，∠DAB的角平分线AE交CD于E，∠ABC的角平分线BF交CD于F，若平行四边形ABCD的周长为24，求CE、FD、EF的长
19已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF 是平行四边形．
20、如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形吗？说明理由.
21.如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？
22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD•为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°？•证明你的结论．
23已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．。