2011-2012学年贵州省黔东南州凯里一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合M ={0, 1, 2}，N ={0, 2, 4}，则M ∩N =( ) A.{0, 1, 2} B.{0, 1, 2, 4} C.{0, 2} D.{1, 2}2. 函数y =log 2x(x >0)的反函数为（ ） A.y =2x (x >0) B.y =2x (x ∈R) C.y =(12)x (x >0) D.y =(12)x (x ∈R)3. “a >|b|”是“a 2>b 2”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 设a =ln 45，b =log 1213，c =0.30.8，则（ ）A.a <b <cB.c <b <aC.a <c <bD.b <c <a5. 从5名男同学，4名女同学中选出3名同学组队参加课外活动，要求男、女同学都有，则不同的方案个数共有（ ） A.140 B.100 C.80 D.706. 函数y =√log 12(x −1)的定义域为（ ）A.(1, 2]B.(−∞, 2]C.(1, +∞)D.[2, +∞)7. 设x ∈(−π2，π2)，则方程sin x =tan x 的根的个数为（ ）A.3B.2C.1D.08. 将函数y =sin 2x 的图象按向量m →平移后得到函数y =cos 2x 的图象，则向量m →=( ) A.(π4，0)B.(π2，0)C.(−π4，0)D.(−π2，0)9. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，点(a n , a n+1)在直线y =x −2上，且a 3+a 11=0，则下列关系式成立的（ ） A.S 14>0 B.S 6<S 7C.S 6>S 7D.S 6=S 710. 过曲线y =x 2−2x +3上一点P 作曲线的切线，若切点P 的横坐标的取值范围是[12，32]，则切线的倾斜角的取值范围是（ ） A.[0,π4]B.[0,π4]∪[3π4,π)C.[3π4，π)D.[0, π)11. 设函数y =f(x)是定义在R 上的奇函数，且y =f(x −2)为偶函数，当−2≤x ≤0时，f(x)=(12)x −1，则f(9)=( )A.12 B.1C.−12D.−112. 已知球O 的半径为1，点P 为一动点，且|PO|=√5，PA ，PB 为球的两条切线，A ，B 为切点，当|PA →+PB →|取最小值时，则PA →⋅PB →=( ) A.125B.−125C.4D.8√55二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填在答题卡中横线上．（注意：在试卷上作答无效）已知i 虚数单位，则i +i 2+i 3+...+i 2012=________．函数y ＝x +1x−1(x >1)的最小值为________．若(3x −1x )n 的二项展开式中，所有项的系数之和为64，则展开式中的常数项是________．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a, b](a <b)，值域为[1, 5]，则点(a, b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（注意：在试题卷上作答无效）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4cos (B +C)+2cos 2A =−3． （1）求角A 的大小；（2）若a =√3，b +c =3，求边b 和c 的值．某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试．假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为45，数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m ，n(m >n)，且该同学3门课程都获得优秀的概率为24125，该同学3门课程都未获得优秀的概率为6125，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．(I)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(II)记ξ为该生取得优秀成绩的课程门数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，PA =AD =2AB ，E 为线段AD 上的一点，且AE →=λAD →．（1）当BE ⊥PC 时，求λ的值；（2）求直线PB 与平面PAC 所成的角的大小．数列{a n }满足a 1=2，且a n+1=2−1a n．（1）证明：数列{1a n −1}为等差数列；（2）若b n =n2⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．设函数f(x)=ln x +ax(a <0)．（1）当a =−1时，f(x)+m <0恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若f(x)在区间(0, 2)为单调函数，求实数a 的取值范围．已知曲线C 上的动点P 到点F(2, 0)的距离比它到直线x =−1的距离大1． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F(2, 0)且倾斜角为α(0<α<π2)的直线与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明：|FP|−|FP|⋅cos 2α为定值，并求出此定值．