人教版高中选修2-1数学导学案：2.2.1椭圆及标准方程(3)
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2.2.1椭圆的几何性质（3）
一、 学习目标及学法指导
（1）进一步熟悉椭圆的定义，以及椭圆的方程
（2）掌握椭圆的有关性质
（3）通过找椭圆中a ，b ，c 的关系求椭圆的离心率及取值范围
二、预习案
（一）.复习椭圆的定义，标准方程和简单几何性质
（二）.课前预习题
1、（1）若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的3倍，则椭圆的离心率e=__________
（2）若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍，则椭圆的离心率e ∈__________
2、椭圆22
143
x y +=上的点M （1，n ）到左焦点F 1的距离MF 1=__________；到右焦点F 2的距离MF 2=___________
3、若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，求离心率；
三、课中案
※ 典型例题
例1： 设椭圆)0(122
22>>=+b a a
y b x 的焦点为F 1和F 2，P 为椭圆上任意一点，21PF F ∠ 的最大值为π3
2，求该椭圆的离心率。
例2：已知P 是以1(,0)F c -和2(,0)F c 为左右焦点的椭圆)0(122
22>>=+b a a
y b x 上一点，满足1221
sin sin a c PF F PF F =∠∠，求椭圆离心率的取值范围
例3：已知F 21F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一点，∠321π=
PF F
（I ）求椭圆的离心率的范围
（II ）求证：△21PF F 的面积只与椭圆的短轴长有关
推广：设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点为1F 与2F ，P 为该椭圆上的点，且12F PF ∠=2θ，求证：12PF F ∆的面积2tan S b θ=
课堂练习： 若椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上存在一点M ，使12F M F M ⊥，求椭圆的离心率的范围
例4：（1） 已知点A 的坐标为（1，1），F 1是椭圆
459522=+y x 的左焦点，点P 是椭圆上的动点， ①求1PF PA +最大值和最小值。
②求123
PF PA +的最小值，并求点P 的坐标
（2）设F 是椭圆124322
2=+y x 的右焦点,定点
A (2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P 使PF PA 2+最小,求P 点坐标及最小值.
四、课后案
1、椭圆方程5522=+ky x 的一个焦点是（0,2）那么k=
2、已知12,F F 是椭圆的焦点，过2F 作椭圆长轴的
垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰三角形，则
椭圆的离心率为___________
3、21,F F 分别为椭圆122
22
=+b y a x 的左右焦点，
点P 在椭圆上，△PO 2F 是面积为3的正三角形，
则=2b
4、设F 是椭圆的一个焦点，1B B 是短轴，
0160B FB ∠=，则椭圆的离心率为_______
5、椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点 发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另 一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘， 满足方程：19
162
2=+y x ，点A 、B 是它的两个焦 点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出 发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过 的最短路程是___________
6、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，A 为左顶 点，B 为短轴一顶点，F 为右焦点，且AB BF ⊥ ，
则此椭圆的离心率为____________
7、椭圆22
1259
x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 的长度为____________
8、设椭圆)0(122
22>>=+b a a
y b x 的焦点为F 1和F 2，椭圆上存在一点P ，使21PF F ∠为钝角，求该椭圆的离心率的范围。
9、椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ， 则P 到F 2 的距离为__________
10、已知点(1,1)A -，2F 是椭圆22
1169
x y +=的右焦点，点P 是椭圆上的动点， （1）求2||||PA PF +得最大值和最小值；
（2）求
2|||PA PF 最小值，并求点P 的坐标。
