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二、极点
定义1.3 定义1.3 设 D为凸集， D, 若 D 中不存在 x∈ 为凸集，
两个相异的点 y, z 及某一实数 λ ∈( 0,1) 使得 x = λ y + (1 λ) z , 则称 x 为 D 的极点． 极点．
一个极点 极点,且有 注： x 是 S 中的一个极点 且有 x = λ x1 + ( 1 λ ) x2 , λ ∈ ( 0,1) , 若
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一阶判别条件
可微,则 定理 1.2: 设在凸集 D R n 上 f ( x ) 可微 则 : f ( x ) 在 D 上为 都有: 凸函数的充要条件是对 x , y ∈ D ,都有 都有
f ( y ) ≥ f ( x ) + f ( x )
T
( y x)
严格凸函数 充要条件) 凸函数(充要条件 定理 1.3: 严格凸函数 充要条件
则称 f ( x ) 为凸集 D 上的凸函数 。 上的凸函数 凸函数。
定义1.5 严格凸函数 定义
定义中 不等式反向 可以得到 函数的定义。 反向,可以得到凹 注:将上述定义中的不等式反向 可以得到凹函数的定义。 将上述定义
严格凸 例 : 设 f ( x ) = ( x 1) ,试 证明 f ( x ) 在 ( ∞ , +∞ ) 上 是 严格 凸 试
2 f x12 2 f 2 G ( x ) = f ( x ) = x2 x1 M 2 f x x n 1
2 f x1 x2 2 f 2 x 2 M 2 f x n x 2
2 f L x1 xn
2 f L x 2 x n M M 2 f L 2 x n
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凸函数的几何性质 对一元函数 f ( x ) ,在几何上 λ f ( x1 ) + ( 1 λ ) f ( x2 ) , 在几何上
λ ∈ [ 0,1] 表示连接 ( x1 , f ( x1 ) ) , ( x2 , f ( x2 ) ) 的线段 .
值.
f ( λ x1 + ( 1 λ ) x2 ) 表示在点 λ x1 + ( 1 λ ) x2 处的函数
(2) 设 D R n 为 凸集 f ( x ) 为 D 上 的 严格 凸函数 且 凸 规划 凸集, 严格凸函数 凸函数,且 全局极小点 极小点存在 全局极小点 唯一的 极小点是 问题 min f ( x ) 的全局极小点存在,则全局极小点是唯一的.
x∈D
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(2) 设 x , y ∈ D, x ≠ y , 若 ( t ) 在 [ 0,1] 上 为 严 格 凸 函 数 , 则
f ( x ) 在 D 上为严格凸函数. 严格凸函数
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该定理的几何意义是： 该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 间的部分是一段向下凸的弧. 之间的部分是一段向下凸的弧
a = x
2 2
= λ y + (1 λ) z, λ y + (1 λ) z
y + (1 λ)
2 2
≤λ
2
z
2
+ 2λ (1 λ) y z
≤ a2
不等式要取等号， 不等式要取等号，必须 y = z = a, 且 y, z = y z , 容易证明 y = z = x , 为极点． 根据定义可知 x 为极点．
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二阶判别条件
二阶可微,则 定理 1.4: 设在开凸集 D R n 内 f ( x ) 二阶可微 则 (1) f ( x ) 是 D 内 凸 函 数 的 充 要 条 件 为 : 对 x ∈ D, f ( x ) 的
Hesse 矩阵半正定 其中 矩阵半正定.其中
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x1 , x2 ∈ S ,则必有 x = x1 = x2 .