参考答案与试题解析2011-2012学年贵州省黔东南州凯里一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据集合M={0, 1, 2}，N={0, 2, 4}，找出它们的公共元素，再求交集．【解答】解：∵集合M={0, 1, 2}，N={0, 2, 4}，∴M∩N={0, 2}，故选C．2.【答案】B【考点】反函数【解析】根据对数的定义，将对数式化为指数式，得x=2y，再结合原函数的值域就是反函数的定义域，可得要求的反函数．【解答】解：∵y=log2x(x>0)，∴根据指数与对数关系，得x=2y，将x、y互换，得y=2x，∵函数y=log2x的值域为R，∴反函数的定义域也是R，得反函数为y=2x(x∈R)故答案为：B3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据绝对值大于或等于0，得“a>|b|”成立时，两边平方即有“a2>b2”成立；而当“a2>b2”成立时，可能a 是小于−|b|的负数，不一定有“a>|b|”成立．由此即可得到正确选项．【解答】解：先看充分性当“a>|b|”成立时，因为|b|≥0，所以两边平方得：“a2>b2”成立，故充分性成立；再看必要性当“a2>b2”成立时，两边开方得“|a|>|b|”，当a是负数时有“a<−|b|<0”，此时“a>|b|”不成立，故必要性不成立故选A4.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】可结合对数的单调性，将三数与0，1进行比较，从而得出三数的大小关系，选出正确选项【解答】解：∵a=ln45<ln1=0，b=log1213>log1212=1，c=0.30.8∈(0, 1)∴a<c<b故选C5.【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】不考虑特殊情况有C93，只选男同学C53，只选女同学C43，利用对立事件，可求不同的方案个数．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况有C93，利用对立事件的选法，故有C93−C53−C43=70，故选D．6.【答案】A【考点】对数函数的定义域函数的定义域及其求法【解析】由函数的解析式可得log12(x−1)≥0，化简可得0<x−1≤1，由此求得函数y=√log12(x−1)的定义域．【解答】解：由函数的解析式可得log12(x−1)≥0=log121，∴0<x−1≤1，解得1<x≤2.故选A．7.【答案】C【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】利用x∈(0, π2)，sin x<x<tan x，结合函数的周期，即可得到函数y=sin x与y=tan x的图象在(−π2, π2)上交点个数．【解答】解：因为当x∈(0,π2)时，sin x<x<tan x．当x=0时sin x=tan x=0，所以函数y=sin x与y=tan x的图象在[0, π2)上只有一个交点(0, 0)．再由函数y=sin x与函数y=tan x都是奇函数，它们的图象关于原点对称，所以函数y=sin x与y=tan x的图象在(−π2, 0]上只有一个交点(0, 0)．综上可得，所以函数y=sin x与y=tan x的图象在(−π2, π2)上交点个数是：1，故选C．8.【答案】C【考点】平面向量坐标表示的应用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】先将两个函数化为同名函数，然后确定平移的方法，即可求出结论．【解答】解：由题意，函数y=cos2x=sin(2x+π2)=sin2(x+π4)∴将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，可得函数y=cos2x的图象∴m→=(−π4，0)故选C．9.【答案】D【考点】等差数列的性质【解析】由条件可得a n+1=a n−2，故数列{a n}是等差数列，由a3+a11=0得a1+a13=0=2a7，从而求得a7=0，S6=S7．【解答】解：∵点(a n, a n+1)在直线y=x−2上，∴a n+1=a n−2，故数列{a n}是等差数列．∵a3+a11=0，∴a1+a13=0=2a7，∴a7=0．∴S6=S7，故选D．10. 【答案】B【考点】导数的几何意义【解析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法求出k的范围，再根据k=tanα，结合正切函数的性质求出角α的范围．【解答】解：根据题意得f′(x)=2x−2，∵x∈[12，32]∵−1≤2x−2≤1，则曲线y=x2−2x+3上切点处的切线的斜率k:−1≤k≤1，又∵k=tanα，结合正切函数的性质可得：α∈[0,π4]∪[3π4,π)，故选B．11.【答案】D【考点】函数的求值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】由y=f(x−2)为偶函数，得f(x)=f(−x−4)，由函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，知f(x)=f(x+4)，再由当−2≤x≤0时，f(x)=(12)x−1，能求出f(9)．【解答】解：∵y=f(x−2)为偶函数，∴f(−x−2)=f(x−2)，∴f(x)=f(−x−4)，∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)=f(x+4)，∵当−2≤x≤0时，f(x)=(12)x−1，∴f(9)=f(1)=−f(−1)=−[(12)−1−1]=−1．故选D．12.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】|PA→+PB→|2=|PA→|2+|PB→|2+2|PA→||PB→|cos<PA→，PB→>，当<PA→，PB→>最大时，|PA→+PB→|取最小值，由此能求出PA →⋅PB →． 【解答】解：|PA →+PB →|2=|PA →|2+|PB →|2+2|PA →||PB →|cos <PA →，PB →>， ∴ 当<PA →，PB →>最大时，|PA →+PB →|取最小值， 此时cos ∠APB =cos 2∠AOP =2×(√5)2−1=35，而|PA →|=|PB →|=2， ∴ PA →⋅PB →=2×2×35=125．故选A ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填在答题卡中横线上．（注意：在试卷上作答无效）【答案】 0【考点】虚数单位i 及其性质 等比数列的前n 项和【解析】根据题意，分析可得i 、i 2、i 3、…、i 2012是i 为首项，i 为公式的等比数列，由等比数列前n 项和公式可得则i +i 2+i 3+...+i 2012=i(1−i 2012)1−i，又由i 的性质，可得i(1−i 2012)1−i=0，即可得答案．【解答】解：根据题意，i 、i 2、i 3、…、i 2012是i 为首项，i 为公式的等比数列， 则i +i 2+i 3+...+i2012=i(1−i 2012)1−i，又由i 4n =1，则i 2012=1， 则i +i 2+i 3+...+i 2012=i(1−i 2012)1−i=0；故答案为0． 【答案】 3【考点】基本不等式及其应用 【解析】求两个数和的最小值，凑出两个数的积为定值，满足基本不等式成立的条件． 【解答】y =x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1＝3 当且仅当x −1=1x−1即当x ＝2时取“＝” 所以y =x +1x−1(x >1)的最小值为3【答案】 −540 【考点】二项式定理的应用 【解析】依题意，(3x −1x )n 的二项展开式中，所有项的系数之和为64，就是x =1时的函数值，从而可求得n ，利用其展开式的通项公式即可求得展开式中的常数项． 【解答】解：依题意，当x =1时有2n =64，∴ n =6．设二项展开式的通项公式为：T r+1=C 6r ⋅(3x)6−r ⋅(−x −1)r =(−1)r ⋅36−r ⋅C 6r⋅x 6−r−r ， ∴ 由6−2r =0得r =3．∴ 展开式中的常数项是T 4=(−1)3⋅33⋅C 63=−540． 故答案为：−540． 【答案】 4【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】对于函数f(x)=x 2+1而言，当x =±2时，y =5，从而结合题意得出a ，b 的取值范围．点(a, b)的运动轨迹是两条线段，与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，从而得出结果． 【解答】解：对于函数f(x)=x 2+1，当x =±2时，y =5．故根据题意得a ，b 的取值范围为：−2≤a ≤0且b =2或a =−2且0≤b ≤2． ∴ 点(a, b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形 面积为4．故答案为：4． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（注意：在试题卷上作答无效）【答案】 解：（1）∵ 4cos (B +C)+2cos 2A =−3 ∴ 4cos (π−A)+2cos 2A =−3 ∴ −4cos A +2(2cos 2A −1)=−3∴ (2cos A −1)2=0⇒cos A =12，A ∈(0, π)∴ A =π3（2）由题意可得 {3=b 2+c 2−2bc cos 600b +c =3⇒{b =2c =1或{b =1c =2【考点】余弦定理的应用三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）由题意，将4cos (B +C)+2cos 2A =−3转化为关于A 的三角函数，解出A 的值；（2）由余弦定理结合已知建立方程组{3=b 2+c 2−2bc cos 600b +c =3，然后解方程即可得出边b 和c 的值【解答】 解：（1）∵ 4cos (B +C)+2cos 2A =−3 ∴ 4cos (π−A)+2cos 2A =−3 ∴ −4cos A +2(2cos 2A −1)=−3∴ (2cos A −1)2=0⇒cos A =12，A ∈(0, π) ∴ A =π3（2）由题意可得 {3=b 2+c 2−2bc cos 600b +c =3⇒{b =2c =1或{b =1c =2【答案】解：设事件A i 表示：该生语文、数学、英语课程取得优异成绩，i =1，2，3． 由题意可知P(A 1)=45，P(A 2)=m ，P(A 3)=n(I)由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件”ξ=0”是对立的， 所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是1−P(ξ=0)=1−6125=119125(II)由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3P(ξ=0)=P(A 1¯⋅A 2¯⋅A 3¯)=(1−45)(1−m)(1−n)=6125； P(ξ=3)=P(A 1⋅A 2⋅A 3)=45mn =24125；解得m =35，n =25(m >n)．