例3：D = {x ∈Rn x ≤ a}(a > 0), 则 x = a 上的点均为极点． 上的点均为极点．
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证：设 x = a, 若存在 y, z ∈ D 及 λ ∈( 0,1) , 使得 x = λ y + (1 λ) z , 则：
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段 所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点 的线段 总是位于曲线弧的上方． 总是位于曲线弧的上方．
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(1)设 f ( x ) 是凸集 D R n 上的凸函数 实数 k ≥ 0 ,则 kf ( x ) 也 设 凸函数,实数 则 凸函数. 是 D 上的凸函数
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函数. 函数
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证明: 证明 设 x , y ∈ R ,且 x ≠ y , λ ∈ ( 0,1) ,都有 且 都有
= ( λ x + ( 1 λ ) y 1) λ ( x 1) ( 1 λ ) ( y 1)
2 2
f ( λ x + (1 λ ) y ) ( λ f ( x ) + (1 λ ) f ( y ) )
§1.2 凸集与凸函数
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一、凸集
定义1.1 定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y ∈ D, 及实数 λ ( 0 ≤ λ ≤ 1) , 都有： 都有：
λx + (1 λ) y ∈ D
凸集． 则称集合 D 为凸集． 注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn 常见的凸集：空集， 常见的凸集 超平面： 超平面： = {x ∈Rn a1x1 + a2 x2 +L+ an xn = b} H
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半空间： 半空间： + = {x ∈Rn a1x1 + a2 x2 +L+ an xn ≥ b} H
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为凸集． 例 1： 证明超球 x ≤ r 为凸集．
0 证明： 设 为超球中的任意两点， 证明： x, y 为超球中的任意两点， ≤ λ ≤ 1,
则有： 则有：
λx + (1 λ) y
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凸函数的判定
定 理 1.1: 设 f ( x ) 是 定 义 在 凸 集 D R n 上 , x , y ∈ D , 令
( t ) = f ( tx + ( 1 t ) y ) , t ∈ [ 0,1] , 则 :
(1) f ( x ) 是凸集 D 上的凸函数的充要条件是对 x , y ∈ D ,一 一 凸函数. 元函数 ( t ) 在 [ 0,1] 上为凸函数
i =1
m
,2, 定义1.2: 定义1.2:设 xi ∈ D, i = 1 L, m, 实数 ai ≥ 0,
∑a
i =1
m
i
= 1,
则 x = ∑ai xi , 称为 xi , i = 1,2,L, m,
i =1
m
凸组合． 的凸组合 注： 凸集中任意有限个点的凸组合仍然在该 凸集中． 凸集中．
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f λ x + ( 1 λ ) y = cT λ x + ( 1 λ ) y
= λ cT x + ( 1 λ ) cT y = λ f ( x ) + ( 1 λ ) f ( y )
凸函数. 所以 c T x 是凸函数
类似可以证明 cT x 是凹函数. 类似可以证明 函数 可以
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(2)若在 D 内 G ( x ) 正定 则 f ( x ) 在 D 内是严格凸函数 若 正定,则 凸函数.
反之不成立． 注：反之不成立．
显然是 严格凸 但 不是正 例 : f ( x ) = x 4 显然 是 严格 凸 的 ,但 在 点 x = 0 处 G ( x ) 不是 正 定的.
二、凸规划
为凸集, 上的凸函数,则称规划 定义 1.6: 设 D R n 为凸集 f ( x ) 为 D 上的凸函数 则称规划 为凸规划问题. 问题 min f ( x ) 为凸规划问题
x∈D
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定 理 1.5: (1)凸规划问题的任一局部极小点 x 是全局极小点 凸规划问题的任一局部极小点 是全局极小点, 全体极小点组成凸集. 全体极小点组成凸集
凸函数的性质
S ( f , β ) = x x ∈ D , f ( x ) ≤ β 是凸 集.
{
}
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下面的 图形给出了 给出了凸函数 下面 的 图形 给出了 凸函数 f ( x , y ) = x 4 + 3 x 2 + y 4 + y 2 + xy 可以看出水平集是 的等值线的图形 可以看出水平集是凸集. 等值线的图形,可以看出水平集
≤ λ x + (1 λ) y
≤ λr + (1 λ) r = r 即点 λx + (1 λ) y 属于超球
所以超球为凸集． 所以超球为凸集．
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凸集的性质
有限个（可以改成无限） （１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集 为凸集． 为凸集． β 是凸集， 是一实数， （２） 设 D 是凸集， 是一实数， 则下面的 集合是凸集： 集合是凸集： D = {y y = βx, x ∈D} β 是凸集， （３）设 D , D2 是凸集， D , D2 的和集 则 1 1
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三、凸函数
定义 1.4: 设函数 f ( x ) 定义在凸集 D R n 上 ,若对任意的 若对任意的 都有: 都有 x , y ∈ D , λ ∈ [ 0,1] ,都有
f ( λ x + (1 λ ) y ) ≤ λ f ( x ) + (1 λ ) f ( y ) ,