P(ξ=1)=P(A 1⋅A 2¯⋅A 3¯+A 1¯⋅A 2⋅A 3¯+A 1¯⋅A 2¯⋅A 3) =45(1−m)(1−n)+15m(1−n)+15(1−m)n =37125 P(ξ=2)=1−P(ξ=0)−P(ξ=1)−P(ξ=3)=58125； ∴ ξ的分布列为所以数学期望Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=95． 【考点】离散型随机变量的期望与方差 相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量及其分布列【解析】(I)由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件”ξ=0”是对立的，计算事件”ξ=0”的概率即可； (II)由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3，根据该同学3门课程都获得优秀的概率为24125，该同学3门课程都未获得优秀的概率为6125，确定m ，n 的值，进而可求ξ的取值为1，2时的概率，即可求得分布列与期望的值．【解答】解：设事件A i 表示：该生语文、数学、英语课程取得优异成绩，i =1，2，3． 由题意可知P(A 1)=45，P(A 2)=m ，P(A 3)=n(I)由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件”ξ=0”是对立的， 所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是1−P(ξ=0)=1−6125=119125(II)由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3 P(ξ=0)=P(A 1¯⋅A 2¯⋅A 3¯)=(1−45)(1−m)(1−n)=6125；P(ξ=3)=P(A 1⋅A 2⋅A 3)=45mn =24125；解得m =35，n =25(m >n)．P(ξ=1)=P(A 1⋅A 2¯⋅A 3¯+A 1¯⋅A 2⋅A 3¯+A 1¯⋅A 2¯⋅A 3) =45(1−m)(1−n)+15m(1−n)+15(1−m)n =37125 P(ξ=2)=1−P(ξ=0)−P(ξ=1)−P(ξ=3)=58125； ∴ ξ的分布列为所以数学期望Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=95． 【答案】 解：（1）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设AB =1，则PA =AD =2，又设|AE|=y ，则：PC →=(1, 2, −2)，BE →=(−1,y,0) 由PC →⋅BE →=0，可得−1+2y =0，∴ y =12， 又∵ AE →=λAD →，∴ 12=2λ，∴ λ=14…．（2）由（1）知面PAC 的法向量为BE →=(−1,12,0) 又因为BP →=(−1,0,2)设PB 与面PAC 所成的角为α，则：sin α=|BE →⋅BP →||BE →|⋅|BP →|=|1+12×0+0×2|⋅=25，∵ α∈[0,π2]∴ PB 所求PB 与面PAC 所成的角的大小为：arcsin 25…． 【考点】直线与平面所成的角 【解析】（1）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，根据PC →⋅BE →=0，AE →=λAD →，即可求得λ的值；（2）确定面PAC 的法向量为BE →=(−1,12,0)，BP →=(−1,0,2)，利用向量的夹角公式，即可求得直线PB 与平面PAC 所成的角．【解答】解：（1）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设AB =1，则PA =AD =2，又设|AE|=y ，则：PC →=(1, 2, −2)，BE →=(−1,y,0) 由PC →⋅BE →=0，可得−1+2y =0，∴ y =12， 又∵ AE →=λAD →，∴ 12=2λ，∴ λ=14…．（2）由（1）知面PAC 的法向量为BE →=(−1,12,0) 又因为BP →=(−1,0,2)设PB 与面PAC 所成的角为α，则：sin α=|BE →⋅BP →||BE →|⋅|BP →|=|1+12×0+0×2|⋅=25，∵ α∈[0,π2]∴ PB 所求PB 与面PAC 所成的角的大小为：arcsin 25…．【答案】（1）证明：∵ a n+1=2−1a n∴ a n+1−1=1−1a n∴ a n+1−1=a n −1a n∴1a n+1−1−1a n −1=1∴ {1a n −1}是以1为首项，公差为1的等差数列．（2）解：由上知：1a n−1=1+(n −1)×1=n ，∴ a n =n+1n，n ∈N ∗∴ b n =n2n ×a n =n+12nS n =b 1+b 2+b 3+...+b n =2×(12)1+3×(12)2+4×(12)3+⋯+(n +1)(12)n∴ 12S n =2×(12)2+3×(12)3+4×(12)4+⋯+(n +1)(12)n+1 错位相减得：12S n =2×(12)1+(12)2+(12)3+⋯+(12)n −(n +1)(12)n+1∴ S n =3−(n +3)×(12)n 【考点】数列的求和 等差关系的确定 【解析】（1）根据a n+1=2−1a n ，可得1a n+1−1−1a n−1=1，从而可得{1a n−1}是以1为首项，公差为1的等差数列；（2）先确定数列{a n}的通项，进而可得b n=n2n ×a n=n+12n，利用错位相减法，可求数列的和．【解答】（1）证明：∵a n+1=2−1a n∴a n+1−1=1−1a n∴a n+1−1=a n−1a n∴1a n+1−1−1a n−1=1∴{1a n−1}是以1为首项，公差为1的等差数列．（2）解：由上知：1a n−1=1+(n−1)×1=n，∴a n=n+1n，n∈N∗∴b n=n2n ×a n=n+12nS n=b1+b2+b3+...+b n=2×(1)1+3×(1)2+4×(1)3+⋯+(n+1)(1)n∴12S n=2×(12)2+3×(12)3+4×(12)4+⋯+(n+1)(12)n+1错位相减得：12S n=2×(12)1+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−(n+1)(12)n+1∴S n=3−(n+3)×(12)n【答案】解：（1）f(x)=ln x−x的定义域为(0, +∞)f′(x)=1x−1=1−xx由f′(x)=0，解得x=1；f′(x)>0，解得0<x<1；f′(x)<0，解得x>1∴f(x)的递增区间为(0, 1)；f(x)递减区间为：(2, +∞)故f(1)=−1为最大值．要使f(x)+m<0恒成立，即f(x)<−m恒成立⇒−1<−m则m<1（2）f(x)=ln x+ax(x>0, a<0)f′(x)=1x+a=ax+1x由f′(x)=0，解得x=−1a；f′(x)>0，解得0<x<−1a；f′(x)<0，解得x>−1a要f(x)在区间(0, 2)为单调函数，则{−1a≥2a<0⇒−12≤a<0．故实数a的取值范围[−12, 0)．【考点】利用导数研究函数的单调性导数求函数的最值【解析】（1）当a=−1时，f(x)=ln x−x，求出导数f′(x)，由此利用导数工具研究f(x)的单调性和最大值，最后利用要使f(x)+m<0恒成立，即f(x)<−m恒成立，从而得出实数m的取值范围；．（2）由f(x)=ln x+ax(x>0, a<0)，得出f′(x)，由f(x)在区间(0, 2)为单调函数，建立关系a的不等关系，能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）f(x)=ln x−x的定义域为(0, +∞)f′(x)=1x−1=1−xx由f′(x)=0，解得x=1；f′(x)>0，解得0<x<1；f′(x)<0，解得x>1∴f(x)的递增区间为(0, 1)；f(x)递减区间为：(2, +∞)故f(1)=−1为最大值．要使f(x)+m<0恒成立，即f(x)<−m恒成立⇒−1<−m则m<1（2）f(x)=ln x+ax(x>0, a<0)f′(x)=1x+a=ax+1x由f′(x)=0，解得x=−1a；f′(x)>0，解得0<x<−1a；f′(x)<0，解得x>−1a要f(x)在区间(0, 2)为单调函数，则{−1a ≥2a <0⇒−12≤a <0．故实数a 的取值范围[−12, 0)．【答案】（1）解：设动点P(x, y)，动点P 到点F(2, 0)的距离比它到直线x =−1的距离多1，即动点P 到点F(2, 0)的距离等于它到直线x =−2的距离 ∴ √(x −2)2+y 2=|x +2|两边平方(x −2)2+y 2=(x +2)2化简可得：y 2=8x（2）证明：如图，作AC ⊥l ，BD ⊥l ，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B 则|FA|=|AC|=x A +p2=|FA|cos α+4，解得|FA|=41−cos α 同理|FB|=4−|FB|cos α，解得|FB|=41+cos α记m 与AB 的交点为E ，则|FE|=|FA|−|AE|=|FA|−12|AB|=12(41−cos α−41+cos α)=4cos αsin 2α∴ |FP|=|FE|cos α=4sin 2α故|FP|−|FP|⋅cos 2α=4sin 2α(1−cos 2α)=8 即FP|−|FP|⋅cos 2α为定值，定值为8．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 【解析】（1）设动点P(x, y)，根据动点P 到点F(2, 0)的距离比它到直线x =−1的距离多1，可得动点P 到点F(2, 0)的距离等于它到直线x =−2的距离，由此建立方程，即可求得曲线C 的方程； （2）如图，作AC ⊥l ，BD ⊥l ，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，计算|FA|=41−cos α，|FB|=41+cos α，记m 与AB 的交点为E ，则|FE|=|FA|−|AE|=4cos αsin2α，从而|FP|=|FE|cos α=4sin 2α，由此可得结论． 【解答】（1）解：设动点P(x, y)，动点P 到点F(2, 0)的距离比它到直线x =−1的距离多1，即动点P 到点F(2, 0)的距离等于它到直线x =−2的距离 ∴ √(x −2)2+y 2=|x +2|两边平方(x −2)2+y 2=(x +2)2化简可得：y 2=8x（2）证明：如图，作AC ⊥l ，BD ⊥l ，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B 则|FA|=|AC|=x A +p2=|FA|cos α+4，解得|FA|=41−cos α 同理|FB|=4−|FB|cos α，解得|FB|=41+cos α记m 与AB 的交点为E ，则|FE|=|FA|−|AE|=|FA|−12|AB|=12(41−cos α−41+cos α)=4cos αsin 2α∴ |FP|=|FE|cos α=4sin 2α故|FP|−|FP|⋅cos 2α=4sin 2α(1−cos 2α)=8 即FP|−|FP|⋅cos 2α为定值，定值为8．。
